Η ΧΡΗΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΕ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο

Η ΧΡΗΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΕ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Γιάννης Στ. Σταµέλος Μεταπτυχιακός Φοιτητής Τοµέα: «Μαθηµατικά για την Εκπαίδευση» Μαθηµατικού Τµήµατος Πανεπιστηµίου Κρήτής 1

Περιεχόµενα Εισαγωγή.. 3 ιδάσκοντας και Μαθαίνοντας Άλγεβρα Σχολικού Επιπέδου.. 5 Τα λεκτικά προβλήµατα 9 Κατάστρωση πρωτοβάθµιων εξισώσεων - συστηµάτων για επίλυση προβληµάτων ποσοτήτων 19 Αιτίες του προβλήµατος 26 ιδακτική Ενότητα 33 2

Η ΧΡΗΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΕ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Γιάννης Σταµέλος Μεταπτυχιακός Φοιτητής Τοµέα: «Μαθηµατικά για την Εκπαίδευση» Μαθηµατικού Τµήµατος Πανεπιστηµίου Κρήτής Περίληψη Στην εργασία που παρουσιάζουµε γίνεται προσπάθεια να εντοπίσουµε τα προβλήµατα που αντιµετωπίζουν οι µαθητές, µέσα από έρευνες που δηµοσιεύονται στη διεθνή βιβλιογραφία, στην κατανόηση των µεταβλητών και στην κατάστρωση εξισώσεων για την επίλυση προβληµάτων (Ε. Π.). Επιχειρούµε µια ιστορική διαδροµή εµφάνισης της Άλγεβρας ως µιας γενικευµένης αριθµητικής και συγκεκριµένα της υφή του παραπάνω αντικειµένου διαχρονικά. Σκοπός είναι η άντληση ιδεών από τις διάφορες µορφές που είχε η Άλγεβρα, ιδιαίτερα η γλώσσα της στην επίλυση προβληµάτων. Οι αναφορές στα συµπεράσµατα πρόσφατων ερευνητικών προγραµµάτων µε σκοπό τον εντοπισµό των σφαλµάτων στην κατάστρωση εξισώσεων για την Ε. Π. έχουν σκοπό να τονίσουν την ύπαρξη και την έκταση του προβλήµατος. Σκιαγραφούµε το ευρύτερο θεωρητικό πλαίσιο στο οποίο µπορούµε να εντάξουµε µια διδακτική προσέγγιση του ζητήµατος, δηλαδή, ποια είναι εκείνη η θεωρία µάθησης που µπορεί να απαντήσει στην δυσκολία των µαθητών να επιλύουν προβλήµατα µε κατάστρωση εξισώσεων µε ικανοποιητικά αποτελέσµατα. Έχουµε καταγράψει οµάδα προβληµάτων από έρευνες που πραγµατοποιήθηκαν, για έλεγχο της διδακτικής προσέγγισης που προτείνει η κάθε έρευνα. Στην προσπάθεια να ανιχνεύσουµε τις αιτίες του προβλήµατος κάνουµε κριτική αναφορά στο Αναλυτικό Πρόγραµµα των Μαθηµατικών ( ηµοτικού- Γυµνασίου Λυκείου) και στην ποιότητα των βιβλίων των Μαθηµατικών του Γυµνασίου. Η διδακτική ενότητα διάρκειας 3 ωρών για την εισαγωγή της έννοιας της µεταβλητής και της εξίσωσης στους µαθητές της Α Γυµνασίου αποτελεί µια ολοκληρωµένη πρόταση µας στηριγµένη στις έρευνες που µελετήσαµε και ενταγµένη σε δεδοµένο αναλυτικό πρόγραµµα διδασκαλίας των Μαθηµατικών στα σχολεία. Θεωρούµε ότι οι τεχνικές για επίλυση εξισώσεων είναι γνωστές στους µαθητές. 3

1.0 Εισαγωγή Κάθε ανθρώπινη γνώση εποπτεία, προχωρεί σε έννοιες και καταλήγει σε ιδέες. Ι. ΚΑΝΤ : Κριτική του καθαρού λόγου. εν είναι υπερβολικό να πούµε ό,τι η όποια προσπάθεια να διδάξουµε µαθηµατικά βασίζεται σε φιλοσοφικές θέσεις, συνήθως µη προφανείς, οι οποίες µε τη σειρά τους παράγουν επιστηµολογία. Ένας µεγάλος µαθηµατικός, ο Rene Thom (1973) γράφει: «Στην πραγµατικότητα, είτε το θέλουµε είτε όχι, ολόκληρη η παιδαγωγική των µαθηµατικών - αν και σπανίως συνειδητά βασίζεται πάνω σε µια φιλοσοφία των µαθηµατικών». Η επιστηµολογία σε συνδυασµό µε κάποια θεωρία µάθησης είναι απαραίτητα συστατικά της οποιασδήποτε προσπάθειας διδακτικής προσέγγισης. Την άποψη αυτή έχουν πολλοί ερευνητές, ο Steiner (1987) γράφει: «Η µεγάλη πλειοψηφία των µαθηµατικών και των µαθηµατικών παιδαγωγών, συµµερίζονται την άποψη ότι οι φιλοσοφικές αντιλήψεις και οι επιστηµολογικές θεωρήσεις που αφορούν τα µαθηµατικά, είχαν πάντοτε καθοριστική επίδραση και ασκούσαν σηµαντική ώθηση στον τρόπο διδασκαλίας τους». Υιοθετώντας αυτή την άποψη, η προσπάθειά µας για οποιαδήποτε προσέγγιση του τρόπου που θα διδάξουµε την κατάστρωση εξισώσεων πρέπει να ενταχθεί σε ένα ευρύτερο πλαίσιο φιλοσοφικών αντιλήψεων και επιστηµολογικών θεωρήσεων που αφορούν τα µαθηµατικά. Η προσπάθεια για τον εντοπισµό των βασικών συστατικών αυτού του πλαισίου έχει τρεις συνιστώσες : Την ιστορική διαδροµή του αντικειµένου που θέλουµε να διδάξουµε και η σύγχρονη αντίληψη για την ανάγκη να δοθεί έµφαση σε αυτό. Τον εντοπισµό του προβλήµατος στους µαθητές και µια προσπάθεια «κωδικοποίησης» των διαφόρων µορφών που έχει αυτό. Την επικρατούσα αντίληψη για τον τρόπο διδασκαλίας των µαθηµατικών σε αντιδιαστολή µε το πώς, πραγµατικά, διδάσκουµε τα µαθηµατικά στην σχολική τάξη µέσα από έρευνες που έγιναν τα τελευταία χρόνια. Η πρώτη συνιστώσα θα µας βοηθήσει να κατανοήσουµε την αιτία που «γέννησε» την Άλγεβρα και ειδικότερα τις εξισώσεις. Η ιστορική διαδροµή του αντικειµένου θα µας βοηθήσει να αντιληφθούµε τα επιστηµολογικά εµπόδια που ήρθε να λύσει καθώς επίσης και την πορεία που ακολούθησε µέχρι να πάρει τη σηµερινή του µορφή. Η µελέτη του 4

πολιτισµικού «γίγνεσθαι» σε συνδυασµό µε τις σύγχρονες πρακτικές ανάγκες θα µας καθοδηγήσουν στη δηµιουργία µιας πρότασης για ένα αναλυτικό πρόγραµµα διδασκαλίας που να καλύπτει τις παιδαγωγικές και διδακτικές απαιτήσεις της εποχής. Η δεύτερη συνιστώσα θα µας βοηθήσει να καταγράψουµε µέσα από ερευνητικά προγράµµατα την πραγµατικότητα στη σχολική τάξη. Ποια είναι τα γνωστικά εµπόδια που αντιµετωπίζουν οι µαθητές, ποια είναι τα διαδικαστικά προβλήµατα που αντιµετωπίζουν οι µαθητές, µέσα στο συγκεκριµένο µαθησιακό περιβάλλον που τους καλούµε να λειτουργήσουν και τέλος µια απόπειρα να «κωδικοποιήσουµε» τα παραπάνω ώστε να περιορίσουµε την πολυµορφία, κυρίως, για µεθοδολογικούς λόγους. Η τρίτη συνιστώσα έχει στοιχεία αυτοκριτικής για όσους έχουν ασχοληθεί µέχρι τώρα µε την διδακτική των µαθηµατικών σε πρακτικό επίπεδο. Με δεδοµένο ότι η «εµπειρική» αντίληψη για τη διδασκαλία είναι η κυρίαρχη στο χώρο της σχολικής τάξης έχουµε µια πανσπερµία τρόπων µε τους οποίους οι µαθηµατικοί «διδάσκουν» µαθηµατικά και συγκεκριµένα την Άλγεβρα στην σχολική τάξη. Οι τρόποι αυτοί πολλές φορές στηρίζονται σε προσωπικούς πειραµατισµούς και όχι σε εµπεριστατωµένη έρευνα ή γνώση για το τι πρέπει να διδάξουµε, γιατί και κυρίως πώς να το διδάξουµε; Με οδηγό ένα αναλυτικό πρόγραµµα που απλά «καταλογοποιεί» πολλές φορές µόνο σε τίτλους τα κεφάλαια που πρέπει να διδαχθούν και κάποιες διαδικαστικές οδηγίες, ο δάσκαλος των µαθηµατικών αυτοσχεδιάζει σε καθηµερινή βάση µε αποτέλεσµα η διδακτικές προσεγγίσεις που κάνει να έχουν πολλά προβλήµατα πληρότητας και επάρκειας. Παρακάτω θα προσπαθήσουµε να περιγράψουµε τις αιτίες της κατάστασης και να προτείνουµε λύσεις. 5

1.1 ιδάσκοντας και Μαθαίνοντας Άλγεβρα Σχολικού Επιπέδου. Για να µπορέσουµε να δούµε το ειδικό θέµα που θα µας απασχολήσει στη σωστή του διάσταση πρέπει να το εντάξουµε σε ένα ευρύτερο πλαίσιο που αφορά τη δυσκολία των µαθητών να κατανοήσουν γενικά την Άλγεβρα. Ποιες είναι εκείνες οι αιτίες που οδηγούν τους µαθητές να αντιλαµβάνονται την Άλγεβρα ως ένα σύνολο παράξενων συµβόλων, κανόνων και αλγοριθµικών διαδικασιών και όχι σαν ένα µαθηµατικό εργαλείο που χρησιµεύει στις καταστάσεις επίλυσης προβλήµατος; Στην αναφορά των αποτελεσµάτων µιας έρευνας που έγινε στις U.S.A. από τον NAEP, Brown et al. (1988), συµπεραίνεται: Οι µαθητές σχολείων της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης γενικά έχουν κάποια γνώση αλγεβρικών και γεωµετρικών εννοιών και δεξιοτήτων. Παρόλα αυτά τα αποτελέσµατα αυτής της έρευνας έδειξαν, ότι οι µαθητές συχνά δεν είναι ικανοί να εφαρµόσουν αυτή τη γνώση σε καταστάσεις επίλυσης προβλήµατος, ούτε εµφανίζονται να κατανοούν πολλές από τις δοµές κατανόησης που υπόκεινται οι µαθηµατικές έννοιες και οι δεξιότητες. Για να καλύψουν την έλλειψη κατανόησης εµφανίζονται οι µαθητές να προσπαθούν να αποστηθίσουν κανόνες και διαδικασίες που δεν κατανοούν και δηµιουργείται µέσα τους η πεποίθηση ότι αυτή η δραστηριότητα αντιπροσωπεύει την πεµπτουσία της Άλγεβρας. Ο Brown et al. ανέφερε ότι ένα µεγάλο ποσοστό µαθητών αισθάνεται ότι τα µαθηµατικά είναι βασισµένα σε κανόνες και περίπου οι µισοί θεώρησαν ότι το να µαθαίνουν άλγεβρα είναι περισσότερο αποµνηµόνευση. Τα παραπάνω αποτελέσµατα µε µικρές παραλλαγές εµφανίζονται σε αµέτρητες µελέτες που αφορούν το ίδιο θέµα σε εκπαιδευτικά συστήµατα άλλων χωρών. Είναι λοιπόν αναγκαίο να εντοπίσουµε τις ρίζες του προβλήµατος και να ταξινοµήσουµε τα διάφορα είδη δυσκολιών που αντιµετωπίζουν οι µαθητές. Ένα πρόσφορο πεδίο αναζήτησης αυτών των δυσκολιών είναι η υφή του µαθήµατος ( πυκνή συµβολική γραφή κ.λπ), εποµένως και του ίδιου του αντικειµένου το οποίο διαµορφώθηκε στη σηµερινή του µορφή αφού ακολούθησε µια ιστορική διαδροµή «µήκους» περίπου 30 αιώνων. Για να κατανοήσουµε τη δυσκολία στο συγκεκριµένο αντικείµενο που µας απασχολεί πρέπει να το περιγράψουµε σχηµατικά ως εξής: 6

Α Β Γ Πραγµατικός κόσµος Μοντελοποίηση ιαδικασία επίλυσης Πρόβληµα Μοντέλο του Προβλήµατος Κατάστρωση εξίσωσης Επίλυση Εξίσωσης Απάντηση Έλεγχος αποτελέσµατος Η πορεία από το Α στο Β δε θα µας απασχολήσει στη συγκεκριµένη εργασία. Στο σηµείο που θα σταθούµε είναι η πορεία από το Β στο Γ. Στα σχολικά µαθηµατικά µπορούµε να πούµε ότι αυτή η περιοχή εµφανίζει τα περισσότερα προβλήµατα στην κατανόηση και αποτελεσµατικότητα από τους µαθητές, αλλά και τις περισσότερες αδυναµίες διδακτικής παρέµβασης από τους διδάσκοντες. Είναι η περιοχή που συναντούνται δύο διαφορετικά πεδία έκφρασης και επεξεργασίας η φυσική γλώσσα και οι συµβολικές αναπαραστάσεις και διαδικασίες Το «πέρασµα» από το ένα πεδίο στο άλλο δεν είναι χωρίς «απώλειες» στο χώρο της κατανόησης από τους µαθητές αλλά και της καθηµερινής διδακτικής πρακτικής από τους διδάσκοντες. Στη διεθνή αρθρογραφία για το θέµα αυτό όπως και για το ευρύτερο της κατανόησης της άλγεβρας επικρατεί η αντίληψη ότι : Η ανάπτυξη του αλγεβρικού συµβολισµού και των µετασχηµατιστικών κανόνων του κορυφώνεται στην διάκριση ανάµεσα στη χρήση γραµµάτων για να αναπαραστήσουµε αγνώστους στη λύση εξισώσεων και στη χρήση γραµµάτων στην παρουσίαση δεδοµένων στην έκφραση γενικών λύσεων και σαν ένα εργαλείο για απόδειξη κανόνων που διέπουν τις αριθµητικές σχέσεις (Kieran.) Κάποιες γνωστικές αντιλήψεις που εµπλέκονται στη µάθηση της σχολικής άλγεβρας προέρχονται από τη γνώση για το πώς αναπτύχθηκε η άλγεβρα ιστορικά σαν ένα συµβολικό σύστηµα. Η ιστορική διαδροµή της ανάπτυξης της άλγεβρας έχει τρία στάδια. Τα χαρακτηριστικά κάθε σταδίου και η διάρκεια του, έχουµε την πεποίθηση ότι θα µας βοηθήσουν να βγάλουµε χρήσιµα συµπεράσµατα για την υφή του αντικειµένου και να 7

αντλήσουµε ιδέες που αφού τις µεταπλάσουµε µε κριτήριο τις σύγχρονες ανάγκες µας, θα τις χρησιµοποιήσουµε για τη δηµιουργία κατάλληλων διδακτικών παρεµβάσεων. Επίσης θα γίνει φανερό ότι ένα µεγάλο µέρος των προσπαθειών στο κάθε στάδιο ήταν η κατάλληλη αναπαράσταση µαθηµατικών προβληµάτων που είχαν τεθεί σε φυσική γλώσσα, µε µια πιο εύχρηστη «γλώσσα» ώστε να είναι δυνατή η επίλυσής τους. Τα στάδια αυτά είναι (σύµφωνα µε την Kieran 1988): Το ρητορικό στάδιο που αφορά την περίοδο πριν το ιόφαντο (~250 µ. Χ.). Χαρακτηρίζεται από τη χρήση της φυσικής γλώσσας στην κατασκευή αλγορίθµων και διαδικασιών για τη λύση προβληµάτων και αποφεύγεται η χρήση ειδικών συµβόλων ή σηµάτων για αναπαράσταση αγνώστων (Αιγυπτιακά, Βαβυλωνιακά Μαθηµατικά κ.λπ). Το στάδιο της συνκοπτικής άλγεβρας που αφορά την περίοδο που άρχισε µε το ιόφαντο, ο οποίος εισήγαγε τη χρήση γραµµάτων για τις άγνωστες ποσότητες και συντµήσεις λέξεων ή φράσεων για την περιγραφή αριθµητικών πράξεων και διαδικασιών ( εν µορίω για τη διαίρεση πολυωνύµων κ.λπ). Ο Harper σηµειώνει ότι η βασική ενασχόληση των αλγεβριστών από τον 3 ο αιώνα έως τον 16 ο ήταν να ανακαλύπτουν µεθόδους για την εύρεση άγνωστων ποσοτήτων παρά να προσπαθούν να εκφράσουν τη γενικότητα των λύσεων. Ο ιόφαντος δεν είχε γενικές µεθόδους λύσεων ( άλλοι πιστεύουν πως είχε αλλά δεν τις δηµοσίευσε) κάθε ένα από τα 189 προβλήµατα των Αριθµητικών του λυνόταν µε µια διαφορετική µέθοδο. Ο Kline (1972) σηµειώνει ότι η εργασία του ιόφαντου έχει πολλά στοιχεία από τα «διαδικαστικά κείµενα των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων που µας λένε (χωρίς εξηγήσεις) πώς να κάνουµε πράγµατα». Σηµειώνεται ότι ο συνκοπτικός συµβολισµός που εισήγαγε ο ιόφαντος δεν βοήθησε στην ανάπτυξη σε µεγάλη έκταση της άλγεβρας µέχρι τις αρχές του 17 ου αιώνα. Οι Άραβες µετά τον 7 ο αιώνα κράτησαν «ζωντανά» τα Ελληνικά και τα Hindu Μαθηµατικά αλλά η Άλγεβρα τους ήταν κυρίως θεωρητική. Αυτή η µορφή επικράτησε στους αιώνες που ακολούθησαν και κατά τη διάρκεια αυτής της εποχής η αραβική άλγεβρα διαδόθηκε στην Ευρώπη. Υπήρξαν κάποιες αξιοσηµείωτες µορφοποιήσεις σποραδικά κατά τη διάρκεια της Αναγέννησης όπως η χρήση αρχικών λέξεων ( όπως p για το συν και m για το πλην κ.λπ.), αλλά δεν υπήρξε γενικότερη εξέλιξη της συµβολικής γραφής στην Άλγεβρα. Στις αρχές του 16 ου αιώνα η εργασία του ιόφαντου µεταφράστηκε στα Λατινικά και άρχισε να κυκλοφορεί σε έντυπη µορφή στις Ευρωπαϊκές Μαθηµατικές Σχολές. Ο Vieta (1540-1605) µελέτησε το έργο Αριθµητικά του ιόφαντου και επηρεάστηκε από αυτό. Αυτό 8

οδήγησε το Vieta να χρησιµοποιήσει ένα γράµµα για τη δεδοµένη ποσότητα, όσο και για την άγνωστη ποσότητα και τότε περίπου αρχίζει το τρίτο στάδιο. Το στάδιο του αλγεβρικού συµβολισµού ή της συµβολικής άλγεβρας. Σ αυτό το σηµείο έγινε δυνατό να εκφραστούν γενικές λύσεις και να χρησιµοποιηθεί η Άλγεβρα σαν ένα εργαλείο για απόδειξη κανόνων και διαχείριση αριθµητικών σχέσεων. Κατά τη διάρκεια των αιώνων που ακολούθησαν η ανάπτυξη του συµβολισµού και η αποµάκρυνση από τις υπερβολικά λεπτοµερείς λύσεις είχε σαν αποτέλεσµα την ανάπτυξη µαθηµατικών εννοιών όπως η έννοια της συνάρτησης. Ο Kleiner (1989) σηµειώνει ότι ένα από τα γεγονότα που έγινε αφορµή για την ανάπτυξη της έννοιας της συνάρτησης ήταν η δηµιουργία της συµβολικής Άλγεβρας ( ένα άλλο ήταν το «πάντρεµα» της άλγεβρας και της γεωµετρίας). Μέχρι την υπέρβαση του Vieta, να δηµιουργήσει µια πραγµατικά συµβολική Άλγεβρα η απήχηση της θεωρητικής και της συνκοπτικής άλγεβρας ήταν σχετικά µικρή. Περιοριζόταν στο να επιλύει προβλήµατα διαφόρων τύπων µε χρήση ρηµατικών διατυπώσεων και περιγραφών στις οποίες υπήρχε µείξη της φυσικής γλώσσας και ειδικών χαρακτήρων, µε άλλα λόγια αυτές οι περιγραφές ήταν βασικά περιγραφές υπολογιστικών διαδικασιών. Ο Vieta επέτρεψε η άλγεβρα να είναι κάτι περισσότερο από ένα διαδικαστικό εργαλείο, επέτρεψε οι συµβολικές φόρµες να χρησιµοποιούνται σαν αντικείµενα δόµησης. Η ανάπτυξη του δοµικού χαρακτήρα της Άλγεβρας τα τελευταία 150 χρόνια επηρέασε όχι την θέαση του αντικειµένου από τους αλγεβριστές αλλά και τον τρόπο που παρουσιάζεται στα σχολικά εγχειρίδια ( για µια άλλη προσέγγιση της σχέσης άλγεβρας και σχολικής άλγεβρας βλ. Davidov 1975) 9

1.2 Τα λεκτικά προβλήµατα Η ερευνητική βιβλιογραφία που αφορά τα αλγεβρικά λεκτικά προβλήµατα χωρίζεται σε τρία µέρη. Το πρώτο µέρος ασχολείται µε τα κλασσικά λεκτικά προβλήµατα τα οποία βρίσκουµε σε πολλά εγχειρίδια, όπως προβλήµατα ηλικιών, απόστασης ταχύτητας χρόνου και άλλα. Το δεύτερο µέρος ασχολείται µε προβλήµατα συναρτησιακής προοπτικής, όπως προβλήµατα ανάλογων ποσοτήτων και άλλα. Το τρίτο µέρος ασχολείται µε ανοικτά προβλήµατα γενίκευσης που σπάνια συναντούµε σε σχολικά εγχειρίδια άλγεβρας. Κλασσικά λεκτικά προβλήµατα. Η κατάστρωση εξισώσεων για αναπαράσταση σχέσεων στα τυπικά λεκτικά προβλήµατα είναι γνωστό ότι είναι η κυριότερη περιοχή δυσκολίας για τους µαθητές του Γυµνασίου και της Α Λυκείου στην άλγεβρα. Στο Ελληνικό ηµοτικό σχολείο, τα παιδιά δεν µαθαίνουν εξισώσεις και δεν επιλύουν αριθµητικά προβλήµατα µε κατάστρωση εξισώσεων (ακόµη και στις USA σύµφωνα µε τους Carpenter & Mosec 1982 στη στοιχειώδη εκπαίδευση µετά βίας γράφουν εξισώσεις για να αναπαριστούν αριθµητικά προβλήµατα). Πράγµατι, αν δίνεται µια εξίσωση µε µορφή µιας ανοικτής πρότασης ( π.χ. 4 + ; = 7), τα παιδιά θα λύσουν το πρόβληµα πρώτα και µετά θα προσπαθήσουν να λύσουν την εξίσωση ( Briars & Larkin 1984 ). Αν τα παιδιά γράφουν µια εξίσωση αυτή συνήθως αναπαριστά τις ενέργειες που κάνουν ενεργώντας στην τελική απάντηση του προβλήµατος (π.χ. 7-4=3). Στο επίπεδο της Γνωστικής θεώρησης του θέµατος σηµειώνεται ότι η βασικότερη αντιστροφή που απαιτείται στην διαδικασία της σκέψης για τους αρχάρίους στο µάθηµα της Άλγεβρας είναι, όταν τους ζητηθεί να σκεφτούν µε όρους προς τα εµπρός ενεργειών που αναπαριστούν τη δοµή του προβλήµατος µάλλον, παρά µε όρους λύσης του προβλήµατος. Ένα παράδειγµα κλασσικού αλγεβρικού λεκτικού προβλήµατος είναι το παρακάτω: Ο Γιάννης είναι 4 χρόνια µεγαλύτερος από τον Κώστα. Σε δύο χρόνια, το άθροισµα των ηλικιών τους είναι 50. Πόσων χρονών είναι κάθε άτοµο τώρα; Η έρευνα που ασχολείται µε το ζήτηµα της διαδικασίας αναπαράστασης προβληµάτων που χρησιµοποιείται από τα παιδιά έχει βρει ότι οι µαθητές τείνουν να χρησιµοποιούν είτε µια ευθεία-µετάφραση του προβλήµατος είτε µια στερεότυπη µέθοδο (Chaiklin, 1989). 10

Η µέθοδος της ευθείας - µετάφρασης εµπλέκει µια φράση φράση µετάφραση του λεκτικού προβλήµατος σε µια εξίσωση που περιέχει αριθµούς, µεταβλητές και ενέργειες. Κάποια σηµαντική γνώση συχνά απαιτείται για να µορφοποιήσουν αυτές τις εξισώσεις, αλλά οι λύτες χρησιµοποιούν µόνο συντακτικούς κανόνες ( Hensley & Simon 1977; Paige & Simon 1966; Reed 1984). Η στερεότυπη µέθοδος χρησιµοποιεί µια µαθηµατική αρχή για να οργανώσει τις µεταβλητές και τις σταθερές του προβλήµατος. Για παράδειγµα, όταν µερικοί µαθητές διαβάζουν ένα πρόβληµα που αρχίζει: «Ένας κωπηλάτης κανό κωπηλατεί αντίθετα στο ρεύµα του ποταµού» αυτοί αµέσως καταλαβαίνουν ότι αυτό είναι ένα πρόβληµα απόστασης, ταχύτητας και χρόνου. Αυτοί επίσης ενηµερώνονται από το αποτέλεσµα της τρέχουσας κατάστασης, που εξαρτάται από το ότι το κανό πηγαίνει αντίθετα στο ρεύµα ή µε το ρεύµα. Αυτές οι ερµηνευτικές διαδικασίες έχουν κατηγοριοποιηθεί σε ένα Γνωστικό Σχήµα για να περιγράψουν τις αρχές που χρησιµοποιούνται από τους λύτες αλγεβρικών προβληµάτων ( Hensley et al. 1977; Mayer 1980). Γενικά, έχει βρεθεί ότι οι µαθητές έχουν δυσκολία να αντιληφθούν δοµικές οµοιότητες ανάµεσα σε προβλήµατα µε διαφορετικές εκφωνήσεις (Reed 1987). Συχνά καταφεύγουν σε συντακτικές µεταφραστικές προσεγγίσεις και µερικές αντικαθιστούν διάφορες αριθµητικές τιµές για να διαπιστώσουν την επάρκεια των εξισώσεων τους (Reed, Dempster & Ertinger, 1985). Επίσης προσπαθούν να χρησιµοποιήσουν συσχετιστικούς πίνακες σαν ένα ενδιάµεσο βήµα παραγωγής εξισώσεων για προβλήµατα όπως αυτά της κατηγορίας απόστασης ταχύτητας χρόνου αν και γενικά δεν µπορούν να αναπαραστήσουν σωστά τις σχέσεις που διέπουν τα µεγέθη του προβλήµατος πάνω σ αυτούς τους πίνακες. ( Hoz & Harel 1989). O Chaiklin (1989) σηµειώνει ότι αυτό το στοιχείο που συναντάται στην πλειοψηφία των γνωστικών µελετών πάνω στην επίλυση αλγεβρικών προβληµάτων προτείνει ξεκάθαρα ότι οι µαθητές πρέπει έχουν µια διαφαινόµενη δυσκολία στο καταστρώνουν σχέσεις ανάµεσα σε µεταβλητές. Σηµασιολογικές µικροδιαφορές σε προβλήµατα µπορούν να έχουν µια µεγάλη επίδραση στην ικανότητα των µαθητών να καταστρώσουν σωστές εξισώσεις. Παρόλα αυτά οι γνωστικές µελέτες έχουν αδυναµία να εξηγήσουν γιατί συγκεκριµένες µέθοδοι οδηγιών για την εκµάθηση σχηµατικών σχέσεων για την επίλυση λεκτικών προβληµάτων είναι πιο αποτελεσµατικές σε συγκεκριµένους µαθητές από ότι είναι σε άλλους. Η προσέγγιση που περισσότερο χρησιµοποιείται στη διδακτική της Άλγεβρας στην τάξη για το πώς θα επιλύουµε λεκτικά προβλήµατα είναι να µορφοποιεί µια εξίσωση (ή 11

συστήµατα εξισώσεων) εµπλέκοντας αγνώστους και ενέργειες ( συνήθως προς τα εµπρός ενέργειες) σύµφωνα µε κάποια µαθηµατική σχέση και τότε µε τη µέθοδο αλγεβρικής επεξεργασία υπολογίζουν τον άγνωστο όρο για να βρουν τη λύση. Μια εναλλακτική προσέγγιση για την αναπαράσταση και την επίλυση λεκτικών προβληµάτων µε χρήση αλγεβρικών εξισώσεων έχει δοκιµαστεί στην Σοβιετική Ένωση µε µαθητές ηµοτικού (Davidov 1962 ; Freudental 1974). Για να εξαλείψουν τις δυσκολίες που παρατηρήθηκαν σε παιδιά όταν ήταν να αποφασίσουν πότε να χρησιµοποιήσουν προς τα εµπρός ενέργειες και πότε προς τα πίσω ( ονοµάζονταν ευθείες και µη ευθείες µέθοδοι από τους Σοβιετικούς) σύµφωνα µε το πρόβληµα που επιλυόταν. Ο Davidov σχεδίασε και πειραµατίστηκε σε µια προσέγγιση βασισµένη σε εκτεταµένη διδασκαλία σχέσεων µέρους ή όλου. Για παράδειγµα στην πρώτη φάση της µελέτης εµπλέκονται τάξεις 8χρονων, χαρτί κόβεται σε κοµµάτια, όγκοι νερού, βάρη καλά τεµαχισµένου βράχου και άλλα, χρησιµοποιήθηκαν για να δείξουν στους µαθητές τη σηµασία του όλου και των µερών. Από την αρχή τα ολόκληρα και τα µέρη σηµειώνονται µε γράµµατα πάνω σε σχέδια αριθµοί δεν χρησιµοποιήθηκαν. Αργότερα το όλο και τα µέρη συσχετίστηκαν σε εξισώσεις εµπλέκοντας συν και πλην και το σύµβολο της ισότητας. Τα παιδιά έµαθαν να σχεδιάζουν σύµφωνα µε τύπους όπως κ=α-b-c-f, µετά περίπου 36 µαθήµατα µε αντικείµενο το όλο και τα µέρη, η δεύτερη φάση στην επίλυση προβληµάτων άρχισε. Όροι, όπως, «Υπάρχουν α κόκκινα και b µπλε µολύβια σε ένα κουτί και µαζί υπάρχουν c µολύβια» µεταφράστηκαν σε ένα σχέδιο, ένα σχήµα και τρεις τύπους. Μετά τα παιδιά έπρεπε να φτιάξουν κείµενα που να συµφωνούν µε τα σχέδια και αργότερα µε τους δοσµένους τύπους. Σε κάποιες περιπτώσεις εισάγονταν αριθµητικές τιµές. Ένα παράδειγµα σεναρίου επίλυσης προβλήµατος είναι το ακόλουθο: Ο δάσκαλος δείχνει ένα ογκοµετρικό ποτήρι όπου η στάθµη του νερού k είναι σηµαδεµένη από ένα πλαστικό δείκτη. Μετά παίρνει ένα άλλο ογκοµετρικό ποτήρι µε c νερό και χύνει και τα δύο ποτήρια σε ένα κοινό ποτήρι, το οποίο τώρα περιέχει b νερό. Οι µαθητές κάνουν µια ζωγραφιά, αναπαριστώντας την σύνδεση ανάµεσα στις στάθµες k,c,b και καταγράφουν τους τύπους c=b-k, b=k+c,k=b-c. άσκαλος: Απεικονίσαµε τον όγκο του νερού µε γράµµατα, αλλά µπορούµε να το µετρήσουµε και µε αριθµούς. Με ποια στάθµη µπορούµε να αρχίσουµε να µετράµε; Μαθητές: Με τη στάθµη κ το νερό του πρώτου βαθµολογηµένου ποτηριού. άσκαλος: Μπορείς να προσδιορίσεις τον όγκο του νερού; 12

Μαθητής: Είναι 30 grams. ασκαλος:ωραία, ας γράψουµε k=30. Μαθητής: Το άλλο ποτήρι έχει 70 grams νερό c=70. άσκαλος: Πόσο νερό έχει το κοινό ποτήρι τώρα; εν υπάρχει ένδειξη σ αυτό. (Οι µαθητές ήταν αµήχανοι. Κατόπιν τα χέρια υψώθηκαν). Ljuda B.: Ένα, µπορούµε να το χύσουµε µέσα σε ένα ογκοµετρικό ποτήρι και να δούµε πόσο υπάρχει. Sereza S: εν χρειάζεται, το b είναι όλο το νερό που έχουν. Και τα k,c είναι τα µέρη. Είναι 30 και 70. για να πάρουµε όλο το νερό αρκεί να προσθέσουµε τα µέρη κ και γ και το αποτέλεσµα είναι 100. (Freudental, 1974, σ. 399)) Είναι αξιοσηµείωτο ότι οι µαθητές έγραψαν όλους τους τύπους που συνδέουν τα µέρη µε το όλο και όταν γινόταν η ερώτηση, διάλεγαν τον τύπο µε τον οποίο υπολογιζόταν ο άγνωστος. Αυτή η δραστηριότητα η οποία είναι αντίθετη µε την πρακτική στη ύση, απαιτεί ότι οι µαθητές σηµασιολογικά παράγουν µια αναπαράσταση, η οποία µπορεί να είναι µάλλον πολύπλοκη, εµπλέκοντας διάφορες διαδικασίες αντιστροφής. οκιµαστικά προβλήµατα τα οποία οι 8χρονοι µαθητές µπορούσαν να χειριστούν χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία περιελάµβαναν προβλήµατα, όπως: Το πρωί α τρακτέρ δούλευαν στα χωράφια.. Στη διάρκεια της ηµέρας µερικά ενώθηκαν µε αυτά. Τότε έγινα s από αυτά που δούλευαν. Πόσα ενώθηκαν µε τα αρχικά; Τα θετικά αποτελέσµατα που αναδείχθηκαν από τις µελέτες µε τους 8χρονους µαθητές εµφανίστηκαν ξανά σε 9χρονους και 11χρονους µαθητές που ήταν ικανοί να λύσουν πιο δύσκολα προβλήµατα, ακόµη και όταν είχαν δεδοµένα µε αλφαβητικούς όρους. Ένα παράδειγµα ακολουθεί: Ο άσκαλος προτείνει ένα πρόβληµα: Σε ένα καλάθι υπάρχουν k µήλα και σε ένα άλλο τόσα, ώστε, αν πάρουµε n µήλα απ αυτό θα µείνουν τα διπλάσια από όσα υπάρχουν στο πρώτο καλάθι. Πόσα υπάρχουν συνολικά και στα δύο καλάθια; 13

Μαθητές: (Γράφουν αµέσως το σχήµα χ=1 ο καλάθι +2 ο καλάθι) 3 Στο πρώτο καλάθι υπάρχουν k (σκέφτονται). άσκαλος: Τι λέτε για το δεύτερο καλάθι; Μαθητές: Υπάρχουν διπλάσια άσκαλος: Συνολικά! Μαθητές: Όχι διπλάσια, αφού πάρουµε n µήλα(παύση). Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν διπλάσια από αυτά που έχει το πρώτο και n περισσότερα µήλα ( γράφουν 2k+n) άσκαλος: Το πρόβληµα λύθηκε; Μαθητές: Όχι ακόµη, (Γράφουν όλο τον τύπο, χ=k+(2k+n) (Freudental 1974 σ. 403-404) Αυτά τα προβλήµατα µπορούν να επεκταθούν σε προβλήµατα µε αριθµητικά δεδοµένα. Ο Freudental (1974) σηµειώνει ότι η τεχνική που χρησιµοποιήθηκε γι αυτά τα προβλήµατα είναι του «ξεδιπλώµατος». Η αρχική εξάρτηση εγκαθίσταται µε επιτυχία µέχρι να προκύψει ο τελικός τύπος. Για παράδειγµα για το πρόβληµα: «Ένας πάγκος εργασίας ζυγίζει k Kg. Μετά από µια ανακατασκευή του γίνεται m φορές ελαφρύτερος. Πόσο µέταλλο εξοικονοµήθηκε στην κατασκευή d τέτοιων πάγκων;» Ο δάσκαλος εδώ δίνει έµφαση στο ό,τι η εξοικονόµηση µετάλλου είναι το αποτέλεσµα της εξοικονόµησης ανά πάγκο και αριθµητικά είναι l d., όπου l είναι η εξοικονόµηση ανά πάγκο και µπορεί να υπολογιστεί από τη διαφορά παλιού και νέου βάρους. Το παλιό είναι k και το νέο k/m. Τώρα µπορούµε να εκφράσουµε τον τελικό τύπο: x=[k-k/m)] d. Οι µελέτες των Σοβιετικών δείχνουν ότι τα παιδιά µπορούν µε αποτελεσµατικότητα να διδαχθούν γενικές µεθόδους αναπαράστασης και επίλυσης προβληµάτων µε κατάστρωση εξισώσεων σε µια πολύ πιο νεαρή ηλικία από αυτή που διδάσκονται το συγκεκριµένο αντικείµενο τα παιδιά στη ύση. Ο τρόπος που µπορούµε διδάσκουµε τη µετάφραση των λεκτικών προβληµάτων σε «γλώσσα» εξισώσεων (κατάστρωση) µπορεί να αναθεωρηθεί. Η εµπιστοσύνη στις σχέσεις όλου µερών και η χρήση της στα προβλήµατα στα οποία εµπλέκονται µόνο αλφαβητικά δεδοµένα είναι πρακτική, παρόλα αυτά, σπάνια εµφανίζεται στις καθιερωµένες προσεγγίσεις µας για τη διδασκαλία της Άλγεβρας. Προβλήµατα που προσεγγίζονται µε µια συναρτησιακή προοπτική. Η έρευνα στην επίλυση προβληµάτων που θα αναφέρουµε σ αυτό το κεφάλαιο περιέχει προβλήµατα που δεν είναι τελείως διαφορετικά από τα κλασσικά λεκτικά προβλήµατα της 14

άλγεβρας, των µελετών που προηγήθηκαν. Η µορφή της παρουσίασης τους και η προσέγγιση της µεθόδου για την επίλυσή τους η οποία προτάθηκε είναι συνήθως διαφορετική από αυτή που είναι καθιερωµένη σε περιβάλλον επίλυσης προβλήµατος. Γενικά κάποιες συναρτησιακές σχέσεις µεταξύ δύο µεταβλητών εγκαθίστανται πριν το συγκεκριµένο πρόβληµα λυθεί.. Συχνά η αναπαράσταση χρησιµοποιεί την έκφραση της συναρτησιακής σχέσης η οποία βοηθά στη δηµιουργία µιας διαδικαστικής διαδροµής. Οι ερευνητές, υιοθετώντας µια συναρτησιακή προσέγγιση στην επίλυση προβλήµατος στις µελέτες τους, έχουν προσπαθήσει να αναδείξουν την εναλλακτική διαδροµή κατανόησης των αγνώστων ή των µεταβλητών από τους µαθητές. Μελέτες του παρελθόντος έχουν διαµορφώσει την αντίληψη για το πώς µπορεί να αντιλαµβάνονται οι µαθητές τη µεταβλητή. Για παράδειγµα τα αποτελέσµατα των µελετών του CSMS όπως αναφέρονται από τον Kuchemann (1978,1981) δείχνουν ότι η πλειοψηφία των µαθητών στις USA 15χρονοι µαθητές που εξετάστηκαν έβλεπαν τα γράµµατα σαν συµπαγή αντικείµενα ή σαν επιγραφές συµπαγών αντικειµένων. Αυτοί οι µεγαλύτεροι µαθητές συνέχιζαν να χρησιµοποιούν αυτή την επιγραφική αναπαράσταση των αλφαβητικών όρων και σε πιο υψηλές βαθµίδες της εκπαίδευσης. Ο Clement ανακάλυψε ότι οι σπουδαστές του κολεγίου του (Clement 1982, Clement, Lockhead & Monk 1981) που εξετάστηκαν στο κλασσικό πρόβληµα «Σπουδαστές Καθηγητές» σε ποσοστό 37% εξέφρασαν λανθασµένα τη συναρτησιακή σχέση 6S=P Αυτό που έγραψαν είναι µια «εξίσωση» που αναπαριστά τη φράση «Υπάρχουν 6 Σπουδαστές ανά ένα Καθηγητή». Ένα παρόµοιο φαινόµενο ανακοινώθηκε από τους Mevarech & Yitschak (1982) που βρήκαν ότι 38% από 150 σπουδαστές που εξετάστηκαν απάντησαν ότι στην εξίσωση 3k=m το k είναι µεγαλύτερο από το m. Από τα παραπάνω µπορούµε να συµπεράνουµε ότι οι σπουδαστές συνεχίζουν να θεωρούν τους αλφαβητικούς όρους σαν επιγραφές µάλλον παρά σαν αριθµούς σε µια σχέση ισοδυναµίας. Αυτή η αντίληψη για τους αλφαβητικούς όρους περιέχει και µια άλλη αντίληψη, ότι µια εξίσωση δεν είναι µόνο ένα δοµηµένο µαθηµατικό αντικείµενο αλλά επίσης και µια διαδικασία που απαιτεί να βρούµε το m (ή S) και πρέπει να πολλαπλασιάσουµε το k επί 3 (ή το P επί 6). Οι Rosnick & Clement περιγράφουν µια προσπάθεια να παρέµβουν διδακτικά στο παραπάνω πρόβληµα για να αντιµετωπίσουν την αντίληψη των σπουδαστών για τους αλφαβητικούς όρους, όµως αυτό είχε οριακή επιτυχία. Αντίθετα µε την πρόταση του (Soloway 1982) για την δηµιουργία ενός προγράµµατος Η/Υ για τον υπολογισµό των 15

Σπουδαστών (S) του παραπάνω προβλήµατος, είχε θετικότερα αποτελέσµατα γιατί οι σπουδαστές µπήκαν στη λογική να δηµιουργήσουν ένα µοντέλο µε µορφή εισόδου εξόδου αναπαριστώντας µια διαδικασία που λέει «Για να υπολογίσω την τιµή της µεταβλητής S πρέπει να πολλαπλασιάσω την τιµή του P επί 6». Άλλες µελέτες έδωσαν περισσότερες ενδείξεις για τη δύναµη που έχει µια προσεγµένη δηµιουργία µαθησιακού περιβάλλοντος µε χρήση προγραµµάτων Η/Υ. Η φιλοσοφία αυτών των προσπαθειών σε γενικές γραµµές είναι να δηµιουργηθούν προγράµµατα που να δίνουν τη δυνατότητα στους µαθητές να δηµιουργούν αλγορίθµους που να υπολογίζουν ένα µέγεθος µε τη βοήθεια ενός άλλου. Οι Kieran, Boileau & Garanpon (1989) δηµιούργησαν ένα ερευνητικό πρόγραµµα πάνω στη χρήση υπολογιστών για εκµάθηση της άλγεβρας και το συνέδεσαν µε ένα διδακτικό πείραµα σε 12χρονους µαθητές που συµµετείχαν σε τµήµατα ωριαίας απασχόλησης δύο φορές την εβδοµάδα για τέσσερις µήνες. ηµιούργησαν ένα περιβάλλον επίλυσης προβλήµατος. όθηκε έµφαση στη συναρτησιακή ερµηνεία των σχέσεων στην κατάσταση προβλήµατος. Οι µαθητές µπορούσαν να εισάγουν στον Η/Υ ένα είδος προγράµµατος σε φυσική γλώσσα, µε µια ενέργεια ανά γραµµή, για να υπολογίσουν τις τιµές των µεταβλητών του προβλήµατος. Για παράδειγµα ένα πρόβληµα όπως: Ο διευθυντής του Montreal Forum πρόσφερε δύο σχέδια συµβάσεων σε υποψήφιους πωλητές ξηρών καρπών σε πάγκους κατά τη διάρκεια των αγώνων Χόκεϊ. Η πρώτη σύµβαση έδινε $28,68 συν $0.17 ανά σακουλάκι που πωλείται. Η δεύτερη σύµβαση έδινε $11.00 συν $0.38 ανά σακουλάκι. Πόσα σακουλάκια πρέπει να πουληθούν ώστε οι δύο συµβάσεις να δίνουν το ίδιο ακριβώς ποσό; Μπορούµε να το παρουσιάσουµε ως εξής: Είσοδος: αριθµός -σακουλάκια. Πρόγραµµα: αριθµός- σακουλάκια 0.17 δίνει το πρώτο µερικό ποσό Πρώτο µερικό ποσό + 28,68 δίνει το ποσό της πρώτης σύµβασης αριθµός- σακουλάκια 0.38 δίνει το δεύτερο µερικό ποσό εύτερο µερικό ποσό + 11.00 δίνει το ποσό της δεύτερης σύµβασης Έξοδος: Ποσό της πρώτης σύµβασης Ποσό της δεύτερης σύµβασης Αφού εισάγουν το πρόγραµµα γι αυτό το πρόβληµα, οι µαθητές µπορούν τότε να εισάγουν διάφορες τιµές για τον αριθµό-σακουλάκια µέχρι να πετύχουν το ίδιο ποσό στην 16

Έξοδο για τις δύο συµβάσεις. Ένα πλεονέκτηµα αυτής της παρουσίασης σε αντίθεση µε την κατάστρωση εξίσωσης µε κλασσικό τρόπο είναι το ό,τι αυτή η παρουσίαση είναι πιο κοντά στη φυσική γλώσσα. Είναι θα µπορούσαµε να πούµε µια ιδέα αναπαράστασης που έχει τις ρίζες της στο προ- ιοφαντινό στάδιο της ανάπτυξης του αλγεβρικού συµβολισµού. Ένα άλλο κέρδος για τους µαθητές από αυτή την µορφή αναπαράστασης της επίλυσης του προβλήµατος είναι ό,τι βοηθά να σκέφτονται µε προς τα εµπρός ενέργειες ένα στάδιο που είναι ενδιάµεσο αλλά κρίσιµο ώστε να µπορούν αργότερα να επιλύουν προβλήµατα µε κατάστρωση εξισώσεων. Ο ακριβής τρόπος µε τον οποίο οι µαθητές κινούνται προς την κατεύθυνση να αρχίσουν να σκέφτονται µε όρους προς τα εµπρός ενεργειών περισσότερο παρά µε αντιστροφή ενεργειών ήταν µε το να ξεχωρίσουν τη συναρτησιακή κατάσταση από την πραγµατική ερώτηση του προβλήµατος σε µια περίοδο µερικών εβδοµάδων. ( βλ. Owen & Sweller 1989 ). Για παράδειγµα, ένα πρόβληµα όπως το παραπάνω µπορεί να δοθεί σε δύο µέρη. Μετά τις λεπτοµέρειες οι µαθητές µπορούν να ερωτηθούν «Αν πουλήσατε 50 σακουλάκια πόσα χρήµατα δίνει η πρώτη σύµβαση; Πόσα η δεύτερη;» Αφού οι µαθητές µε το ίδιο τρόπο απαντήσουν µέσω του προγράµµατος για διάφορες τιµές της µεταβλητής αριθµός- σακουλάκια, µπορεί να τους τεθεί η ερώτηση «για πιο αριθµό- σακουλάκια θα έχουµε και από τις δύο συµβάσεις τον ίδιο ποσό χρηµάτων;» H διδακτική προσέγγιση που χρησιµοποιήθηκε σε αυτή τη µελέτη ήταν αποτελεσµατική στο να βοηθήσει τους µαθητές να αναπτύξουν µια µέθοδο επίλυσης προβλήµατος µε κατάστρωση εξισώσεων µε απαράµιλλη ευκολία. Επιπροσθέτως, όπως το παραπάνω πρόβληµα παρουσιάζεται δεν είναι δύσκολο να αναπαρασταθεί και να λυθεί. Είναι πολύ πιο εύκολο από το να προσπαθούµε να καταστρώσουµε εξίσωση για ένα κλασσικό πρόβληµα µε στο οποίο εµπλέκεται περιστασιακά µια µεταβλητή. Αυτό βρίσκεται σε αντίθεση µε τα ευρήµατα σαν αυτά των Filloy και Rojano (1985a) που δείχνουν ότι οι σπουδαστές έχουν µια δυσκολία όχι µόνο να δηµιουργήσουν µια εξίσωση µε δύο ανεξάρτητες µεταβλητές αλλά να και να τη λύσουν µε τυπικές µεθόδους. Οι Fey (1989a) και Heid ( Heid 1988, Sheets, Matras & Menasian1988) ανέπτυξαν ένα αναλυτικό πρόγραµµα για την Άλγεβρα που ονόµασαν «συναρτησιακή προσέγγιση στη επίλυση προβλήµατος» µε εντατική χρήση υπολογιστών το οποίο δοκιµάστηκε σε ολόκληρες τάξεις που έκαναν πρώτη φορά Άλγεβρα. Περιείχε τη χρήση πολλών διαφορετικών προγραµµάτων Η/Υ, για παράδειγµα προγράµµατα σχεδίασης καµπύλων, δηµιουργούς πινάκων τιµών, επεξεργαστές συµβόλων και σχεδιαστές γραφικών 17

παραστάσεων. Το πρόγραµµα επικεντρώνει στη χρήση αυτών των εργαλείων υπολογιστών για : (α) Ανάπτυξη την κατανόησης των αλγεβρικών εννοιών από τους µαθητές και της ικανότητάς τους να επιλύουν προβλήµατα που απαιτούν Άλγεβρα πριν εξειδικευτούν στις τεχνικές συµβολικής επεξεργασίας και (β) Να κάνουν την έννοια της συνάρτησης ένα κεντρικό θέµα οργάνωσης για τη θεωρία, την επίλυση προβλήµατος και τις τεχνικές στην Άλγεβρα. (Heid et al. 1988 σ. 2). Ένα δοκιµαστικό πρόβληµα από το αναλυτικό τους πρόγραµµα (Fey 1989a) και η συναρτησιακή προσέγγιση που χρησιµοποιήθηκε για να το παρουσιάσουν στους µαθητές είναι το παρακάτω: Η Carla σχεδιάζει διακοπές µιας εβδοµάδος στo Pocomos µε την ξαδέρφη της Kate. ανείστηκε $195 από τη µητέρα της για να εκσυγχρονίσει µια µηχανή που κουρεύει γκαζόν µε σκοπό να κερδίσει χρήµατα για το ταξίδι κόβοντας το γκαζόν. Ας υποθέσουµε ότι αποφασίζει να χρεώνει $10 ανά σωρό από γκαζόν. 1. Κάνε ένα πίνακα που να δείχνει τα έσοδά της για 0, 5, 10, 15, 20, 25 και 30 σωρούς. 2. Τώρα πόσους σωρούς πρέπει η Carla να συγκεντρώσει για να ξεχρεώσει; 3. Γράψε τους υπολογισµούς που χρειάζονται για να υπολογιστεί ο τζίρος της Carla αφού συγκέντρωσε 35 σωρούς. 4. Γράψε ένα κανόνα που να εξηγεί πώς να υπολογίσει η Carla τα έσοδά της σαν µια συνάρτηση των σωρών που µαζεύει. Έσοδο= 5. Πόσους σωρούς πρέπει η Carla να συγκεντρώσει µε σκοπό να έχει ένα έσοδο $500 για το ταξίδι της στα Pocomos. Το παραπάνω πρόβληµα και η ενδεικτική του αντιµετώπιση είναι ένα από τα πολλά προβλήµατα του αναλυτικού προγράµµατος που επεξεργάστηκαν οι Fey & Heid για περισσότερα άλλου είδους µπορούµε να δούµε στο Heid (1990). Οι παραπάνω δοκίµασαν το πρόγραµµά τους για 5 χρόνια και µάλιστα µε επιτυχή αποτελέσµατα. Προβλήµατα σαν αυτά που περιείχε το πρόγραµµα των Ηeid & Fey χρησιµοποιήθηκαν επίσης από τους Demana & Leitzel (1988) στην έρευνά τους µε µαθητές µέσης εκπαίδευσης (Γυµνασίου). Ένα τυπικό σενάριο προβλήµατος από την εργασία των παραπάνω είναι : Για µερικά ορθογώνια το µήκος είναι µεγαλύτερο από το πλάτος κατά 4 cm» 18

Οι ερευνητές δουλεύουν µε τους µαθητές βοηθώντας τους να σχηµατίσουν έναν πίνακα µε αριθµητικές τιµές που περιλαµβάνει τις επικεφαλίδες πλάτος, µήκος, περίµετρος και εµβαδόν. Στην τελευταία γραµµή του πίνακα Πλάτος Μήκος Περίµετρος Εµβαδόν υπάρχει µια µεταβλητή που περιγράφει (cm) (cm) (cm) (cm 2 ) τη γενική περίπτωση. Οι ερευνητές έχοντας την τελευταία γραµµή του 1 5 12 5 πίνακα σα βάση έκαναν ερωτήσεις 5 9 28 45 όπως: 8,4 12,4 41,6 104,16 «βρες το ω αν ω 2 +4ω = 45» ή «Βρες 12 16 56 192 το ω αν 4ω+8 = 41,6». Επειδή όλες οι ω ω+4 4ω+8 ω 2 +4ω αριθµητικές τιµές είναι ήδη στον πίνακα οι µαθητές έχουν ότι πληροφορίες χρειάζονται για να «λύσουν» τις εξισώσεις. Το επόµενο βήµα είναι να ρωτήσουµε τους µαθητές να λύσουν τις εξισώσεις για αριθµητικές που δεν βρίσκονται στον πίνακα. Για παράδειγµα «Βρες το πλάτος ω του ορθογωνίου, αν 4ω+8=72». Οι ερευνητές ανέφεραν ότι πολλοί µαθητές ανέπτυξαν τις δικές τους µεθόδους επίλυσης, όπως να αντικαθιστούν διάφορες τιµές του ω µέσα στην εξίσωση µέχρι το πρώτο και το δεύτερο µέλος να ισορροπήσουν. Άλλο ένα είδος προβληµάτων στα οποία έχει εστιάσει η έρευνα είναι τα λεγόµενα προβλήµατα ανοικτού τύπου ή απλά ανοικτά προβλήµατα. εν θα ασχοληθούµε στην παρούσα εργασία µε αυτά, όµως είναι χρήσιµο να επισηµάνουµε ότι το τµήµα της µαθηµατικής κοινότητας που ασχολείται µε τη διδακτική των µαθηµατικών έχει υιοθετήσει την άποψη ότι η µοντελοποίηση και οι εφαρµογές έχουν βασικό ρόλο στη διδακτική πράξη. Ενδεικτικά αναφέρουµε την άποψη του Blum (1991) & Niss (1989) «ένα από τα ισχυρά επιχειρήµατα για την εισαγωγή των µαθηµατικών της µοντελοποίησης και των εφαρµογών είναι το γεγονός ότι συµβάλλουν προς την κατεύθυνση των πραγµατικών στόχων της µαθηµατικής εκπαίδευσης. Με τον όρο αυτό εννοούµε ότι η διδασκαλία θα πρέπει να βοηθήσει τους µαθητές να αναπτύξουν την ικανότητα να περιγράφουν και να διαπραγµατεύονται καταστάσεις του περιβάλλοντος κόσµου µε τη γλώσσα και τα «µέσα» των µαθηµατικών, προκειµένου να τις κατανοήσουν και να τις χειρίζονται µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Η ικανότητα αυτή δεν αναπτύσσεται «αυτόµατα» από µια διδασκαλία που είναι προσανατολισµένη στην παρουσίαση των εννοιών µε θεωρητικό τρόπο..» 19

2.1 Κατάστρωση πρωτοβάθµιων εξισώσεων συστηµάτων για επίλυση προβληµάτων ποσοτήτων. Στην Ελληνική εκπαιδευτική πραγµατικότητα οι έρευνες που αφορούν τη δυσκολία αναπαράστασης και επίλυσης λεκτικών προβληµάτων είναι σπάνιες. Μια ενδιαφέρουσα έρευνα σ αυτό το πεδίο είναι του Κούρκουλου, Μ. (1994-1995). Η έρευνα αυτή αφορά κατάστρωση πρωτοβαθµίων εξισώσεων για επίλυση προβληµάτων ποσοτήτων. Τα αποτελέσµατα της έρευνας προέρχονται από ερωτηµατολόγια που συµπλήρωσαν οι 354 µαθητές της Γ Γυµνασίου (τέλος της χρονιάς). εν θα σταθούµε σε λεπτοµέρειες αυτής της έρευνας αλλά σε συµπεράσµατα που προέκυψαν για την υφή των δυσκολιών που συνάντησαν οι µαθητές που συµµετείχαν σ αυτή. Αυτό θα είναι χρήσιµο για να διαγνώσουµε το πρόβληµα στη ρίζα του και να προτείνουµε τρόπους διδακτικής παρέµβασης για την αντιµετώπισή του. Τα προβλήµατα που χρησιµοποιήθηκαν σ αυτή την έρευνα αφορούσαν συνεχείς ποσότητες (χρόνο, µάζα, µήκος, ) και σε ποσότητες διακριτών αντικειµένων (µπίλιες, καραµέλες, ). Οι καταστάσεις αυτές είναι κατά τµήµατα καταστάσεις ανάλογων ποσών, όµως συνολικά δεν συνιστούν µια κατάσταση ανάλογων ποσών ( π.χ. διαφορετική ταχύτητα στο πρώτο και δεύτερο µέρος της διαδροµής). Η κατάστρωση των εξισώσεων των προβληµάτων αυτών οδηγεί στην κατασκευή απλών συστηµάτων 1 ου βαθµού. Η έρευνα κατέδειξε τις σοβαρές δυσκολίες των µαθητών, όταν προσπαθούν να τα επιλύσουν. Ο ερευνητής καταγράφει τρεις χώρους δυσκολιών που συναντούν οι µαθητές: 1. υσκολία στην αναπαράσταση των ποσοτήτων και (των σχέσεών τους ) µε τη χρήση αλγεβρικών συµβόλων. 2. υσκολίες όσον αφορά στον χωρισµό του προβλήµατος σε υποπροβλήµατα. ( Εντοπισµός µικρών οµάδων ποσοτήτων που συνδέονται µε µια σχέση αλγεβρικά εκφράσιµη). Συνήθως ένα απλό πρόβληµα περιλαµβάνει τρεις ποσότητες που συνδέονται µε µια προσθετική ή πολλαπλασιαστική πράξη. 3. δυσκολίες σχετικές µε τη σύλληψη των σχέσεων των ποσοτήτων που συµµετέχουν στα υποπροβλήµατα.( για περισσότερη ανάλυση βλ. Μιχάλης Κούρκουλος ΕΡΕΥΝΑ σ. 3 4). Στη συνέχεια ο ερευνητής παρατήρησε ότι τα περισσότερα από τα στοιχειώδη ελαττώµατα αναπαράστασης µπορούµε να τα κατηγοριοποιήσουµε σε δύο υποοµάδες: 20

Ο µαθητής δε λαµβάνει υπόψη του παρά ένα µέρος των πληροφοριών που είναι αναγκαίες για την οργάνωση µιας σωστής αναπαράστασης, δηλαδή η ελαττωµατική αναπαράσταση προέρχεται από µια µείωση των πληροφοριών που είναι αναγκαίο να ληφθούν υπόψη ( υποοµάδα ελαττωµάτων αναφορικών µειώσεων). Στην αναπαράσταση του µαθητή η χρήση ενός αλγεβρικού συµβόλου ή ενός µπλοκ συµβόλων καθορίζεται αποκλειστικά από τη σύνδεσή του µε ένα διαστατικό στοιχείο (χρόνος, βάρος,..) (υποοµάδα ελαττωµάτων διαστατικών µειώσεων) Εξαιτίας των χαρακτηριστικών που έχουν τα ελαττώµατα αυτών των υποοµάδων,ο ερευνητής ονόµασε την οµάδα, οικογένεια «Αναφορικών και ιαστατικών µειώσεων». Τα ελαττώµατα αναπαράστασης που εντοπίστηκαν στην παραπάνω έρευνα και ανήκουν στην οικογένεια «αναφορικών και διαστατικών µειώσεων είναι τα παρακάτω: 1. Αναφορική µεταβλητή τύπου Ι 2. Αναφορική µεταβλητή τύπου ΙΙ 3. Αναφορικά αθροίσµατα. 4. Ισότητα αντιστοίχισης. 5. Μεταβλητή µε δείκτη. 6. Αναφορικά πολλαπλασιαστικά µπλόκ 7. Αναφορική σταθερά. 8. ιαστατική µεταβλητή τύπου Ι 9. ιαστατική µεταβλητή τύπου ΙΙ 10. Μεταβλητή δείκτης. Υπάρχουν και δύο ακόµη ελαττώµατα αναπαράστασης που δεν εντάσσονται λόγω της υφής τους στην παραπάνω οικογένεια. Αυτά είναι: 1. Η µη τοποθέτηση παρένθεσης. 2. Το άθροισµα δείκτης. Για να µπορέσει να γίνει κατανοητό το κάθε είδος ελαττώµατος θα πάρουµε τρία προβλήµατα από την παραπάνω έρευνα και θα ανιχνεύσουµε τα ελαττώµατα αναπαράστασης που εµφανίζονται στις λύσεις των µαθητών. Περιπτώσεις 2,3,5. Ένα σύµβολο ή ένα µπλοκ συµβόλων αναπαριστά ένα αντικείµενο ή µια ενέργεια και όχι µια ποσότητα του προβλήµατος. Περιπτώσεις 1,7. Ένα σύµβολο (άγνωστος ή σταθερά) αναπαριστά σε διαφορετικές εµφανίσεις του διαφορετικές ποσότητες που αναφέρονται στο ίδιο αντικείµενο ή ενέργεια. Περιπτώσεις 4,6. Ένα µπλοκ συµβόλων αναπαριστά µια αντιστοίχιση ανάµεσα σε ποσότητες. Η αντιστοίχιση προκύπτει από το ότι οι ποσότητες αναφέρονται στο ίδιο αντικείµενο ή ενέργεια. Περίπτωσεις 8,9,10. Τα σύµβολα χρησιµοποιούνται σύµφωνα µε τη σύνδεσή τους µε άλλα διαστατικά στοιχεία του προβλήµατος (χρόνος, µάζα, ) ΕΚ ΟΧΗ Α. Πρόβληµα 3 ο («σάκοι =») 21

Ο Γιάννης έχει σακιά που περιέχουν σκληρό σιτάρι και άλλα σακιά που περιέχουν µαλακό σιτάρι. Ο Γιάννης έχει συνολικά 267 σακιά. Κάθεσακί µε σκληρό σιτάρι περιέχει 25 kg σιτάρι, εν ω κάθε σακί που περιέχει µαλακό σιτάρι περιέχει 18 kg σιτάρι. Όλο το µαλακό σιτάρι ζυγίζει 162 kg περισσότερο από το όλο το σκληρό σιτάρι. Πόσα σακιά µαλακό σιτάρι έχει ο Γιάννης; Πρόβληµα 4 ο («µπίλιες =») Ο Παύλος έχει 18 µεγάλους µεταλλικούς βώλουςκαι 13 µικρούς µεταλλικούς βώλους. Όλοι οι µεγάλοι βώλοι έχουν το ίδιο βάρος. Όλοι οι µικροί βώλοι έχουν το ίδιο βάρος. Ένας µεγάλος βώλος ζυγίζει 7g περισσότερο από ένα µικρό βώλο. Ο Παύλος ζυγίζει µαζί τους 18 µεγάλους βώλους, κατόπιν ζυγίζει µαζί τους 13 µικρούς βώλους. Το ολικό βάρος των µεγάλων βώλων ξεπερνά κατά 206 g το ολικό βάρος των µικρών βώλων. Πόσο ζυγίζει ένας µικρός βώλος; ΕΚ ΟΧΗ Β. Πρόβληµα 1 ο («ταχύτητα ±») Ένα µοτοποδήλατο ανεβαίνει ένα λόφο µε ταχύτητα 15 µέτρα ανά δευτερόλεπτο. Κτατόπιν χωρίς να σταµατήσει, κατεβαίνει το λόφο από την άλλη πλευρά µε ταχύτητα 22 µέτρα ανά δευτερόλεπτο. Ολόκληρη η διαδροµή διήρκεσε 270 δευτερόλεπτα. Η άνοδος είναι 126 µέτρα µικρότερη από την κάθοδο. Πόσο διήρκεσε η άνοδος; Στα γραπτά των µαθητών παρατηρήθηκαν τα παρακάτω σφάλµατα αναπαράστασης: Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση:(«ταχύτητα±») Ο µαθητής προσδιορίζει τον άγνωστο µόνο µε βάση τη µε ένα αντικείµενο (ή µια ενέργεια) π.χ. το χ: άνοδος στη µια εξίσωση είναι ο χρόνος ανόδου και στην άλλη το µήκος ανόδου. (Ελάττωµα 1.) χ: άνοδος ψ: κάθοδος χ+ψ=270 χ=ψ+126 Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση:(«ταχύτητα±») χ: άνοδος ψ: κάθοδος χ+ψ=270 χ+126=ψ ολική διαδροµή χ+ψ, αντιστοιχεί σε, 270 sec χρόνο άνοδος χ+126, αντιστοιχεί σε, άνοδο ψ 22

Ο µαθητής αναπαριστά µε τον άγνωστο ένα αντικείµενο (ή µια ενέργεια) και όχι µια ποσότητα. Στις διαφορετικές εµφανίσεις του ο άγνωστος αναπαριστά το ίδιο αντικείµενο ( ή ενέργεια). Ακόµη και τα αθροίσµατα που κατασκευάζει ο µαθητής αναπαριστούν αντικείµενα (ή ενέργειες) που προέρχονται από τη σύνθεση των αρχικών αντικειµένων (ή ενεργειών) (Ελάττωµα 2.) Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση:(«ταχύτητα±») χ: χρόνος καθόδου χ + 126m +χ =270 sec χ: χρόνος καθόδου x+126m : χρόνος καθόδου χ+126m+χ : χρόνος ολικής διαδροµής Ο µαθητής εκφράζει µε τους άγνωστους σωστά προσδιορισµένες ποσότητες του προβλήµατος. Όµως στην κατασκευή αθροισµάτων ο µαθητής λαµβάνει υπόψη µόνο τα αντικείµενα (ή τις ενέργειες ) αναφοράς και τέλος το άθροισµα εξισώνεται µε οποιαδήποτε ποσότητα ή σύµβολο αντιστοιχεί στο αντικείµενο που αντιπροσωπεύει το άθροισµα. (Ελάττωµα 3.) Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση:(«ταχύτητα±») χ: χρόνος καθόδου ψ: χρόνος καθόδου 15χ: µήκος ανόδου 21ψ: µήκος καθόδου 15χ + 21ψ = 270 15χ+21ψ: µήκος ολικής διαδροµής, διήρκεσε, 270sec χρόνο Ο µαθητής που έχει αυτό το ελάττωµα αναπαράστασης ορίζουν σωστά τους αγνώστους και τα αθροιστικά και πολλαπλασιαστικά µπλοκ (αχ, β+χ). Όµως στην ισότητα λαµβάνουν υπόψη µόνο το αντικείµενο αναφοράς των ποσοτήτων που πρόκειται να εξισωθούν. Τοποθετούν το σύµβολο «=» ανάµεσα σε ποσότητες διαφορετικής διάστασης αρκεί να αφορούν το ίδιο αντικείµενο (ή ενέργεια). (Ελάττωµα 4.) 23

Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση:(«ταχύτητα±») χ: χρόνος ανόδου 15m/sec ταχύτητα ανόδου Ο µαθητής που έχει αυτό το ελάττωµα αναπαράστασης, αντιλαµβάνεται το πολλαπλασιαστικό µπλοκ σαν χ µε το 15 όχι να πολλαπλασιάζει αλλά να δείχνει (δείκτης) µε πόσο τρέχαµε το χρόνο χ. (Ελάττωµα 5.) 15χ : ο χρόνος που τρέχαµε µε 15 m/sec. Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση:(«ταχύτητα±») 15m/sec ταχύτητα ανόδου χ: χρόνος ανόδου Ο µαθητής αντιλαµβάνεται σωστά την πράξη ανάµεσα στον άγνωστο και τη σταθερά, όµως το γινόµενο το αντιλαµβάνεται λανθασµένα ως το ίδιο το αντικείµενο αναφοράς. (Ελάττωµα 6.) Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση: («σάκοι=») Ο µαθητής εδώ αντιλαµβάνεται τη σταθερά 18kg σαν τον ίδιο το σάκο του µαλακού σιταριού και ταυτόχρονα σαν το βάρος του µαλακού σιταριού που περιέχει, (όπως και στο ελάττωµα 1. ) 15χ : άνοδος. 18χ + 25ψ = 267 όλοι οι σάκοι του σιταριού 18χ = 25ψ + 162 βάρος σάκων µαλακού σιταριού Μόνο που εδώ αυτό αφορά τη σταθερά και όχι τη µεταβλητή. (Ελάττωµα 7.) Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση:(«ταχύτητα±») χ: είναι ο χρόνος ανόδου και ο χρόνος καθόδου 15χ = 21χ + 126 15χ: ο χρόνος ανόδου 21χ: ο χρόνος καθόδου Ο µαθητής προσδιορίζει τον άγνωστο µόνο µε βάση τη σύνδεσή του µε ένα διαστατικό στοιχείο (εδώ το χρόνο) και θεωρεί ότι στις διαφορετικές εµφανίσεις του 24

ο άγνωστος µπορεί να αναπαριστά διαφορετικές ποσότητες που έχουν την ίδια διάσταση. (Ελάττωµα 8.) Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση:(«ταχύτητα±») χ: ο χρόνος 15χ: ο χρόνος 21χ: ο χρόνος 15χ = 21χ + 126 Ο µαθητής θεωρεί ότι στις διαφορετικές εµφανίσεις του ο άγνωστος αναπαριστά ένα διαστατικό στοιχείο και όχι µια προσδιορισµένη ποσότητα. (Ελάττωµα 9.) Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση:(«ταχύτητα±») Ο µαθητής µετατρέπει το διαστατικό δείκτη µιας σταθεράς (µονάδα µέτρησης ενός µεγέθους) σε µεταβλητή. (Ελάττωµα 10.) Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση («µπίλιες=») Εδώ ο µαθητής δείχνει να µην είναι εξοικειωµένος µε τη χρήση της παρένθεσης. Πολλαπλασιάζει µια ποσότητα µε µια άλλη την οποία αναπαριστά µε άθροισµα και δεν αντιλαµβάνεται την ανάγκη να τοποθετήσει παρένθεση.(ελάττωµα µη τοποθετηση παρένθεσης). Το 15 m/sec γίνεται 15χ Το 21 m/sec γίνεται 21χ. χ: το βάρος µιας µικρής µπίλιας χ+7: το βάρος µιας µεγάλης µπίλιας 18 χ + 7: το βάρος από όλες τις µεγάλες µπίλιες µαζί. Ο µαθητής καταλήγει στην κατάστρωση («ταχύτητα ±») χ: το µήκος ανόδου ψ: το µήκος καθόδου χ + 126 = ψ Ο µαθητής εµφανίζει το ελάττωµα αυτό σε προβλήµατα που υπάρχουν δύο ποσότητες που η µια ξεπερνά την άλλη κατά µία σταθερά. Ο ερευνητής αναφέρει ότι σε συζήτηση που είχε µε τους µαθητές για να εξηγήσουν πως σκέφτηκαν πήρε απαντήσεις δύο τύπων: 25

Α. «Έβαλα τα 126 m στο χ, για να δείξω ότι είναι της ανόδου» Εδώ η πρόσθεση του 126 m δείχνει που ανήκει το τµήµα. Β. «Πρόσθεσα τα 126 m στο χ για να δείξω ότι είναι µεγαλύτερο» «Πρόσθεσα τα 126 m στην άνοδο γιατί είναι µεγαλύτερη» Εδώ η πρόσθεση του επιπλέον τµήµατος δείχνει κατά το µαθητή ποια είναι η µεγαλύτερη ποσότητα. (Ελάττωµα : το άθροισµα σα δείκτης). Γενικές παρατηρήσεις: 1. Η παραπάνω έρευνα, καταδεικνύει την πανσπερµία ελαττωµάτων αναπαράστασης που προκύπτουν κατά την προσπάθεια σχετικά έµπειρων µαθητών (15-16 ετών) να επιλύσουν απλά λεκτικά προβλήµατα µε κατάστρωση εξισώσεων - συστηµάτων 1 ου βαθµού. Η διδακτική παρέµβαση σ αυτό το στάδιο που υπάρχει µια διαµορφωµένη κατάσταση είναι χρονοβόρα και πολύπλοκη. Είναι φανερό λοιπόν ότι πρέπει να υπάρξει στρατηγικά µελετηµένη πρόληψη του φαινοµένου και όχι να αναζητούµε εκ των υστέρων τρόπους (συχνά, όχι τόσο αποτελεσµατικούς) για τη θεραπεία του. 2. Το φαινόµενο αυτό δεν είναι Ελληνικό αλλά διεθνές, αυτό το διαπιστώνουµε αν ρίξουµε µια µατιά σε ένα πίνακα που παρουσιάζεται στη ίδια έρευνα και περιέχει συγκριτικά στοιχεία για δύο χώρες (Ελλάδα και Γαλλία) όπου πραγµατοποιήθηκε η ίδια έρευνα ( Γαλλία 1987-1988, Ελλάδα 1994-1995). Αν και υπάρχουν στις δύο χώρες αναλυτικά προγράµµατα µε διαφορετική έµφαση το κάθε ένα στην επίλυση λεκτικών προβληµάτων µε κατάστρωση εξισώσεων, είναι φανερό ότι τα αποτελέσµατα είναι το ίδιο απογοητευτικά. Γαλλικό δείγµα του 1987-1988 Ελληνικό δείγµα του 1994-1995 Μαθητές γνωρίζουν να χρησιµοποιούν σωστά τα αλγεβρικά σύµβολα Μαθητές εµφανίζουν ελαττώµατα αναπαράστασης της κύριας οικογένειας Μαθητές εµφανίζουν ελαττώµατα αναπαράστασης που δεν ανήκουν στη κύρια οικογένεια Μαθητές που χρησιµοποιούν µόνο πρακτική αριθµητική 22% 62% 5% 11% 20% 59% 4% 17% Πίνακας στοιχείων έρευνας σε Γαλλία και Ελλάδα (Κούρκουλος, Μ. 1994-1995) 26

3. Το παραπάνω φαινόµενο έχει επιπτώσεις και σε άλλα µαθήµατα που έχουν στη δοµή τους ενταγµένα λεκτικά προβλήµατα που χρειάζεται για την επίλυσή τους να καταστρώσουµε εξισώσεις συχνά πιο πολύπλοκες από αυτές της παραπάνω έρευνας ( π.χ. Φυσική των τάξεων του Λυκείου) 2.2 Αιτίες του προβλήµατος. Για να απαντήσουµε στο ερώτηµα «γιατί να εµφανίζονται τα παραπάνω ελαττώµατα αναπαράστασης και γιατί το φαινόµενο έχει έκταση και επιµονή;», πρέπει να εντοπίσουµε τους παράγοντες που διαµορφώνουν και επηρεάζουν την επαφή του µαθητή µε το συγκεκριµένο αντικείµενο. Οι παράγοντες αυτοί επιγραµµατικά είναι οι εξής: Το Αναλυτικό Πρόγραµµα των Μαθηµατικών ( ηµοτικού-γυµνασίου Λυκείου). Τα σχολικά βιβλία των Μαθηµατικών. Το εποπτικό υλικό που χρησιµοποιείται µέσα στην τάξη. Η επιµόρφωση των δασκάλων των Μαθηµατικών. 2.3 Το Αναλυτικό Πρόγραµµα των Μαθηµατικών στην Ελλάδα. Το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο είναι ο φορέας που καθοδηγεί την Εκπαίδευση (Πρωτοβάθµια και ευτεροβάθµια) στην χώρα µας. Τα έτη 1997-1998 έγινε προσπάθεια για µια συστηµατική µελέτη του Αναλυτικού Προγράµµατος Μαθηµατικών Σπουδών στην Εκπαίδευση και το αποτέλεσµα ήταν η δηµιουργία ενός πλαισίου που ονοµάστηκε ιαθεµατικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγράµµατος Σπουδών Μαθηµατικών ( ΕΠΠΣΜ). Στις βασικές αρχές του το ΕΠΠΣΜ περιλαµβάνει τα εξής σηµεία που παρουσιάζουν ενδιαφέρερον. Η επίτευξη των γενικών στόχων της Μαθηµατικής εκπαίδευσης αποτελεί, όπως είναι φυσικό, αντικείµενο συνεχούς αναζήτησης και προβληµατισµού. Το παραδοσιακό µοντέλο διδασκαλίας (έµφαση στα αποτελέσµατα της µαθηµατικής δηµιουργίας και στον τρόπο παρουσίασης τους) αµφισβητείται. Τόσο το τελικό "προϊόν" της µαθηµατικής δηµιουργίας όσο και ο τρόπος παρουσίασης του υποβαθµίζει την διαδικασία µέσω της οποίας φτάνουµε σε αυτό. Οι σύγχρονες αντιλήψεις σχετικά µε τη διδασκαλία και µάθηση των Μαθηµατικών θεωρούν τα Μαθηµατικά όχι µόνο ως το αποτέλεσµα αλλά και τη δραστηριότητα µέσω της οποίας παράγεται το αποτέλεσµα αυτό. Με αυτή την έννοια τα Μαθηµατικά δεν αποτελούν µόνο 27