Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 2: Δημιουργία και Επεξεργασία διανυσμάτων και πινάκων μέσω του Matlab Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Να κατανοήσει ο φοιτητής τον τρόπο δημιουργίας και επεξεργασίας διανυσμάτων και πινάκων μέσω του Matlab. 4

Περιεχόμενα Δημιουργία και Επεξεργασία διανυσμάτων μέσω του Matlab. Δημιουργία και Επεξεργασία πινάκων μέσω του Matlab. Σύνθετοι πίνακες. Πράξεις πινάκων. Συναρτήσεις δημιουργίας και επεξεργασίας πινάκων. Γραμμικό Σύστημα Επίλυση Γραμμικού Συστήματος. 5

Διανύσματα Τα διανύσματα είναι πίνακες με διαστάσεις 1 γραμμή Χ n στήλες (διάνυσμα γραμμής) ή n γραμμέςχ 1 στήλη (διάνυσμα στήλης) των οποίων τα στοιχεία είναι διατεταγμένα σε μία διάσταση. Ένα διάνυσμα γραμμής στο MATLAB ορίζεται ως εξής: >>u=[u1 u2 u3 un] Αντί για κενά μπορεί να χρησιμοποιηθούν κόμματα >>u=[u1,u2,u3, un]. Όταν εισάγουμε δεκαδικούς αριθμούς η υποδιαστολή ορίζεται με τελεία. 6

Ορισμός διανυσμάτων με βήμα (το βήμα μπορεί να είναι και αρνητικό) >>u=[αρχική τιμή:βήμα:τελική τιμή] Π.Χ. u=[2 4 6 8 10 12] στο MATLAB >>u=[2:2:12]. Κλήση ενός συγκεκριμένου στοιχείου του πίνακα προσδιορίζεται από το δείκτη τους. Π.χ. >>u(3) ans=6. >>u(1:3) πρώτα 3 στοιχεία του πίνακα. >>u(1:3:5) 1ο, 3ο και 5ο στοιχείο. >>u(4:end) 4ο μέχρι τελευταίο στοιχείο. >>u(5:-1:2) 5ο, 4ο, 3ο και 2ο. 7

Διάνυσμα Στήλης Ένα διάνυσμα στήλης στο MATLAB ορίζεται ως εξής: >>u=[u1;u2;u3; un]. Δύο πίνακες γραμμής ή στήλης με ίδιο πλήθος στοιχείων μπορούμε να τους προσθέσουμε ή να τους αφαιρέσουμε. 8

Πίνακες_1 Η εισαγωγή των στοιχείων κάθε γραμμής πρέπει να διαχωρίζονται είτε με ένα κενό είτε με κόμμα (,), ενώ οι γραμμές μεταξύ τους με το σύμβολο του ερωτηματικού (;) αντίστοιχα. Τα στοιχεία του πίνακα βρίσκονται εντός αγκυλών. Η δημιουργία πίνακα μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας βήμα. 9

Πίνακες_2 Με την παρακάτω εντολή: >>Α=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Δημιουργούμε τον πίνακα: A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Πίνακες_3 >>x=a(2,3) ans=6. >>x=a(2,:) 2η γραμμή όλες τις στήλες ans=4 5 6. >>x=a(:,1) 1η στήλη όλες τις γραμμές. >>x=a(1,2:3) 1ης γραμμή 2η και 3η στήλη ans=2 3. 11

Ανάστροφος Πίνακας Ανάστροφος ενός πίνακα Α λέγεται ο πίνακας που έχει γραμμές τις στήλες του Α και στήλες τις γραμμές του Α. Δημιουργείται Α. Για την επεξεργασία κάθε στοιχείου του δισδιάστατου πίνακα θα πρέπει να δοθεί η γραμμή και η στήλη του στοιχείου. 12

Παράδειγμα_1 Σε ένα πίνακα Α(3,4). Το Α(2,4) μας δίνει το στοιχείο στη θέση (2,4). Το Α(:,3) μας δίνει την 3 η στήλη του Α. Το A(2,:) μας δίνει την 2 η γραμμή του Α. Το A(2:3,3:4) μας δίνει τον υποπίνακα Α που ορίζεται από τις γραμμές 2 έως 3 και τις στήλες 3 έως 4. 13

Παράδειγμα_2 Το Α(end,:) μας δίνει την τελευταία γραμμή του Α, δηλαδή την 3 η. Το Α(:,end) μας δίνει την τελευταία στήλη του Α, δηλαδή την 4 η. Το Α(end,1:2:4) μας δίνει διάνυσμα που περιέχει το 1ο, το 3ο και το 4ο στοιχείο της τελευταίας γραμμής του Α. 14

Σύνθετοι πίνακες Από τη συνένωση μικρότερων πινάκων δημιουργούνται οι σύνθετοι πίνακες. Έχουμε τους πίνακες Α, B C και D. Η [A B] δημιουργεί τον σύνθετο πίνακα [Α Β]. A Η [A;B;C] μας δίνει τον πίνακα: B C H [A B; C D] τον πίνακα: A C B D 15

Πράξεις μεταξύ Πινάκων_1 Όταν οι πίνακες είναι ιδίων διαστάσεων μπορεί να γίνει πρόσθεση (+) ή αφαίρεση (-) μεταξύ των πινάκων. Όταν είναι ιδίων διαστάσεων και τετραγωνικοί γίνεται διαίρεση (/ ή \). Για πολλαπλασιασμό (* ) ο αρ. στηλών του ενός πίνακα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό γραμμών του άλλου πίνακα. Ο πίνακας να είναι τετραγωνικός. Στα μαθηματικά πρέπει να ισχύουν οι παραπάνω συνθήκες για να γίνουν οι πράξεις. 16

Πράξεις μεταξύ Πινάκων_2 Εικόνα 1: Πράξεις μεταξύ πινάκων. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 17

Αριθμητικές πράξεις μεταξύ πινάκων στοιχείο προς στοιχείο Εικόνα 2: Αριθμητικές πράξεις μεταξύ πινάκων στοιχείο προς στοιχείο. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 18

Βασικές Συναρτήσεις δημιουργίας πινάκων_1 Εικόνα 3: Βασικές Συναρτήσεις δημιουργίας πινάκων 1. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 19

Βασικές Συναρτήσεις δημιουργίας πινάκων_2 Εικόνα 4: Βασικές Συναρτήσεις δημιουργίας πινάκων 2. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 20

Βασικές Συναρτήσεις δημιουργίας πινάκων_3 Εικόνα 5: Βασικές Συναρτήσεις δημιουργίας πινάκων 3. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 21

Υπολογισμός ορίζουσας πίνακα A Με την εντολή det(a) υπολογίζεται η ορίζουσα του πίνακα Α. Παράδειγμα: Έχουμε τον πίνακα: >>det(a) ans= -2 A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22

Γραμμικό Σύστημα Γραμμικό σύστημα εξισώσεων ή ανισώσεων είναι ένα σύνολο από γραμμικές εξισώσεις ή ανισώσεις με τους ίδιους αγνώστους τους οποίους προσπαθούμε να προσδιορίσουμε ώστε να επαληθευτούν όλες οι εξισώσεις ή ανισώσεις του συνόλου. 23

Επίλυση γραμμικού συστήματος Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται είτε προσδιορίζοντας το αντίστροφο πίνακα του πίνακα των συντελεστών και πολλαπλασιάζοντας αυτό με το διάνυσμα των σταθερών όρων, είτε με την απαλοιφή κατά Gauss. 24

Παράδειγμα Έχουμε το γραμμικό σύστημα: 25

Αντιστροφή πίνακα >> A=[2 1 5;1-7 3;3 2 4]; >> B=[7;5;2]; >> C=inv(A) C = -0.6538 0.1154 0.7308 0.0962-0.1346-0.0192 0.4423-0.0192-0.2885 >> C*B ans = -2.5385-0.0385 2.4231 26

Απαλοιφή κατά Gauss >> A=[2 1 5;1-7 3;3 2 4]; >> B=[7;5;2]; >> X=A\B X = -2.5385-0.0385 2.4231 27

Ασκήσεις_1 Να οριστούν οι παρακάτω πίνακες με τη βοήθεια βήματος. Α=[2 4 6 8 10] Β=[5 10 15 20 25] C=[50 40 30 20 10] D=[20 15 10 5 0-5 -10] 28

Ασκήσεις_2 Αν Α=[2 3 4 5 6] και Β=[ 5 8 9 4 1] να υπολογιστεί: α) Α+Β β)α-β γ) Α/3 δ) 2Α-3Β ε) 2(2Α-Β)-5(Α+4Β) ζ) 5(2Β-4Α)+12Β-3Α 29

Ασκήσεις_3 Ορίστε τους πίνακες στήλη: C=[5 8 9 4] T D=[-1.8 12 2.5] T E=[2 4 6 8 10] T F=[69 59 49 39 29] T και υπολογίστε: α) C-D, β) 3.2C-2.1D 30

Ασκήσεις_4 Δημιουργήστε τον πίνακα: Από τον παραπάνω πίνακα να δημιουργήσετε τους παρακάτω υποπίνακες: 31

Ασκήσεις_5 Έστω οι πίνακες: A= 3 8 B= 6 3 C= 1 3 9 7 2 7 0 8 D= 3 9 2 5 Να δημιουργηθούν οι σύνθετοι πίνακες: E= A B F= A B G= A C B D 32

Ασκήσεις_6 Δημιουργήστε και δώστε ονόματα στους παρακάτω πίνακες: μοναδιαίο πίνακα 2x6. μοναδιαίο πίνακα 4x4. μηδενικό πίνακα 3x5. μηδενικό πίνακα 3x4. πίνακα μονάδων 2x6. οριζόντια παράθεση των πινάκων 1 και 5. κατακόρυφη παράθεση των πινάκων 2 και 4. 33

Ασκήσεις_7 Αν: 7 8 9 Α= 5 2 7 1 2 4 το στοιχείο (1,3) να γίνει ίσο με 19. το στοιχείο (2,3) να γίνει ίσο με 30. η στήλη 3 να γίνει 0. η γραμμή 2 να γεμίσει μονάδες. 34

Ασκήσεις_8 Αν A=[3 6 9 12] και B=[1/2 1/3 1/4 1/5] Υπολογίστε: ΑΒ (πράξη στοιχείο-στοιχείο). Α2 (πράξη στοιχείο-στοιχείο). Α/Β (πράξη στοιχείο-στοιχείο). ΑΑ Τ =,ΑΒ Τ =, ΒΒ Τ =. 35

Τέλος Ενότητας

Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Τσαγκαλίδου Ροδή. «Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 37

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 38

Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 39