PO O O. και Oλοκληρωτικ Λογισμ για συναρτήσεις μιας και περισσοτέρων

iii PO O O Mέχρι το 4ο εξάμηνο σπουδών οι φοιτητές του Tμήμτος Mθημτικών του Πνεπιστημίου Θεσσλονίκης διδάσκοντι το Διφορικ κι Oλοκληρωτικ Λογισμ γι συνρτήσεις μις κι περισσοτέρων μετβλητών. Στ μθήμτ υτά η μελέτη περιορίζετι κυρίως στις συνεχείς, τις πργωγίσιμες κι τις συνεχείς ολοκληρώσιμες κτά Riemann συνρτήσεις κι δίνετι μεγλ τερη βρ τητ στους υπολογισμο ς κι τις εφρμογές πρά στη θεωρί. μως οι πρπάνω κτηγορίες συνρτήσεων είνι μάλλον η εξίρεση πρά ο κν νς μέσ στο σ νολο των πργμτικών συνρτήσεων. Γι υτ έν μάθημ υστηρά θεμελιωμένης πργμτικής Aνάλυσης είνι πρίτητο γι κθέν που σπουδάζει τ Mθημτικά. Έν τέτοιο μάθημ εκτ ς του τι διδάσκει την υστηρή μθημτική σκέψη, δίνει γενικε σεις γνωστών εννοιών πολλές π τις οποίες έδωσν τεράστι ώθηση στην νάπτυξη της Mθημτικής Aνάλυσης κι των εφρμογών της, πως π.χ. η έννοι του μέτρου κι του ολοκληρώμτος του Leesgue. Στο βιβλίο υτ νπτ σσοντι διεξοδικά πολλά κεφάλι της Πργμτικής Aνάλυσης, πως οι μον τονες συνρτήσεις, οι συνρτήσεις περτωμένης μετβολής, οι π λυτ συνεχείς συνρτήσεις, οι κυρτές κι κοίλες συνρτήσεις, οι κολουθίες συνρτήσεων κι το ολοκλήρωμ του Riemann. Kεντρική μως θέση τ σο στο βιβλίο υτ σο κι στο ντίστοιχο μάθημ των Πργμτικών Συνρτήσεων γι το οποίο ποτελεί βοήθημ, κτέχουν τ κεφάλι του μέτρου, των μετρητών συνρτήσεων κι του ολοκληρώμτος του Leesgue. Γι την εισγωγή του ολοκληρώμτος του Leesgue χρησιμοποίησ τη μέθοδο των άνω κι κάτω θροισμάτων ενώ άφησ τη μέθοδο των πλών συνρτήσεων γι το κτ επιλογήν μάθημ "θεωρί μέτρου κι Oλοκλήρωσης" η λη του οποίου περιέχετι στο ομώνυμο βιβλίο μου που έχει κυκλοφορήσει ήδη π πεντετίς. Aυτ έγινε γι το λ γο τι η μέθοδος των θροισμάτων είνι, κτά τη γνώμη μου, πιο ε ληπτη π τους φοιτητές που διδάσκοντι γι πρώτη φορά το ολοκλήρωμ του Leesgue κι έχουν ως μονδικ εφ διο το ολοκλήρωμ του Riemann. Nομίζω τι η ομοι τητ των ορισμών των

iv δ ο ολοκληρωμάτων βοηθά πολ περισσ τερο το φοιτητή ν κτνοήσει τη νέ έννοι, π τον ορισμ με τη χρήση των πλών συνρτήσεων που βρίσκετι στ ρι εν ς μετπτυχικο μθήμτος. H νέ υτή έκδοση του βιβλίου διφέρει σημντικά της προηγουμένης. Διορθώθηκν ορισμένες τυπογρφικές βλεψίες κι προστέθηκν νέες πράγρφοι. Στο κεφάλιο 6 προστέθηκε η 6.9.6 με το Kριτήριο των Cauchy-Maclaurin που συνδέει τη σ γκλιση ριθμητικών σειρών κι μη γνησίων ολοκληρωμάτων κι η 6.10 που δίνοντι ενλλκτικοί ορισμοί του ολοκληρώμτος του Riemann κι ποδεικν ετι η ισοδυνμί τους. Στο κεφάλιο 7 προστέθηκν η 7.7 που περιέχει το σημντικ θεώρημ προσέγγισης του Weierstrass κι η 7.8 με το θεώρημ των Arzela-Ascoli των ισοσυνεχών συνρτήσεων. Στο κεφάλιο 8 προστέθηκε η 8.3.6 με μι συντομ τερη π δειξη του θεωρήμτος του Lusin. Στο κεφάλιο 9 προστέθηκε η 9.9.7 με έν θεώρημ σχετικ με το βσικ θεώρημ του ολοκληρωτικο λογισμο. Tέλος προστέθηκε ολ κληρο το κεφάλιο 10 στο οποίο νπτ σσετι μι κ μη γενίκευση του ολοκληρώμτος του Riemann, το ολοκλήρωμ του Stieltjes. Eκεί γενικε ουμε τους 3 ορισμο ς της 6.10. κι πρτηρο με με έκπληξη τι τρεις ισοδ νμοι ορισμοί οδηγο ν σε τρεις μη ισοδ νμες γενικε σεις, δηλδή σε τρί διφορετικά ολοκληρώμτ τ που Stieltjes. Kτεβλήθη προσπάθει ώστε τ διάφορ ποτελέσμτ ν διτυπωθο ν με τις λιγ τερες (κτά το δυντ ) προϋποθέσεις. Aρκετά πρδείγμτ κι άλυτες σκήσεις πλισιώνουν τ διάφορ κεφάλι. Eκτ ς μως π τις σκήσεις των διφ ρων κεφλίων υπάρχει στο τέλος του βιβλίου πράρτημ με 92 λυμένες σκήσεις. Σε ορισμένες π τις λ σεις πρλείποντι κάποιες λεπτομέρειες. Aν ο νγνώστης συμπληρώσει μ νος του τις λεπτομέρειες υτές θ έχει π τις λυμένες υτές σκήσεις το μεγλ τερο δυντ φελος. Oι σκήσεις των διφ ρων κεφλίων που σημειώνοντι με το σημείο λ νοντι πίσω στο πράρτημ χι νγκστικά με την ίδι σειρά. Στο πράρτημ μως υπάρχουν συχνά κι άλλες σκήσεις που δεν εμφνίζοντι στ διάφορ κεφάλι. Tελειώνοντς θέλω ν ευχριστήσω κι π τη θέση υτή το τυπογρφείο της κ. Π. Zήτη γι την ωρί εμφάνιση του βιβλίου. Θεσσλονίκη Iνουάριος 1996 Π. Iκ. Ξενικάκης

v EPIEXOMENA 1. Σ νολ κι συνρτήσεις 1.1. H ÓÓÔÈ ÙË Û Ó ÚÙËÛË... 1 1.2. IÛÔ Ó Ì Û ÓÔÏ - appleïëı ÚÈıÌÔÈ - ÚÈıÌ ÛÈÌ Û ÓÔÏ... 3 1.3. YappleÂÚ ÚÈıÌ ÛÈÌ Û ÓÔÏ - ÙÔ Û ÓÂ... 8 1.4. ÕÏÁ ÚÂ Î È Û- ÏÁ ÚÂ Û ÓfiψÓ...12 1.5. AÓÔÈÎÙ Û ÓÔÏ - Û ÓÔÏ ÙÔ Borel ÛÙÔ ó...14 1.6. Ú ÁÌ ÙÈÎÔ Î È ÂappleÂÎÙ Ì ÓÔÈ appleú ÁÌ ÙÈÎÔ ÚÈıÌÔ...16 1.7. AÎÔÏÔ ı  appleú ÁÌ ÙÈÎÒÓ ÚÈıÌÒÓ...19 1.8. AÎÔÏÔ ı Â Û ÓfiÏˆÓ - ÎÈ ˆÙÈÛÌÔ...20 1.9. Ú ÁÌ ÙÈÎ Î È ÂappleÂÎÙÂÙ Ì Ó appleú ÁÌ ÙÈÎ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ...21 Aσκήσεις...21 2. Tο μέτρο του Leesgue 2.1. TÔ Ì ÎÔ È ÛÙ Ì ÙÔ...23 2.2. H ÓÓÔÈ ÙÔ Ì ÙÚÔ...27 2.3. TÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi Ì ÙÚÔ ÙÔ Leesgue...29 2.4. MÂÙÚËÙ Û ÓÔÏ - ÙÔ Ì ÙÚÔ ÙÔ Leesgue...32 2.5. ÓÔÏ ÌË ÂÓÈÎÔ Ì ÙÚÔ...39 2.6. KÚÈÙ ÚÈ ÌÂÙÚËÛÈÌfiÙËÙ - appleúôû ÁÁÈÛË...40 2.7. EÛˆÙÂÚÈÎfi Ì ÙÚÔ - ÌÈ ÏÏË Ì ıô Ô Ó appleù ÍË...45 2.8. MË ÌÂÙÚËÙ Û ÓÔÏ...47 2.9. K Ï Ë Û ÓfiÏˆÓ Î Ù Vitali...49 2.10. ŒÎÙ ÛË Û ÓfiÏÔ - Ó appleâappleâú ÛÌ Ó appleúôûıâùèîfi Ì ÙÚÔ...52 2.11. M ÙÚÔ Î È ÎÙ ÛË ÛÙÔÓ ó 2...54 Aσκήσεις...56 3. Πράγωγοι 3.1. OÚÈ ÎÔ ÚÈıÌÔ Û Ó ÚÙËÛË...59 3.2. Ú ÁˆÁÔÈ ÚÈıÌÔ ÙÔ Dini...62 3.3. I ÈfiÙËÙÂ ÙˆÓ apple Ú ÁÒÁˆÓ...64 3.4. Ú ÁˆÁÔÈ ÙˆÓ Û Ó ÒÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...65 3.5. Ó ÚÙ ÛÂÈ Lipschitz...70 Aσκήσεις...70

vi 4. Mον τονες συνρτήσεις κι συνρτήσεις περτωμένης μετβολής 4.1. MÔÓfiÙÔÓÂ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ...72 4.2. Ó ÂÈ ÙˆÓ ÌÔÓÔÙfiÓˆÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...73 4.3. KÚÈÙ ÚÈ ÌÔÓÔÙÔÓ...75 4.4. AapplefiÏ Ù Û ÓÂ Â Û Ó ÚÙ ÛÂÈ...79 4.5. Ú ÁÒÁÈÛË ÙˆÓ ÌÔÓÔÙfiÓˆÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...84 4.6. Ó ÚÙ ÛÂÈ appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ ÔÏ...88 4.7. ÛË ÌÔÓÔÙfiÓˆÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ Î È Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ Ô- Ï...92 4.8. Ó ÂÈ ÙˆÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ ÔÏ...93 4.9. Ú ÁÒÁÈÛË ÙˆÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ ÔÏ...99 Aσκήσεις...100 5. Kυρτές κι κοίλες συνρτήσεις 5.1. K ÚÙ Û ÓÔÏ - Î ÚÙ Î È ÎÔ ÏÂ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ...102 5.2. I ÈfiÙËÙÂ ÙˆÓ Î ÚÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...104 5.3. Ó ÂÈ Î È apple Ú ÁÒÁÈÛË ÙˆÓ Î ÚÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...107 5.4. KÚÈÙ ÚÈ Î ÚÙfiÙËÙ...112 Aσκήσεις...115 6. Tο ολοκλήρωμ του Riemann 6.1. AÓÒÙÂÚÔ Î È Î ÙÒÙÂÚÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann...117 6.2. KÚÈÙ ÚÈ ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ...120 6.3. B ÛÈÎ È ÈfiÙËÙ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann...126 6.4. To fiúèûùô ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ...131 6.5. OÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙˆÓ apple Ú ÁÒÁˆÓ - ÛÈÎfi ıâòúëì ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÔ ÏÔ- ÁÈÛÌÔ...133 6.6.  ÙÂÚÔ ıâòúëì Ì ÛË ÙÈÌ...135 6.7. TÚfiappleÔÈ appleôïôáèûìô ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ...136 6.8. ŒÎÙ ÛË Î È ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann...142 6.9. MË ÁÓ ÛÈ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù...145 6.10. EÓ ÏÏ ÎÙÈÎÔ ÔÚÈÛÌÔ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann...153 Aσκήσεις...157 7. Aκολουθίες κι σειρές συνρτήσεων 7.1. AÎÔÏÔ ı Â Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ - ÛÈÎÔ ÔÚÈÛÌÔ...159 7.2. ËÌÂÈ Î Û ÁÎÏÈÛË...161 7.3. OÌÔÈfiÌÔÚÊË Û ÁÎÏÈÛË...163 7.4. Ú ÁÒÁÈÛË Î È ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙˆÓ ÎÔÏÔ ıèòó Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...171 7.5. ÂÈÚ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...176

vii 7.6. KÚÈÙ ÚÈ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û ÁÎÏÈÛË...179 7.7. OÌÔÈfiÌÔÚÊË appleúôû ÁÁÈÛË ÙˆÓ Û Ó ÒÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...184 7.8. IÛÔÛ Ó ÂÈ...189 Aσκήσεις...193 8. Mετρητές συνρτήσεις 8.1. H ÓÓÔÈ ÙË ÌÂÙÚËÙ Û Ó ÚÙËÛË...195 8.2. I ÈfiÙËÙÂ ÙˆÓ ÌÂÙÚËÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...198 8.3. AÎÔÏÔ ı  ÌÂÙÚËÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛÂˆÓ - appleï Û Ó ÚÙ ÛÂÈ...208 8.4.  fió ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û ÁÎÏÈÛË - Û ÁÎÏÈÛË Î Ù Ì ÙÚÔ...218 8.5. ÓÙÂÙ ÁÌ Ó Û ÓÔÏ ÌÂÙÚËÙÒÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...224 Aσκήσεις...226 9. Tο ολοκλήρωμ του Leesgue 9.1. TÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÊÚ ÁÌ ÓË Û Ó ÚÙËÛË ÛÂ Û ÓÔÏÔ appleâappleâú ÛÌ ÓÔ Ì - ÙÚÔ...228 9.2. I ÈfiÙËÙ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ...234 9.3. OÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÙˆÓ ÎÔÏÔ ıèòó Î È ÛÂÈÚÒÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...246 9.4. TÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙˆÓ ÌË ÚÓËÙÈÎÒÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...248 9.5. TÔ ÁÂÓÈÎfi ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Leesgue...257 9.6. I ÈfiÙËÙÂ ÙˆÓ ıúôèû ÌˆÓ Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...258 9.7. M ÙÚÔ Î È ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ...266 9.8. ÁÎÚÈÛË ÔÏÔÎÏËÚˆÌ ÙˆÓ Riemann Î È Leesgue...269 9.9. Ú ÁÒÁÈÛË Î È ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË...274 9.10. OÈ ÒÚÔÈ L Î È L P Û ÁÎÏÈÛË Î Ù norm...288 Aσκήσεις...292 10. Tο ολοκλήρωμ του Stieltjes 10.1. EÈÛ ÁˆÁ...297 10.2. TÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes...298 10.3. H Û ÁÎÏÈÛË Î Ù Cauchy...301 10.4. OÚÈÛÌ ÓÂ Û Óı Πappleô Û ÓÂapple ÁÔÓÙ È ÙËÓ apple ÚÍË ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ - ÙÔ ÙÔ Stieltjes...303 10.5. I ÈfiÙËÙ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Stieltjes...308 10.6. OÏÔÎÏ ÚˆÛË Î Ù apple Ú ÁÔÓÙÂ...312 10.7. AÏÏ Á ÌÂÙ ÏËÙ...313 10.8. Ô ıâˆú Ì Ù apple ÚÍË...317 10.9. ŒÓ ıâòúëì ÁÈ ÌË ÊÚ ÁÌ Ó ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Â Û Ó ÚÙ ÛÂÈ...324 10.10. TÔ ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes...326 10.11. O ÚfiÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ ˆÓ Û Ó ÂÈ ÛÙÔ ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes...331 10.12. OÏÔÎÏ ÚˆÛË ˆ appleúô ÎÏÈÌ ÎˆÙ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ...334 10.13. TÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Riemann - Stieltjes...339

viii 10.14. ÁÎÚÈÛË ÙˆÓ ÔÚÈÛÌÒÓ...341 10.15. TÔ fiúèûùô ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ B ÛÈÎ ıâˆú Ì Ù ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚˆÙÈÎÔ ÏÔ- ÁÈÛÌÔ...343 10.16. OÏÔÎÏ ÚˆÛË ÙˆÓ ÎÔÏÔ ıèòó Û Ó ÚÙ ÛˆÓ...352 Aσκήσεις...356 Πράρτημ (Ï Ì Ó ÛÎ ÛÂÈ )...361 BÈ ÏÈÔÁÚ Ê...447 OÈ Î ÚÈÒÙÂÚÔÈ Û Ì ÔÏÈÛÌÔ...449 E ÚÂÙ ÚÈÔ fiúˆó...451

297 Tο ολοκλήρωμ του Stieltjes 10 10.1. Eισγωγή ÙÔ KÂÊ Ï ÈÔ 6 ÔÚ Û ÌÂ Î È ÌÂÏÂÙ Û Ì ÈÂÍÔ ÈÎ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann. OÈ È ÊÔÚÔÈ ÔÚÈÛÌÔ Û ÛÙËÎ Ó Û appleâappleâú ÛÌ Ó ıúô ÛÌ Ù ÙË ÌÔÚÊ Â n m i l(i i ),  n M i l(i i ) i=1 i=1 appleô Â Ó È ÁÓˆÛÙ ˆ ıúô ÛÌ Ù ÙÔ Daroux. OÈ ÚÈıÌÔ l(i i ) appleô ÂÌÊ - Ó ÔÓÙ È ˆ apple Ú ÁÔÓÙÂ ÙˆÓ fiúˆó ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ ÙÒÓ, Â Ó È Ù Ì ÎË ÙˆÓ È ÛÙËÌ ÙˆÓ I i Î È ÌappleÔÚÔ Ó Ó ÛËÌÂȈıÔ Ó Âapple ÛË Ì ÙÔ Û Ì ÔÏÈÛÌfi Δx i = x i x i 1. AÓ ÛÙ apple Ú apple Óˆ ıúô ÛÌ Ù ÂÈÛ Á ÁÔ Ì ÙÔ ÚÈıÌÔ Δg i = g(x i ) g(x i 1 ) ÛÙË ı ÛË ÙˆÓ l(i i ) = Δx i = x i x i 1, fiappleô g Ì appleâúèûûfi- ÙÂÚÔ ÏÈÁfiÙÂÚÔ ı ÚÂÙË Û Ó ÚÙËÛË, apple ÚÓÔ Ì ÌÈ ÁÂÓ Î ÛË ÙË Î Ù - ÛΠÙÔ Riemann Ë ÔappleÔ Ó ÁÂÙ È ÛÙËÓ Î Ù ÛΠÙÔ ÁÓˆÛÙÔ ÔÏÔ- ÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann ÛÙËÓ ÂÈ ÈÎ appleâú appleùˆûë appleô Ô Ì ÙË Û Ó ÚÙËÛË g(x)=x. XÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ Ù Ù ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ ıúô ÛÌ Ù ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó Ò- ÛÔ Ì ÔÚÈÛÌÔ Ó ÏÔÁÔ Ì ÂΠÓÔ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann, ÔÈ ÔappleÔ ÔÈ Ô ËÁÔ Ó Û ÁÂÓÈΠÛÂÈ ÁÓˆÛÙ ˆ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù ÙÔ Stieltjes (1). Ù ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù ÙÔ Stieltjes ÌÈ Û Ó ÚÙËÛË f appleô ÔÓÔÌ ÂÙ È ολοκληρωτέ συνάρτηση, ÔÏÔÎÏËÚÒÓÂÙ È ˆ appleúô ÌÈ ÏÏË Û Ó ÚÙËÛË g appleô ÔÓÔÌ ÂÙ È ολοκληρωτής. OÈ ÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ ÌÂÓÔÈ Û Ì ÔÏÈÛÌÔ Ú fdg (1) O Thomas Joannes Stieltjes (1856-1894) Ù Ó OÏÏ Ó fi Ì ıëì ÙÈÎfi Î È ÛÙÚÔÓfi- ÌÔ. appleô Û ÛÙÔ Ú ÛÈ ÎÔÓÙ ÛÙÔÓ Hermite Î È ÁÈÓ Πıëáëù ÛÙËÓ TÔ ÏÔ Ë. OÈ Î ÚÈfiÙÂÚ ÂÚÁ Û Â ÙÔ Ù Ó, Ó applefiìóëì ÛÙ Û Ó ÎÏ ÛÌ Ù, ÙÔ appleúfi ÏËÌ ÙˆÓ ÚÔappleÒÓ Î È ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes appleô ËÌÔÛÈ ıëîâ ÙÔÓ ÙÂÏÂ Ù Ô ÚfiÓÔ ÙË Û ÓÙÔÌË ˆ ÙÔ.

298 Î È Ú f(x) dg(x) ÁÈ Ù ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù Ù, ÙÔÓ Ô Ó Ùfi ÎÚÈ Ò ÙÔ appleú ÁÌ. ÙÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ 6  Ì fiùè ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann ÌappleÔÚÂ Ó ÔÚÈ- ÛÙ Ì ÙÚÂÈ È ÊÔÚÂÙÈÎÔ ÙÚfiappleÔ appleô ÂÎÊÚ ÔÓÙ È Ì ÙÔ ÔÚÈÛÌÔ (A), (B) Î È (C). E Ó È fiìˆ ÍÈÔÛËÌ ˆÙÔ Î È appleúfiûìâóô ÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè ÂÓÒ ÔÈ ÔÚÈÛÌÔ Â Ó È ÈÛÔ Ó ÌÔÈ ÁÈ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann, ÛÙË ÁÂ- Ó Î ÛË Ô ËÁÔ Ó Û ÙÚ È ÊÔÚÂÙÈÎ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù Ù appleô Stieltjes Ù ÔappleÔ ÂÓ apple ÈÙÔ Ó ÙÔ ÈÔ appleâúèôúèûìô ÁÈ ÙÈ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f Î È g. Ÿappleˆ ı Ê Ó appleèô Î Ùˆ, ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ appleô appleúôî appleùâè applefi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (C) Â Ó È ÙÔ appleèô ÁÂÓÈÎfi applefi Ù ÙÚ. AÓÙ ıâù apple fiùè ÁÈÓ ÛÙÔ ÎÂÊ Ï ÈÔ 6, Â Ò ı Ú ÛÔ Ì ÙË ÌÂÏ ÙË Ì Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B) appleô Û ÂÙ È ÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ Î È ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ. 10.2. Tο ολοκλήρωμ του Stieltjes 10.2.1. ˆÚÔ ÌÂ Ô Ù Â Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f Î È g ÔÚÈÛÌ Ó ÛÙÔ È - ÛÙËÌ [, ] Î È Ì È ÚÂÛË D : = x 0 < x 1 < < x n = ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [, ]. ËÌÂÈÒÓÔ Ì Ì [x i 1, x i ] i=1, 2,, n Ù È ÛÙ - Ì Ù ÙË È ÚÂÛË D Î È ÁÈ Î ıâ i=1, 2,, n ÂÎÏ ÁÔ ÌÂ Ó Ù fió ÛË- ÌÂ Ô ξ i Œ[x i 1, x i ]. TÔ Û ÓÔÏÔ P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } ÔÓÔÌ ÂÙ È ενδιάμεση διίρεση ÙË D. TÔ ıúôèûì (10.2.1 ) S(f, g, D, P) =  n f(ξ i )Δg i fiappleô Δg i = g(x i ) g(x i 1 ) ÔÓÔÌ ÂÙ È άθροισμ Stieltjes ( Û ÓÙÔÌ S- ıúôèûì ) ÙË f ˆ appleúô ÙË g appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Â ÛÙË È ÚÂÛË D Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P. H ÔÌÔÈfiÙËÙ ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ (10.2.1 ) Ì ٠ıúô ÛÌ Ù Riemann appleô Û Ó ÓÙ Û Ì ÛÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B) ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Riemann (KÂÊÏ. 6 6.10) Î È ÙÔ ıâòúëì 6.2.2. Â Ó È Ê ÓÂÚ. TÔ ÌfiÓÔ ÂappleÈappleÏ ÔÓ ÛÙÔÈ- Â Ô Â Ó È Ë apple ÚÔ Û ÙË Â ÙÂÚË Û Ó ÚÙËÛË g. ÒÛÔ Ì ÙÒÚ ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Stieltjes ÙÔÓ ÔappleÔ Ô ı ÔÓÔÌ ÛÔ Ì ÔÚÈÛÌfi (B) ÁÈ Ó ı ÌfiÌ ÛÙ ÙËÓ ÔÌÔÈfiÙËÙ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B) ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ - ÙÔ ÙÔ Riemann. Oρισμ ς (B). Ì fiùè Ô ÚÈıÌfi I B Â Ó È ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes ÙË Û Ó ÚÙËÛË f ˆ appleúô ÙË Û Ó ÚÙËÛË g ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Î È Ë f ı i=1

299 Ï ÁÂÙ È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ] ÎÚÈ Ò ÙfiÙ fiù Ó ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ó ÈÛ ÂÈ S(f, g, D, P) I B < ε. TÔÓ ÚÈıÌfi I B ı ÙÔÓ ÛËÌÂÈÒÓÔ Ì Ì ÙÔ Û Ì ÔÏÔ fdg. TÔ ÁÚ ÌÌ S ÛÙÔ Û Ì ÔÏÔ ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ Ìapple ÓÂÈ ÁÈ Ó È ÎÚ - ÓÔ Ì ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Ùfi applefi ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann Î ıò Î È applefi ÙÈ ÏÏÂ Ô ÌÔÚÊ ÔÏÔÎÏËÚˆÌ ÙˆÓ appleô ı ÔÚÈÛÙÔ Ó appleèô Î Ùˆ Ì ÙÔ ÔÚÈÛÌÔ (A) Î È (C). Ÿappleˆ Î È ÛÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann ÙÛÈ Î È Â Ò ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ıâˆ- Ú ÛÔ Ì ÙÔÓ ÚÈıÌfi I B ˆ ÙÔ fiúèô ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ 10.2.1 Î È Ó ÁÚ - Ô Ì (10.2.1 ) fdg = lim S(f, g, D, P). λ(d)æ0 Ú appleâè Ó ÙÔÓ ÛÔ ÌÂ Â Ò fiùè apple Ú ÂÈ Î appleôè È ÊÔÚ ÌÂÙ Í ÙÔ ÔÚ Ô Û Ó ÚÙËÛË Î È ÙÔ ÔÚ Ô ÙË ÈÛfiÙËÙ (10.2.1 ). H È ÊÔÚ Ù ÔÊ ÏÂÙ È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi fiùè Ù ıúô ÛÌ Ù 10.2.1 ÂÓ ÂÍ ÚÙÒÓÙ È ÌfiÓÔ applefi ÙË È - ÚÂÛË D ÏÏ Î È applefi ÙËÓ ı ÚÂÙË ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P. Ú ÊÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ˆ fiúèô ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ, ÁÈ Ù ÙÔ fiúèô Ùfi Û ÌappleÂÚÈÊ ÚÂÙ È fiappleˆ ÙÔ fiúèô Û Ó ÚÙËÛË Î È Ì ÓÂÈ Ù ÂappleÈı - ÌËÙ appleôùâï ÛÌ Ù, ÂÓ ÁÓÒÛÂÈ Ì fiùè ÂÓ Ù Ù ÂÙ È applefiï Ù Ì ÙÔ fiúèô Û Ó ÚÙËÛË. OappleÔÙ appleôùâ ÚÂÈ fiì ÛÙ ÙËÓ ÎÚÈ ÛËÌ Û ÙÔ ÔÚ Ô ÙË Û ÛË (10.2.1 ) appleú appleâè Ó Ó ÙÚ Ô Ì ÛÙÔ appleâúèâ fiìâóô ÙÔ ÔÚÈÛÌÔ (B). T ÏÔ ÔÚ Ô Ì fdg = fdg Î È fdg = 0 fiù Ó <. 10.2.2.  ÍÔ Ì ÙÔ ÎfiÏÔ ıô ıâòúëì : Θεώρημ. H συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ] κριβώς τ τε τν υπάρχει ένς ριθμ ς IŒó τέτοιος ώστε γι κάθε κολουθί διιρέσεων {D n } του διστήμτος [, ] με limλ(d n ) = 0 ν είνι næ lims(f, g, D n, P n ) = I næ οποιδήποτε κι ν είνι η ενδιάμεση διίρεση P n της D n.

300 Aπ δειξη. ŒÛÙˆ fiùè Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. TfiÙ apple Ú ÂÈ IŒó ÒÛÙÂ, ÁÈ Î ıâ ε>0 Ó apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ fiù Ó λ(d)<δ Î È ÁÈ ÔappleÔÈ appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ó Â Ó È (1) S(f, g, D, P) I < ε. AÓ {D n } ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ ÙÔ [, ] Ì lim λ(d n ) = 0 Î È P n næ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D n, ÙfiÙ apple Ú ÂÈ n 0 Œƒ ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ n n 0 Ó Â Ó È λ(d n ) < δ Î È ÚË ÛÙËÓ (1) Â Ó È S(f, g, D n, P n ) I < ε. ÓÂappleÒ lim næ S(f, g, D n, P n ) = I. AÓÙ ÛÙÚÔÊ, appleôı ÛÔ Ì fiùè ÈÛ ÂÈ ÙÔ Û Ìapple Ú ÛÌ ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ ÏÏ fiùè Ë f ÂÓ Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. TfiÙ apple Ú ÂÈ ε 0 >0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ δ>0 Ó apple Ú ÂÈ È ÚÂÛË D δ ÙÔ [, ] με λ(d δ )<δ Î È ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P δ ÙË D δ ÒÛÙÂ Ó Â Ó È (2) S(f, g, D δ, P δ ) I ε 0. AÓ ı ÛÔ Ì δ = 1, nœƒ ÙfiÙ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÂÎÏ ÍÔ Ì ÎÔÏÔ ı È Èn Ú ÛÂˆÓ {D n } Ì λ(d n ) < 1 n Î È ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P n ÙË D n ÒÛÙÂ, ÚË ÛÙË (2), Ó Â Ó È S(f, g, D n, P n ) I ε 0, " nœƒ. A Ùfi fiìˆ Ú ÂÙ È Û ÓÙ Ê ÛË Ì ÙËÓ applefiıâûë fiùè ÙÔ Û Ìapple Ú ÛÌ ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ ÈÛ ÂÈ Î È ÙÔ ıâòúëì ÂÈ appleô ÂÈ ıâ. 10.2.3. ÒÛÔ Ì ÙÒÚ Ô appleï apple Ú Â ÁÌ Ù appleôïôáèûìô ÔÏÔ- ÎÏËÚˆÌ ÙˆÓ ÙÔ Stieltjes appleô Â Ó È Ú ÛÈÌ ÁÈ Ù ÂapplefiÌÂÓ. Πράδειγμ 1. A ıâˆú ÛÔ Ì ÌÈ ÔappleÔÈ appleôùâ Û Ó ÚÙËÛË f Î È ÌÈ ÛÙ ıâú Û Ó ÚÙËÛË g=k. OÚÈÛÌ Ó ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ]. È Ù È - ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ô ÌÂ, S(f, g, D, P) =  n i=1 f(ξ i )Δg i =  n i=1 f(ξ i ) [g(x i ) g(x i 1 )] = 0. ÕÚ appleúôî appleùâè fiùè Î ıâ Û Ó ÚÙËÛË f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô Ó ÛÙ ıâúfi ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Î È Â Ó È

301 fdk = 0. Πράδειγμ 2. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ ÌÈ ÛÙ ıâú Û Ó ÚÙËÛË f=k ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Î È ÌÈ Ù Û Ó ÚÙËÛË g ÛÙÔ ÈÔ È ÛÙËÌ. È Ù È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ô Ì S(f, g, D, P) =  n f(ξ i ) [g(x i ) g(x i 1 )] = k  n [g(x i ) g(x i 1 )] = i=1 = k[g() g()]. ÕÚ fiïâ ÔÈ ÛÙ ıâú Û Ó ÚÙ ÛÂÈ ÛÙÔ [, ] Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌ Π٠Stieltjes ˆ appleúô Ù Ô ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Î È ÈÛ ÂÈ kdg = k[g() g()]. EÈ ÈÎ ÁÈ k=1 Ô Ì i=1 dg = g() g(). Aapplefi ÙÈ Ô ÙÂÏÂ Ù Â Û ÛÂÈ appleúôî appleâè Ë È ÈfiÙËÙ kdg = k dg ÁÈ ÔappleÔÈÔ appleôùâ kœó Î È ÔappleÔÈ appleôùâ Û Ó ÚÙËÛË g ÔÚÈÛÌ ÓË ÛÙÔ [, ]. 10.3. H σ γκλιση κτά Cauchy Oρισμ ς. A appleôı ÛÔ Ì fiùè ÓÔÓÙ È Ô Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f, g ÔÚÈÛÌ Ó ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Î È ıâˆú ÛÔ Ì ÙÔ Û ÓÔÏÔ fiïˆó ÙˆÓ S- ıúôèûì - ÙˆÓ ( Ï. 10.2.1 ). Ï Ì fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S- ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy ÎÚÈ Ò ÙfiÙ fiù Ó ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 Ù ÙÔÈÔ ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ  ÁÔ È ÈÚ ÛÂˆÓ D 1, D 2 ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [, ] Ì λ(d 1 )<δ Î È λ(d 2 )<δ Î È ÁÈ ÔappleÔÈÂÛ appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P 1, P 2 ÙˆÓ D 1 Î È D 2 ÓÙ ÛÙÔÈ, Ó ÈÛ ÂÈ S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D 2, P 2 ) < ε. 10.3.1.  ÍÔ Ì ÙÔ ÎfiÏÔ ıô ıâòúëì : Θεώρημ. Mι συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς μι συνάρτηση g στο διάστημ [, ] κριβώς τ τε τν το σ νολο των θροισμάτων S(f, g, D, P) συγκλίνει κτά Cauchy.

302 Aπ δειξη. ŒÛÙˆ fiùè Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ]. TfiÙÂ, Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B), ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È Ù - ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ó Ô ÌÂ, (1) ÔS(f, g, D, P) Ô Ô ε fdg < Ô 2. AÓ ÙÒÚ D 1, D 2 Â Ó È Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ Ì λ(d 1 )<δ Î È λ(d 2 )<δ Î È P 1, P 2 Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙˆÓ D 1 Î È D 2 ÓÙ ÛÙÔÈ, ÙfiÙ ÚË ÛÙËÓ (1) Ô Ì (2) ÔS(f, g, D 1,P 1 ) Ô Ô ε fdg < Ô 2 Î È ÔS(f, g, D 2,P 2 ) Ô Ô ε fdg < Ô 2. ÓÂappleÒ Û Ó ÔÓÙ ÙÈ (2) Ô Ì S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D 2, P 2 ) < ε appleô ÛËÌ ÓÂÈ fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S - ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy. AÓÙ ÛÙÚÔÊ, appleôı ÛÔ Ì fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S - ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ - ÓÂÈ Î Ù Cauchy. ËÏ ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ ÁÈ Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ D 1, D 2 Ì λ(d 1 )<δ, λ(d 2 )<δ Î È Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ - ÛÂÈ P 1, P 2 ÙˆÓ D 1, D 2 ÓÙ ÛÙÔÈ, Ó Â Ó È (3) S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D 2, P 2 ) < ε 2. ˆÚÔ Ì ÙÒÚ ÙËÓ ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ D n = {x 0, x 1,, x n } fiappleô x i = + i( ) Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË ÎÔÏÔ ı P n = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } fiappleô n ξ i =x i, i=1, 2,, n. H ÎÔÏÔ ı appleú ÁÌ ÙÈÎÒÓ ÚÈıÌÒÓ {S(f, g, D n, P n )} n=1 ˆ appleôû ÓÔÏÔ ÙÔ Û ÓfiÏÔ ÙˆÓ S - ıúôèûì ÙˆÓ appleô Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy, Â Ó È ÌÈ ÎÔÏÔ ı ÙÔ Cauchy Î È ÂappleÔÌ Óˆ ( ÚË ÛÙËÓ appleïëúfiùëù ÙÔ ó) Û Á- ÎÏ ÓÂÈ Û Ó appleú ÁÌ ÙÈÎfi ÚÈıÌfi L. ÕÚ ÁÈ Î ıâ ε>0 apple Ú ÂÈ n 0 Œƒ ÒÛÙÂ Ó Â Ó È (4) S(f, g, D n, P n ) L < ε 2 ÁÈ Î ıâ n n 0. A apple ÚÔ Ì ÙÒÚ δ = min Ï Ì Ó δ, 1 n 0, n 0 Î È ıâˆú - ÛÔ Ì n > 1 δ. TfiÙÂ Â Ó È n>n 0 Î È Û ÓÂappleÒ ÁÈ Ù D n, P n ÈÛ ÂÈ Ë (4).

303 EappleÈappleÏ ÔÓ λ(d n ) = 1 n < δ. AÓ ÙÒÚ D Ù È ÚÂÛË ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È P Ù ÂÓ- È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D, ÙfiÙ ÁÈ ÙÈ D, D n Î È ÙÈ P, P n ÈÛ ÂÈ (ÂappleÂÈ δ <δ) Ë (3). ËÏ (5) S(f, g, D, P) S(f, g, D n, P n ) < ε 2. AÓ Û Ó ÛÔ Ì ÙËÓ (5) Ì ÙËÓ (4) apple ÚÓÔ Ì S(f, g, D, P) L < ε ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D. ÕÚ Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi (B) Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. 10.4. Oρισμένες συνθήκες που συνεπάγοντι την πρξη του ολοκληρώμτος του Stieltjes ÙËÓ apple Ú ÁÚ ÊÔ Ù ı ÒÛÔ ÌÂ Ô ıâˆú Ì Ù, fiappleô Î appleôèâ appleï Û Óı ΠÛÙËÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Û Ó ÚÙËÛË Î È ÙÔÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Û ÓÂapple ÁÔÓÙ È ÙËÓ apple ÚÍË ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚÒÌ ÙÔ ÙÔ Stieltjes. 10.4.1. Θεώρημ. Aν f είνι συνεχής συνάρτηση κι g ξουσ συνάρτηση στο [, ], τ τε η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ]. Aπ δειξη. EappleÂÈ Ë f Â Ó È Û Ó ÛÙÔ Û Ìapple Á È ÛÙËÌ [, ]  - Ó È ÔÌÔÈfiÌÔÚÊ Û ÓÂ Û Ùfi. ŒÙÛÈ Ôı ÓÙÔ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ  ÁÔ ÛËÌ ˆÓ ξ, ξ Œ[, ] ÁÈ Ù ÔappleÔ Â Ó È ξ ξ < δ Ó ÈÛ ÂÈ f(ξ ) f(ξ ) < ε. A Â Ó È ÙÒÚ D, D ÔÈ apple Ú Î Ùˆ Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ ÙÔ [, ] D : = x 0 < x 1 < < x n = D : = x 0 < x 1 < < x m = Ì ÏÂappleÙfiÙËÙ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙÔ δ, Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } P = {ξ 1, ξ 2,, ξ m} Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙˆÓ D Î È D ÓÙ ÛÙÔÈ. ˆÚÔ Ì ÙË

304 È ÚÂÛË D : = y 0 < y 1 < < y ν = fiappleô D = D»D Î È P = {t 1, t 2,, t ν } Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D. T ıúô ÛÌ Ù Stieltjes ÙˆÓ D Î È D S(f, g, D, P ) =  n f(ξ i ) (g(x i ) g(x i 1 )), i=1 Î È S(f, g, D, P ) =  m k=1 f(ξ k)(g(x k) g(x k 1)) ÌappleÔÚÔ Ó, ÌÂ È Ô ÈÎ appleúôûı Ê ÈÚ ÛÂÈ Ì Û ÛÙÈ apple ÚÂÓı ÛÂÈ ÙÔ Ì - ÏÔ, Ó ÌÂÙ Û ËÌ ÙÈÛÙÔ Ó ÒÛÙÂ Ó appleâúè Ô Ó fiï Ù ÛËÌ ÙË È ÚÂÛË D. ŒÙÛÈ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ÁÚ Ô Ì S(f, g, D, P ) =  ν f(ξ 1 j ) (g(y j) g(y j 1 )) (1) j=1 S(f, g, D, P ) =  ν j=1 f(ξ 2 j ) (g(y j) g(y j 1 )) fiappleô ÙÔ ξ 1 j Â Ó È Ó applefi Ù ξ i Î È ÙÔ ξ 2 j είνι έν π τ ξ k, j=1, 2,, ν Î È fiappleô Á ÓÔÓÙ È ÔÈ apple ÈÙÔ ÌÂÓ Âapple Ó Ï ÂÈ. TÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Ô S - ıúôèûì ÁÈ ÙËÓ D Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P Â Ó È (2) S(f, g, D, P ) =  ν f(t j ) (g(y j ) g(y j 1 )). Aapplefi ÙÈ (1) Î È (2) Ô Ì ÚË ÛÙËÓ ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Û Ó ÂÈ, (3) S(f, g, D, P) S(f, g, D, P )  ν f(ξ 1 j ) f(t j) (g(y j ) g(y j 1 )) < j=1 Î È < ε[g() g()] (4) S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P )  ν f(ξ 2 j) f(t j ) (g(y j ) g(y j 1 )) < j=1 j=1 Ó ÔÓÙ ÙÈ (3) Î È (4) apple ÚÓÔ Ì < ε [g() g()].

305 S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P ) < 2ε[g() g()] ËÏ ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S - ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy. ÕÚ Û Ì ÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì ÙË 10.3.1 ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ. Πράδειγμ 1. EappleÂÈ Ë Û Ó ÚÙËÛË f(x)=x Â Ó È Û ÓÂ Î È Ë g(x)=x 2 1 Â Ó È ÍÔ Û ÛÙÔ È ÛÙËÌ [0, 1], ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ xdx 2 apple Ú ÂÈ Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔ appleúôëáô ÌÂÓÔ ıâòúëì. È ÙÔÓ appleôïôáèûìfi ÙÔ ıâ- ˆÚÔ Ì ÙËÓ ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ {D n } fiappleô, D n : 0 < 1 n < 2 n < < n 1 n < 1 ÙË ÔappleÔ Ù È ÛÙ Ì Ù Â Ó È È ν 1 Î n, ν, ν=1, 2,, n, Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË n Ï ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ {P n } fiappleô P n = ν Ì Ó n : ν=1, 2,, n. ËÏ Ë P n appleôùâïâ Ù È applefi Ù ÂÍÈ ÎÚ ÙˆÓ È ÛÙËÌ ÙˆÓ ÙË D n. Œ Ô ÌÂ, S(x, x 2, D n, P n ) =  n ν=1 ν në Ê n 2 (ν 1)2 n 2 = ˆ 1 n 3 Ân ν 2 ν=1 (2ν 2 ν) = 1 n 3 Î ÍÈ 2  n ν 2  n ν = 1 n 3 Î È 2n(n+1) (2n+1) n(n+1) 6 2 = ν=1 ν=1 0 ÓÂappleÒ 0 = (n+1) (4n 1) 6n 2. 1 xdx 2 = lim næ (n+1) (4n 1) 6n 2 = 2 3. E Ó È ÁÓˆÛÙfi fiùè ÌÈ Û ÓÂ Û Ó ÚÙËÛË ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Riemann ÛÙÔ [, ]. EappleÂÈ Ó ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Riemann ÌappleÔÚÂ Ó ıâˆúëıâ ˆ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Stieltjes ˆ appleúô ÙË Û Ó Ú- ÙËÛË g(x)=x, ÌappleÔÚ ΠÓÂ Ó ÈÂÚˆÙËıÂ Ó ÌÈ Û ÓÂ Û Ó ÚÙËÛË ÂÈ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÔappleÔÈÔ appleôùâ Û Ó ÔÏÔÎÏËÚˆÙ. E Ó È Ûˆ ÂÎappleÏËÎÙÈÎfi fiùè Ùfi ÂÓ ÈÛ ÂÈ fiappleˆ Ì Â ÓÂÈ ÙÔ ÂapplefiÌÂÓÔ apple Ú ÂÈ- ÁÌ. Πράδειγμ 2. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÈ Û ÓÂ Â Û Ó ÚÙ ÛÂÈ appleô ÔÚ ÔÓÙ È ÛÙÔ È ÛÙËÌ [0, 1] Ì ÙË Û ÛË

306 f(x) = g(x) = `x ημ 1 x fiù Ó xπ0 Î È f(0)=g(0)=0. A ıâˆú ÛÔ ÌÂ, ÁÈ Î ıâ nœƒ, ÙË È ÚÂÛË D 1 Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË È - ÚÂÛË P 1, fiappleô D 1 = 0, 1 2nπ, 1 n, 2 n,, 1 Î È P Ï 1 = 1 Ì Ó 2nπ, 1 n, 2 n,, 1. Ï Ì Ó H ÏÂappleÙfiÙËÙ ÙË D 1 Â Ó È λ(d 1 ) = 1 Î È ÂappleÂÈ g(0) = g(1/2nπ) = 0 n ÙÔ ÓÙ ÛÙÔÈ Ô S - ıúôèûì Â Ó È S(f, g, D 1, P 1 ) =  n f Ê ν ˆ Ë n Î È g Ê ν ˆ Ë n g Ë Ê ν 1. n ˆ ν=1 ˆÚÔ Ì ÙÒÚ, apple ÏÈ ÁÈ Î ıâ nœƒ, ÌÈ Â ÙÂÚË È ÚÂÛË D 2 Î È ÌÈ ÓÙ ÛÙÔÈ Ë ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P 2 fiappleô Ë D 2 appleúôî appleùâè applefi ÙËÓ D 1 Ì appleâú ÈÙ Úˆ È ÚÂÛË ÙÔ appleúòùô È ÛÙ Ì Ùfi ÙË. D 2 = P 2 = Ï Ì Ó Ï Ì Ó 0, 2 (8n+1)π, 2 8nπ, 2 (8n 1)π,, 2 (4n+1)π, 2 4nπ, 1 n, 2 n,, 1 2 (8n+1)π, 2 8nπ, 2 (8n 1)π,, 2 (4n+1)π, 2 4nπ, 1 n, 2 n, 1. EappleÂÈ g(0) = g Ê 2 ˆ Ë 4nπ = g Ë Ê 2 (8n+2)π ˆ = 0, ÁÈ Î ıâ nœƒ ÈÛ ÂÈ: S(f, g, D 2, P 2 ) S(f, g, D 1, P 1 ) = 4n+1 =  f Ê 2 ˆ Ë (4n+ν)π Î È g Ê 2 ˆ g Ê 2 ˆ Ë (4n+ν)π Ë (4n+ν+1)π ν=0. Aapplefi ÙË Û ÛË Ù Ï appleô Ì fiùè Ë È ÊÔÚ ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ ÙÔ Stieltjes ÂÍ ÚÙ Ù È ÌfiÓÔ applefi fiúô appleô appleúôî appleùô Ó applefi ÙËÓ appleô È ÚÂÛË ÙÔ appleúòùô ÙÌ Ì ÙÔ ÙË D 1, ÂÓÒ fiïôè ÔÈ ÏÏÔÈ fiúôè Ê ÁÔ Ó Î Ù ÙËÓ Ê ÚÂÛË. EappleÂÈ f Ê 2 ˆ Ë 2pπ = g Ë Ê 2 = 0 ÁÈ Î ıâ Î Ú ÈÔ p Î È ÂappleÂÈ ÂÍ 2pπ ˆ ÔÚÈÛÌÔ Â Ó È f(x)=g(x) ÁÈ Î ıâ x, ÙÔ ÂÍÈfi Ì ÏÔ ÙË ÙÂÏ ٠ÈÛfiÙË- Ù appleïôappleôèâ Ù È Î È apple ÚÓÔ ÌÂ

307 S(f, g, D 2, P 2 ) S(f, g, D 1, P 1 ) =  2n p=0 Î Èf Ê 2 ˆ Ë (4n+2p+1)π 2 = = 2 π Â2n p=0 1 4n+2p+1 2 2n+1 π 8n+1 > 1 2π ÁÈ Î ıâ n. ŒÙÛÈ ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ Stieltjes ÂÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù 1 Cauchy Î È Û ÓÂappleÒ ÙÔ fdg ÂÓ apple Ú ÂÈ. 0 10.4.2. TÔ ÂappleÔÌ ÓÔ ıâòúëì Ì Ï ÂÈ fiùè Ó ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Ù appleô Stieltjes Ó ÁÂÙ È Î Ùˆ applefi ÔÚÈÛÌ Ó appleúô appleôı ÛÂÈ Û ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann. Θεώρημ. Aν η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Riemann στο διάστημ [, ] κι η g έχει συνεχή πράγωγο g στο ίδιο διάστημ, τ τε τ ολοκληρώμτ Ú fg κι fdg υπάρχουν κι είνι ίσ. Aπ δειξη. EappleÂÈ Ë apple Ú ÁˆÁÔ g Â Ó È Û Ó ÛÙÔ Û Ìapple Á È - ÛÙËÌ [, ] Ôı ÓÙÔ ε>0 apple Ú ÂÈ δ 1 >0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ  ÁÔ ÛËÌ ˆÓ ξ, ξ*œ[, ] Ó ÈÛ ÂÈ (1) g (ξ) g (ξ*) < ε fiù Ó ξ ξ* < δ 1. EÍ ÏÏÔ ÂappleÂÈ ÔÈ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f, g Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌ Π٠Riemann ÛÙÔ [, ], ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ fg Â Ó È Âapple ÛË ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Riemann ÛÙÔ [, ]. ÕÚ ÁÈ ÙÔ apple Ú apple Óˆ ε apple Ú ÂÈ δ 2 >0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 2 Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ó Â Ó È (2) ÔS(fg, D,P) Ô Ô Ú fg < ε. Ô AÓ δ = min{δ 1, δ 2 } ÙfiÙ ÔÈ (1) Î È (2) ÈÛ Ô Ó Ó Ù δ 1, δ 2 ÓÙÈÎ Ù - ÛÙ ıô Ó Ì ÙÔ δ. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ Ù È ÚÂÛË D = {, x 1, x 2,, x n 1, } Ì λ(d)<δ Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } ÙË D. TfiÙ ÙÔ ıúôèûì Stieltjes Î È ÙÔ ıúôèûì Riemann appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó ÛÙË D Î È ÙËÓ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P Â Ó È ÓÙ ÛÙÔÈ, (3) S(f, g, D, P) =  n f(ξ i ) (g(x i ) g(x i 1 )) i=1

308 Î È (4) S(fg, D, P) =  n i=1 f(ξ i ) g (ξ i ) (x i x i 1 ). X ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙË Ì ÛË ÙÈÌ ÙÔ È ÊÔÚÈÎÔ ÏÔÁÈÛÌÔ, Û Πıâ È ÛÙËÌ [x i 1, x i ] ÙË D apple Ú ÂÈ Ó ÛËÌÂ Ô ξ* i ÒÛÙÂ Ó Â Ó È (5) g(x i ) g(x i 1 ) = g (ξ* i ) (x i x i 1 ). H (3) ÚË ÛÙËÓ (5) Á ÓÂÙ È: (6) S(f, g, D, P) =  n i=1 f(ξ i ) g (ξ* i ) (x i x i 1 ). Aapplefi ÙÈ (4) Î È (6) appleúôî appleùâè fiùè ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ È ÛÙ Ì - ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ÈÛ ÂÈ, (7) S(f, g, D, P) S(fg, D, P)  n i=1 f(ξ i ) g (ξ i ) g (ξ* i ) (x i x i 1 ) M( )ε Aapplefi ÙÈ (2) Î È (7) appleúôî appleùâè fiùè ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ÈÛ ÂÈ S(f, g, D, P) Ú fg < [M( )+1]ε. Aapplefi ÙËÓ ÓÈÛfiÙËÙ Ù appleâù È fiùè ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Stieltjes ÂÈ Î È Â Ó È ÛÔ Ì ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Riemann Ú fg. fdg apple Ú- 10.5. Iδι τητες του ολοκληρώμτος του Stieltjes T Ô appleúòù ıâˆú Ì Ù ÙË apple Ú ÁÚ ÊÔ Ù appleô ÂÈÎÓ Ô Ó fiùè ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes Â Ó È ÁÚ ÌÌÈÎ Û Ó ÚÙËÛË Î È ˆ appleúô ÙËÓ ÔÏÔ- ÎÏËÚˆÙ Û Ó ÚÙËÛË Î È ˆ appleúô ÙÔÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÙ. E Ó È ËÏ, fiappleˆ Ï - ÌÂ, ÌÈ ÈÁÚ ÌÌÈÎ Û Ó ÚÙËÛË. 10.5.1. Θεώρημ. Aν οι συνρτήσεις f 1, f 2 είνι ολοκληρώσιμες κτά Stieltjes ως προς τη συνάρτηση g στο διάστημ [, ], τ τε γι κάθε ζε γος στθερών k 1, k 2 η συνάρτηση k 1 f 1 +k 2 f 2 είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο [, ] κι ισχ ει

309 (k1 f 1 +k 2 f 2 )dg = k 1 f1 dg+ k 2 f2 dg. Aπ δειξη: AÓ D = {, x 1, x 2,, x n 1, } Â Ó È Ù È ÚÂÛË ÙÔ [, ] Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D ÙfiÙÂ Â Ó È, fiappleˆ  ÎÔÏ È appleèûùòóâù È, S(k 1 f 1 +k 2 f 2, g, D, P) = k 1 S(f 1, g, D, P)+k 2 S(f 2, g, D, P). EappleÂÈ apple Ú Ô Ó Ù fiúè ÙˆÓ Ô ıúôèûì ÙˆÓ ÙÔ ÂÍÈÔ Ì ÏÔ ÙË apple Ú apple Óˆ ÈÛfiÙËÙ, appleâù È fiùè apple Ú ÂÈ Î È ÙÔ fiúèô ÙÔ ÂÍÈÔ Ì ÏÔ. ŒÙÛÈ apple ÚÓÔÓÙ Ù fiúè Î È ÙˆÓ Ô ÌÂÏÒÓ ÙË ÈÛfiÙËÙ Ù, Ô Ì ÙÔ appleôù - ÏÂÛÌ. 10.5.2. Θεώρημ. Aν η συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς κάθε μι π τις συνρτήσεις g 1 κι g 2 στο διάστημ [, ] τ τε η f είνι ολοκληρώσιμη κι ως προς τη συνάρτηση k 1 g 1 +k 2 g 2, που k 1, k 2 στθερές, κι επιπλέον ισχ ει fd[k1 g 1 +k 2 g 2 ] = k 1 fdg1 +k 2 fdg2. Aπ δειξη. È Ù È ÚÂÛË D = {, x 1, x 2,, x n 1, } ÙÔ È ÛÙ - Ì ÙÔ [, ] Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D Ô Ì ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ, S(f, k 1 g 1 +k 2 g 2, D, P) = k 1 S(f, g 1, D, P)+k 2 S(f, g 2, D, P). ÚÓÔÓÙ fiúè ÛÙËÓ ÈÛfiÙËÙ Ù Ô Ì ÙÔ appleôù ÏÂÛÌ. Πρτήρηση: YappleÂÓı Ì Ô Ì fiùè ÌÈ Û Ó ÚÙËÛË g Â Ó È appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ ÔÏ ÛÙÔ [, ] ÎÚÈ Ò ÙfiÙ fiù Ó g = g 1 g 2 fiappleô g 1, g 2 Â Ó È - ÍÔ ÛÂ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ. AÓ ÏÔÈapplefiÓ Ë g Â Ó È Û Ó ÚÙËÛË appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ Ô- Ï ÛÙÔ [, ] ÙfiÙÂ Û ÌÊˆÓ Ì ÙÔ ıâòúëì ÙË 10.4.1. Ù ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù fdg1 Î È fdg2 apple Ú Ô Ó Ó Ë f Â Ó È Û Ó ÛÙÔ [, ]. ÓÂappleÒ, ÚË ÛÙÔ ıâòúëì 10.5.2, Î ıâ Û ÓÂ Û Ó ÚÙËÛË f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ÛÙÔ [, ] ˆ appleúô ÌÈ Û Ó ÚÙËÛË g appleâú ÙˆÌ ÓË ÌÂÙ Ô- Ï. 10.5.3. E Ó È ÁÓˆÛÙfi fiùè Ë ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ Î Ù Riemann ÌÈ Û Ó- ÚÙËÛË ÛÙÔ È ÛÙËÌ [, ] Û ÓÂapple ÁÂÙ È ÙËÓ ÔÏÔÎÏËÚˆÛÈÌfiÙËÙ ÙË ÛÙ appleô È ÛÙ Ì Ù [, c] Î È [c, d] Î È ÓÙ ÛÙÚÔÊ, fiappleô <c<. M ÏÈÛÙ

310 ÈÛ ÂÈ ÛÙËÓ appleâú appleùˆûë Ù Ë appleï ÁÚ ÌÌÈÎ Û ÛË ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ ÙË 6.3.3. TÔ ıâòúëì Ùfi ÈÛ ÂÈ ÌÂÚÈÎÒ ÌfiÓÔ ÁÈ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes. Θεώρημ. Aν η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ] κι ν <c<, τ τε η f είνι ολοκληρώσιμη ως προς τη g σε κθέν π τ διστήμτ [, c] κι [c, ] κι ισχ ει, c fdg = fdg + fdg. c Aπ δειξη. EappleÂÈ Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ], ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙË 10.3.1, ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S- ıúôèûì ÙˆÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy. ÕÚ Ôı ÓÙÔ ε>0 apple Ú ÂÈ δ>0 ÒÛÙÂ Ó ÈÛ ÂÈ (1) S(f, g, D, P) S(f, g, D*, P*) < ε ÁÈ ÔappleÔÈÂÛ appleôùâ È ÈÚ ÛÂÈ D, D* Ì λ(d)<δ Î È λ(d*)<δ Î È ÔappleÔÈÂÛ- appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P, P* ÙˆÓ D Î È D* ÓÙ ÛÙÔÈ. A Â Ó È ÙÒÚ D 1, D* 1 Ô Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ ÙÔ [, c] Ì λ(d 1 )<δ Î È λ(d* 1 )<δ Î È P 1, P* 1 ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙÒÓ ÓÙ ÛÙÔÈ. EappleÈappleÏ ÔÓ, Â Ó È D 2 ÌÈ È ÚÂÛË ÙÔ [c, ] Ù ÙÔÈ ÒÛÙ λ(d 2 ) < λ(d 1 ) Î È λ(d 2 ) < λ(d* 1 ) Î È P 2 ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D 2. ÚÔÊ ÓÒ Ë D = D 1»D 2 Î È D* = D* 1»D 2 Â Ó È È ÈÚ ÛÂÈ ÙÔ [, ] Ì λ(d) = λ(d 1 ) < δ Î È λ(d*) = λ(d* 1 ) < δ. Eapple ÛË Ë P = P 1» P 2 Â Ó È ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D Î È Ë P* = P* 1»P 2 Â Ó È ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D*. E ÎÔÏ È appleèûùòóâù È fiùè: S(f, g, D, P) = S(f, g, D 1, P 1 )+S(f, g, D 2, P 2 ) (2) S(f, g, D*, P*) = S(f, g, D* 1, P* 1 )+S(f, g, D 2, P 2 ) ÕÚ S(f, g, D, P) S(f, g, D*, P*) = S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D* 1, P* 1 ) Î È ÂappleÂÈ λ(d)<δ Î È λ(d*)<δ ÙÔ ÚÈÛÙÂÚfi Ì ÏÔ ÙË ÙÂÏ ٠ÈÛfiÙË- Ù ÈÎ ÓÔappleÔÈ ÙËÓ (1) Î È ÂappleÔÌ Óˆ S(f, g, D 1, P 1 ) S(f, g, D* 1, P* 1 ) < ε. ÌappleÂÚ ÓÔ Ì ÂappleÔÌ Óˆ fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ S- ıúôèûì ÙˆÓ ÙË f ˆ c appleúô ÙË g ÛÙÔ [, c] Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy Î È Ú ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ. M fiìôèô ÙÚfiappleÔ appleô ÂÈÎÓ ÂÙ È fiùè Î È ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ. c

311 A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ ÌÈ ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ {D n } ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [, c] Î È ÌÈ ÎÔÏÔ ı È ÈÚ ÛÂˆÓ {D n} ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [c, ] Î ıò Î È Ù Â ÂÓ È ÌÂÛ ÎÔÏÔ ı  {P n } Î È {P n} ÙˆÓ {D n } Î È {D n} ÓÙ ÛÙÔÈ Ù ÙÔÈ ÒÛÙ limλ(d n ) = limλ(d n ) = 0. AÓ D n = D n»d n Î È næ næ P n = P n»p n ÙfiÙ appleúôê ÓÒ lim λ(d n ) = 0 Î È Ë P n Â Ó È ÂÓ È ÌÂÛË næ È ÚÂÛË ÙË D n. E Ó È Â ÎÔÏÔ Ó È appleèûùòûô Ì fiùè (3) S(f, g, D n, P n ) = S(f, g, D n, P n )+S(f, g, D n, P n). EappleÂÈ apple Ú Ô Ó Ù ÔÏÔÎÏËÚÒÌ Ù ÙË f ˆ appleúô ÙË g ÛÙ È ÛÙ Ì Ù [, ], [, c] Î È [c, d] apple ÚÓÔÓÙ Ù fiúè ÙˆÓ Ô ÌÂÏÒÓ ÙË (3) Ô ÌÂ, ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙË 10.2.2., ÙËÓ appleô ÂÈÎÙ ÈÛfiÙËÙ. Π ρισμ. Aν η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ] κι [c, d]ã[, ] τ τε η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο [c, d]. AÓÙ ıâù Ì fiùè Û Ì ÓÂÈ ÛÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Riemann Ë apple ÚÍË ÙˆÓ c ÔÏÔÎÏËÚˆÌ ÙˆÓ fdg κι fdg ÂÓ Û ÓÂapple ÁÂÙ È ÙËÓ apple ÚÍË ÙÔ fdg fiappleˆ Ì Â ÓÂÈ ÙÔ apple Ú Î Ùˆ apple Ú ÂÈÁÌ. c Πράδειγμ. A appleôı ÛÔ Ì fiùè ÔÈ Û Ó ÚÙ ÛÂÈ f Î È g ÔÚ ÔÓÙ È ÛÙÔ È ÛÙËÌ [0, 2] Ì ÙÈ Û ÛÂÈ : f(x) = Ó Ì Ï 0 ν 0 x<1 1 ν 1 x 2 g(x) = Ó Ì Ï 0 ν 0 x 1 1 ν 1<x 2. EappleÂÈ Ë g Â Ó È ÛÙ ıâú ÛÙÔ [0, 1], ÚË ÛÙÔ apple Ú ÂÈÁÌ 1 ÙË 10.2.3 1 ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ Î È Ë ÙÈÌ ÙÔ Â Ó È 0. 0 Eapple ÛË Ë f Â Ó È ÛÙ ıâú ÛÙÔ [1, 2] Î È ÚË ÛÙÔ apple Ú ÂÈÁÌ 2 ÙË 2 10.2.3. ÙÔ fdg apple Ú ÂÈ Î È Ë ÙÈÌ ÙÔ Â Ó È g(2) g(1) = 1. 1 ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì ÙÒÚ ÙËÓ apple ÚÍË ÙÔ 2 fdg. A ıâˆú ÛÔ Ì ÌÈ ÔappleÔÈ - appleôùâ È ÚÂÛË D = {x 0 =0, x 1,, x n =2} ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [0, 2] appleô ÂÓ 0

312 appleâúè ÂÈ ÙÔ ÛËÌÂ Ô 1. TfiÙ apple Ú ÂÈ νœ{0, 1, 2,, n} ÒÛÙ x ν 1 <1<x ν. ŒÛÙˆ ÙÒÚ Ë ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } ÙË D fiappleô ξ i = x i 1 i=1, 2,, n. TfiÙ g(x ν ) g(x ν 1 ) = 1 Î È g(x i ) g(x i 1 ) = 0 ÁÈ iπν. TÔ S- ıúôè- ÛÌ appleô ÓÙÈÛÙÔÈ Â ÛÙÈ D Î È P Â Ó È S(f, g, D, P) = 0. ÚÓÔÓÙ ÙÒÚ ˆ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙËÓ P* = {ξ* 1, ξ* 2,, ξ* n } fiappleô ξ* i = x i Ô Ì S(f, g, D, P*) = 1. ŒÙÛÈ ÔÛÔ appleôùâ ÌÈÎÚ ÎÈ Ó Â Ó È Ë ÏÂappleÙfiÙËÙ ÙË D ı Ô Ì S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) = 1. A Ùfi ÛËÌ ÓÂÈ fiùè ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ıúôèûì ÙˆÓ ÙÔ Stieltjes ÂÓ Û ÁÎÏ ÓÂÈ Î Ù Cauchy Î È ÚË ÛÙÔ ıâò- 2 ÚËÌ ÙË 10.3.1 ÙÔ fdg ÂÓ apple Ú ÂÈ. Ú Î Ùˆ ı Ô Ì fiùè Ë ÌË apple ÚÍË ÙÔ ÎÔÈÓÔ ÛËÌÂ Ô Û Ó ÂÈ ÙˆÓ f Î È g. 0 2 fdg ÔÊ ÏÂÙ È ÛÙËÓ apple ÚÍË 0 10.6. Oλοκλήρωση κτά πράγοντες ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes ÈÛ ÂÈ Ó ıâòúëì appleô ı Ì ÂÈ ÙÔÓ Ù appleô ÙË ÔÏÔÎÏ ÚˆÛË Î Ù apple Ú ÁÔÓÙÂ. TÔ ıâòúëì Ùfi Â Ó È Ú ÛÈÌÔ ÁÈ Ù ÂÓ ÏÏ ÛÛÂÈ ÙÔ ÚfiÏÔ ÙË ÔÏÔÎÏËÚˆÙ Û Ó ÚÙËÛË Î È ÙÔ ÔÏÔÎÏËÚˆÙ. 10.6.1. Θεώρημ. Aν η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο διάστημ [, ], τ τε κι η g είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς την f στο [, ] κι ισχ ει fdg = f() g() f(a) g(a) gdf. Aπ δειξη. A Â Ó È D = {x 0, x 1,, x n } ÌÈ È ÚÂÛË ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [, ] Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } ÌÈ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D. ÙÔ Ì ξ 0 = Î È ξ n+1 = Î È ıâˆúô Ì ÙÔ Û ÓÔÏÔ P* = P»{ξ 0, ξ n+1 }. TfiÙ ÙÔ P* appleôùâïâ ÌÈ È ÚÂÛË ÙÔ [, ]. ( ÙËÓ appleú ÁÌ ÙÈÎfiÙËÙ ÙÔ P* ÂÓ Â - Ó È apple ÓÙ È ÚÂÛË ÁÈ Ù Â Ó È Ó Ùfi Î appleôè È Ô ÈÎ ÛËÌ ÙÔ Ó Ù Ù ÔÓÙ È.  ÌÈ Ù ÙÔÈ appleâú appleùˆûë apple Ú Ï appleô Ì ÙÈ Âapple Ó Ï ÂÈ. E ÎÔÏ È appleèûùòóâù È ÙfiÙ fiùè Ë applefi ÂÈÍË ÂÓ Ï appleùâù È applefi ÙÈ apple Ú Ï - ÂÈ Ù, ÁÈ Ù È Ô ÈÎ Ù ÙÈ fiìâó ÛËÌ ËÌÈÔ ÚÁÔ Ó ÂÎÊ ÏÈÛÌ Ó È ÛÙ Ì Ù appleô ÓÔ Ó ÌË ÂÓÈÎÔ fiúô ÛÙ ÓÙ ÛÙÔÈ ıúô ÛÌ Ù ). IÛ ÂÈ ξ i 1 x i 1 ξ i, i=1, 2,, n+1. ÕÚ Ë P* ÌappleÔÚÂ Ó ıâˆúëıâ ˆ È ÚÂÛË ÙÔ [, ] Î È Ë D ˆ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË P*. T ıúô - ÛÌ Ù S(f, g, P*, D) Î È S(g, f, D, P) Û Ó ÔÓÙ È Ì ÙË Û ÛË

420 KEºA AIO 10 Άσκηση 71. Έστω g ξουσ συνάρτηση στο [, ]. Δείξτε τι ν ισχ ει μί π τις πρκάτω υποθέσεις (i) H f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g. (ii) " ε>0 $ δ>0 ώστε S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) < ε γι κάθε διίρεση D με λ(d)<δ κι τυχίες ενδιάμεσες διιρέσεις P, P* της D. T τε υπάρχει δ 0 >0 κι φργμένη συνάρτηση h στο [, ] ώστε ν ισχ ουν (1) S(f, g, D, P) = S(h, g, D, P) (2) S( f, g, D, P) = S( h, g, D, P) (3) S(f 2, g, D, P) = S(h 2, g, D, P) γι κάθε διίρεση D με λ(d)<δ 0 κι γι κάθε ενδιάμεση διίρεση P της D. Λ ση. X ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙË 10.3.1. Ë applefiıâûë (i) Û ÓÂapple ÁÂÙ È ÙË (ii). ÓÂappleÒ ÚÎÂ Ó ÂÈ ıâ fiùè Ë applefiıâûë (ii) Û ÓÂapple ÁÂÙ È ÙÔ Û Ìapple Ú ÛÌ. AÓ ÈÛ ÂÈ Ë applefiıâûë (ii) ÙfiÙ apple Ú ÂÈ δ 1 >0 ÒÛÙ ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 1 Î È ÁÈ ÔappleÔÈÂÛ appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P Î È P* ÙË D Ó Â Ó È (4) S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) < 1. A ÛËÌÂÈÒÛÔ Ì Ì A ÙÔ Û ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÛËÌ ˆÓ xœ[, ] ÁÈ Ù ÔappleÔ ÂÓ apple Ú ÂÈ appleâúèô Âapple ÙË ÔappleÔ Ë f Ó Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË. AÓ Ë f Â Ó È ÊÚ - ÁÌ ÓË ÛÙÔ [, ] ÙfiÙ appleúôê ÓÒ A = Δ. ŸÌˆ ÙfiÙ ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó ı ÛÔ Ì h=f Î È ÙÔ Û Ìapple Ú ÛÌ ÈÛ ÂÈ. YappleÔı ÙÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ fiùè Ë f ÂÓ Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË ÛÙÔ [, ]. TfiÙ apple Ú ÂÈ ÙÔ Ï ÈÛÙÔÓ Ó ÛËÌÂ Ô xœa. È ÊÔÚÂÙÈÎ " xœ[, ] ı apple Ú Â ÓÔÈÎÙ appleâúèô ÙÔ x fiappleô Ë f ı Ù Ó ÊÚ ÁÌ ÓË. EappleÂÈ ÙÔ [, ] Â Ó È Û Ìapple Á, ı apple Ú Ó appleâappleâú - ÛÌ ÓÔ appleï ıô Ù ÙÔÈ appleâúèô appleô ı ÂÎ Ï appleù Ó ÙÔ [, ], Î È ÙfiÙÂ Ë f ı Ù Ó ÊÚ ÁÌ ÓË ÛÙÔ [, ]. ŒÛÙˆ cœa«(, ) Î È appleôı ÛÔ Ì fiùè Ë g ÂÓ Â Ó È ÛÙ ıâú ÛÙËÓ appleâúèô Π Êc, δ 1 ˆ «[, ]. Ë 2 TfiÙ apple Ú Ô Ó ÛËÌ s, tœ[, ] Ì c δ 1 2 < s < c < t < c+ δ 1 2 Ù ÙÔÈ ÒÛÙ g(s) π g(t). È ÊÔÚÂÙÈÎ, ÏfiÁˆ ÙË ÌÔÓÔÙÔÓ, ı Ù Ó ÛÙ ıâú ÛÙËÓ appleâúèô Ù. ÙÔ È ÛÙËÌ [s, t] Ë f ÂÓ Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË.

421 AÓ ÂÓ Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË applefi apple Óˆ ÙfiÙ apple Ú ÂÈ c*œ[s, t] ÒÛÙÂ Ó Â Ó È f(c*) > f(c)+1 / g(t) g(s). AÓ ÂÓ Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË applefi Î Ùˆ ÙÔ c* ÌappleÔÚÂ Ó ÂÎÏÂÁ ٠ÙÔÈÔ ÒÛÙÂ Ó ÈÛ ÂÈ f(c*) < f(c) 1 / g(t) g(s).  Πıâ ÌÈ applefi ÙÈ appleâúèappleùòûâè Ù ÈÛ ÂÈ (5) f(c*) f(c) g(t) g(s) > 1. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ ÌÈ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] appleô appleâúè ÂÈ Ù ÛËÌ s, t ˆ È Ô ÈÎ ÛËÌÂ Î È λ(d) < δ 1 Î È ıâˆú ÛÔ ÌÂ Ô ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D, ÙËÓ P appleô ÂÈ ˆ ÂappleÈÏÂÁfiÌÂÓÔ ÛËÌÂ Ô ÙÔ È ÛÙ Ì ÙÔ [s, t] ÙÔ c Î È ÙËÓ P* appleô ÂÈ Ù È ÛËÌ Ì ÙËÓ P ÂÎÙfi ÙÔ c appleô ÙÔ ÓÙÈÎ ıèûùô Ì Ì ÙÔ c*. TfiÙÂ Ô Ì (6) S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) = f(c) f(c*) g(t) g(s) > 1 ÚË ÛÙËÓ (5). H (6) Ú ÂÙ È Û ÓÙ Ê ÛË Ì ÙËÓ (4). ÓÂappleÒ Ë g Â Ó È Ó ÁÎ ÛÙÈÎ ÛÙ ıâú ÛÙËÓ appleâúèô Π Êc, δ 1 ˆ«[, ] Ë 2 È ÊÔÚÂÙÈÎ ÂÓ ÌappleÔÚÂ Ó ÈÛ ÂÈ Ë (4) Î È Û ÓÂappleÒ Ë applefiıâûë (ii). EÏ ÊÚ ÙÚÔappleÔappleÔ ËÛË ÙË applefi ÂÈÍË Ù ÓÂÈ ÙÔ ÈÔ Û Ìapple Ú ÛÌ fiù Ó c= c=. EappleÔÌ Óˆ Ó ÈÛ ÂÈ Ë applefiıâûë (ii), ÙfiÙÂ Ë g Â Ó È ÛÙ ıâú Û Π٠ÏÏËÏË appleâúèô Î ıâ ÛËÌÂ Ô xœa. A ıâˆú ÛÔ Ì ÙÒÚ ÙÔ Û ÓÔÏÔ B =» Π(c, δ 1 / 4). cœa TÔ B Â Ó È ÓÔÈÎÙfi Û ÓÔÏÔ appleô appleâúè ÂÈ ÙÔ A. ÙÔ Û Ìapple Á Û ÓÔÏÔ ÃB«[, ], Ë f Â Ó È ÊÚ ÁÌ ÓË ÚË ÛÙÔ ıâòúëì ÙˆÓ Heine-Borel. OÚ Ô Ì ÙÒÚ ÙË Û Ó ÚÙËÛË, ÔÏ f(x) ν xœãb«[, ] h(x) = Ì ÓÔ 0 ν xœb«[, ]. ŒÛÙˆ ÙÒÚ Ù È ÚÂÛË D = {x 0, x 1,, x n } ÙÔ [, ] Ì λ(d) < δ 1 4 = δ 0 Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË ÙË D. Œ Ô ÌÂ,

422 (7) S( f, g, D, P) S( h, g, D, P) =  n =  [ f(ξ ν ) h(ξ ν ) ] Δg ν + ξ ν ŒÃB«[, ] =  f(ξ ν ) Δg ν. ξ ν ŒB«[, ] ν=1 [ f(ξ ν ) h(ξ ν ) ] Δg ν =  [ f(ξ ν ) h(ξ ν ) ] Δg ν = ξ ν ŒB«[, ] È Î ıâ ξ ν ŒB«[, ] apple Ú ÂÈ cœa ÒÛÙ ξ ν c < δ 1 / 4. EappleÂÈ [x ν 1, x ν ] à Π(ξ ν, δ 1 / 4)à Π(c, δ 1 / 2). Î È Ë g Â Ó È ÛÙ ıâú ÛÙËÓ appleâúèô Π(c, δ 1 / 2). appleâù È fiùè Δg ν =0. ÕÚ applefi ÙËÓ (7) appleúôî appleùâè fiùè S( f, g, D, P) = S( h, g, D, P) ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d) < δ 1 / 4 = δ 0 Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È - ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D. ŒÙÛÈ appleô  ıëîâ Ë Û ÛË (2). OÈ (1) Î È (3) appleô ÂÈÎÓ ÔÓÙ È Ì ÙÔÓ ÈÔ ÎÚÈ Ò ÙÚfiappleÔ Ì ÂÏ ÊÚ ÙÚÔappleÔappleÔ ËÛË ÙË ÈÛfiÙËÙ (7). ÛÙÂ Î È ÙËÓ appleô ÂÈÍË ÙÔ ıâˆú Ì ÙÔ ÙË 10.9.2. Άσκηση 72. Aς είνι g ξουσ συνάρτηση στο [, ]. N δειχθεί τι η f είνι ολοκληρώσιμη κτά Stieltjes ως προς τη g στο [, ] ν κι μ νο ν γι κάθε ε>0 υπάρχει δ>0 τέτοιο ώστε ν ισχ ει (1) S(f, g, D, P) S(f, g, D, P*) < ε γι κάθε διίρεση D με λ(d)<δ κι γι τυχίες ενδιάμεσες διιρέσεις P κι P* της D. Λ ση. AÓ Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ], ÙfiÙ ٠ıúô ÛÌ Ù S(f, g, D, P) Û ÁÎÏ ÓÔ Ó Î Ù Cauchy ( Ï. ıâòú. 10.3.1) Î È ÙfiÙ appleúôê ÓÒ ÈÛ ÂÈ Ë (1). AÓÙ ÛÙÚÔÊ, ÛÙˆ fiùè ÈÛ ÂÈ Ë (1). TfiÙÂ, ÚË ÛÙËÓ appleúôëáô ÌÂÓË ÛÎËÛË apple Ú ÂÈ δ 0 >0 Î È ÊÚ ÁÌ ÓË Û Ó ÚÙËÛË h ÛÙÔ [, ] ÒÛÙÂ Ó ÈÛ ÂÈ, (2) S(f, g, D, P) = S(h, g, D, P) ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 0 Î È Ù ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D. ŒÛÙˆ ε>0, δ 1 = min{δ 0, δ} Î È D = {x 0, x 1,, x n } È ÚÂÛË ÙÔ [, ]

423 Ì λ(d)<δ 1. AÓ m ν, M ν ÙÔ Î ÙÒÙÂÚÔ Î È ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ apple Ú ÙË h ÛÙÔ [x ν 1, x ν ] ÓÙ ÛÙÔÈ, ÙfiÙ apple Ú Ô Ó ξ ν, ξ ν Œ[x ν 1, x ν ] ÒÛÙÂ, (3) h(ξ ν ) < m ν + ε 2K fiappleô K = max{1, g() g()}. Î È h(ξ ν ) > M ν ε 2K ν=1, 2,, n, ÙÔ Ì P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } Î È P = {ξ 1, ξ 2,, ξ n} appleôïï appleï ÛÈ ÔÓÙ ÙÈ (3) Âapple Δg ν = g(x ν ) g(x ν 1 ) Î È appleúôûı ÙÔÓÙ Î Ù Ì ÏË apple ÚÓÔ Ì (4) S(h, g, D, P ) <  n m ν Δg ν + ε ν=1 2 ε hdg+ Î È 2 (5) S(h, g, D, P ) >  n ν=1 M ν Δg ν ε 2 hdg ε 2. Aapplefi ÙÈ (2), (4) Î È (5) apple ÚÓÔ ÌÂ, (6) S(f, g, D, P ) <  n m ν Δg ν + ε ν=1 2 ε hdg+ 2 (7) S(f, g, D, P ) >  n ν=1 M ν Δg ν ε 2 hdg ε 2 Î È Î È Û ÓÂappleÒ (8) S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P ) > hdg hdg ε. X ÚË ÛÙËÓ (1) ÙÔ Ì ÏÔ ÙË (8) Â Ó È <ε Î È ÂappleÔÌ Óˆ 0 hdg hdg < 2ε. EappleÂÈ Ùfi ÈÛ ÂÈ ÁÈ Î ıâ ε>0, appleúôî appleùâè fiùè Ë h Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒ- ÛÈÌË Î Ù Riemann-Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. Aapplefi ÙÈ (6) Î È (7) appleúôî appleùâè, (9) S(f, g, D, P ) ε 2 < RS (h, g, D) RS (h, g, D) < S(f, g, D, P ) + ε 2 Î È ÂappleÂÈ ÁÈ ÔappleÔÈ appleôùâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ÙÔ ıúôèûì

424 S(f, g, D, P) = S(h, g, D, P) Î ıò Î È Ô ÚÈıÌfi hdg Â Ó È Ó ÌÂÛ ÛÙÔ ÚÈıÌÔ RS(h, g, D) Î È RS (h, g, D), Ë (9) ÓÂÈ ÔS(f, g, D, P) Ô fdg Ô S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P )+ε Ô Î È ÚË ÛÙËÓ (1) Â Ó È ÔS(f, g, D, P) fdg Ô < 2ε Ô Ô ÁÈ Î ıâ D Ì λ(d)<δ 1 Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D. ÓÂappleÒ Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. Άσκηση 73. Έστω g ξουσ κι f, φ ολοκληρώσιμες συνρτήσεις ως προς τη g στο [, ]. Δείξτε τι οι συνρτήσεις f, f 2, fφ είνι ολοκληρώσιμες ως προς τη g στο [, ] κι ισχ ει Ô Ô Ú fdg Ú f dg. Ô Ô Λ ση. Î ÓÔ Ì ÙËÓ applefi ÂÈÍË ÁÈ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ ÙÔ Stieltjes. È ÙÔ ÁÂÓÈÎÂ Ì ÓÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Ë appleôúâ Â Ó È Ó ÏÔÁË ÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ ÙËÓ ÛÎËÛË 10.3, ÂÓÒ ÁÈ ÙÔ ÔÏÔÎÏ ÚˆÌ Riemann-Stieltjes Ë applefi ÂÈÍË Â Ó È appleïô ÛÙÂÚË Ó ÏËÊı applefi Ë Ë ÛÎËÛË 10.14. ŒÛÙˆ f ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË Î Ù Stieltjes ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. TfiÙ ( Ï. ÛÎ. 72) " ε>0 $ δ 1 >0 ÒÛÙÂ Ó ÈÛ ÂÈ (1) S(f, g, D, P ) S(f, g, D, P ) < ε 2 ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 1 Î È Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P, P ÙË D. X ÚË ÛÙËÓ (1) $ δ 0 >0 Î È ÊÚ ÁÌ ÓË Û Ó ÚÙËÛË h ÛÙÔ [, ] ÒÛÙÂ Ó Ô ÌÂ, (2) S(f, g, D, P) = S(h, g, D, P), S( f, g, D, P) = S( h, g, D, P) Î È S(f 2, g, D, P) = S(h 2, g, D, P), ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Ì λ(d)<δ 0 Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ( Ï. ÛÎ. 71). ÙÔ Ì δ = min{δ 0, δ 1 }. AÓ λ(d)<δ ÙfiÙ ÈÛ Ô Ó Ù Ùfi ÚÔÓ ÔÈ (1) Î È (2) Î È Û ÓÂappleÒ ÈÛ ÂÈ

425 (3) S(h, g, D, P ) S(h, g, D, P ) < ε 2 fiù Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D. EappleÂÈ Ù RS (h, g, D) Î È RS (h, g, D) Â Ó È ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ Î È Î ÙÒÙÂÚÔ apple Ú ÙˆÓ S(h, g, D, P) ÓÙ ÛÙÔÈ, ÁÈ fiïâ ÙÈ ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ P ÙË D, apple ÚÓÔÓÙ ÓÒÙÂÚÔ apple Ú ÛÙËÓ (3) appleúôî appleùâè, (4) RS (h, g, D) RS (h, g, D) ε 2 < ε ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ. AÓ M ν, m ν Â Ó È ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ Î È Î ÙÒÙÂÚÔ apple Ú ÙË h Î È M ν, m ν ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ Î È Î ÙÒÙÂÚÔ apple Ú ÙË h ÛÙÔ [x ν 1, x ν ] ν=1, 2,, n, apple ÚÓÔ- ÓÙ ÓÒÙÂÚÔ apple Ú ÛÙË Û ÛË appleúôî appleùâè, h(x) h(y) h(x) h(y) ÁÈ x, yœ[x ν 1, x ν ] (5) M ν m ν M ν m ν ν=1, 2,, n. ÔÏÏ appleï ÛÈ ÔÓÙ ÙÈ (5) Âapple Δg ν Î È Ï Ì ÓÔÓÙ applefi Ë ÙËÓ (4) Ô Ì (6) RS ( h, g, D) RS ( h, g, D) < ε fiù Ó λ(d)<δ. H (6) Û ÓÂapple ÁÂÙ È fiùè Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D, ÙfiÙ S( h, g, D, P ) S( h, g, D, P ) < ε Î È ÚË ÛÙËÓ (2), S( f, g, D, P ) S( f, g, D, P ) < ε fiù Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D. TfiÙÂ, ÚË ÛÙËÓ ÛÎËÛË 72, Ë f Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ [, ].  ÍÔ Ì ÙÒÚ fiùè Ë f 2 Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ˆ appleúô ÙË g ÛÙÔ [, ]. ÚÔ ˆÚÔ Ì ÙËÓ applefi ÂÈÍË fiappleˆ apple Ú apple Óˆ Ì ÚÈ ÙË Û ÛË (4). A Â Ó È ÙÒÚ D È ÚÂÛË ÙÔ [, ] Ì λ(d)<δ. AÓ M = sup h(x), ÙfiÙ ÁÈ ÙËÓ [, ] h 2 ÈÛ ÂÈ, (7) h 2 (x) h 2 (y) 2M h(x) h(y).

426 AÓ ÛËÌÂÈÒÛÔ Ì Ì M ν, m ν ÙÔ ÓÒÙÂÚÔ Î È ÙÔ Î ÙÒÙÂÚÔ apple Ú ÙË h 2 ÛÙÔ È ÛÙËÌ [x ν 1, x ν ] ν=1, 2,, n, Î È M ν, m ν Ù ÓÙ ÛÙÔÈ ÙË h, ÙfiÙ apple ÚÓÔÓÙ ÓÒÙÂÚÔ apple Ú ÛÙË Û ÛË (7) Ô ÌÂ, (8) M ν m ν 2M [M ν m ν ], ν=1, 2,, n Î È appleôïï appleï ÛÈ ÔÓÙ Âapple Δg ν appleúôî appleùâè RS (h 2, g, D) RS (h2, g, D) 2M [RS (h, g, D) RS (h, g, D)] Î È ÚË ÛÙËÓ (4) ı Â Ó È (9) RS (h 2, g, D) RS (h2, g, D) 2Mε fiù Ó λ(d)<δ. H (9) Û ÓÂapple ÁÂÙ È fiùè Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È È- Ú ÛÂÈ ÙË D, ÙfiÙ S(h 2, g, D, P ) S(h 2, g, D, P ) < 2Mε Î È ÚË ÛÙËÓ (2) S(f 2, g, D, P ) S(f 2, g, D, P ) < 2Mε fiù Ó λ(d)<δ Î È P, P Ù Â ÂÓ È ÌÂÛÂ È ÈÚ ÛÂÈ ÙË D. ŒÙÛÈ ÚË ÛÙËÓ ÛÎËÛË 72, Ë f 2 Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÛÙÔ [, ]. È Ó Â ÍÔ Ì fiùè Ë fφ Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ÁÚ ÊÔ Ì fφ = 1 4 [(f+φ)2 (f φ) 2 ]. AÊÔ ÔÈ f, φ Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌ ˆ appleúô ÙË g, ÔÈ f+φ Î È f φ Â Ó È Âapple ÛË ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌ ˆ appleúô ÙË g Î È ÚË ÛÙËÓ appleúôëáô ÌÂÓË appleâú appleùˆûë ÔÈ (f+φ) 2 Î È (f φ) 2 Â Ó È Âapple ÛË ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌÂ. ÕÚ Î È Ë fφ Â Ó È ÔÏÔÎÏËÚÒÛÈÌË ˆ appleúô ÙË g. T ÏÔ ÁÈ Ó Â ÍÔ Ì ÙËÓ ÓÈÛfiÙËÙ apple Ú ÙËÚÔ Ì fiùè ÁÈ Î ıâ È ÚÂÛË D Î È ÁÈ Î ıâ ÂÓ È ÌÂÛË È ÚÂÛË P ÙË D ÈÛ ÂÈ S(f, g, D, P) = Ô Ô Ô Â n ν=1 f(ξ ν ) Δg ν Ô ÔÔ Â n ν=1 Î È apple ÚÓÔÓÙ fiúè appleúôî appleùâè Ë ËÙÔ ÌÂÓË ÓÈÛfiÙËÙ. f(ξ ν ) Δg ν = S( f, g, D, P) Άσκηση 74. Έστω <c<. Oρίζουμε μι κλιμκωτή συνάρτηση g : [, ]Æ ó ως εξής: Oι τιμές g(), g(c) κι g() είνι υθίρετες. Στ υπ λοιπ σημεί θέτουμε