ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d = κι lim =. Έχουμε προσδιόριστη μορφή. Με χρήση του θεωρήμτος e L Hospial έχουμε ( e d = = = = lim lim (e e (. Μεθοδολογί Αν κτά τον υπολογισμό ενός ορίου που περιέχει συνάρτηση ολοκλήρωμ της μορφής κτλήξουμε σε προσδιόριστη μορφή ή, εφρμόζουμε το θεώρημ e L Hospial. (d

2 Πράδειγμ. Δίνετι η συνάρτηση ( = d Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. β Ν εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς την μονοτονί κι τ κρόττ. γ Ν βρείτε τις ρίζες κι το πρόσημο της συνάρτησης.. δ Ν εξετάσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής. Η συνάρτηση g( = έχει πεδίο ορισμού A = (, ] [, + κι είνι συνεχής σε υτό. Επειδή το νήκει στο [, + συμπερίνουμε ότι η συνάρτηση ορίζετι στο διάστημ [, +. β Η συνάρτηση είνι συνεχής στο [, + κι ( = > γι (, +, άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο [, + κι προυσιάζει ελάχιστο στο =. ( = d = γ Προφνώς το = είνι μι ρίζ της, φού. Η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο [, + συνεπώς η ρίζ = της είνι μονδική. Γι το πρόσημο της συνάρτησης συμπερίνουμε τ κόλουθ: γν. υξ. Γι < ( < ( = Γι γν. υξ. > ( > ( = ( = = = > γι (, + κι η συνάρτηση είνι συνεχής στο [, +, άρ η συνάρτηση είνι κυρτή στο [, + κι δεν προυσιάζει σημεί κμπής. δ Έχουμε ( Μεθοδολογί Γι την εύρεση του πεδίου ορισμού της συνάρτησης (d όπως κι γι την γενικότερη μελέτη της εργζόμστε όπως έχει νφερθεί στις πρτηρήσεις της ντίστοιχης ενότητς.

3 Πράδειγμ. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων: i. ii. F( = (ln + d F( = d i. Η συνάρτηση g( = ln + έχει πεδίο ορισμού g = (, + κι είνι συνεχής. Επειδή ισχύει (, +, πρέπει κι (, +. Άρ η συνάρτηση F έχει πεδίο ορισμού το F = (, +. ii. Η συνάρτηση g( = ορίζετι ότν ή. Επομένως η g έχει πεδίο ορισμού το g = (, ] [, + στο οποίο είνι κι συνεχής. Επειδή ισχύει (, ], πρέπει κι (, ]. Άρ η συνάρτηση F έχει πεδίο ορισμού το F = (, ]. Μεθοδολογί Ότν το πεδίο ορισμού της είνι ένωση διστημάτων τότε βρίσκουμε το ευρύτερο διάστημ Δ του, στο οποίο η είνι συνεχής κι ισχύει. Τότε το διάστημ Δ είνι το πεδίο ορισμού της F( = (d.

4 Πράδειγμ 4. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 9συν F( = d. συν Η συνάρτηση ( = ορίζετι ότν, οπότε έχει πεδίο ορισμού το = (, (, + κι είνι συνεχής. Οι συνρτήσεις ( = 9 κι ( = έχουν πεδίο ορισμού το κι πρέπει ν νήκουν στο ίδιο διάστημ του. Δηλδή πρέπει: 9 (, 9< < < < < (, < < ( ή 9 (, + 9> < ή > > (, + > > ( Άρ πό (, ( προκύπτει ότι F = (, (, +. Μεθοδολογί Γι ν βρούμε το πεδίο ορισμού της h( F( = (d, εργζόμστε ως εξής: g( Βρίσκουμε τ πεδί ορισμού Βρίσκουμε το ευρύτερο σύνολο g κι h των συνρτήσεων g κι h ντίστοιχ. στο οποίο η είνι συνεχής. Τότε το πεδίο ορισμού της F ποτελείτι πό τ g h γι τ οποί τ g( κι h( νήκουν στο ίδιο διάστημ του. 4

5 Πράδειγμ 5. Δίνετι η συνάρτηση + F( = ( + 9 d 4. Ν βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της F. ii. την F γι κάθε >. i. Είνι + 4 F( = ( + 9 d. Η συνάρτηση ( = 9 ορίζετι ότν 9 ή. Επομένως η έχει πεδίο ορισμού το = (, ] [, + κι είνι συνεχής. Επειδή 4 [, +, πρέπει ( + [, + +. Άρ το πεδίο ορισμού της F είνι F =, +. ii. Γι κάθε > έχουμε: F ( = ( + 9 d = ( + 9 d + ( + 9 d = ( ( d ( ( 9 ( 4 = = + 9 d ( = = 9 d + ( Επίσης γι κάθε > έχουμε: ( F ( = 9 d + ( = ( ( + + = ( 9 d + 9 d + ( ( = + 9( + ( + = = 9 d d ( ( =

6 Μεθοδολογί Ότν έχουμε μι συνάρτηση της μορφής g( g( F( = h((d τότε ισχύει: F( = h( (d, φού η συνάρτηση h( είνι στθερά γι το ολοκλήρωμ. Επομένως γι ν βρούμε την F εφρμόζουμε τον κνόν της πργώγου γινομένου συνρτήσεων. Δηλδή: g( g( g( F ( = h( (d = h ( (d + h( (d = ( ( g( h ( (d + h( (g( g ( 6

7 Πράδειγμ 6. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττά της. F( = ( + d κι ν την μελετήσετε Η συνάρτηση g( = + έχει πεδίο ορισμού g = κι είνι συνεχής. Επειδή ισχύει, πρέπει κι. Άρ η συνάρτηση F έχει πεδίο ορισμού το = + = + = + ( F( ( d F ( ( d F ( Η εξίσωση F ( = + = έχει ρίζες του ριθμούς = ή =. Η μονοτονί κι τ κρόττ της συνάρτησης φίνοντι στον πρκάτω πίνκ: F =. ( 7 F = d ( ( + = + = + + = F( = ( + d = + ( ( = + + = Μεθοδολογί Ότν το πεδίο ορισμού ολοκλήρωσης β ( d F( F( F( = β = είνι διάστημ στο οποίο η είνι συνεχής κι το όριο, τότε το πεδίο ορισμού της β F( = (d είνι F =. Γι ν βρούμε τη μονοτονί κι τ κρόττ μις συνάρτησης μελετάμε το πρόσημο της πρώτης πργώγου. 7

8 Πράδειγμ 7. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης προς τη μονοτονί κι τ κρόττά της. ln( e F( = d κι ν την μελετήσετε ως Η συνάρτηση e ( = ορίζετι ότν, οπότε έχει πεδίο ορισμού το: = (, (, + κι είνι συνεχής. Η συνάρτηση g( = ln( ορίζετι ότν > > ( Επομένως το πεδίο ορισμού της g είνι το g = (, +. Επειδή (,, πρέπει κι g( (, g( < ln( < ln( < lne < e < + e (. Συνληθεύοντς τους περιορισμούς ( κι (, προκύπτει ότι η συνάρτηση ln( e F( = d έχει πεδίο ορισμού το F = (, + e. ln( ln( e ln( e e F( = d F ( d F ( [ln( ] = = = ln( = ( = < ln ln ( ( Αφού (, + e < + e < e ln ( < ln e = ln ( <. Άρ η συνάρτηση F( είνι γνησίως φθίνουσ στο πεδίο ορισμό της F = (, + e. Μεθοδολογί Γι ν βρούμε το πεδίο ορισμού της g( F( = (d εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού g της g. Βρίσκουμε το ευρύτερο σύνολο στο οποίο η είνι συνεχής. Τότε το πεδίο ορισμού της F ποτελείτι πό τ g γι τ οποί τ κι g( νήκουν στο ίδιο διάστημ του. 8

9 Γι ν βρούμε τη μονοτονί κι τ κρόττ μις συνάρτησης μελετάμε το πρόσημο της πρώτης πργώγου. 9

10 ΘΕΜΑ Γ Πράδειγμ. Ν υπολογίσετε το d d. e Θέτουμε ( = κι e F( = (d. Τότε προφνώς F ( = ( κι F( =. To ρχικό ολοκλήρωμ θ γίνει: [ ] F( d = ( F( d = F( ( d = F( d = F( e d = e ( ( e d = e d = e ( e d = e + e d = e e e e e e e + = + = = =. e e Μεθοδολογί Γι τον υπολογισμό ολοκληρώμτος της μορφής Θεωρούμε τη συνάρτηση = F( (d. β β β Τότε έχουμε ( d d = F( d = ( F( d ολοκλήρωση θ έχουμε: β (d d εργζόμστε ως εξής: κι εφρμόζοντς πργοντική β β β β ( F( d = [ F( ] F ( d =βf( β F( ( d.

11 Πράδειγμ. Δίνετι συνάρτηση πργωγίσιμη στο γι την οποί ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήμτος Rolle στο [,] κι ( =. Αν γρφικής πράστσης της F στο σημείο της με τετμημένη. F( = ( d, ν βρείτε την εφπτομένη της Η F( = (d = (d συνρτήσεων με Τότε είνι πργωγίσιμη στο ως γινόμενο πργωγίσιμων F ( = (d + (. F( = ( d = = κι F ( = (d+ ( = (. H εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της συνάρτησης F στο = είνι: y F( = F (( y = (( y = ( ( Αλλά γι την ικνοποιούντι οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος Rolle στο [,] άρ ( = ( =. Άρ η εξίσωση της εφπτομένης είνι y =.

12 Πράδειγμ. Δίνοντι οι συνρτήσεις + F( = d κι + G( = ln( + d. Ν βρείτε: i. τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων F, G. ii. τις πργώγους των συνρτήσεων F, G. + i. Η συνάρτηση g( = έχει πεδίο ορισμού + ορισμού της F είνι το =. F Η συνάρτηση h( = ln( + έχει πεδίο ορισμού το h = (, +. g = κι είνι συνεχής, άρ το πεδίο Επειδή (, +, πρέπει κι (, +. Άρ η συνάρτηση G έχει πεδίο ορισμού το G = (, +. ii. Γι κάθε έχουμε: + + F ( = d =. + + Επίσης γι κάθε (, + έχουμε: ( ( G ( ln( d ln( d = + = + = ln( +. Μεθοδολογί Αν είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι, τότε η συνάρτηση: F( = (d, με είνι μι πράγουσ της στο Δ. Δηλδή ισχύει: ( ( ( F ( = (d = ( γι κάθε κι ν F( = (d, με τότε ισχύει: F ( (d (d = = = (.

13 Πράδειγμ 4. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού κι την πράγωγο των συνρτήσεων: i. ii. F( = συν + 5 d G( = e 9 d 4 i. Η συνάρτηση ( = έχει πεδίο ορισμού το + 5 g( = συν έχει πεδίο ορισμού το g =. Άρ η F έχει πεδίο ορισμού το Γι κάθε έχουμε: F = κι είνι συνεχής. Η συνάρτηση F =. F ( συν = d ( = συν = ηµ + 5 συν + 5 συν + 5 ii. Η συνάρτηση h( = e 9 έχει πεδίο ορισμού το h = (, ] [, + κι είνι συνεχής. Η συνάρτηση ϕ ( = ορίζετι ότν (. Επομένως το πεδίο ορισμού της ϕ είνι το ϕ = [, +. Επειδή 4 [, + πρέπει κι [, + 9 (. Συνληθεύοντς τις νισώσεις ( κι ( προκύπτει ότι η συνάρτηση: έχει πεδίο ορισμού το G = [9, +. Γι κάθε G έχουμε: G( = e 9 d 4 ( (. G ( e 9 d = = e 9 = e 9 4 Μεθοδολογί Αν η g είνι πργωγίσιμη στο διάστημ κι =, F τότε η F είνι πργωγίσιμη στο F ( = (d = (g( g (. g( με (

14 Πράδειγμ 5. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού κι την πράγωγο των συνρτήσεων: i. ii. ln F( = d 8 + G( = e ln d i. Η συνάρτηση ( = έχει πεδίο ορισμού το = [, + κι είνι συνεχής. Γι ν ορίζετι το ln πρέπει >, κι, επειδή το ln είνι άκρο του ολοκληρώμτος F(, πρέπει το ln ν νήκει στο πεδίο ορισμού της, δηλδή πρέπει κι ln. Επίσης κι το 8 ως άκρο του ολοκληρώμτος F(, πρέπει ν νήκει στο πεδίο ορισμού της. Δηλδή πρέπει 8. Επομένως πρέπει ν συνληθεύουν οι νισώσεις: > 8 ln e 5. Άρ το πεδίο ορισμού της F είνι το =. e,5 Οπότε, γι F κι στθερό F, έχουμε: ln ln 8 ln ( 8 ( ( d 8 ( d F ( = d = d d = ln = ln (ln 8 (8 = + 5 = + ii. Η συνάρτηση ( = e ln έχει πεδίο ορισμού το = (, (, + κι είνι συνεχής. Γι ν ορίζετι η G, πρέπει:, < κι < ή, > κι > < ή >. Άρ G = (, (, +. Γι (, κι στθερό (,, έχουμε: + + G ( = e ln d e ln d = 4

15 ( + + e ln d + = e ln d = e ln( ( e ln = = e ln( + e ln (. Γι (, + κι στθερό (, +, εργζόμστε ομοίως κι βρίσκουμε τον ίδιο τύπο. Μεθοδολογί Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο Δ κι οι συνρτήσεις h, g είνι πργωγίσιμες στο Α κι ορίζοντι οι og κι oh στο Α, τότε: g( ( (d g( h( ( (d (d g( h( = + h( = ( (d (d = (g(g ( (h(h (, A = 5

16 Πράδειγμ 6. Ν ποδείξετε ότι η πρκάτω συνάρτηση είνι πργωγίσιμη κι ν βρείτε την πράγωγό της F( = συν( d. i. Θέτουμε u = = u, οπότε είνι d = du. Επίσης: γι = έχουμε u =, γι = έχουμε u =. Επομένως: F( = ( u συνudu F( = (συνu uσυνudu F( = συνu du uσυνu du Επιπλέον έχουμε: Η (u = συν u είνι συνεχής στο, οπότε η συνάρτηση πργωγίσιμη στο. g ( = συνu du είνι Η (u = uσυν u είνι συνεχής στο οπότε η συνάρτηση g ( = uσυνu du είνι πργωγίσιμη στο. Άρ η F είνι πργωγίσιμη, ως πράξεις μετξύ πργωγίσιμων συνρτήσεων. Γι κάθε έχουμε: ( F ( = συν u du u συν u du = ( ( = συν u du+ συνu du uσυν u du = συν u du+ συν συν = [ ηµ u] = = ηµ ηµ = ηµ Μεθοδολογί Γι ν βρούμε την πράγωγο μις συνάρτησης της μορφής F( β = (,d, κάνουμε 6

17 κτάλληλη λλγή μετβλητής, ώστε η F ν πάρει τη μορφή Δηλδή: β g ( F( = h((udu. Αν υπάρχει όρος της μορφής ( d, θέτουμε = u, οπότε d = du, επομένως: β β ( d = (udu Στις περιπτώσεις υτές πρέπει ν προσέχουμε ότι: Το είνι η μετβλητή της συνάρτησης F. g ( Το είνι η ρχική μετβλητή ολοκλήρωσης κι το u είνι η νέ μετβλητή ολοκλήρωσης. 7

18 Πράδειγμ 7. Ν υπολογίσετε το όριο e d lim. Η συνάρτηση ( = e είνι συνεχής στο R. Επομένως η συνάρτηση e d είνι πργωγίσιμη. Ομοίως κι η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη. Άρ κι η συνάρτηση e d είνι πργωγίσιμη στο R ως σύνθεση των πργωγίσιμων συνρτήσεων κι e d, άρ κι συνεχής. Επομένως lim e d = e d = ( e d (. Έτσι έχουμε: e d e ( lim lim = lim = lim( 9 e = 9 e = L'HOSPITAL Μεθοδολογί Ότν θέλουμε ν βρούμε όριο πηλίκου, του οποίου οι όροι περιέχουν ολοκλήρωμ με άκρο μετβλητή, τότε: Βρίσκουμε τη μορφή του ορίου, με τη βοήθει της πρτήρησης: Αν η συνάρτηση είνι συνεχής, τότε η συνάρτηση (d είνι πργωγίσιμη, επομένως lim (d = (d =. Βρίσκουμε το όριο με τη χρήση του κνόν e L Hospial ή γενικότερ με τη χρήση των ιδιοτήτων των ορίων. 8

19 ΘΕΜΑ Δ Πράδειγμ. Ν βρείτε την πράγωγο της συνάρτησης ( = + e d. Έχουμε. ( = + e d = + (e d Θέτουμε = u ( τότε d = du (. Τ νέ άκρ ολοκλήρωσης είνι u = u = κι u = = (. Τότε λόγω των σχέσεων (, (, ( ( = + ue u du H συνάρτηση είνι πργωγίσιμη ως άθροισμ πργωγισίμων συνρτήσεων με. u ( = + ue du = + e Μεθοδολογί Γι ν υπολογίσουμε την πράγωγο μις συνάρτησης που περιέχει πράγοντ της μορφής (d εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε μορφή g ( g ( = u κι με κτάλληλες πράξεις κι μέθοδο ντικτάστσης κτλήγουμε σε (udu. Ομοίως εργζόμστε γι ( + d ή d. 9

20 Πράδειγμ. Ν βρείτε τη συνάρτηση γι την οποί ισχύει ( = (d +, με >. Έχουμε ( = (d + (d = ( (. Πργωγίζοντς τ δυο μέλη της (: (d = [ ( ] ( = ( + ( ( = με > άρ ( = Τότε η ζητούμενη συνάρτηση θ είνι μι πράγουσ της, άρ: ( = ln + c, c. H σχέση ( γι = μς δίνει Αλλά ( = ln + c = c (. (d= ( ( = (. Τότε λόγω των (, ( c= άρ ( = ln + με >. Μεθοδολογί Αν δίνετι μι σχέση που περιέχει μι συνάρτηση κι νζητούμε τον τύπο της, ένς τρόπος ν εργστούμε είνι κι ο κόλουθος: i. Πργωγίζουμε τ δυο μέλη της σχέσης που μς έχει δοθεί κι εμφνίζουμε την. ii. Λύνουμε την σχέση ως προς. Τότε η ζητούμενη συνάρτηση θ είνι μι πράγουσ της. iii. Χρησιμοποιώντς τ δεδομέν της άσκησης προσδιορίζουμε τον κριβή τύπο της συνάρτησης.

21 Πράδειγμ. Αν γι κάθε > ισχύει ( d ln, ν ποδείξετε ότι ( =. Η νίσωση γράφετι ισοδύνμ (d -ln (. Θεωρούμε την συνάρτηση g( = (d -ln με πεδίο ορισμού το (, +. Η g είνι πργωγίσιμη γι > με Έχουμε g ( = (. g( = ( d - ln= κι πό τη σχέση ( έχουμε g( g( γι κάθε >. Άρ η συνάρτηση g προυσιάζει ελάχιστο στο κι g πργωγίσιμη στο. Το είνι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού (, +, άρ λόγω θεωρήμτος Ferma θ έχουμε g ( = ή ( = ( =.

22 Πράδειγμ 4. Δίνετι η συνάρτηση F( = ηµ d. Ν βρείτε: i. το πεδίο ορισμού της, ii. την πράγωγο της F στο πεδίο ορισμού της. i. Είνι F( = ηµ d. Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το διάστημ [, + στο οποίο είνι συνεχής. Η συνάρτηση ηµ έχει πεδίο ορισμού το στο οποίο είνι συνεχής. Eπομένως η συνάρτηση ηµ έχει πεδίο ορισμού το. Άρ το πεδίο ορισμού της F είνι το =, + =, +. [ [ ii. Η F είνι πργωγίσιμη στο (, + ως γινόμενο πργωγίσιμων συνρτήσεων με: F ( = ηµ d = ηµ d + ηµ d = ( ( ( = ( ηµ d + ηµ = ηµ d + ηµ, > Γι = έχουμε: F( F( d d ηµ ηµ lim = lim = lim = ηµ ηµ lim = lim ( ηµ = + + ( d = lim = + ( ( Άρ ηµ + ηµ > F ( =, = d, Μεθοδολογί Μι συνάρτηση F είνι πργωγίσιμη σε έν διάστημ [, +, ότν είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (, + κι επιπλέον F( F( lim R. +

23 Ημερομηνί τροποποίησης: 6//