ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 6: Πηγές μαγνητικού πεδίου Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Χρήση των νόμων Biot-Savart και Ampère για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου που παράγεται από ρευματοφόρους αγωγούς υψηλής συμμετρίας (ευθύγραμμος, κυκλικός, σωληνοειδές, κ.α.). 4
Andre-Marie Ampère 1775 1836. Γάλλος φυσικός. Ανακάλυψε τον ηλεκτρομαγνητισμό. Δηλαδή τη σχέση του ηλεκτρικού ρεύματος και του μαγνητικού πεδίου. Ασχολήθηκε και με τα μαθηματικά. Εικόνα 1:Andre-Marie Ampère. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 5
Ο νόμος Biot-Savart Εισαγωγή Τα μαγνητικά πεδία δημιουργούνται από κινούμενα ηλεκτρικά φορτία, όπως είναι το ηλεκτρικό ρεύμα σε ένα αγωγό. Οι Biot και Savart πραγματοποίησαν πειράματα για να μελετήσουν τη δύναμη που ασκεί το ηλεκτρικό ρεύμα σε έναν μαγνήτη ο οποίος βρίσκεται σε κοντινή απόσταση. Κατέληξαν σε μια μαθηματική σχέση η οποία δίνει το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από ένα ρεύμα σε κάποιο σημείο του χώρου. 6
Ο νόμος Biot-Savart Εξίσωση (1/2) Η μαθηματική εξίσωση που είναι γνωστή ως νόμος Biot-Savart είναι: db = μ 0 Ids sinθ 4π r 2 όπου, db είναι το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ένα στοιχειώδες τμήμα ds του αγωγού σε απόσταση r. Η κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου είναι κάθετη στα ds και r και δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Η σταθερά μ 0 ονομάζεται (μαγνητική) διαπερατότητα του κενού: μ 0 = 4π 10 7 Tm A. 7
Ο νόμος Biot-Savart Εξίσωση (2/2) Εικόνα 2: Ο νόμος Biot-Savart Εξίσωση. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 8
Ο νόμος Biot-Savart Εξίσωση (Διανυσματική μορφή) Εικόνα 3: Ο νόμος Biot-Savart Εξίσωση (Διανυσματική μορφή). Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 9
Το συνολικό μαγνητικό πεδίο Για να βρούμε το συνολικό πεδίο, αθροίζουμε τις συνεισφορές όλων των στοιχειωδών ρευμάτων I: Η ολοκλήρωση γίνεται σε ολόκληρη την κατανομή του ρεύματος. 10
Μαγνητικό πεδίο γύρω από λεπτό ευθύγραμμο αγωγό (1/3) Θεωρήστε ένα λεπτό ευθύγραμμο σύρμα που διαρρέεται από σταθερό ρεύμα I και βρίσκεται πάνω στον άξονα x. Βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται από αυτό το ρεύμα σε ένα τυχαίο σημείο Σ. Εικόνα 3: Μαγνητικό πεδίο γύρω από λεπτό ευθύγραμμο αγωγό. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 11
Μαγνητικό πεδίο γύρω από λεπτό ευθύγραμμο αγωγό (2/3) Η συνεισφορά ενός στοιχειώδους τμήματος ds στο συνολικό πεδίο στο σημείο Σ είναι db = μ 0I 4π dx sinφ r 2 = μ 0I 4π dx cosθ r 2 Η κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου db είναι κάθετα στη σελίδα, προς τα έξω (γιατί;) Από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζουν τα r, x και α έχουμε: cosθ = α r r = a cosθ και tanθ = x dx x = atanθ a dθ = a d dx tanθ dθ dθ = α 1 cos 2 θ dx = a dθ cos 2 θ 12
Μαγνητικό πεδίο γύρω από λεπτό ευθύγραμμο αγωγό (3/3) Το στοιχειώδες μαγνητικό πεδίο db γίνεται: db = μ 0I 4π μ 0 I 4πα cosθ dθ α dθ cos 2 θ cosθ α cosθ 2 = μ 0I 4π α dθ cos 2 θ cosθ a 2 cos 2 θ db = μ 0I 4π acos 3 θdθ α 2 cos 2 θ db = Ολοκληρώνοντας για όλα τα στοιχειώδη τμήματα dx του αγωγού, παίρνουμε: B = μ θ2 0 cosθ dθ = μ 0 4πα θ1 4πα sinθ θ1 = μ 0Ι 4πα sinθ 2 sinθ 1 Β = μ 0Ι 4πα sinθ 1 sinθ 2 13
Μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού μεγάλου μήκους Αν ο αγωγός είναι ένα ευθύγραμμο σύρμα απείρου μήκους, τότε q 1 = p/2 και q 2 = p/2. Το πεδίο ισούται με: Εικόνα 4: Το μαγνητικό πεδίο που δημιουργεί ένας ευθύγραμμος ρευματοφόρος αγωγός μεγάλου μήκους. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 14
Μαγνητικό πεδίο καμπύλου ρευματοφόρου σύρματος (1/2) Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται στο σημείο O από το καμπύλο ρευματοφόρο τμήμα σύρματος. Το σύρμα αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα και ένα κυκλικό τόξο ακτίνας α με επίκεντρη γωνία. Εικόνα 5: Μαγνητικό πεδίο καμπύλου ρευματοφόρου σύρματος. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 15
Μαγνητικό πεδίο καμπύλου ρευματοφόρου σύρματος (2/2) Βρίσκουμε το πεδίο, το οποίο δημιουργείται από το καμπύλο στοιχειώδες τμήμα του σύρματος, στο κέντρο O. Ολοκληρώνουμε, λαμβάνοντας υπόψη ότι τα I και α είναι σταθερά μεγέθη. Η ακτίνα q μετριέται σε ακτίνια. Κάνετε μόνοι σας τη λύση αναλυτικά. 16
Μαγνητικό πεδίο στον άξονα κυκλικού ρευματοφόρου βρόχου (1/2) Θεωρήστε ένα κυκλικό συρμάτινο βρόχο, ακτίνας α, που διαρρέεται από σταθερό ρεύμα Ι. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο σε ένα σημείο Σ στον κεντρικό άξονα του βρόχου, το οποίο βρίσκεται σε απόσταση x από το κέντρο του βρόχου. Εικόνα 6: Μαγνητικό πεδίο στον άξονα κυκλικού ρευματοφόρου βρόχου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 17
Μαγνητικό πεδίο στον άξονα κυκλικού Λύση: ρευματοφόρου βρόχου (2/2) Ο βρόχος έχει ακτίνα α και διαρρέεται από σταθερό ρεύμα έντασης I. Υπολογίζουμε το πεδίο στο σημείο Σ : μ 0 Iα 2 Β = 2 α 2 + x 2 3 2 Κάνετε μόνοι σας τη λύση αναλυτικά. Για σημεία του άξονα μακριά από το βρόχο (δηλαδή, x >> α), είναι Β μ 0Iα 2 2x 3 ή Β μ 0 2π μ x 3, μ η μαγνητική διπολική ροπή του βρόχου. 18
Μαγνητικό πεδίο κυκλικού συρμάτινου ρευματοφόρου βρόχου Εφαρμόζουμε το προηγούμενο αποτέλεσμα για έναν πλήρη κύκλο. θ = 2π. Αυτή είναι η τιμή του πεδίου στο κέντρο κυκλικού βρόχου. 19
Οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου ενός βρόχου Στην εικόνα (α) παρουσιάζονται οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου γύρω από έναν ρευματοφόρο βρόχο. Στην εικόνα (β) παρουσιάζονται, για λόγους σύγκρισης, οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου γύρω από έναν ραβδόμορφο μαγνήτη. Παρατηρήστε τις ομοιότητες στη μορφή των δύο πεδίων. Εικόνα 7: Οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου ενός βρόχου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 20
Προβλήματα (1/6) Προβλήματα: Να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα από το κεφ. Η8 του βιβλίου Serway-Jewet Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς. Πρόβλημα 5 (σελ. 309). Υποδείξεις: Χρησιμοποιήστε τη σχέση H8.4 για να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο κάθε πλευράς. Η γωνία 1 = 45 και 2 = 45. Για το ερώτημα (β), ο κυκλικός βρόχος θα έχει περίμετρο 4l, άρα 2 α = 4l, όπου α η ακτίνα του. Χρησιμοποιήστε τη σχέση Η8.8, για να βρείτε το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο. 21
Πρόβλημα 6 (σελ. 309). Προβλήματα (2/6) Υποδείξεις: Από τα δύο τμήματα του γωνιακού αγωγού, μόνο το ένα έχει μη μηδενικό πεδίο στο Σ. (ποιό;) Για να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο ενός ημιάπειρου αγωγού, χρησιμοποιήστε τη σχέση H8.5 ή Η8.14 και διαιρέστε το αποτέλεσμα δια του 2. Απάντηση: B = 0 I/4 x. Πρόβλημα 7 (σελ. 309). Υποδείξεις: Θεωρήστε τον αγωγό σαν υπέρθεση δύο τμημάτων: ενός ευθύγραμμου τμήματος απείρου μήκους (σχέση H8.5 ή Η8.14) και ενός κυκλικού τμήματος (σχέση Η8.8). 22
Η μαγνητική δύναμη μεταξύ δύο παράλληλων αγωγών (1/2) Δύο παράλληλα σύρματα διαρρέονται από σταθερό ρεύμα. Το πεδίο B 2 που δημιουργείται από το ρεύμα του σύρματος 2 ασκεί στο σύρμα 1 μαγνητική δύναμη μέτρου: F 1 = I1l B 2. Αντικαθιστώντας στη σχέση για το μαγνητικό πεδίο B 2 : B 2 = μ 0I 2 2πα παίρνουμε F 1 = μ 0I 1 I 2 2πα l. 23
Η μαγνητική δύναμη μεταξύ δύο παράλληλων αγωγών (2/2) Εικόνα 8: Η μαγνητική δύναμη μεταξύ δύο παράλληλων αγωγών. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 24
Μαγνητική δύναμη μεταξύ δύο παράλληλων αγωγών Παράλληλοι αγωγοί που διαρρέονται από ρεύματα ίδιας φοράς έλκονται. Παράλληλοι αγωγοί που διαρρέονται από ρεύματα αντίθετης φοράς απωθούνται. Εικόνα 9: Μαγνητική δύναμη μεταξύ δύο παράλληλων αγωγών. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 25
Ορισμός της μονάδας ampere Χρησιμοποιούμε τη δύναμη που αναπτύσσεται μεταξύ δύο παράλληλων συρμάτων για να ορίσουμε τη μονάδα ampere. Όταν μεταξύ δύο παράλληλων, επιμήκων συρμάτων, τα οποία φέρουν ίσα ρεύματα και απέχουν μεταξύ τους 1 m, αναπτύσσεται δύναμη ανά μονάδα μήκους ίση με 2 x 10 7 N/m, τότε ορίζουμε ότι το ρεύμα κάθε σύρματος έχει τιμή 1 A. 26
Ορισμός της μονάδας Coulomb Η μονάδα μέτρησης του φορτίου στο σύστημα SI, το coulomb, ορίζεται βάσει του ampere. Όταν ένας αγωγός φέρει σταθερό ρεύμα 1 A, το φορτίο που ρέει από μια διατομή του αγωγού σε 1 s ισούται με 1 C. 27
Μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού μεγάλου μήκους Οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου είναι ομόκεντροι κύκλοι γύρω από το σύρμα κάθετοι σε αυτό. Το μέτρο του πεδίου είναι σταθερό σε κάθε κύκλο ακτίνας α. Προσδιορίζουμε την κατεύθυνση του πεδίου χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού, όπως παρουσιάζεται στην εικόνα. Εικόνα 10: Μαγνητικό πεδίο ευθύγραμμου ρευματοφόρου αγωγού μεγάλου μήκους. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ.
Το μαγνητικό πεδίο ενός ρευματοφόρου σύρματος Τα ρινίσματα σιδήρου αποτυπώνουν το κυκλικό μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται γύρω από το ρευματοφόρο σύρμα. Εικόνα 11:Το μαγνητικό πεδίο ενός ρευματοφόρου σύρματος. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 29
Προβλήματα (3/6) Προβλήματα: Να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα από το κεφ. Η8 του βιβλίου Serway-Jewet Φυσική για επιστήμοντε και μηχανικούς. Πρόβλημα 21 (σελ. 310). Υποδείξεις: Χρησιμοποιήστε τη σχέση H8.4 για να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο κάθε πλευράς. Η γωνία 1 = 45 και 2 = 45. Για το ερώτημα (β), ο κυκλικός βρόχος θα έχει περίμετρο 4l, άρα 2 α = 4l, όπου α η ακτίνα του. Χρησιμοποιήστε τη σχέση Η8.8, για να βρείτε το μαγνητικό πεδίο στο κέντρο. 30
Προβλήματα (4/6) Πρόβλημα 23 (σελ. 311). Υποδείξεις: Σημειώστε τη μαγνητική δύναμη σε κάθε πλευρά του ορθογώνιου βρόχου. Παρατηρήστε ότι στις δύο πλευρές που είναι κάθετες στο ρεύμα I 1 oι δυνάμεις αλληλοαναιρούνται. Βρείτε τη συνισταμένη δύναμη στις άλλες δύο πλευρές (παράλληλες στο I 1 ) χρησιμοποιώντας τη σχέση Η8.22. 31
Ο νόμος του Ampère (1/2) Σύμφωνα με τον νόμο του Ampère, η κυκλοφορία του μαγνητικού πεδίου κατά μήκος οποιασδήποτε κλειστής διαδρομής ισούται με το συνολικό ρεύμα που διέρχεται μέσα από την κλειστή διαδρομή: 32
Ο νόμος του Ampère (2/2) Κυκλοφορία του μαγνητικού πεδίο εννοούμε το ολοκλήρωμα. Ο νόμος του Ampère περιγράφει τη δημιουργία μαγνητικού πεδίου από κάθε είδους διάταξη ρεύματος. Είναι εξαιρετικά χρήσιμος στον Ηλεκτρομαγνητισμό για να υπολογίζουμε το μαγνητικό πεδίο B στις περιπτώσεις που η κατανομή του ρεύματος χαρακτηρίζεται από συμμετρία. Αν δείξτε με τον αντίχειρά σας στην κατεύθυνση του ρεύματος που διαπερνά τον βρόχο Ampère, τότε τα υπόλοιπα διπλωμένα δάχτυλά σας θα δείχνουν τη φορά προς την οποία πρέπει να ολοκληρώσετε στον βρόχο. 33
Παράδειγμα Η8.5 (1/4) Μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό. Ένα ευθύγραμμο σύρμα μεγάλου μήκους και ακτίνας R διαρρέεται από σταθερό ρεύμα I κατανεμημένο ομοιόμοφρα σε όλη τη διατομή τους. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο σε απόσταση r από το κέντρο του σύρματος, στις περιοχές (Α) r R και (Β) r < R. 34
Παράδειγμα Η8.5 (2/4) Εικόνα 12: Παράδειγμα Η8.5. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 35
Λύση: Παράδειγμα Η8.5 (3/4) Για το μαγνητικό πεδίο έξω από το σύρμα, ας επιλέξουμε σαν κλειστή διαδρομή ολοκλήρωσης τον κύκλο 1. Για r R το αποτέλεσμα πρέπει να είναι το ίδιο με εκείνο που προκύπτει με την εφαρμογή του νόμου Biot-Savart. Β ds = μ 0 I Bds = μ 0 I B ds = μ 0 I B 2πr = μ 0 I B = μ 0I 2πr 36
Παράδειγμα Η8.5 (4/4) Λύση (συνέχεια): Για το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του σύρματος, επιλέγουμε σαν κλειστή διαδρομή ολοκλήρωσης τον κύκλο 2. Πρέπει να υπολογίσουμε το I, το ρεύμα που κυκλοφορεί στο εσωτερικό του βρόχου Ampère. Ι = πr2 Ι πr 2 I = r2 I Β ds = μ R 2 0 I B 2πr = r μ 0 I B 2πr =μ 2 0 I B = μ 0I r R 2 2πR 2 37
Πεδίο ευθύγραμμου ρευματοφόρου σύρματος μεγάλου μήκους Στο εσωτερικό του σύρματος, το πεδίο είναι ανάλογο της ακτίνας r. Στην περιοχή εκτός του σύρματος, το πεδίο είναι αντιστρόφως ανάλογο της ακτίνας r. Στην περιοχή όπου r = R, οι δύο σχέσεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Εικόνα 13: Πεδίο ευθύγραμμου ρευματοφόρου σύρματος μεγάλου μήκους. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 38
Μαγνητικό πεδίο δακτυλιοειδούς πηνίου (1/2) Ένα ευθύγραμμο σύρμα μεγάλου μήκους και ακτίνας R διαρρέεται από σταθερό ρεύμα I κατανεμημένο ομοιόμορφα σε όλη τη διατομή τους. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο σε απόσταση r από το κέντρο του σύρματος, στις περιοχές (Α) r R και (Β) r < R. Εικόνα 14: Μαγνητικό πεδίο δακτυλιοειδούς πηνίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 39
Μαγνητικό πεδίο Λύση: δακτυλιοειδούς πηνίου (2/2) Υπολογίζουμε το πεδίο σε ένα σημείο που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο του δακτυλιοειδούς πηνίου. Το δακτυλιοειδές πηνίο έχει N σπείρες. Β ds = μ 0 ΝI B 2πr = μ 0 ΝI B = μ 0ΝI 2πr 40
Το μαγνητικό πεδίο ενός σωληνοειδούς(1/2) Εικόνα 15: Το μαγνητικό πεδίο ενός σωληνοειδούς. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 41
Το μαγνητικό πεδίο ενός σωληνοειδούς(2/2) Με τον όρο σωληνοειδές αναφερόμαστε σε ένα σύρμα μεγάλου μήκους τυλιγμένο σε μορφή έλικας. Όταν το σωληνοειδές διαρρέεται από ρεύμα, παράγει ένα σχετικά ομογενές μαγνητικό πεδίο στον χώρο που περιβάλλουν οι σπείρες του. Αναφερόμαστε σε αυτόν τον χώρο ως το εσωτερικό του σωληνοειδούς. Οι γραμμές του πεδίου στο εσωτερικό του σωληνοειδούς είναι: σχεδόν παράλληλες μεταξύ τους. κατανεμημένες ομοιόμορφα. σε κοντινή απόσταση μεταξύ τους. 42
Το μαγνητικό πεδίο ενός σωληνοειδούς με πυκνές σπείρες Η κατανομή του πεδίου μοιάζει με εκείνη του πεδίου ενός ραβδόμορφου μαγνήτη. Όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος του σωληνοειδούς. τόσο πιο ομογενές είναι το πεδίο στο εσωτερικό του. τόσο ασθενέστερο είναι το πεδίο έξω από το σωληνοειδές. Εικόνα 16: Το μαγνητικό πεδίο ενός σωληνοειδούς με πυκνές σπείρες. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 43
Ιδανικό σωληνοειδές Χαρακτηριστικά Η περίπτωση του ιδανικού σωληνοειδούς προσεγγίζεται όταν: Οι σπείρες του σωληνοειδούς είναι πυκνές. Το μήκος του σωληνοειδούς είναι πολύ μεγαλύτερο από την ακτίνα των σπειρών του. 44
Εφαρμογή του νόμου του Ampère σε ένα σωληνοειδές (1/4) Θεωρούμε έναν βρόχο Ampère (βρόχος 1 στο σχήμα) ο οποίος περιβάλλει ένα ιδανικό σωληνοειδές. Ο βρόχος περιβάλλει ένα ασθενές ρεύμα. Έξω από το σωληνοειδές υπάρχει ένα ασθενές πεδίο. Αυτό το πεδίο μπορεί να εξαλειφθεί με μια δεύτερη στρώση σπειρών. Εικόνα 17: Εφαρμογή του νόμου του Ampère σε ένα σωληνοειδές. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 45
Εφαρμογή του νόμου του Ampère σε ένα σωληνοειδές (2/4) Για να βρούμε το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του σωληνοειδούς, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο του Ampère. Θεωρούμε ένα ορθογώνιο με τη μία πλευρά του, l, παράλληλη στο εσωτερικό πεδίο και την άλλη πλευρά του, w, κάθετη στο πεδίο (Βρόχος 2). Η πλευρά 1, μήκους l, που βρίσκεται στο εσωτερικό του σωληνοειδούς, συνεισφέρει στο πεδίο. Οι πλευρές 2, 3, και 4 δεν συνεισφέρουν στο πεδίο. 46
Εφαρμογή του νόμου του Ampère σε ένα σωληνοειδές (3/4) Εικόνα 18: Εφαρμογή του νόμου του Ampère σε ένα σωληνοειδές. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 47
Εφαρμογή του νόμου του Ampère σε ένα σωληνοειδές (4/4) Εφαρμόζοντας τον νόμο του Ampère στο βρόχο 2 παίρνουμε: Β d s = μ 0 NI διαδρομη 1 όπου, Ν το πλήθος των σπειρών που διέρχονται από τον ορθογώνιο βρόχο 2. B διαδρομη 1 d s = μ 0 NI Bl = μ 0 ΝI B = μ 0ΝI l ή Β=μ 0 ni όπου n = N/l το πλήθος των σπειρών ανά μονάδα μήκους. Αυτό ισχύει μόνο στα σημεία που βρίσκονται κοντά στο κέντρο ενός σωληνοειδούς μεγάλου μήκους. 48
Προβλήματα (5/6) Προβλήματα: Να λύσετε τα παρακάτω προβλήματα από το κεφ. Η8 του βιβλίου Serway-Jewet Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς. Πρόβλημα 29 (σελ. 311). Υποδείξεις: Χρησιμοποιήστε τη σχέση H8.14 για να υπολογίσετε το μαγνητικό πεδίο στα σημεία α και β. Για το ερώτημα (α), θεωρήστε έναν κυκλικό βρόχο Ampere με ακτίνα d. Προσέξτε ότι το συνολικό ρεύμα μέσα από αυτό το βρόχο είναι I 1. Για το ερώτημα (β), θεωρήστε έναν κυκλικό βρόχο Ampere με ακτίνα 3d. Προσέξτε ότι το συνολικό ρεύμα μέσα από αυτό το βρόχο είναι I 2 I 1. 49
Προβλήματα (6/6) 7. Πρόβλημα 31 (σελ. 312). Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τη σχέση H8.16 για δύο τιμές της ακτίνας r = 0.700 m και r = 1.30 m. 50
Μαγνητική ροή (1/2) Η ροή ενός μαγνητικού πεδίου ορίζεται παρόμοια με την ηλεκτρική ροή. Θεωρούμε μια στοιχειώδη επιφάνεια εμβαδού da σε μια επιφάνεια τυχαίου σχήματος. Το μαγνητικό πεδίο σε αυτή τη στοιχειώδη επιφάνεια είναι Β. da είναι ένα διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια με μέτρο ίσο με το εμβαδόν da. 51
Μαγνητική ροή (2/2) Η μαγνητική ροή Φ B ισούται με: Φ B = B da Οι μονάδες μέτρησης της μαγνητικής ροής είναι Tm 2 = Wb, όπου το Wb συμβολίζει το weber. 52
Μαγνητική ροή επίπεδης επιφάνειας σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (1/3) Θεωρούμε την ειδική περίπτωση ενός επιπέδου με εμβαδόν A, σε ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο B, το οποίο σχηματίζει γωνία θ με το διάνυσμα da. Η μαγνητική ροή Φ B = B da ισούται με: Φ Β =ΒΑcosθ. 53
Μαγνητική ροή επίπεδης επιφάνειας σε ομογενές μαγνητικό πεδίο(2/3) Στην περίπτωση της εικόνας α, το μαγνητικό πεδίο είναι παράλληλο με το επίπεδο, οπότε: Φ B = 0. Στην περίπτωση της εικόνας β, το πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο, οπότε: Φ B = BA. Αυτή είναι η μέγιστη τιμή της ροής. 54
Μαγνητική ροή επίπεδης επιφάνειας σε ομογενές μαγνητικό πεδίο(3/3) Εικόνα 19: Μαγνητική ροή επίπεδης επιφάνειας σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 55
Παράδειγμα Η8.7 (1/3) Μαγνητική ροή που διέρχεται από ορθογώνιο βρόχο. Κοντά σε σύρμα μεγάλου μήκους, που φέρει ρεύμα I, υπάρχει ένας ορθογώνιος βρόχος πλάτους και μήκους b. Η απόσταση μεταξύ του σύρματος και της πλησιέστερης πλευράς του βρόχου είναι c. Βρείτε τη συνολική μαγνητική ροή που διέρχεται από το βρόχο λόγω του ρεύματος στο σύρμα. Εικόνα 20: Παράδειγμα Η8.7. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 56
Παράδειγμα Η8.7 (2/3) Λύση: Το μαγνητικό πεδίο του σύρματος δεν είναι ομογενές, εξαρτάται από την απόσταση r. Χωρίζοντας το βρόχο σε στοιχειώδη ορθογώνια τμήματα dr και εμβαδού da = b dr, η μαγνητική ροή μέσα από όλο το βρόχο είναι Φ B = B da= ΒdA διότι, σε κάθε εσωτερικό σημείο του βρόχου το B είναι παράλληλο στο da. 57
Παράδειγμα Η8.7 (3/3) Το μανγητικό πεδίο του σύρματος σε απόσταση r είναι B = μ 0I 2πr. Αντικαθιστώντας, έχουμε: Φ Β = BdA = μ 0Ι (bdr) = 2πr μ 0 Ib 2π dr r. Ολοκληρώνουμε από r = c ως r = α + c: Φ Β = μ 0 Ib 2π Φ Β = μ 0Ib lnb). a+c dr c = μ 0Ib r 2π Φ Β = μ 0Ib 2π ln 1 + a c. 2π lnr c a+c (διότι, ln a + c lnc = μ 0Ib 2π dr r = lnr). Άρα, ln a+c c (διότι ln(a/b) = lna 58
Ο νόμος του Gauss στον μαγνητισμό Σύμφωνα με το νόμο του Gauss για τον μαγνητισμό, η συνολική μαγνητική ροή που διέρχεται από οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι πάντα μηδενική: Η διατύπωση αυτή αντικατοπτρίζει το γεγονός ότι δεν υπάρχουν απομονωμένοι μαγνητικοί πόλοι (μαγνητικά μονόπολα). Κάθε βόρειος μαγνητικός πόλος συνοδεύεται από έναν νότιο μαγνητικό πόλο όσο μικρός και αν είναι ο μαγνήτης. Ορισμένες θεωρίες προβλέπουν ότι είναι πιθανή η ύπαρξη μαγνητικών μονόπολων. 59
Σιδηρομαγνητισμός Μερικά υλικά διαθέτουν ισχυρές μαγνητικές ιδιότητες, οι οποίες συνολικά είναι γνωστές ως σιδηρομαγνητισμός ή φερομαγνητισμός. Παραδείγματα σιδηρομαγνητικών υλικών: Σίδηρος. Κοβάλτιο. Νικέλιο. Γαδολίνιο. Δυσπρόσιο. Τα άτομα αυτών των υλικών έχουν μόνιμες μαγνητικές ροπές οι οποίες, ακόμα και υπό την επίδραση ασθενών εξωτερικών μαγνητικών πεδίων, τείνουν να ευθυγραμμίζονται η μία με την άλλη. 60
Μαγνητικές περιοχές - Μη μαγνητισμένο υλικό (1/2) Όλα τα σιδηρομαγνητικά υλικά αποτελούνται από μικροσκοπικά τμήματα που ονομάζονται μαγνητικές περιοχές. Μέσα στις μαγνητικές περιοχές, όλες οι μαγνητικές ροπές είναι ευθυγραμμισμένες. Τα σύνορα μεταξύ των μαγνητικών περιοχών με διαφορετικό προσανατολισμό ονομάζονται τοιχώματα μαγνητικών περιοχών ή μαγνητικά τοιχώματα. Σε ένα μη μαγνητισμένο υλικό, οι μαγνητικές ροπές στο εσωτερικό των μαγνητικών περιοχών είναι τυχαία προσανατολισμένες. Η συνολική μαγνητική ροπή ισούται με μηδέν. 61
Μαγνητικές περιοχές - Μη μαγνητισμένο υλικό (2/2) Εικόνα 21: Μαγνητικές περιοχές - Μη μαγνητισμένο υλικό. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 62
Μαγνητικές περιοχές Εφαρμογή εξωτερικού πεδίου (1/2) Ένα κομμάτι (δοκίμιο) του υλικού τοποθετείται μέσα σε ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Το μέγεθος των μαγνητικών περιοχών με μαγνητική ροπή παράλληλη προς το εξωτερικό πεδίο μεγαλώνει. Το δοκίμιο μαγνητίζεται. Εικόνα 22: Μαγνητικές περιοχές Εφαρμογή εξωτερικού πεδίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 63
Μαγνητικές περιοχές Εφαρμογή εξωτερικού πεδίου (2/2) Το υλικό τοποθετείται μέσα σε ένα ισχυρότερο μαγνητικό πεδίο. Οι μαγνητικές περιοχές στις οποίες οι μαγνητικές ροπές δεν είναι ευθυγραμμισμένες με το πεδίο συρρικνώνονται. Όταν αφαιρεθεί το εξωτερικό πεδίο, το δοκίμιο μπορεί να παραμείνει μαγνητισμένο κατά την κατεύθυνση που είχε το εξωτερικό πεδίο (παραμένουσα μαγνήτιση). Εικόνα 23: Μαγνητικές περιοχές Εφαρμογή εξωτερικού πεδίου. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 64
Θερμοκρασία Curie Η θερμοκρασία Curie είναι μια κρίσιμη θερμοκρασία επάνω από την οποία το υλικό χάνει την παραμένουσα μαγνήτισή του. Το υλικό γίνεται παραμαγνητικό. Σε θερμοκρασίες μεγαλύτερες από τη θερμοκρασία Curie, η θερμική διέγερση είναι τόσο μεγάλη ώστε προκαλεί τυχαίο προσανατολισμό των ροπών. 65
Πίνακας με ενδεικτικές θερμοκρασίες Curie Εικόνα 24: Πίνακας με ενδεικτικές θερμοκρασίες Curie. Πηγή: R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 66
Παραμαγνητισμός (1/2) Τα παραμαγνητικά υλικά έχουν ασθενή μαγνητισμό. Ο μαγνητισμός αυτός είναι αποτέλεσμα της ύπαρξης ατόμων (ή ιόντων) με μόνιμες μαγνητικές ροπές. Οι ροπές αυτές αλληλεπιδρούν μεταξύ τους σε πολύ μικρό βαθμό. 67
Παραμαγνητισμός (2/2) Όταν ένα παραμαγνητικό υλικό τοποθετείται μέσα σε ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, οι ροπές των ατόμων του τείνουν να ευθυγραμμιστούν με το πεδίο. Η διαδικασία της ευθυγράμμισης είναι ανταγωνιστική της θερμικής κίνησης, η οποία έχει την τάση να διατάσσει με τυχαίο τρόπο τις μαγνητικές ροπές. Μόλις μηδενιστεί το εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, οι ροπές των ατόμων παίρνουν τυχαίους προσανατολισμούς (χάνεται η μαγνήτιση). 68
Διαμαγνητισμός Όταν σε ένα διαμαγνητικό υλικό επιδρά ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, τότε επάγεται στο υλικό μια ασθενής μαγνητική ροπή αντίθετη προς το εξωτερικό πεδίο. Γι αυτό τα διαμαγνητικά υλικά απωθούνται ασθενώς από τους μαγνήτες. Η επιρροή του διαμαγνητισμού είναι ασθενής οπότε αυτός γίνεται αντιληπτός μόνο όταν δεν υπάρχουν επιδράσεις παραμαγνητισμού ή σιδηρομαγνητισμού. 69
Βιβλιογραφία 1. Raymond A. Serway, John W. Jewett, «ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ: ΗΛΕΚΤΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΟΠΤΙΚΗ, ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ», 8η Έκδοση Αμερικανική/ 2013, ΙSBN: 978-960- 461-509-4, Εκδ. ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ ΕΠΕ. 2. Young D. Hugh, «Πανεπιστημιακή Φυσική, Τόμος Β, Ηλεκτρομαγνητισμός-Οπτική-Σύγχρονη Φυσική», 1η εκδ./1994, ΙSBN: 978-960-02-1088-0, Εκδ. ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΕΒΕ. 3. Knight D. Randall, «ΦΥΣΙΚΗ ΓΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΕΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ: Τόμος ΙΙ - ΤΑΛΑΝΤΏΣΕΙΣ, ΚΎΜΑΤΑ, ΟΠΤΙΚΉ, ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΌΣ», 1η έκδ./2010, ΙSBN: 978-960-319-306-7, Εκδ. Σ.ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΕ. 70
Τέλος Ενότητας
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Πουλάκης Νικόλαος. «Ηλεκτρομαγητισμός». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL.
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 73
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 74
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφί ες: 1. R.A. SERWAY, J.W. JEWETT. «Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς: Ηλεκτρισμός και Μαγνητισμός, Φως και Οπτική, Σύγχρονη Φυσική», 8η Αμερικανική/ 2013, Εκδόσεις ΚΛΕΙΔΑΡΙΘΜΟΣ. 75