HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ

Transcript

1 HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 22: Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με το ΔΜΦ

2 Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Το ζεύγος εξισώσεων που ορίζουν το ΔΜΦ είναι: Ο γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (Fast Fourier Transform) εκμεταλλεύεται τις ιδιότητες συμμετρίας των σημάτων για να μειώσει τον αριθμό των πράξεων (προσθέσεις και πολλαπλασιασμοί) που χρειάζονται για τον υπολογισμό του DFT Πόσες πράξεις χρειαζόμαστε? Εστω ότι το x[n] είναι πραγματικό Υπολογίζουμε μια φορά το μιγαδικό εκθετικό: Για κάθε τιμή του DFT X[k] χρησιμοποιούμε τη σχέση: 2 Για κάθε X[k] χρειαζόμαστε: Ν- 1 μιγαδικές προσθέσεις Ν μιγαδικούς πολλαπλασιασμούς Αρα συνολικά, εφόσον χρειαζόμαστε N τιμές του DFT χρειαζόμαστε: Ν(Ν- 1) μιγαδικές προσθέσεις Ν 2 μιγαδικούς πολλαπλασιασμούς

3 Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Γενικά για πραγματικό ή μιγαδικό σήμα x[n] χρειαζόμαστε Ο(Ν 2 ) πράξεις Πως μπορούμε να μειώσουμε τις πράξεις? Μπορούμε εκμεταλλευτούμε τη συμμετρία και περιοδικότητα του μιγαδικού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου Ο αλγόριθμοι Γρήγορου Μετασχηματισμού Fourier (FFT) εκμεταλλεύονται τόσο τη συμμετρία όσο και την περιοδικότητα και επιτυγχάνουν μεγάλη μείωση των απαιτούμενων υπολογισμών Cooley and Tukey (1965): αποδοτικός υπολογισμός του DFT όταν το Ν είναι γινόμενο δύο ή περισσοτέρων ακεραίων, το οποίο οδήγησε σε μια οικογένεια αλγορίθμων οι οποίοι είναι γνωστοί ως Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Κεντρική ιδέα: Σπάμε τον υπολογισμό του DFT μιας ακολουθία μήκους Ν σε DFTs με μικρότερο μήκος, τους οποίους συνδυάζουμε για να πάρουμε τον DFT μήκους Ν. Το «σπάσιμο» μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους από τους οποίους οι βασικοί είναι ο αποδεκατισμός στο χρόνο (decima{on in {me) ή ο αποδεκατισμός στη συχνότητα 3

4 Γρήγορος Μετασχηματισμός Fourier Αποδεκατισμός στο χρόνο: Σπάμε το σήμα x[n] σε μικρότερα κομμάτια. Εστω Μπορούμε να σπάσουμε ως εξής: Αρα: Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε τους DFTs G[k], H[k] (Ν/2 σημείων) για k=0,1,2,,n- 1. Ομως οι DFT αυτοί είναι περιοδικοί με περίοδο Ν/2, άρα χρειάζεται να υπολογίσουμε Ν/2 τιμές για τον καθένα και μπορούμε να επεκτείνουμε περιοδικά μέχρι το Ν- 1, άρα: 4

5 Αποδεκατισμός στο χρόνο Ν=8 Πράξεις? Ενας DFT Ν σημείων χρειάζεται Ν(Ν- 1) (περίπου Ν 2 για μεγάλο Ν) μιγαδικές προσθέσεις και Ν 2 πολλαπλασιασμούς Δύο DFT Ν/2 σημείων χρειάζονται περίπου 2(Ν/2) 2 πολλ/σμους και 2(Ν/2) 2 προσθέσεις Επίσης χρειάζονται στο στρώμα εξόδου Ν πολλαπλασιασμοί και Ν προσθέσεις Σύνολο Ν+2(Ν/2) 2 πολλ/σμοι και Ν+2(Ν/2) 2 προσθέσεις, όμως Ν+2(Ν/2) 2 <Ν 2 για Ν>2 5

6 Αποδεκατισμός στο χρόνο Μπορούμε να σπάσουμε περαιτέρω τελικά υπολογίζουμε DFTs 2 σημείων! Στη γενική περίπτωση (αν Ν>8, π.χ. Ν=16, 32, ) θα προχωρούσαμε στον υπολογισμό DFTs με Ν/8 σημεία κ.ο.κ. Συνολικά για 2 ν σημεία έχουμε ν=log 2 N στάδια 6

7 Αποδεκατισμός στο χρόνο Τι κερδίζουμε σε πράξεις? DFTs με Ν/2 σημεία: Ν+2(Ν/2) 2 DFTs με Ν/4 σημεία: Ν+Ν+4(Ν/4) 2 Συνολικά έχουμε Νν=Νlog 2 N μιγαδικούς πολλ/σμούς και προσθέσεις Πολύ σημαντική μείωση, π.χ. για Ν=1024=2 10 = 1024 έχουμε: Ν 2 = Ν log 2 N = φορές (2 τάξεις μεγέθους) μείωση! 7

8 Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με τον ΔΜΦ Μέχρι στιγμής είδαμε ανάλυση με τον DTFT. Οταν χρησιμοποιούμε DFT υπάρχουν κάποιες σημαντικές διαφορές (π.χ. κυκλική συνέλιξη!) Βασικά σημεία: Επαρκής συχνότητα δειγματοληψίας (Nyquist) αποφυγή αναδίπλωσης Επαρκές μέγεθος DFT ώστε να επιτυγχάνουμε καλή ανάλυση (resolu{on) συχνότητας Επαρκές μέγεθος DFT ώστε να αποφεύγουμε αναδίπλωση λόγω κυκλικής συνέλιξης (αν χρειαζόμαστε συνέλιξη) Επιλογή παράθυρου (window) στο χρόνο w[n] ώστε να πάρουμε σήμα πεπερασμένης διάρκειας αν το σήμα x[n] είναι πολύ μεγάλης/ άπειρης διάρκειας 8

9 Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με τον ΔΜΦ Παράδειγμα: Καθώς το φίλτρο αντιαναδίπλωσης δεν είναι ιδεατό έχουμε κάποια αναδίπλωση και παραμόρφωση του φάσματος Υπάρχουν σφάλματα λόγω κβαντοποίησης Πολλαπλασιασμός με παράθυρο (περιοδική) συνέλιξη στο πεδίο της συχνότητας Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα παράθυρα που είδαμε στο κεφάλαιο των φίλτρων (Hanning, Hamming, Kaiser, Blackman κλπ.) 9

10 Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με τον ΔΜΦ Ο DFT είναι: Πρέπει L<N! Η ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας για το σήμα ΔΧ είναι 2π/N, άρα η αντίστοιχη ανάλυση συχνότητας που επιτυγχάνουμε για το σήμα συνεχούς χρόνου είναι Επίσης το k- στο σημείο του DFT αντιστοιχεί σε συχνότητα Αν έχουμε συνέλιξη πρέπει Ν Ν1+Ν2-1! 10

11 Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με τον ΔΜΦ Πρακτικά κρατάμε παράθυρο πεπερασμένου μήκους με παραθύρωση - Παραμόρφωση του φάσματος λόγω συνέλιξης στο πεδίο της συχνότητας Πως επηρεάζει το πλήθος των σημείων του DFT? - Λιγότερα σημεία έχουν ως αποτέλεσμα χειρότερη ανάλυση συχνότητας, καθώς το ΔΩ μεγαλώνει, με άλλα λόγια βλέπουμε λιγότερες λεπτομέρειες στο πεδίο της συχνότητας 11

12 Ανάλυση σημάτων/συστημάτων με τον ΔΜΦ Παράδειγμα: Εστω σήμα με περιορισμένο εύρος ζώνης ώστε Xc(jΩ)=0 για Ω 2π2500 rad/s. 1. Συχνότητα δειγματοληψίας? (Υποθέτουμε το το φίλτρο αντιαναδί- πλωσης είναι ιδανικό) 2. Για την ελάχιστη τιμή αυτής, θέλουμε η απόσταση των σημείων του DFT στο πεδίο της συχνότητας συνεχούς χρόνου να είναι 2π(10) rad/sec ή ισοδύναμα 10 Hz. Ποιο πρέπει να είναι το ελάχιστο Ν του DFT? 3. Για το ελάχιστο Ν ποιο σημείο του DFT αντιστοιχεί σε συχνότητα 1000 Hz? 4. Πόσα σημεία θα έπρεπε να πάρουμε στον αντίστοιχο FFT? 12

13 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων Ημιτονοειδή σήματα: Συγκεντρωμένο φάσμα, χρήσιμα για να δούμε τα αποτελέσματα του DFT DTFT ημιτονοειδούς σήματος? Εστω το άθροισμα 2 ημιτονοειδών σημάτων: Πεδίο συχνότητας: 13

14 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων Παράδειγμα: 1/Τ=10 ΚΗz, w[n] μήκους 64, Α 0 =1, Α 1 =0.75, θ 0 =θ 1 =0, Τετραγωνικό παράθυρο w[n] 14

15 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων Τι γίνεται όταν τα σήματα έρχονται πιο κοντά στο πεδίο της συχνότητας? w[n] 15

16 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων Παίρνοντας τον DFT και για ορθογώνιο παράθυρο με μήκος Μ+1=64: ΔΜΦ µε µήκος Ν=64 16

17 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων Τι γίνεται αν αλλάξουν οι συχνότητες των συνημιτονοειδών σημάτων (ορθογώνιο παράθυρο με μήκος, Μ+1=64): ΔΜΦ µε µήκος Ν=64 Παίρνοντας Ν=128 με zero padding Δεν βελτιώνεται η διακριτική ικανότητα! ΔΜΦ µε µήκος Ν=128 17

18 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων Παράθυρο Kaiser (M+1 = 64) με β = 5.48 οπότε Asl = 40 db: ΔΜΦ µε µήκος Ν=64 N=64: Δω = ω1- ω0 = 2π/7.5-2π/14 = Το παράθυρο Kaiser έχει πλάτος κύριου λοβού: Δml = άρα έχουμε μικρή επικάλυψη και οι δύο κορυφές είναι διακριτές Ν = 32: Δml = > οι κορυφές δεν είναι πλέον διακριτές! ΔΜΦ µε µήκος Ν=32 18

19 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων Παράθυρο Kaiser με β = 5.48 ΔΜΦ µε µήκος Ν=32, παράθυρο Μ+1=32 Ν=64, Μ+1 = 32 Ν=128, Μ+1 = 32 19

20 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων Παράθυρο Kaiser με β = 5.48 ΔΜΦ µε µήκος Ν=2048, παράθυρο Μ+1= 32 Γραµµική παρεµβολή Ν=2048, Μ+1 = 42 Ν=2048, Μ+1 =64 20

21 Η διακριτική μας ικανότητα και η διαρροή επηρεάζεται από τις ιδιότητες του παραθύρου Εύρος κύριου λοβού (Δ ml ) - resolu{on Σχετικό πλάτος πλευρικών λοβών (Λόγος σε db κύριου λοβού προς μεγαλύτερο πλευρικό rela{ve side lobe level Α sl ) leakage Εκτός του παραθύρου Kaiser, μόνη παράμετρος το M L=M+1 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων 21 Window type Main-lobe width Δml Max sidelobe level [db] Rectangular 4π/L Hamming 8π/(L-1) Hanning 8π/(L-1) Blackman 12π/(L-1) -57

22 Ανάλυση ημιτονοειδών σημάτων Παράθυρο Kaiser Για να επιτύχουμε συγκεκριμένα Α sl και Δ ml εμπειρικές σχέσεις 22