Συναρτήσεις Συσχέτισης

Transcript

1 Συναρτήσεις Συσχέτισης Για ένα σήµα ενέργειας ορίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R + ( τ = ( τ ( τ = ( ( τ d = ( + τ + ( d Για ένα σήµα ισχύος ορίζεται η µέση χρονική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R ( τ = lim ( ( τ T T +T T d Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R (τ εξαρτάται από το πλάτος του σήµατος (. Ορίζεται ο συντελεστήςαυτοσυσχέτισηςοοποίοςείναιανεξάρτητοςαπότοπλάτοςτουσήµατος. r ( τ = R ( τ E Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-63

2 Ιδιότητες της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Η ενέργεια, E, σήµατος, (, είναι ίση µε τη τιµή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του σήµατος, R (τ, γιατ= 0. + R ( τ = ( ( τ d τ = 0 Ο MF της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήµατος ισούται µε τη φασµατική πυκνότητα ενέργειαςτουσήµατος. + R ( 0 = ( d R ( τ = ( τ ( τ F[ R ( τ ] = X ( ω = E X ( R (τ h ( R h (τ (ω y ( = ( h ( R ( τ = R ( τ R ( τ y h Y ( ω = X ( ω H ( ω Σχέσεις µεταξύ των συναρτήσεων εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της εξόδου ΓΧΑ συστήµατος ισούται µε τη συνέλιξη της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης της εισόδου µε τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της κρουστικής απόκρισης του συστήµατος Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-64

3 Ιδιότητες της µέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Ηµέσηισχύς, P σήµατος ( είναιίσηµετηµέσηχρονικήσυνάρτησηαυτοσυσχέτισης, R (τ, γιατ= 0. R ( τ = lim ( ( τ d T T +T T τ = 0 R (0 = lim T T +T T ( d= P Ο µετασχηµατισµός Fourier της µέσης χρονικής συνάρτησης αυτοσυσχέτισης, ισούται µε τη φασµατική πυκνότητα ισχύος του σήµατος. [ R ( τ ] S ( ω F = Ησυνάρτηση S (ω περιγράφειτοντρόποµετονοποίοκατανέµεταιηισχύςτουσήµατοςστο χώρο των συχνοτήτων. ( R (τ S (ω h ( R h (τ y ( = ( h ( R y ( τ = R ( τ * h ( τ * h S ( ω S ( ω H ( ω y = * ( τ Σχέσεις µεταξύ των συναρτήσεων εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑ συστήµατος. Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-65

4 Με τη βοήθεια ενός radar είναι δυνατή η µέτρηση της απόστασης στην οποία βρίσκεται ένας στόχος (π.χ. αεροπλάνο. Το σήµα εκποµπής αποτελείται από ορθογώνιους παλµούς διάρκειας T, οι οποίοι επαναλαµβάνονταιµεπερίοδοτ 0. Υποθέτουµε ότι ο στόχος βρίσκεται σε απόσταση d. Το χρονικό διάστηµα τ από τη στιγµή εκποµπής του παλµού µέχρι τη στιγµή που φτάνει η ηχώ του στόχου είναι τ = d όπου είναι η ταχύτητα του φωτός. ( r ( 0 T 0 τ T+ τ Οπαλµόςεκποµπής (,καιοπαλµόςλήψης r(, σε ένα ιδανικό σύστηµα Radar. Αρχή λειτουργίας Radar Η διάταξη προσδιορίζει το χρονικό διάστηµα τ, και στη συνέχεια προσδιορίζει την απόσταση d. d = τ Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-66

5 Η ηχώ του σήµατος εκποµπής από το στόχο διαβρώνεται από θόρυβο. Εποµένως ο προσδιορισµός του τ πρακτικά είναι αδύνατο να προσδιορισθεί απευθείας από το σήµα εκποµπήςκαιαπότηνηχώτου. ( 0 T r ( Οπαλµόςεκποµπής (,καιοπαλµόςλήψης r(, σεέναπραγµατικόσύστηµα Radar. Το σήµα ηχούς, r( εφαρµόζεται στη είσοδο ενός ΓΧΑ συστήµατος το οποίο ονοµάζεται προσαρµοσµένο φίλτρο (mahed iler. Η κρουστική απόκριση του προσαρµοσµένου φίλτρουείναιηανάκλασητουσήµατοςεκποµπής (, δηλαδή, h ( = ( r ( Προσαρµοσµένο φίλτρο στο σήµα ( y ( = r ( h ( Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-67

6 Η έξοδος του προσαρµοσµένου φίλτρου y(, είναι η συνέλιξη του σήµατος ηχούς r(, µε την κρουστικήαπόκριση h(, δηλαδή, y( = r( * h(. ( 0 T r ( y ( 0 τ Οπαλµόςεκποµπής (,καιοπαλµόςλήψης r(, καιηέξοδοςτου προσαρµοσµένου σήµατος y(, σε ένα πραγµατικό σύστηµα Radar. Το χρονικό διάστηµα τ είναι ίσο µε τη χρονική στιγµή κατά την οποία η έξοδος του προσαρµοσµένου φίλτρου αποκτά τη µέγιστη τιµή της. Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-68

7 Ηδιαµόρφωσηκαιηαποδιαµόρφωσηστηµετάδοσησήµατος. Η διαµόρφωση χρησιµοποιεί το σήµα πληροφορίας m( για να µεταβάλλει το πλάτος ενός ηµιτονοειδούςφέροντος os(ω. m ( os( ω u ( (α ιαµορφωτής Το διαµορφωµένο σήµα είναι u( = Κανάλι r ( os( ω z ( Χαµηλοπερατό Φίλτρο (βσύγχρονη (ήσύµφωνηαποδιαµόρφωση Το λαµβανόµενο σήµα απουσία θορύβου µέσω ιδανικού καναλιού είναι Το αποδιαµορφωµένο σήµα είναι r ( = u( = m ( os ( ω m ( os ( ω = m ( os( ω os( ω z ( = r ( os ( ω Το σήµα αυτό διέρχεται µέσα από ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο µε εύρος-ζώνης W. Η έξοδος του φίλτρου είναι y l ( = m ( = m ( + m ( os ( ω y l ( Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-69

8 Μελέτη της διαµόρφωσης και αποδιαµόρφωσης στο πεδίο συχνότητας M ( A W Το φάσµα του µηνύµατος για ένα αυθαίρετο m( W + W U ( A A 0 W W W Το φάσµα U( του διαµορφωµένου σήµατος + Z ( W + απόκριση φίλτρου διέλευσηςχαµηλ. συχν. W + W W 0 W W + W Το φάσµα Ζ( του σήµατος στην είσοδο του φίλτρου Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-70

9 Πολυπλεξία Σηµάτων H διαδικασία της διαµόρφωσης µας δίδει τη δυνατότητα να διευθετήσουµε τη µετάδοση πολλών µηνυµάτων από διαφορετικούς χρήστες µέσα από το ίδιο φυσικό κανάλι Στη ραδιοφωνία και στην τηλεοπτική εκποµπή ο ποµπός µεταφέρει το φάσµα του σήµατος πληροφορίας που πρόκειται να εκπέµψει στην κατάλληλη περιοχή συχνοτήτων για να µη παρεµβάλλεται µε κάποιον άλλον. Η διαδικασία κατά την οποία συνδυάζουµε έναν αριθµό ξεχωριστών σηµάτων µηνύµατος σε σύνθετο σήµα για να τα µεταδώσουµε µέσα από ένα κοινό κανάλι καλείται πολυπλεξία. Υπάρχουν δύο βασικές τεχνικές πολυπλεξίας Η πολυπλεξία µε διαίρεση συχνότητας (FDM Frequeny Division Mulipleing Η πολυπλεξία µε διαίρεση χρόνου (TDM Time Division Mulipleing Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-7

10 M ( Πολυπλεξία µε ιαίρεση Συχνότητας W W m διαµορφωτής u ( ( M ( W W m ( διαµορφωτής u ( Σ ΚΑΝΑΛΙ M 3 ( 3 W 3 W 3 m 3 ( διαµορφωτής u 3 ( Ποµπός FDM. Παράδειγµα πολυπλεξίας τριών σηµάτων µε διαίρεση συχνότητας Μια τυπική διάταξη συστήµατο FDM φαίνεται στο Σχήµα. Το σχήµα αυτό δείχνει την πολυπλεξία διαίρεσης συχνότητας στον ποµπό 3 σηµάτων µηνύµατος. Τα χαµηλοπερατά φίλτρα στον ποµπό χρησιµοποιούνταιγιαναείναιβέβαιοότιτοεύρος-ζώνηςτωνσηµάτωνµηνύµατοςπεριορίζεταισε W Hz. Κάθε σήµα διαµορφώνει ένα ξεχωριστό φέρον και εποµένως απαιτούνται 3 διαµορφωτές. Στη συνέχεια τα σήµατααπότους 3 διαµορφωτέςπροστίθενταικαιµεταδίδονταιµέσααπότοκανάλι. Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-7

11 U ( Ζώνη προστασίας Ζώνη προστασίας Ζώνη προστασίας Φίλτρο λήψηςγιατο m 3 ( +W 3 + W 3 + W 3 Φάσµα του πολυπλεγµένου σήµατος Για τον περιορισµό της πιθανότητας φασµατικής επικάλυψης, τα διαµορφωµένα φάσµατα διαχωρίζονται µεταξύ τους κατά συχνότητα µε ζώνες προστασίας. Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-73

12 Η πολυπλεξία διαίρεσης χρόνου χρησιµοποιείται συνήθως κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας. m ( m ( Πολυπλεξία µε ιαίρεση Χρόνου N σήµατα, που είναι όλα περιορισµένου εύρους-ζώνης µέχρι B 3400Hz λόγω των χαµηλοπερατών φίλτρων εισόδου (, δειγµατοληπτούνται στον ποµπό τοέναµετάτοάλλο m 3 ( m 4 ( Κυµατοµορφή TDM µε τέσσερα κανάλια T N πλαίσιο T T Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-74

13 Πολυπλεξία µε ιαίρεση Χρόνου m ( s ( Περίοδος δειγµατοληψίας m ( s ( s ( 0 T s m 3 ( s ( Σ s 3 ( m 4 ( s 3( s 4 ( s 4( Μεταγωγή Καταµερισµού Χρόνου Κυµατοµορφές ελέγχου µεταγωγής Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Αναλογικών Σηµάτων 3-75