Το ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα των χωρικών ασύμμετρων πολυώροφων κτιρίων ο/σ.

Το ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα των χωρικών ασύμμετρων πολυώροφων κτιρίων ο/σ. The equivalent non-linear SDF system of the spatial asymmetric multistorey r/c buildings. Τριαντάφυλλος ΜΑΚΑΡΙΟΣ 1 Λέξεις κλειδιά: ανελαστικός στατικός υπολογισμός, ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα, χωρικά κτίρια, ανελαστικός δυναμικός υπολογισμός. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην παρούσα εργασία, δίδεται ο ορισμός του ισοδύναμου μηγραμμικού μονοβάθμιου συστήματος που αναπαριστά προσεγγιστικά το χωρικό ασύμμετρο πολυώροφο κτίριο. Μετά τον ορισμό αυτού του μονοβάθμιου συστήματος, μπορεί να συνδυαστεί απρόσκοπτα η προσεγγιστική στατική ανελαστική μέθοδος (pushover analysis) αντισεισμικού υπολογισμού με τα ανελαστικά φάσματα σχεδιασμού, προκειμένου να υπολογιστούν οι μέγιστες απαιτούμενες σεισμικές μετακινήσεις του χωρικού ασύμμετρου πολυώροφου κτιρίου. Το ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα υποκαθιστά το τυχόν ασύμμετρο πολυώροφο κτίριο, ενώ από τις γενικές σχέσεις ισοδυναμίας προκύπτουν ως ειδικές περιπτώσεις οι αντίστοιχες σχέσεις για το χωρικό ασύμμετρο μονώροφο κτίριο καθώς επίσης και για το επίπεδο πολυώροφο πλαίσιο. Παρουσιάζεται, ενδεικτικά, ένα αριθμητικό παράδειγμα ενός χωρικού κτιρίου, ενώ τα τελικά αποτελέσματα ελέγχονται από τη διενέργεια ανελαστικού δυναμικού υπολογισμού χρησιμοποιώντας κατάλληλα συνθετικά επιταχυνσιογράμματα. Το ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και στην τεκμηρίωση του συντελεστή συμπεριφοράς των πολυώροφων ασύμμετρων κτιρίων, ενώ σημειώνεται ότι οι αποκλίσεις που εμφανίζονται μεταξύ της στατικής ανελαστικής μεθόδου αντισεισμικού υπολογισμού και της δυναμικής ανελαστικής μεθόδου αντισεισμικού υπολογισμού οφείλονται στις εγγενείς αδυναμίες της πρώτης, προκειμένου να υπολογισθούν οι απαιτούμενες σεισμικές μετακινήσεις ορόφων και οι εξ αυτών λοιπές σεισμικές απαιτήσεις για ένα κτίριο. Η μοναδική ορθολογική καταφυγή για τον υπολογισμό των σεισμικών απαιτήσεων είναι ο ανελαστικός δυναμικός υπολογισμός με ό,τι αυτό συνεπάγεται. 1 Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Εντετ. Ερευνητής, Ινστιτούτο Τεχνικής Σεισμολογίας & Αντισεισμικών Κατασκευών (ΙΤΣΑΚ), Θεσσαλονίκη, email: makarios@itsak.gr 1

ABSTRACT : In the present paper, the definition of a new equivalent Non- Linear Single Degree of Freedom (NLSDF) system approximating spatial reinforced concrete (r/c) buildings is presented. The characteristics of the new equivalent NLSDF system are given directly, since it is based in the mathematic analysis that has been published recently, while a suitable numerical example is presented. For each static load case, in order to define the equivalent NLSDF system, two (a main & a secondary) static pushover analyses of the spatial building are required. Having known the two above pushover analyses, the equivalent Non-Linear SDF system is derived mathematically, while the coupling of the translational and the torsional degrees-of-freedom of the spatial building has also been taken into consideration, without dividing the asymmetric building into various separate subsystems. The present methodology is suitable for all types of asymmetric multi-storey buildings. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παρούσα εργασία αναφέρεται στον ορισμό του βέλτιστου ισοδύναμου μηγραμμικού μονοβάθμιου συστήματος, το οποίο μπορεί να υποκαταστήσει προσεγγιστικά τα χωρικά ασύμμετρα πολυώροφα κτίρια. Η μαθηματική θεωρία και η γενική λύση του ορισμού του παραπάνω μονοβάθμιου συστήματος έχει δημοσιευθεί πρόσφατα (Makarios 2009). Το ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο αυτό σύστημα προκύπτει με μαθηματικό τρόπο θεωρώντας κατάλληλες δυναμικές φορτίσεις στις συγκεντρωμένες μάζες του χωρικού κτιρίου και χρησιμοποιώντας κατάλληλες απλοποιητικές παραδοχές, χωρίς να χρειασθεί το ασύμμετρο πολυώροφο κτίριο να υποδιαιρεθεί σε δύο ανεξάρτητα υποσυστήματα. Δηλαδή κάθε διάφραγμα του πολυώροφου κτιρίου θεωρείται ότι έχει πάντοτε τρεις ελευθερίες κίνησης, ήτοι δύο μεταφορικές κατά μήκος των αξόνων X & Y και μία στροφική περί κατακόρυφο άξονα Z. Από τη στιγμή που ορίζεται προσεγγιστικά το ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα μπορούν να χρησιμοποιηθούν απρόσκοπτα τα ανελαστικά φάσματα σχεδιασμού, προκειμένου να εκτιμηθούν προσεγγιστικά οι απαιτούμενες μέγιστες ανελαστικές μετακινήσεις των ορόφων. Η στατική ανελαστική ανάλυση για στατικές φορτίσεις είναι απόλυτα ακριβής, όμως για δυναμικές φορτίσεις παρουσιάζει εγγενείς αδυναμίες αφού άλλωστε δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι πρόκειται για καθαρά στατική μέθοδο. Επίσης, η στατική ανελαστική μέθοδος έχει φυσική εποπτεία και για το λόγο αυτό είναι ελκυστική προς χρήση από στους μηχανικούς, προκειμένου να αποφευχθεί ο επίπονος και ολισθηρός ανελαστικός δυναμικός υπολογισμός. Η παρούσα εργασία διερευνά κατά πόσο είναι δυνατό η στατική ανελαστική ανάλυση να χρησιμοποιηθεί και ως μέθοδος αντισεισμικού υπολογισμού. 2

Από την άλλη μεριά σημειώνεται ότι η στατική ανελαστική ανάλυση δεν είναι δυνατό να εκτιμήσει αξιόπιστα τη σειρά εμφάνισης των πλαστικών αρθρώσεων και κατ επέκταση τον αναπτυσσόμενο μηχανισμό διαρροής του φορέα, καθότι αυτά δεν επηρεάζονται από το θεωρούμενο σεισμό που λαμβάνεται υπόψη διά μέσω των ανελαστικών φασμάτων απόκρισης και αυτό είναι τελείως αντίθετο με αυτό που συμβαίνει στην πραγματικότητα. Το θέμα αυτό δεν εμπίπτει στους στόχους της παρούσας εργασίας. ΤΟ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. Θεωρούμε το χωρικό ασύμμετρο πολυώροφο σύστημα το οποίο αποτελείται από ένα διάφραγμα στη στάθμη κάθε ορόφου, ενώ η συνολική μάζα του κάθε ορόφου θεωρείται συγκεντρωμένη στο γεωμετρικό κέντρο της κάτοψης. Θεωρούμε επίσης ότι το υπόψη πολυώροφο κτίριο διαθέτει κατακόρυφο μαζικό άξονα πάνω στον οποίο βρίσκονται οι συγκεντρωμένες μάζες των ορόφων (Σχήμα 1). Σχήμα 1. Οι δύο (πρώτη και δεύτερη) στατικές υπερωθητικές αναλύσεις του ασύμμετρου πολυώροφου κτιρίου. Κάθε διάφραγμα στηρίζεται σε αβαρείς στύλους, τοιχώματα και πυρήνες ενώ αναφέρεται στο γενικό δεξιόστροφο μαζικό σύστημα συντεταγμένων M(XYZ) το οποίο εκλέγεται να είναι παράλληλο με το πλασματικό κύριο δεξιόστροφο σύστημα αναφοράς του πολυώροφου κτιρίου, όπου είναι το 3

πλασματικό ελαστικό κέντρο του κτιρίου όπως ορίζεται από τον ΕΑΚ/2000-3, Ι και ΙΙ είναι οι δύο πλασματικοί κύριοι οριζόντιοι άξονες αυτού και ΙΙΙ είναι ο κατακόρυφος άξονας βέλτιστης στρέψης του πολυώροφου κτιρίου (Makarios et al 2006). Το σημείο του διαφράγματος i έχει τρεις ελευθερίες κίνησης, ήτοι δύο οριζόντιες μετακινήσεις και κατά τους άξονες X και Y αντίστοιχα και μία στροφή περί του κατακόρυφου άξονα Ζ (Σχήμα 1). Το Ν-ώροφο κτίριο φορτίζεται παράλληλα με τον κύριο πλασματικό άξονα ΙΙ με το 3Ν-διαστάσεων φορτιστικό διάνυσμα P των στατικών δυνάμεων των ορόφων, θεωρώντας μία γνωστή κατανομή των στατικών δυνάμεων κατά την έννοια του ύψους των κτιρίων, όπου: με. Το φορτιστικό διάνυσμα P των στατικών δυνάμεων των ορόφων τοποθετείται σε απόσταση από τον πλασματικό ελαστικό άξονα προς την εύκαμπτη πλευρά του κτιρίου. Ακολουθεί η πρώτη και κύρια ανελαστική στατική μέθοδος του ασύμμετρου Ν-ώροφου κτιρίου χρησιμοποιώντας το διάνυσμα Ρ. (Σχήμα 1.α). Προκειμένου να ορισθεί το βέλτιστο ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα θεωρούμε κάποιο ενδιάμεσο βήμα (εντός της μη-γραμμικής περιοχής) από την παραπάνω πρώτη ανελαστική στατική ανάλυση ή εναλλακτικά από το τελευταίο βήμα από την ανάλυση αυτή. Σημειώνεται ότι επειδή η διαδικασία είναι επαναληπτική, όποιο βήμα και να εκλεγεί θα καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα, έστω και αν χρειασθεί διαφορετικός αριθμός επαναλήψεων. Έτσι, το διάνυσμα των ανελαστικών μετακινήσεων του κέντρου μάζας του ορόφου i είναι, ενώ το συνολικό διάνυσμα των ανελαστικών μετακινήσεων των κέντρων μάζας όλων των ορόφων συνιστούν το διάνυσμα διαστάσεων 3N (ο δείκτης ο δείχνει την αρχική κατάσταση). (1),,, 4

Προκειμένου να ορισθεί το ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα, τίθενται οι δύο ακόλουθες παραδοχές: 1 η παραδοχή: Θεωρούμε ότι το διάνυσμα της κατανομής των ανελαστικών μετακινήσεων των κέντρων μάζας των πατωμάτων του ασύμμετρου πολυώροφου κτιρίου αποτελεί μία «ιδεατή ιδιομορφή» που αποδίδει το προφίλ των ανελαστικών μετακινήσεων των ελευθεριών κίνησης των μαζών του πολυώροφου κτιρίου και 2 η παραδοχή: Θεωρούμε ότι η οριζόντια φόρτιση Ρ προκαλεί μεταφορικές και στρεπτικές επιταχύνσεις πάνω στις συγκεντρωμένες μάζες των ορόφων. Άρα, θεωρώντας ότι το φορτιστικό διάνυσμα P είναι μία συνάρτηση του χρόνου η οποία μπορεί να προκαλεί επιταχύνσεις κατά τις ελευθερίες κίνησης των μαζών, δηλαδή Ρ(t), άρα είναι δυναμική φόρτιση, τότε το διάνυσμα φόρτισης γράφεται: (2) 5

όπου είναι μία γνωστή ειδική αύξουσα μονοτονική συνάρτηση χρόνου και είναι η τιμή της εξωτερικής οριζόντιας δύναμης στον i όροφο. Συνεπώς, η εξίσωση κίνησης των μαζών του χωρικού πολυώροφου κτιρίου, το οποίο φορτίζεται με τη δυναμική φόρτιση Ρ(t), περιγράφεται από το σύστημα γραμμικών 2 ης τάξης διαφορικών Ν εξισώσεων, το οποίο γράφεται σε μητρωϊκή μορφή: όπου είναι το διάνυσμα των μετακινήσεων από την εξ.(2) το οποίο είναι 3Ν διαστάσεων, Κ και Μ είναι τα τετραγωνικά μητρώα οριζόντιας δυσκαμψίας και μάζας αντίστοιχα, ενώ C είναι το τετραγωνικό μητρώο απόσβεσης. (3) (4), όπου, Από κατάλληλη μαθηματική επεξεργασία της εξ.(4) η οποία έχει δημοσιευθεί πρόσφατα (Makarios 2009), η τελική εξίσωση κίνησης του ασύμμετρου χωρικού πολυώροφου κτιρίου γράφεται: (5) όπου, 6

συντελεστής, συντελεστής, συντελεστής, είναι η κλίση του πρώτου κλάδου από το διγραμμικό διάγραμμα της καμπύλης αντίστασης από μια δεύτερη υπερωθητική ανάλυση κατά την οποία οι εξωτερικές δυνάμεις P τοποθετούνται επάνω στα κέντρα μάζας των ορόφων κατά τη διεύθυνση του άξονα Y (Σχήμα 1.β, Σχήμα 2.α). Επιπρόσθετα, θεωρούμε ότι το ισοδύναμο μονοβάθμιο σύστημα που παριστάνεται από την εξ.(5) έχει ισοδύναμη ιξώδη απόσβεση, και τότε από την εξ.(5) προκύπτει ότι δίνεται από την ακόλουθη σχέση: όπου είναι η γωνιακή ιδιοσυχνότητα (σε rad/s) του μονοβάθμιου συστήματος στην γραμμική περιοχή απόκρισής του, και άρα δίνεται: και ζ είναι το ποσοστό της ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης επί της κρίσιμης που διαθέτει το μονοβάθμιο σύστημα. Προκειμένου να μετατραπεί το διάγραμμα της καμπύλης αντίστασης (Σχήμα 2.α) του χωρικού πολυώροφου κτιρίου σε διάγραμμα αντίστασης (Σχήμα 2.γ) του ισοδύναμου μη-γραμμικού μονοβάθμιου συστήματος (Σχήμα 2.β), χρησιμοποιούμε το συντελεστή μετατροπής ε ο οποίος δίνεται από την ακόλουθη σχέση: (7) (8) 7

Σχήμα 2. (α) Η καμπύλη αντίστασης του ασύμμετρου πολυώροφου κτιρίου από την δεύτερη υπερωθητική ανάλυση, (β) Το ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα, (γ) Η διγραμμική καμπύλη αντίστασης του μονοβάθιου συστήματος. όπου, με Το διάνυσμα είναι το διάνυσμα στερεοστατικών μετακινήσεων για φόρτιση του πολυώροφου κτιρίου κατά μήκος του Υ άξονα. Η μετατόπιση στην κορυφή του κτιρίου συνδέεται με την μετακίνηση του ισοδύναμου μη-γραμμικού μονοβάθμιου συστήματος με τη σχέση 9. (9) Οπότε, επιστρέφοντας στην πρώτη υπερωθητική ανάλυση, στο βήμα εκείνο της ανάλυσης όπου πρωτοεμφανίσθηκε η μετατόπιση, προκύπτουν οι ανελαστικές μετατοπίσεις των άλλων ελευθεριών κίνησης οι οποίες συνιστούν το διάνυσμα (ο δείκτης 1 δείχνει την τάξη της προσέγγισης). Επαναλαμβάνοντας την προηγούμενη μεθοδολογία μπορούμε να επιτύχουμε καλύτερη εκτίμηση των 8

ανελαστικών μετακινήσεων, ενώ συνήθως τρίτη επανάληψη δεν απαιτείται. Τέλος, για κάθε άλλη οριζόντια φόρτιση προς άλλη διεύθυνση ακολουθούμε την ίδια μεθοδολογία με κατάλληλη εναλλαγή των δεικτών στις εξισώσεις που χρησιμοποιήθηκαν παραπάνω. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΔΙΩΡΟΦΟ ΚΤΙΡΙΟ Στη συνέχεια εξετάζεται το χωρικό ασύμμετρο διώροφο κτίριο οπλισμένου σκυροδέματος (Σχ.3) το οποίο μελετήθηκε σύμφωνα με τη δυναμική φασματική μέθοδο του ΕΑΚ/2003 και διαστασιολογήθηκε σύμφωνα με τον ΕΚΩΣ/2000, για ζώνη σεισμικής επικινδυνότητας Ι, κατηγορία εδάφους Γ, συντελεστή συμπεριφοράς q=3.50, κατηγορία σκυροδέματος C20/25 και κατηγορία χάλυβα Β500c, διενεργώντας τους προβλεπόμενους ικανοτικούς ελέγχους με τρόπο ώστε να προηγείται πάντοτε η καμπτική αστοχία έναντι της διατμητικής και τηρώντας τις προβλεπόμενες -από τον ΕΚΩΣ/2000- κατασκευαστικές λεπτομέρειες. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, η τυχηματική εκκεντρότητα αγνοήθηκε για λόγους απλούστευσης. Στη συνέχεια αναλύθηκαν όλες οι κρίσιμες διατομές οπλισμένου σκυροδέματος με το πρόγραμμα XTRACT (2007) προκειμένου να υπολογισθούν τα διαγράμματα ροπών-καμπυλοτήτων (Μ-φ) χρησιμοποιώντας τις μέσες τιμές αντοχής των υλικών, ήτοι για το σκυρόδεμα C20/25 και για το χάλυβα. Τα διαγράμματα ροπών-καπυλοτήτων (Μ-φ) μετατράπηκαν σε διαγράμματα ροπών-στροφών (Μ-θ) των πλαστικών αρθρώσεων, χρησιμοποιώντας κατάλληλο μήκος πλαστικής άρθρωσης ( για υποστυλώματα και δοκούς και για τα τοιχώματα στη βάση τους). Ως κρίσιμες διατομές θεωρήθηκαν τα δύο άκρα των δοκών και υποστυλωμάτων καθώς και η διατομή των τοιχωμάτων στη βάση τους. Η μάζα του 1 ου ορόφου είναι και του 2 ου ορόφου είναι, ενώ οι μαζικές ροπές αδράνειας περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα μάζας των ορόφων, είναι και αντίστοιχα. Η ενεργός καμπτική δυσκαμψία των δομικών στοιχείων λήφθηκε ίση με το 0.40ΕΙ της γεωμετρικής διατομής για δοκούς, 0.60ΕΙ για τα ακραία υποστυλώματα και 0.60ΕΙ για τα τοιχώματα, αντίστοιχα. Έτσι, η θεμελιώδης συζευγμένη ιδιοπερίοδος του χωρικού ασύμμετρου διώροφου κτιρίου υπολογίσθηκε σε 0.76s. Ως πρώτο βήμα είναι ο υπολογισμός της θέσης του πλασματικού ελαστικού άξονα καθώς και ο προσανατολισμός των οριζόντιων πλασματικών κύριων ελαστικών αξόνων του πολυώροφου κτιρίου σύμφωνα με τον ΕΑΚ/2003, (Makarios et al 2006). 9

Ως δεύτερο βήμα είναι η εκλογή του γενικού δεξιόστροφου συστήματος αναφοράς Μ(X,Y,Z) το οποίο έχει ως αρχή το κέντρο μάζας Μ του κτιρίου και είναι προσανατολισμένο σύμφωνα με το πλασματικό κύριο σύστημα αναφοράς αυτού. Σχήμα 3. Κάτοψη και δεδομένα του διώροφου κτιρίου οπλισμένου σκυροδέματος. Ως γνωστό, στο πλαίσιο της απλοποιημένης φασματικής μεθόδου αντισεισμικού υπολογισμού που προτείνεται από τον ΕΑΚ/2003 για τον σχεδιασμό του κτιρίου, απαιτούνται δύο στατικές επιλύσεις για κάθε κύρια διεύθυνση του κτιρίου (δηλαδή τέσσερις επιλύσεις συνολικά) χρησιμοποιώντας τις ισοδύναμες στατικές εκκεντρότητες. Ανάλογα, στο πλαίσιο της στατικής ανελαστικής ανάλυσης (υπερωθητικής ανάλυσης) που σκοπό έχει την αποτίμηση της φέρουσας αντισεισμικής ικανότητας του κτιρίου απαιτούνται τόσο οι παραπάνω τέσσερις αντίστοιχες στατικές φορτίσεις όσο και άλλες τέσσερις παρόμοιες, αλλά με αντίθετο όμως πρόσημο (σύνολο οχτώ), καθότι είναι ευρέως γνωστό ότι στην ανελαστική περιοχή δεν επιτρέπεται η επαλληλία των αποτελεσμάτων. Στο παρόν άρθρο, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θα παρουσιασθεί αναλυτικά η μία στατική ανελαστική ανάλυση από τις παραπάνω οχτώ διαφορετικές περιπτώσεις φόρτισης και ειδικότερα θα παρουσιασθεί η περίπτωση φόρτισης του κτιρίου κατά τον πλασματικό κύριο άξονα ΙΙ (ή άξονα Y) με θετικό πρόσημο, ενώ η τυχηματική εκκεντρότητα αγνοείται για λόγους σύγκρισης. Έτσι, οι οριζόντιες στατικές 10

δυνάμεις των ορόφων που συνιστούν το φορτιστικό διάνυσμα Ρ τοποθετούνται σε οριζόντια απόσταση από το πλασματικό ελαστικό κέντρο, προς την εύκαμπτη πλευρά του κτιρίου, ενώ ταυτόχρονα είναι προσανατολισμένες κατά μήκος του οριζόντιου άξονα ΙΙ (ή του άξονα Υ, Σχήμα 4.α). Η ισοδύναμη στατική εκκεντρότητα λαμβάνεται είτε από τις ακριβείς σχέσεις του Παραρτήματος ΣΤ του ΕΑΚ/2003, είτε από την προσεγγιστική σχέση του ΕΑΚ/2003, όπου σύμφωνα με τα δεδομένα του υπόψη παραδείγματος. Συνεπώς, προκύπτει. Ως τρίτο βήμα είναι η υιοθέτηση της κατανομής Υ των οριζόντιων στατικών δυνάμεων Ρ κατά την έννοια του ύψους (π.χ. τριγωνική κατανομή ή κατανομή 1 ης ιδιομορφής ή άλλη), ενώ εδώ επιλέχτηκε η τριγωνική κατανομή καθύψος. Ως τέταρτο βήμα θεωρείται η διενέργεια της πρώτης στατικής υπερωθητικής ανάλυσης (pushover analysis) του ασύμμετρου χωρικού πολυώροφου κτιρίου εξαιτίας του φορτιστικού διανύσματος Ρ που είναι τοποθετημένο σε απόσταση από το κέντρο μάζας μέχρι να εμφανισθεί πτώση της συνολικής αντοχής του κτιρίου πάνω από 25% (σε όρους τέμνουσας βάσης). Από κάποιο ενδιάμεσο ή το τελευταίο βήμα της υπόψη στατικής ανελαστικής ανάλυσης λαμβάνονται οι αναπτυσσόμενες μετακινήσεις των κέντρων μάζας των ορόφων από τις οποίες υπολογίζεται εύκολα το διάνυσμα. 11

(α) (β) Σχήμα 4. Η πρώτη και η δεύτερη στατική υπερωθητική ανάλυση. Στη γραμμική περιοχή, το μητρώο οριζόντιας δυσκαμψίας Κ του χωρικού ασύμμετρου διώροφου κτιρίου, αναφορικά με το δεξιόστροφο κεντρομαζικό σύστημα αναφοράς Μ(X,Y,Z) και τις ελευθερίες κίνησης του διανύσματος είναι: Αντίστοιχα, το μητρώο μάζας Μ του κτιρίου είναι: Ως πέμπτο βήμα θεωρείται η διενέργεια της δεύτερης στατικής υπερωθητικής ανάλυσης (pushover analysis) του ασύμμετρου χωρικού πολυώροφου κτιρίου εξαιτίας του φορτιστικού διανύσματος V το οποίο εφαρμόζεται πάνω στον κέντρομαζικό άξονα του κτιρίου (Σχήμα 4.β). Από την επίλυση αυτή υπολογίζεται το διάγραμμα της καμπύλης υπερωθητικής αντίστασης του κτιρίου (Σχήμα 5). Από το Σχήμα 5 προκύπτει άμεσα η δρώσα οριζόντια 12

δυσκαμψία και η διαθέσιμη πλαστιμότητα του ισοδύναμου μηγραμμικού μονοβάθμιου συστήματος:,, Σχήμα 5. Η καμπύλη αντίστασης τη δεύτερη υπερωθητική επίλυση. του ασύμμετρου πολυώροφου κτιρίου από 13

, L= = Η δύναμη διαρροής και η δύναμη αστοχίας του βέλτιστου ισοδύναμου μηγραμμικού μονοβάθμιου συστήματος είναι: Ως σεισμός ελέγχου για το παρόν παράδειγμα θεωρείται το ελαστικό φάσμα επιταχύνσεων του Παραρτήματος Α του ΕΑΚ/2003 πολλαπλασιασμένο επί τρία, ενώ ο σεισμός ελέγχου αναφέρεται στη ζώνη Ι και στην κατηγορία εδάφους Γ. Άρα η φασματική επιτάχυνση για τον υπόψη σεισμό ελέγχου είναι: Ενώ, η φασματική μετατόπιση είναι: 14

Συνεπώς, η απαιτούμενη σεισμική δύναμη που καλείται να παραλάβει ο αντίστοιχος απείρως ελαστικός ισοδύναμος μονοβάθμιος φορέας είναι: = Άρα, ο απαιτούμενος συντελεστής μείωσης των σεισμικών φορτίων του ισοδύναμου μη-γραμμικού μονοβάθμιου συστήματος είναι: Ο συντελεστής c ο οποίος εξαρτάται από την κλίση του μετελαστικού κλάδου για κλίση άνω ή ίση του α=10% της δρώσας οριζόντιας δυσκαμψίας δίδεται (Krawinkler & Nassar, 1992): ενώ η απαιτούμενη πλαστιμότητα είναι: Η στοχευόμενη μετακίνηση συστήματος είναι: του ισοδύναμου μη-γραμμικού μονοβάθμιου 0.179=0.0544 Τέλος, η μετατόπιση στο κέντρο μάζας, στην κορυφή του κτιρίου, κατά τη διεύθυνση Y (ή κατά τον άξονα ΙΙ) δίνεται: και πηγαίνοντας σε εκείνο το βήμα της πρώτης υπερωθητικής επίλυσης κατά την οποία εμφανίσθηκε στο κέντρο μάζας του τελευταίου ορόφου η μετατόπιση λαμβάνουμε τις μετακινήσεις των άλλων ελευθεριών κίνησης των μαζών του φορέα και εκτελούμε μία δεύτερη επαναληπτική διαδικασία 15

προκειμένου να υπολογίσουμε ακριβέστερα τις μετακινήσεις. Από τη δεύτερη επαναληπτική διαδικασία προέκυψε πάλι η μετατόπιση στο κέντρο μάζας, στην κορυφή του κτιρίου και άρα τρίτη επανάληψη δεν απαιτείται. Συνεπώς, οι σεισμικά απαιτούμενες ανελαστικές μετακινήσεις του κτιρίου εκ της ανελαστικής στατικής μεθόδου (υπερωθητικής ανάλυσης) από την μία μόνο σεισμική συνιστώσα (κατά +Υ), φαίνονται στο Σχήμα 6. Σχήμα 6. Οι απαιτούμενες σεισμικές ανελαστικές μετακινήσεις εκ της στατικής ανελαστικής ανάλυσης θεωρώντας μία μόνο σεισμική συνιστώσα, αυτήν κατά τον θετικό ημιάξονα Υ, συγκριτικά με τις ακριβείς απαιτούμενες σεισμικές ανελαστικές δυναμικές μετακινήσεις θεωρώντας χωρική δράση των σεισμικών συνιστωσών. Επίσης, στο Σχήμα 6 φαίνονται συγκριτικά οι ακραίες σεισμικά απαιτούμενες ανελαστικές μετακινήσεις από τον ανελαστικό δυναμικό υπολογισμό και τη χωρική δράση του σεισμού, με βήμα προς βήμα ανάλυση χρησιμοποιώντας την μέθοδο αριθμητικής ολοκλήρωσης Newmark (β=1/4). Κατά τον ανελαστικό δυναμικό υπολογισμό χρησιμοποιήθηκαν κατάλληλα τεχνητά επιταχυνσιογράμματα, όπου το κάθε ένα δίνει φάσμα απόκρισης επιτάχυνσης συμβατό με το φάσμα επιταχύνσεων του σεισμού ελέγχου που χρησιμοποιήθηκε παραπάνω. Χρησιμοποιήθηκαν τρία διαφορετικά ζεύγη τεχνητών 16

επιταχυνσιογραμμάτων, ενώ κάθε ένα τεχνητό επιταχυνσιόγραμμα είχε την ίδια μέγιστη εδαφική επιτάχυνση. Κάθε τέτοιο ζεύγος προσανατολίσθηκε κατά τους πλασματικούς κύριους άξονες Ι και ΙΙ του κτιρίου, ενώ εξετάσθηκαν και οι τέσσερις δυνατοί συνδυασμοί προσήμων (++, +-, -+, --) σ αυτά και αυτό οδήγησε στη διενέργεια δώδεκα (12) διαφορετικών συνδυασμών φόρτισης (3 ζεύγη x 4 συνδυασμούς προσήμων). Όλα αυτά εφαρμόσθηκαν και κατά έναν δεύτερο προσανατολισμό φόρτισης, ο οποίος διέφερε κατά γωνία 45 ο σε σχέση με τον προσανατολισμό των πλασματικών κύριων αξόνων του κτιρίου, φτάνοντας τελικά στη διενέργεια εικοσιτεσσάρων (24) διαφορετικών συνδυασμών φόρτισης για τον ανελαστικό δυναμικό υπολογισμό. Από όλες τις παραπάνω ανελαστικές δυναμικές επιλύσεις λήφθηκαν οι μέγιστες εμφανιζόμενες μετακινήσεις ορόφων οι οποίες θεωρήθηκαν ως «οι ακριβείς τιμές» και οι οποίες φαίνονται στο Σχήμα 6. Οι ανελαστικές στατικές μετακινήσεις που προκύπτουν, από τη στατική ανελαστική ανάλυση χρησιμοποιώντας τη μία σεισμική συνιστώσα, είναι υποεκτιμημένες κατά 40%. Σημειώνεται επίσης ότι τα παραπάνω τεχνητά επιταχυνσιογράμματα είναι ψηφιοποιημένα ανά 0.005s, έχει το κάθε ένα συνολική χρονική διάρκεια 20.00s, ενώ η διάρκεια της ισχυρής εδαφικής κίνησης είναι τουλάχιστον 15.00s. Τα τεχνητά αυτά επιταχυνσιογράμματα προέρχονται από την κατάλληλη σύνθεση των ισχυρών εδαφικών κινήσεων των φυσικών επιταχυνσιογραμμάτων των κύριων σεισμών των Κυθήρων (2006), της Λευκάδος (2003), της Αθήνας (1999), του Αιγίου (1995) και της Καλαμάτας (1986) και ως εκ τούτου διατηρούν πολλά από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των σεισμών (και των τεκτονικών ρηγμάτων από τα οποία προέρχονται αυτοί) του Ελλαδικού χώρου. Μετά τη σύνθεση αυτή, για κάθε τεχνητό επιταχυνσιόγραμμα τροποποιήθηκαν κατάλληλα οι τιμές της εδαφικής επιτάχυνσης προκειμένου να επιτευχθεί η επιθυμητή σύγκλιση με το φάσμα σχεδιασμού του ΕΑΚ/2003 για την κατηγορία εδάφους Γ. Στο κάθε ένα τεχνητό επιταχυνσιόγραμμα εμφανίζονται πέντε φορές τουλάχιστον οι ίδιες ακραίες εδαφικές τιμές επιτάχυνσης προκειμένου να αναπτυχθεί επαρκής αριθμός κυκλικής δυναμικής φόρτισης, σημείο που είναι ιδιαίτερα σημαντικό για την ανελαστική απόκριση των κατασκευών και την επαρκή δυναμική καταπόνηση των δομικών στοιχείων της κατασκευής. Συνεπώς, τα παραπάνω τεχνητά επιταχυνσιογράμματα υπερτερούν αναμφίβολα των φυσικών επιταχυνσιογραμμάτων, καθότι τα μεν πρώτα περιέχουν σαφώς πλουσιότερο συχνοτικό περιεχόμενο ίδιο με το συχνοτικό περιεχόμενο του φάσματος επιταχύνσεων του σεισμού σχεδιασμού που προτείνεται από τον ΕΑΚ/2003, διαθέτουν επαρκή χρονική διάρκεια της ισχυρής εδαφικής κίνησης, έχουν επαρκή αριθμό σημαντικών κύκλων δυναμικής φόρτισης, ενώ ταυτόχρονα διατηρούν και πολλά από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των σεισμών του Ελλαδικού χώρου. 17

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία παρουσιάσθηκε σύντομα η θεωρία του ορισμού του βέλτιστου ισοδύναμου μη-γραμμικού μονοβάθμιου συστήματος στα χωρικά ασύμμετρα πολυώροφα κτίρια, καθώς και ένα αριθμητικό παράδειγμα ενός διώροφου κτιρίου από οπλισμένο σκυρόδεμα. Το ισοδύναμο μη-γραμμικό μονοβάθμιο σύστημα είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για την αποτίμηση της συμπεριφοράς του χωρικού ασύμμετρου πολυώροφου κτιρίου. Μία πιθανή εφαρμογή του ισοδύναμου αυτού μονοβάθμιου συστήματος είναι να συνδυασθεί με τα ανελαστικά φάσματα απόκρισης προκειμένου να υπολογισθούν προσεγγιστικά οι απαιτούμενες σεισμικές μετακινήσεις χρησιμοποιώντας την στατική ανελαστική ανάλυση (υπερωθητική ανάλυση) και αυτό ακριβώς έγινε στην παρούσα εργασία. Όπως ήδη έχει ειπωθεί, η στατική ανελαστική ανάλυση για στατικές φορτίσεις είναι απόλυτα ακριβής, όμως για δυναμικές φορτίσεις όπως είναι η σεισμική διέγερση παρουσιάζει εγγενείς αδυναμίες. Η παρούσα εργασία προσπάθησε να διερευνήσει κατά πόσο είναι δυνατό η στατική ανελαστική μέθοδος να χρησιμοποιηθεί και ως αξιόπιστη μέθοδος αντισεισμικού υπολογισμού και να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά με τον επίπονο και ολισθηρό ανελαστικό δυναμικό υπολογισμό. Από το αριθμητικό παράδειγμα που παρουσιάσθηκε, εμφανίσθηκαν σημαντικές υποεκτιμήσεις (περίπου 40%) στις απαιτούμενες ανελαστικές στατικές μετακινήσεις των ορόφων σε σχέση με τις ακριβείς εκ του ανελαστικού δυναμικού υπολογισμού, ενώ υπάρχουν άλλα αριθμητικά παραδείγματα όπου οι αποκλίσεις υπερβαίνουν ακόμα και το 100%, στην περίπτωση που εφαρμόζονται διάφορες παραλλαγές της ανελαστικής στατικής μεθόδου, χωρίς τη χρήση του βέλτιστου ισοδύναμου μη-γραμμικού μονοβάθμιου συστήματος. Επίσης, με την ανελαστική στατική μέθοδο δεν είναι δυνατό να ληφθεί τεκμηριωμένα η χωρική επαλληλία επί των αποτελεσμάτων των ανελαστικών στατικών αναλύσεων, καθότι οι επαλληλίες δεν επιτρέπονται στην μη-γραμμική περιοχή. Επιπρόσθετα, στην περίπτωση της ανελαστικής στατικής μεθόδου, η χωρική επαλληλία δεν μπορεί να αποδοθεί με οποιαδήποτε σύνθεση στατικών δυνάμεων. Επιπλέον, σημειώνεται ότι η στατική ανελαστική ανάλυση δεν είναι δυνατό να εκτιμήσει ορθά τη σειρά εμφάνισης των πλαστικών αρθρώσεων και κατ επέκταση τον αναπτυσσόμενο μηχανισμό διαρροής και τον μηχανισμό κατάρρευσης του φορέα. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι η χρήση του παραπάνω βέλτιστου μη-γραμμικού μονοβάθμιου συστήματος βελτιώνει σε πολύ μεγάλο βαθμό τη σύγκλιση της στατικής ανελαστικής μεθόδου προς τα ακριβή αποτελέσματα εκ του ανελαστικού δυναμικού υπολογισμού. Όμως, οι διαφορές μεταξύ των δύο ανελαστικών μεθόδων παραμένουν αρκετά μεγάλες και για το λόγο αυτό η φυσική εποπτεία που διαθέτει η ανελαστική στατική μέθοδος είναι τελικά χωρίς νόημα. Έτσι, η μοναδική ορθολογική καταφυγή για τον υπολογισμό των σεισμικών απαιτήσεων είναι ο ανελαστικός δυναμικός υπολογισμός με ό,τι αυτό συνεπάγεται. 18

ΑΝΑΦΟΡΕΣ Krawinkler H, Nassar AA., Seismic design based on ductility and cumulative damage demands and capacities. Nonlinear Seismic Analysis and Design of Reinforced Concrete Buildings, Fajfar P and Krawinkler H (eds). Elsevier Applied Science: New York, 23 39. 1992. Makarios T., Equivalent non-linear single degree of freedom system of spatial asymmetric multi-storey buildings in pushover procedure. Theory & applications. The Structural Design of Tall and Special Buildings Journal, (in press, TAL 459), 2009. http://www3.interscience.wiley.com/journal/117861847/grouphome/home.html Makarios T, Athanatopoulou A, Xenidis H., Numerical verification of properties of the fictitious elastic axis in asymmetric multistorey buildings. The Structural Design of Tall and Special Buildings Journal, 15, 3, 249-276, 2006. XTRACT. v.3.0.8. Cross-sectional X structural Αnalysis of ComponenTs. Imbsen Software System. 9912 Business Park Drive, Suite 130, Sacramento CA 95827. 2007. 19