ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΦΕΡΟΝΤΑ

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑΣ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΦΕΡΟΝΤΑ (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) Alexandros-Apostolos A. Boulogeorgos e-mail: ampoulog@auth.gr WCS GROUP, EE Dept, AUTH

SINGLE CARRIER VS MULTICARRIER Single Carrier Multi-Carrier Wireless Channel 1............ N Wireless Channel

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑ; ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑΣ Time Division Multiplexing (TDM) Frequency Division Multiplexing (FDM) Code Division Multiplexing (CDM)

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΦΕΡΟΝΤΩΝ Βασική αρχή της μετάδοσης πολλαπλών φερόντων: Διαχωρισμός του διαθέσιμο για την μετάδοση εύρους ζώνης σε πολλά στενής ζώνης υπο-κανάλια τα οποία μπορούν να μεταδίδουν πληροφορία ταυτόχρονα. Ιδανικά το κάθε υποκανάλι θα πρέπει να μπορεί να θεωρηθεί κανάλι επίπεδων διαλείψεων. Το συνολικό περιβάλλον μετάδοσης είναι συχνοεπιλεκτικό. Η χρονική διασπορά στην περίπτωση των multicarrier συστημάτων μειώνεται σημαντικά καθώς η διάρκεια του κάθε συμβόλου αυξάνεται.

SINGLE CARRIER VS MULTI-CARRIER

FDM

ΠΟΜΠΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΦΕΡΟΝΤΩΝ Αν το φίλτρο εκπομπής είναι ανυψωμένου συνημιτόνου με roll off factor β, τότε η περίοδος του σήματος θα είναι ίση με T N = 1+ B N όπου BN το εύρος ζώνης του κάθε φέροντος.

ΠΟΜΠΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΦΕΡΟΝΤΩΝ Το σήμα στην έξοδο του πομπού θα είναι s(t) = NX 1 i=0 s i g(t) cos(2 f i t + i )

ΠΟΜΠΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΦΕΡΟΝΤΩΝ Για να μην υπάρχει επικάλυψη μεταξύ των γειτονικών φερόντων θα πρέπει f i = f 0 + ib N, i =0, 1,...,N 1 Στην περίπτωση αυτή, το συνολικό εύρος ζώνης και ο ρυθμός μετάδοσης είναι B = NB N R = NR N

ΔΕΚΤΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΦΕΡΟΝΤΩΝ Για να διαχωρίσουμε τα φέροντα πρέπει το σήμα να περάσει από διαφορετικά φίλτρα στενής ζώνης. Το σήμα στο φέρον k θα έχει επηρεαστεί επιπλέον από fading, του οποίου το ισοδύναμο συμβολίζουμε με hk. Η υλοποίηση αυτή είναι αρκετά δύσκολη, λόγω τον πολλών BPFs.

Interference FDM

OFDM Orthogonal Frequency Division Multiplexing Ειδική περίπτωση FDM

OFDM-Η ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ Ο ρυθμός μετάδοσης σε κανάλι πολλαπλών οδεύσεων περιορίζεται από την rms εξάπλωση καθυστέρησης (rms delay spread) του καναλιού. Δηλαδή πρέπει να ισχύει: τ rms << Τ Στέλνοντας παράλληλα από N φέροντα με εύρος ζώνης B/N, όπου B το συνολικό διαθέσιμο εύρος ζώνης, η διάρκεια του συμβόλου αυξάνεται από έναν παράγοντα ανάλογο του N. Για δεδομένο delay spread η διάρκεια του συμβόλου γίνεται N φορές μεγαλύτερη, ενώ ο ρυθμός μετάδοσης διατηρείται μέσω της παράλληλης μετάδοσης σε πολλαπλά φέροντα.

FDM VS OFDM (a) FDM (b) OFDM Το OFDM έχει μεγαλύτερη ανοχή σε παρεμβολές Εάν γίνει ατύχημα: Στο FDM χάνεται το 100% της πληροφορίας Στο OFDM (4 φορτηγά) το 25% Ανοχή του OFDM στις διαλείψεις

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑΣ Πολυπλεξία Συχνότητας - FDM Το διαθέσιμο εύρος ζώνη μοιράζεται σε 4 μη επικαλυπτόμενα κανάλια f 0 f 1 f 2 f 3 Ορθογωνική Πολυπλεξία Συχνότητας - OFDM Το διαθέσιμο εύρος ζώνη μοιράζεται σε 8 επικαλυπτόμενα κανάλια f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 Εξοικονόμηση περίπου 50% του διαθέσιμου εύρους ζώνης

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑΣ Το OFDM στηρίζεται στην ιδιότητα της ορθογωνικότητας δύο υπο-φερόντων (sub-carriers) Το ολοκλήρωμα μιας περιόδου ενός ημιτονικού ή συνημιτονικού κύματος είναι ίσο με 0.

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑΣ Ας θεωρήσουμε ένα ημιτονικό κύμα που το πολλαπλασιάζουμε με ένα ημίτονο, συχνοτήτων m και n αντίστοιχα, όπου m και n ακέραιοι. f(t) = sin(mωt)sin(nωt) = 1 2 cos ((m n)ωt ) 1 2 cos ((m + n)ωt ) 2π f(ωt)d(ωt) = 0 0 = 0 0

Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑΣ Καταλήγουμε ότι αν ολοκληρώσουμε το γινόμενο δύο ημιτονοειδών σημάτων συχνοτήτων m και n (διαφορετικών), τότε το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με 0. Οι συχνότητες αυτές ονομάζονται αρμονικές. Αν m=n τότε το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι διάφορο του 0. Αυτή είναι και η βασική ιδέα του OFDM: Η ορθογωνικότητα επιτρέπει την συνεχή μετάδοση σε πολλά sub-carriers σε στενές επικαλυπτόμενες περιοχές του εύρους ζώνης, χωρίς παρεμβολές της μιας στην άλλη περιοχή.

ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑΣ Δυο σήματα Ψk και Ψm είναι ορθογώνια όταν ισχύει: T s Ψ k Ψ m = Ψ k (t) Ψ m * (t)dt 0 = cδ ( k l) Τέτοια ορθογώνια σήματα είναι {Ψk(t)}, k=0,1,...,n-1 1 e j2πf kt,t [0,T s ] Ψ k (t) = T s 0, αλλου

ΤΟ OFDM ΣΑΝ ΜΙΑ ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ FDM FDM Τι θα συμβεί όμως αν για τις συχνότητες ισχύει: c n = nc 1 Τότε οι συχνότητες είναι αρμονικές και άρα ισχύει η ιδιότητα της ορθογωνικότητας. OFDM

ΑΠΛΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΟΜΠΟΥ FDM- OFDM

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω ότι θέλουμε να μεταδώσουμε την (Ρυθμός δειγματοληψίας: 1 sample/sec) (Ρυθμός συμβόλου: 1 symbol/sec) Τα πρώτα bits της ακολουθίας είναι: bits 1 1-1 -1 1 1 1-1 1-1 -1-1 -1 1-1 -1-1 1 1-1 -1-1 1 1

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ bits 1 1-1 -1 1 1 1-1 1-1 -1-1 -1 1-1 -1-1 1 1-1 -1-1 1 1 c1 c2 c3 c4 1 1-1 -1 1 1 1-1 1-1 -1-1 -1 1-1 -1-1 1 1-1 -1-1 1 1 Βήμα 1: Από σειριακά σε παράλληλα για να τα φορτώσουμε στις 4 φέρουσες.

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ c1 1 1 1-1 -1-1 Κάθε στήλη αναπαριστά τα bits που θα φορτωθούν σε ένα υπο-φέρον Ποια θα πρέπει να είναι η συχνότητα του c1; Θέλουμε 1 symbol/sec. Σε κάθε sec θα στείλουμε 4 sub-carriers Δηλαδή bit rate: 1/4 per sub-carrier Από Θεώρημα Nyquist πρέπει c1 > 2 * 1/4 = 1/2. Επιλέγω 1Hz.

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θεωρώ BPSK Το c1 θα έχει τη μορφή: c1 1 1 1-1 -1-1

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ c2 1 1-1 1 1-1 Η συχνότητα του c2 θα είναι η πρώτη αρμονική του c1, δηλαδή: 2Hz

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ c3-1 1-1 -1 1 1 c4-1 -1-1 -1-1 1 Συχνότητα: 3Hz Συχνότητα: 4Hz

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Βήμα 2: Προσθέτουμε τα 4 αυτά διαμορφωμένα φέροντα για να φτιάξουμε το OFDM σήμα. Το OFDM σήμα στο χρόνο

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μαθηματικά μπορούμε να εκφράσουμε την παραπάνω διαδικασία ως: c(t) = N i=1 m n (t)sin(2πnt) Που δεν είναι κάτι παραπάνω από έναν αντίστροφο μετασχηματισμό Fourrier (IFFT).

Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ IFFT ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ OFDM ΣΗΜΑΤΟΣ Ο μετασχηματισμός Fourier: Πολλαπλασιάζει ένα τυχαίο σήμα με μιγαδικά εκθετικά σε όλο το εύρος συχνοτήτων. Προσθέτει όλους τους όρους (συνιστώσες) Δίνει τα αποτελέσματα σαν συνάρτηση της συχνότητας x(k) = N 1 n=0 x(n)sin 2πkn N + j x(n)cos 2πkn N Οι συντελεστές ονομάζονται φασματική ισχύ και δείχνουν το ποσοστό της συχνότητα που εμφανίζεται στο σήμα εισόδου. N 1 n=0

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER x(k) = N 1 n=0 x(n)sin 2πkn N + j N 1 n=0 x(n)cos 2πkn N

Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Μεταφέρει το σήμα από το πεδίο της συχνότητας σε αυτό του χρόνου. X(n) = N 1 n=0 x(k)sin 2πkn N j N 1 n=0 x(k)cos 2πkn N Οι διαδικασίες FFT και IFFT είναι γραμμικά ζεύγη!

FFT ΚΑΙ IFFT

FFT ΚΑΙ IFFT

FFT ΚΑΙ IFFT

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η πρώτη στήλη του πίνακα μπορεί να θεωρηθεί ότι αναπαριστά πλάτη ημιτονικών σημάτων συγκεκριμένου εύρους. c1 c2 c3 c4 1 1-1 -1 1 1 1-1 1-1 -1-1 -1 1-1 -1-1 1 1-1 -1-1 1 1 Ο IFFT θα σχηματίσει τα σήματα στο πεδίο του χρόνου.

ΤΟ OFDM ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ c1 c2 c3 c4 1 1-1 -1 1 1 1-1 1-1 -1-1 -1 1-1 -1-1 1 1-1 -1-1 1 1

ΤΟ OFDM ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΟΜΠΟΥ - ΔΕΚΤΗ (ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΕΑ)

ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ

ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ K 1 k=0 h c (t) = a k δ (t τ k ) a k : Complex Path Gain τ 0 : Normalized Path Delay to LOS Δ k = τ k τ 0 differrence in path time

ΤΟ ΣΗΜΑ ΣΤΟ ΔΕΚΤΗ y(t) = h c (t)*x(t) + n(t) Συνέλιξη

INTER-BLOCK INTERFERENCE

ΕΞΑΠΛΩΣΗ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΠΡΟΘΕΜΑΤΟΣ (CYCLIC PREFIX - CP) ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΗΣ Αυτοκίνητο 1 Αυτοκίνητο 2 Κόβουμε ταχύτητα για να αφήσουμε μεγαλύτερη απόσταση από το μπροστινό

ΕΞΑΠΛΩΣΗ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΠΡΟΘΕΜΑΤΟΣ (CYCLIC PREFIX - CP) ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΗΣ Ας κάνουμε το ίδιο και με τα σήματα: Απομακρύνουμε το ένα σήμα από το άλλο δημιουργώντας μία κενή περιοχή μεταξύ δύο διαδοχικών συμβόλων. Αυτό, όμως, θα προκαλέσει intercarrier interference (ICI), καθώς δεν υπάρχει ακέραιο πλήθος κυκλικών διαφορών ανάμεσα στα υπο-φέροντα εντός της διάρκειας του FFT.

ΕΞΑΠΛΩΣΗ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΠΡΟΘΕΜΑΤΟΣ (CYCLIC PREFIX - CP) ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΗΣ Σαν πρώτη λύση: Ας αφήσουμε το σήμα να τρέξει περισσότερο, ώστε να καλύψει το κενό. Το πραγματικό σύμβολο διαρκεί περισσότερο από μία περίοδο. Η αρχή του συμβόλου βρίσκεται πάλι στην επικίνδυνη περιοχή

ΕΞΑΠΛΩΣΗ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΠΡΟΘΕΜΑΤΟΣ (CYCLIC PREFIX - CP) ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΗΣ Δεν θέλουμε: η αρχή του συμβόλου να πέφτει εντός της επικίνδυνης ζώνης. να υπάρχει κενή περιοχή Συνεπώς θα πρέπει να γεμίσουμε την κενή περιοχή με κάτι.

ΕΞΑΠΛΩΣΗ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΠΡΟΘΕΜΑΤΟΣ (CYCLIC PREFIX - CP) ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΗΣ Αντιγράφουμε το τελευταίο τμήμα του σήματος και το επικολλούμε στην αρχή. Επεκτείνουμε το σήμα ώστε να είναι 1.25 φορές το αρχικό

ΕΞΑΠΛΩΣΗ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΚΑΙ Η ΧΡΗΣΗ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΠΡΟΘΕΜΑΤΟΣ (CYCLIC PREFIX - CP) ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΗΣ Πρέπει να κάνουμε CP σε κάθε carrier; Το OFDM αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των σημάτων των carriers. Άρα αρκεί να κάνω CP μία φορά στο σύνθετο OFDM σήμα. Το πρόθεμα μπορεί να είναι μεταξύ 10% και 25% του συμβόλου.

Το σήμα με και χωρίς CP 25% CP

CYCLIC PREFIX Γενικά πρέπει να επιλέγουμε την διάρκεια του CP να είναι μεγαλύτερη από το delay-spread.

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΤΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟ DELAY SPREAD Enviroment Delay Spread Home < 50 ns Office ~ 100 ns Manufactures 200~300 ns Suburband < 10 μs

OFDM ΠΟΜΠΟΔΕΚΤΕΣ

OFDM ΠΟΜΠΟΔΕΚΤΕΣ

OFDM ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ FADING

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΤΟΥ OFDM ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ OFDM

IEEE 802.11 SPECIFICATIONS

LTE SPECIFICATIONS

LTE SPECIFICATIONS

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Θεωρήστε ένα σύστημα πολλαπλών φερόντων με συνολικό εύρος ζώνης 1MHz. Αν το σύστημα αυτό λειτουργεί σε μία πόλη με κανάλια που το delay spread είναι 20μs. Πόσα υπο-κανάλια χρειάζονται για να μπορείτε να θεωρήσετε επίπεδες διαλείψεις σε κάθε υπο-κανάλι ; ΛΥΣΗ Το σύμφωνο εύρος ζώνης του καναλιού είναι B c = 1 20 10 6 = 50 khz. Για να διασφαλίσουμε ότι το κάθε ύπο-κανάλι θα είναι επίπεδων διαλείψεων, θα πρέπει B N = B N << B c Συνεπώς επιλέγουμε B N =0.1B c = 5 khz Και άρα N = 200 Επειδή όμως το N πρέπει να είναι δύναμη του 2 (περιορισμός του DFT, IDFT), επιλέγουμε N=256.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Έστω ένα σύστημα πολλαπλών φερόντων με περίοδο συμβόλου ίση με 0.2 ms, η οποία θεωρείτε κατά πολύ μεγαλύτερη του delay spread. Αν το πλήθος των φερόντων είναι ίσο με 128, το φίλτρο εκπομπής είναι ανυψωμένου συνημιτόνου με β=1, και το επιπλέον σχετικό εύρος ζώνης που απαιτείται για να εξασφαλίσουμε ελαχιστοποίησης της ισχύος εκτός του εύρους του σήματος είναι ίσο ε=0.1, ποιο είναι τότε το συνολικό εύρος ζώνης του συστήματος. ΛΥΣΗ Έστω ένα σύστημα πολλαπλών φερόντων όπου χρησιμοποιούνται φίλτρα ανυψωμένου συνημιτόνου με roll-off factor ίσο με β>0, τότε το εύρος ζώνης του κάθε φέροντος θα είναι B N = 1+ T N

Εξαιτίας του χρονικού παραθύρου που προστίθεται στο σήμα, το εύρος ζώνης αυξάνεται κατά ε/tn. Συνεπώς το εύρος ζώνης του κάθε φέροντος θα είναι B N = 1+ T N Το συνολικά απαιτούμενο εύρος ζώνης θα είναι + B = NB N = N 1+ T N + =1.344 MHz

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Ένα OFDM σύστημα χρησιμοποιεί 2048 φέροντα. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών φερόντων είναι 250 Hz, ενώ η περιοχή φύλαξης έχει μήκος 2 msec. Η διαμόρφωση που χρησιμοποιείται σε κάθε φέρον είναι BPSK. Καθορίστε το εύρος ζώνης και το ρυθμό μετάδοσης του συστήματος. Εάν το μήκος του IDFT που χρησιμοποιείται είναι 4096, βρείτε τη συχνότητα δειγματοληψίας στο σήμα εξόδου και εκτιμήστε το πλήθος των δειγμάτων που πέφτει εντός της περιοχής φύλαξης. Η απαιτούμενη ενέργεια για ένα OFDM σύμβολο στον πομπό είναι EOFDM =1.4 W s. Ο λευκός Gaussian θόρυβος που προστίθεται στο σήμα βασικής ζώνης στον πομπό εξαιτίας του band-pass filter έχει πυκνότητα ισχύος No/2 = 6 10-5 W s. Καθορίστε το λόγο ενέργειας σήματος προς θόρυβο (Eb/No) σε db. Καθορίστε το BER του συστήματος εκπομπής. Υπολογίστε τη μέση ισχύ που εκπέμπεται από τον πομπό. Ποιος θα ήταν ο ρυθμός μετάδοσης του συστήματος και ποιο το BER αν η διαμόρφωση που χρησιμοποιούσαμε για την πληροφορία που φορτώνεται σε κάθε φέρον ήταν QPSK. Ποια θα έπρεπε να είναι η ισχύ εκπομπής του πομπού, ώστε το BER να μην ξεπερνάει το 10-4 στην περίπτωση του BPSK και του QPSK.

ΛΥΣΗ Ο πομπός φαίνεται στο παρακάτω block διάγραμμα

Καθορίστε το εύρος ζώνης και το ρυθμό μετάδοσης του συστήματος. f f Το ενεργό εύρος ζώνης για το κάθε carrier θα είναι Το πλήθος των carriers είναι N Άρα το συνολικό εύρος ζώνης που καταλαμβάνει το OFDM σήμα θα είναι W = N f = 512 khz f

Η διάρκεια του OFDM συμβόλου πληροφορίας συνδέεται με την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών φερόντων, μέσω της σχέσης T s = 1 f =4ms Άρα η συνολική διάρκεια του OFDM συμβόλου θα είναι T = T s + T G =6ms Στην περίπτωση του BPSK ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων θα είναι R = log 2(M)N T s + T G = 341 kbit/s Εάν το μήκος του IDFT που χρησιμοποιείται είναι 4096, βρείτε τη συχνότητα δειγματοληψίας στο σήμα εξόδου και εκτιμήστε το πλήθος των δειγμάτων που πέφτει εντός της περιοχής φύλαξης. Για ένα OFDM σύμβολο διάρκειας Ts χρησιμοποιήσαμε ένα IDFT Nf δειγμάτων. Άρα η συχνότητα δειγματοληψίας θα είναι f A = N f = 4048 T s 4 = 1024 khz

Σε ένα χρονικό διάστημα Ts λαμβάνουμε Nf δείγματα. Σε ένα χρονικό διάστημα TG λαμβάνουμε NG δείγματα. Από την απλή μέθοδο των τριών N G = N f T G T s = 2048 samples Η απαιτούμενη ενέργεια για ένα OFDM σύμβολο στον πομπό είναι EOFDM =1.4 W s. Ο λευκός Gaussian θόρυβος που προστίθεται στο σήμα βασικής ζώνης στον πομπό εξαιτίας του band-pass filter έχει πυκνότητα ισχύος No/2 = 6 10-5 W s. Καθορίστε το λόγο ενέργειας σήματος προς θόρυβο (Eb/No) σε db. Καθορίστε το BER του συστήματος εκπομπής. Υπολογίστε τη μέση ισχύ που εκπέμπεται από τον πομπό. N o =2 N o 2 E b = E = OFDM N o log 2 (M)N}Eb E OFDM log 2 (M)NN o =5.7 7.55 db 2 2048

Εφόσον στο σήμα εισάγεται guard interval, ένα μέρος της ισχύος χάνεται. Συνεπώς, το ενεργό SNR per bit θα μειώνεται κατά ένα συντελεστή γ 2. Το Eb/No αντιστοιχεί σε χρόνο Ts + TG Αφαιρώντας το guard interval, χάνω την ισχύ του διαστήματος TG. Άρα ο συντελεστής απωλειών εξαιτίας του guard interval θα δίνεται από την 2 = και το ενεργό SNR per bit θα είναι: T s T s + T G 2 E b N o = T s T s + T G E b N o =1.9488 Συνεπώς, η πιθανότητα σφάλματος στην περίπτωση του BPSK θα είναι P b = 1 2 erfc r 2 E b N o! =3 10 3 Η εκπεμπόμενη ισχύ θα είναι P = E OFDM T s + T G = 233.3 Watt

Ποιος θα ήταν ο ρυθμός μετάδοσης του συστήματος και ποιο το BER αν η διαμόρφωση που χρησιμοποιούσαμε για την πληροφορία που φορτώνεται σε κάθε φέρον ήταν QPSK. Στην περίπτωση του QPSK ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων θα είναι R = log 2(M)N T s + T G = 682 kbit/s Ο λόγος ενέργειας bit προς σήματος για το QPSK θα είναι E b N o = E OFDM log 2 (M)NN o =2.85 4.55 db Συνεπώς, η πιθανότητα σφάλματος στην περίπτωση του QPSK θα είναι P b = 2Q r! 2Eb 2 N o Q 2 r! 2Eb 2 N o P b =0.1561

Ποια θα έπρεπε να είναι η ισχύ εκπομπής του πομπού, ώστε το BER να μην ξεπερνάει το 10-4 στην περίπτωση του BPSK και του QPSK. Η πιθανότητα σφάλματος στην περίπτωση του BPSK δίνεται από την P b = 1 2 erfc P b apple 10 4 r 2 E b N o! E }2 b 6.915N o 6.915 ή E b 2 N o E b 0.0012Ws Η πιθανότητα σφάλματος στην περίπτωση του QPSK δίνεται από P b = 2Q r! 2Eb 2 N o Q 2 r! 2Eb 2 N o Για μεγάλες τιμές του SNR, ο δεύτερος όρος τείνει στο μηδέν, οπότε P b 2Q P b apple 10 4 r! 2Eb 2 N o }E b 7.57 N o 2 ή E b 0.0014Ws