ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Να διαβάσετε τις σελίδες 98 έως και 103 του σχολικού βιβλίου. Να προσέξετε ιδιαίτερα τα σχήµατα 5.4, 5.5, 5.9 και 5.13. Να γράψετε τις µαθηµατικές σχέσεις που δίνονται στη θεωρία και να αναφέρετε τα µεγέθη που περιέχουν καθώς και τις µονάδες αυτών. Π. χ. υ = λ f όπου υ η ταχύτητα του κύµατος µετράται σε m/sec, λ το µήκος κύµατος, µετράται σε m και f η συχνότητα µετράται σε Hz. Να απαντήσετε στις ερωτήσεις 1, 2, 3, 4 (χρησιµοποίησε και εφάρµοσε τις έννοιες που έµαθες) και 8, 9, 10, 11, 12, 13 (εφάρµοσε τις γνώσεις σου και γράψε τεκµηριω- µένες απαντήσεις) της σελίδας 95 του σχολικού βιβλίου. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Στις ερωτήσεις που ακολουθούν να επιλέξετε τη σωστή απάντηση : Α1) Κατά τη διάδοση ενός κύµατος σε ένα µέσο διάδοσης i) µεταφέρεται ύλη ii) µεταφέρεται ενέργεια και ύλη iii) όλα τα σηµεία του µέσου διάδοσης έχουν την ίδια ταχύτητα την ίδια χρονική στιγ- µή iv) µεταφέρεται ενέργεια και ορµή µε ορισµένη ταχύτητα. Α2) Όταν ένα κύµα αλλάζει µέσο διάδοσης i) η ταχύτητα του µένει σταθερή ii) η συχνότητα του µένει σταθερή
iii) το µήκος κύµατος δε µεταβάλλεται iv) µεταβάλλονται το µήκος κύµατος και η συχνότητα του. Α3) Κατά µήκος ενός µέσου διάδοσης διαδίδεται εγκάρσιο κύµα χωρίς απώλειες ε- νέργειας. Τότε i) τα µόρια του µέσου διάδοσης ταλαντώνονται κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύ- µατος ii) σχηµατίζονται "όρη" και "κοιλάδες" iii) η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των µορίων του µέσου διάδοσης καθορίζεται από τη σχέση υ = λ f. iv) η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος καθορίζεται από την εξίσωση λ = υ f. Α4) Κατά µήκος ενός µέσου διάδοσης διαδίδονται διαµήκη κύµατα χωρίς απώλειες ενέργειας. Τότε i) τα µόρια του µέσου διάδοσης ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης της διαταραχής ii) η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των µορίων του µέσου διάδοσης καθορίζεται από την εξίσωση υ = λ f iii) σχηµατίζονται "πυκνώµατα" και "αραιώµατα" iv) η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος καθορίζεται από την εξίσωση λ = υ f. Α5) Το µήκος κύµατος ενός κύµατος το οποίο διαδίδεται κατά µήκος ενός µέσου διάδοσης i) είναι η απόσταση µεταξύ δύο σηµείων του µέσου διάδοσης τα οποία έχουν βρίσκονται οπουδήποτε ii) είναι ίσο µε τον αριθµό των ταλαντώσεων που εκτελεί ένα µόριο του µέσου διάδοσης σε χρόνο 1 sec iii) είναι η απόσταση που διανύει το κύµα σε χρόνο οποιοδήποτε χρόνο iv) είναι η απόσταση που διανύει το κύµα σε χρόνο µιας περιόδου.
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ. Στις ερωτήσεις που ακολουθούν να βάλετε το γράµµα Σ δίπλα σε κάθε σωστή πρόταση και το γράµµα Λ δίπλα σε κάθε λανθασµένη : B1) Τα κύµατα µεταφέρουν ύλη και ενέργεια. B2) Το µήκος κύµατος ισούται µε την απόσταση µεταξύ δυο διαδοχικών ορέων ή κοιλάδων. B3) Η ταχύτητα του κύµατος εξαρτάται από το πλάτος του κύµατος. B4) Όσο µεγαλύτερο είναι το πλάτος τόσο περισσότερη ενέργεια µεταφέρεται από ένα κύµα. B5) Στο ίδιο µέσο διάδοσης τα εγκάρσια κύµατα διαδίδονται µε µεγαλύτερη ταχύτητα από ότι τα διαµήκη. B6) Όταν διαδίδεται εγκάρσιο κύµα σ' ένα ελαστικό µέσον, τα µόρια του ελαστικού µέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. B7) Όταν διαδίδονται διαµήκη κύµατα σ' ένα ελαστικό µέσον, σχηµατίζονται "όρη" και "κοιλάδες". B8) Όταν διαδίδονται διαµήκη κύµατα σ' ένα ελαστικό µέσον, τα µόρια του ελαστικού µέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΩΝ. Στις προτάσεις που ακολουθούν να συµπληρώσετε τα κενά µε τις κατάλληλες λέξεις : 1) Τα µηχανικά κύµατα έχουν δύο βασικά κοινά χαρακτηριστικά: α) διαδίδονται µέσα στα µέσα και β) µεταφέρουν ενέργεια. 2) Εγκάρσιο ονοµάζεται το κύµα στο οποίο τα σωµατίδια του µέσου ταλαντώνονται στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. 3) ιάµηκες ονοµάζεται το κύµα στο οποίο τα σωµατίδια του µέσου µέσα στο οποίο διαδίδεται το κύµα ταλαντώνονται κατά την ίδια που διαδίδεται το κύµα.
4) Τα διαµήκη κύµατα διαδίδονται στα στερεά, στα και στα αέρια, ενώ τα εγκάρσια διαδίδονται µόνο στα. 5) Το κύµα µεταφέρει σε κάθε σωµατίδιο του µέσου διάδοσης χωρίς να µεταφέρει. Η ενέργεια που µεταφέρει το κύµα προσφέρεται από την. 6) Σ' ένα εγκάρσιο κύµα σχηµατίζονται και. Το µήκος κύµατος ισούται µε την απόσταση δύο κοιλάδων ή δύο ορέων. 7) Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος σ' ένα µέσο ισούται µε το γινόµενο της του επί το κύµατος. 8) Ο νόµος της ανάκλασης µας λέει ότι η γωνία ισούται µε τη γωνία ανάκλασης. 9) Το φαινόµενο της µεταβολής της διάδοσης των κυµάτων στο σύνορο µεταξύ δύο διαφορετικών µέσων ονοµάζεται. ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύµατα µπορούν να δηµιουργηθούν όταν ένα σύστηµα, όπως για παράδειγµα ο αέρας, η επιφάνεια της θάλασσας, ένα σκοινί κ.λπ., διαταράσσεται από την κατάσταση ισορροπίας του και ενέργεια ταξιδεύει από µια περιοχή του συστήµατος σε µια άλλη. Τα κύµατα στο νερό, τα κύµατα που διαδίδονται κατά µήκος ενός σκοινιού ή ελατηρίου, τα ηχητικά και τα σεισµικά κύµατα ονοµάζονται µηχανικά κύµατα γιατί µεταφέρουν µηχανική ενέργεια. Το υλικό µέσο στο οποίο διαδίδεται το κύµα ονοµάζεται µέσο διάδοσης του κύµατος. Τα µηχανικά κύµατα έχουν δύο βασικά κοινά χαρακτηριστικά: α) ιαδίδονται µέσα στα υλικά µέσα β) Μεταφέρουν µηχανική ενέργεια.
Εγκάρσιο κύµα ονοµάζεται το κύµα στο οποίο τα σωµατίδια του µέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. ιάµηκες κύµα ονοµάζεται το κύµα στο οποίο τα σωµατίδια του µέσου µέσα στο οποίο διαδίδεται το κύµα ταλαντώνονται κατά την ίδια διεύθυνση που διαδίδεται το κύ- µα. Τα διαµήκη κύµατα διαδίδονται στα στερεά, στα υγρά και στα αέρια, ενώ τα ε- γκάρσια διαδίδονται µόνο στα στερεά. Μια πηγή που ταλαντώνεται µπορεί να παράγει κύµα. Το κύµα µεταφέρει ενέργεια σε κάθε σωµατίδιο του µέσου διάδοσης χωρίς να µεταφέρει ύλη. ηλαδή η ενέργεια που µεταφέρει το κύµα προσφέρεται από την πηγή. Για να περιγράψουµε ένα κύµα χρησιµοποιούµε ορισµένα χαρακτηριστικά φυσικά µεγέθη: τη συχνότητα, την περίοδο, το πλάτος ταλάντωσης των σωµατιδίων, την ταχύτητα και το µήκος κύµατος. Η περίοδος (Τ) και η συχνότητα (f) µε την οποία ταλαντώνονται τα σωµατίδια του µέσου διάδοσης ονοµάζεται περίοδος και συχνότητα του κύµατος αντίστοιχα. Η µικρότερη απόσταση µεταξύ δύο σηµείων µε την ίδια αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και την ίδια κατεύθυνση κίνησης ονοµάζεται µήκος κύµατος και συµβολίζεται µε λ. Σ' ένα εγκάρσιο κύµα σχηµατίζονται «όρη» και «κοιλάδες». Το µήκος κύµατος ι- σούται µε την απόσταση δύο διαδοχικών κοιλάδων ή δύο διαδοχικών ορέων. Σ' ένα διάµηκες κύµα σχηµατίζονται «πυκνώµατα» και «αραιώµατα». Το µήκος κύµατος ισούται µε την απόσταση δύο διαδοχικών πυκνωµάτων ή δύο διαδοχικών αραιωµάτων. ΘΕΜΕΛΙΩ ΗΣ ΝΟΜΟΣ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος σ' ένα µέσο ισούται µε το γινόµενο της συχνότητας του επί το µήκος κύµατος. Η ταχύτητα ενός κύµατος: υ = λ f
α) εν εξαρτάται από το πλάτος του κύµατος β) εξαρτάται µόνο από τις ιδιότητες του µέσου διάδοσης. Στο ίδιο µέσο διάδοσης τα εγκάρσια κύµατα διαδίδονται µε µικρότερη ταχύτητα από ότι τα διαµήκη. Τα κύµατα όπως διαδίδονται στο χώρο ευθύγραµµα και οµαλά. Έτσι ισχύει και η χρονική εξίσωση της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης. ΑΝΑΚΛΑΣΗ - ΙΑΘΛΑΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ x = υ t Ανάκλαση ενός κύµατος ονοµάζουµε την αλλαγή της πορείας του κύµατος µέσα σε ένα µέσο διάδοσης, όταν το κύµα συναντά την επιφάνεια ενός σώµατος. Κατά τη µελέτη της ανάκλασης των κυµάτων σχεδιάζουµε την ευθεία που είναι κάθετη στο εµπόδιο και ορίζουµε τη γωνία πρόσπτωσης π και τη γωνία ανάκλασης α. Με τη µέτρηση των γωνιών αυτών προκύπτει ο νόµος της ανάκλασης σύµφωνα µε τον οποίο η γωνία πρόσπτωσης ισούται µε τη γωνία ανάκλασης. π= α Όταν ένα κύµα προσπέσει σε επιφάνεια που διαχωρίζει δύο µέσα (π.χ. αέρας και νερό) στα οποία η ταχύτητα του κύ- µατος είναι διαφορετική, ένα µέρος της µπαίνει στο δεύτερο µέσο µε ταυτόχρονη, αλλαγή της διεύθυνσής του κύµατος. Το φαινόµενο αυτό ονοµάζεται διάθλαση. Η γωνία που σχηµατίζει το διαθλώµενο κύµα µε την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια στο σηµείο πρόσπτωσης ονοµάζεται γωνία διάθλασης. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η γωνία διάθλασης είναι µικρότερη από τη γωνία πρόσπτωσης (δηλαδή το διαθλώµενο κύµα πλησιάζει προς την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο µέσων) όταν το κύµα από ένα µέσο µπαίνει σε άλλο στο οποίο η ταχύτητα διάδοσης του είναι µικρότερη. Προσπίπτων κύµα π Γωνία πρόσπτωσης Προσπίπτων κύµα α Ανακλώµενο κύµα Γωνία ανάκλασης π Γωνία διάθλασης δ Γωνία πρόσπτωσης ιαθλώµενο κύµα
Στην αντίθετη περίπτωση η γωνία διάθλασης είναι µεγαλύτερη από τη γωνία πρόσπτωσης. Επίσης πρέπει να σηµειώσουµε ότι στην περίπτωση που το προσπίπτων κύµα είναι κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο µέσων, περνά στο δεύτερο µέσο χωρίς να υποστεί εκτροπή. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Οι ασκήσεις που αναφέρονται στα κύµατα είναι απλή εφαρµογή στον θεµελιώδη τύπο της κυµατικής. Για τη λύση των ασκήσεων θα ακολουθούµε τα εξής βήµατα: i) ιαβάζουµε προσεκτικά την εκφώνηση της άσκησης, γράφουµε τα δεδοµένα και τα ζητούµενα. ii) Συµβολίζουµε τα δεδοµένα και τα ζητούµενα µε τα αντίστοιχα σύµβολα που έχουµε στον τύπο και κάνουµε τις µετατροπές µονάδων στο σύστηµα S.I. iii) Εφαρµόζουµε τον τύπο λυµένο ως προς το κατάλληλο µέγεθος. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μετά τη λύση του παραδείγµατος 1 του σχολικού βιβλίου να διαβάσετε τα παραδείγµατα 1 και 2 που ακολουθούν. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ο Σε ένα ελαστικό νήµα δηµιουργούνται εγκάρσια κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα υ = 100 m/sec και συχνότητα f = 10 Ηz. Να υπολογίσετε α) την περίοδο του κύµατος β) το µήκος κύµατος του κύµατος. γ) Αν το σχοινί έχει µήκος 20 m πόσα κύµατα δηµιουργούνται πάνω σε αυτό. ΛΥΣΗ α) Η συχνότητα συνδέεται µε τη περίοδο µε βάση τη σχέση 1 1 1 f = 10= 10 T= 1 T= = 0,1 sec T T 10
β) Από τη θεµελιώδη εξίσωση της κυµατικής έχουµε 100 υ = λ f 100= λ 10 λ= = 10 10 m γ) Ο αριθµός των κυµάτων που δηµιουργούνται πάνω στο νήµα υπολογίζεται από τη σχέση που θα εφαρµόσουµε (και η οποία προκύπτει από την απλή µέθοδο των τριών). x 20 N = = = 2 κύµατα. λ 10 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 2 ο Στην επιφάνεια µιας λίµνης πέφτουν σταγόνες βροχής µε συχνότητα 30 σταγόνες το λεπτό. Στην επιφάνεια της λίµνης δηµιουργούνται τότε κύµατα νερού που διαδίδονται µε ταχύτητα 20 m/sec. Να υπολογίσετε α) την περίοδο ταλάντωσης των σωµατιδίων της λίµνης και β) το µήκος κύµατος των κυµάτων. ΛΥΣΗ α) Υπολογίζουµε τη συχνότητα µε την οποία πέφτουν οι σταγόνες της βροχής N 30 f = = = 0,5 t 60 Hz Η συχνότητα συνδέεται µε τη περίοδο µε βάση τη σχέση 1 1 1 f = 0,5= 0,5 T= 1 T= = 2 T T 0,5 sec β) Από τη θεµελιώδη εξίσωση της κυµατικής έχουµε 20 υ = λ f 20= λ 0,5 λ= = 40 m. 0,5
ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λύσετε τις ασκήσεις 1, 2, 3, 4 και 5 του σχολικού βιβλίου. Να λύσετε τις ασκήσεις που ακολουθούν. 1. Ένα θαλάσσιο κύµα έχει µήκος κύµατος λ = 1 m και περίοδο Τ = 2 sec. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος. 2. Σε ένα ρηχό πιάτο σχηµατίζονται κύµατα νερού µε συχνότητα f = 5 Ηz και µήκος κύ- µατος λ = 6 cm. Να υπολογίσετε α) την ταχύτητα των κυµάτων και β) την περίοδο των κυµάτων. 3. Σε µια σεισµική δόνηση παράγονται εγκάρσια κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα 5 Κm/sec και διαµήκη κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα 8 Κm/sec. Ένας σεισµογράφος βρίσκεται σε απόσταση 400 Km από την εστία του σεισµού. Να υπολογίσετε α) πόσο χρόνο κάνουν τα κύµατα να φτάσουν στο σεισµογράφο και β) µε πόση χρονική καθυστέρηση καταγράφηκε το δεύτερο κύµα. 4. Ένα παιδί ρίχνει πέτρες σε µια λίµνη µε συχνότητα 12 πέτρες το λεπτό. Στην επιφάνεια της λίµνης δηµιουργούνται κύµατα νερού που διαδίδονται κατά 40 m σε χρόνο 20 sec. Να υπολογίσετε α) την περίοδο των κυµάτων β) το µήκος κύµατος. 5. Ένα ελαστικό νήµα έχει µήκος x = 30 m. Στο ένα άκρο του δηµιουργούνται εγκάρσια κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα υ = 3600 m/sec και συχνότητα f = 600 Ηz. Να υπολογίσετε α) την απόσταση ανάµεσα σε δύο διαδοχικά όρη β) την απόσταση ανάµεσα σε µία κοιλάδα και το 3 ο από αυτήν όρος γ) τον αριθµό των κυµάτων που σχηµατίζονται πάνω στο νήµα. 6. Κατά µήκος ενός µέσου διάδοσης διαδίδεται, κατά τη θετική κατεύθυνση, ένα κύµα συχνότητας f = 500 Ηz και ταχύτητας υ = 1000 m/sec. Να υπολογίσετε α) το µήκος κύµατος του κύµατος και β) την περίοδο του κύµατος.