ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑΣ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΩΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Στα επόμενα θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε την κβάντωση της στροφορμής στο ημικλασσικό μοντέλο του Bohr για το άτομο του υδρογόνου. Στα περισσότερα εισαγωγικά βιβλία κβαντομηχανικής η κβάντωση της στροφορμής αναφέρεται σαν μια από τις δύο συνθήκες που εισήγαγε ο Bohr για το μοντέλο του υδρογόνου. Και βέβαια εύλογη είναι η απορία πως κατέληξε ο Bohr στη συγκεκριμένη συνθήκη, ή γιατί θεώρησε την στροφορμή ακέραιο πολλαπλάσιο του και όχι του h ή κάποιας άλλης σταθεράς. Αλλά ας δούμε πως περιγράφει ο ίδιος ο Bohr τις δύο «συνθήκες» του: Assumption I: That an atomic system can, and can only, exist permanently in a certain series of states corresponding to a discontinuous series of values for its energy, and that consequently any change of the energy of the system, including emission and absorption of electromagnetic radiation, must take place by a complete transition between two such states. These states will be denoted as the stationary states of the system. Assumption II: That the radiation absorbed or emitted during a transition between two stationary states is unifrequentic and possesses a frequency f, given by the relation: E ' E '' hf (1)
where h is Planck s constant and where E ' and E '' are the values of the energy in the two states under consideration. (Niels Bohr in: Sources of Quantum Mechanics, B. L. Van Der Waerden, Dover Publications, Inc, New York, 1968). Βλέπουμε λοιπόν ότι στην πρώτη υπόθεσή του ο Bohr, δεν αναφέρεται ρητά στην κβάντωση της στροφορμής, αλλά στις επιτρεπτές «στάσιμες» καταστάσεις διακριτής ενέργειας στις οποίες μπορεί να υπάρξει το άτομο, το οποίο εκπέμπει ή απορροφά ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία μόνο κατά τη μετάβασή του από μια στάσιμη κατάσταση σε μια άλλη. Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να δούμε πως από τις δύο παραπάνω συνθήκες του σε συνδυασμό με τη λεγόμενη αρχή της αντιστοιχίας, κατέληξε ο Bohr στην κβάντωση της στροφορμής. Στη θεωρία του Bohr θεωρούμε ότι το ηλεκτρόνιο του ατόμου περιστρέφεται σε μια «κλασσική» τροχιά, γύρω από τον πυρήνα (πρωτόνιο), με την ελκτική δύναμη του Coulomb να «παίζει» το ρόλο της αναγκαίας κεντρομόλου δυνάμεως. Έτσι λοιπόν έχουμε: F ma k ή e k r m ή r Έτσι λοιπόν η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι: k e () mr 1 e (3) K k Η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου δίνεται από την σχέση: e U k (4) r Η ολική λοιπόν ενέργεια του ηλεκτρονίου (άθροισμα κινητικής και δυναμικής), είναι:
e e e E K U k k k r r r (5) Σημειώστε ότι η ολική ενέργεια είναι αρνητική, γεγονός που υποδηλώνει μια δέσμια κατάσταση για το σύστημα πρωτονίου-ηλεκτρονίου. Αυτό σημαίνει ότι για να αποσπασθεί ένα ηλεκτρόνιο από το άτομο θα πρέπει να δοθεί ενέργεια ίση με: e k r Από τη σχέση (5) βλέπουμε ότι η «κβάντωση» της ενέργειας επιβάλλει και την κβάντωση της ακτίνας. Επίσης από τη δεύτερη συνθήκη του Bohr (σχέση 1) βλέπουμε ότι η ενέργεια του εκπεμπόμενου φωτονίου κατά τη μετάβαση από μια επιτρεπτή τροχιά σε μια άλλη μικρότερης ενέργειας (και ακτίνας), δίνεται από τη σχέση: ( E' E'' ), E ' E '' hf ή 1 1 1 ( ) '' ' (6) hf ke r r Ο Bohr, γνώριζε την διάσημη (εμπειρική) σχέση του Balmer που προέβλεπε σωστά τα μήκη κύματος της ακτινοβολίας που εξέπεμπαν τα άτομα του υδρογόνου. Σύμφωνα με τη σχέση αυτή, τα μήκη κύματος μπορούσαν να υπολογισθούν μέσω του τύπου: όπου τα n και m είναι ακέραιοι και όπου 1 1 1 R ( ) H (7) nm m n R H είναι η λεγόμενη σταθερά του Rydberg (σημειώστε ότι η σταθερά αυτή έχει διαστάσεις αντίστροφου μήκους και ότι συνήθως 1 δίνεται σε cm ). Φυσικά, όπως είναι γνωστό, η συχνότητα και το μήκος κύματος της ακτινοβολίας συνδέονται μέσω της θεμελιώδους εξίσωσης της κυματικής: c f (8)
Έτσι λοιπόν η σχέση (7) μπορεί να πάρει την μορφή: 1 1 hfnm hcr ( ) H (9) m n Συγκρίνοντας τις σχέσεις (6) και (9) εύκολα γίνεται φανερό ότι η σχέση του Bohr παίρνει τη μορφή της σχέσης του Balmer αν οι επιτρεπτές ακτίνες ακολουθούν τον νόμο κβάντωσης: rn an (1) όπου η σταθερά a έχει (προφανώς) διαστάσεις μήκους και αναφέρεται σαν ακτίνα Bohr (μας δίνει τη μικρότερη δυνατή ακτίνα άρα και τη μικρότερη δυνατή ενέργεια δηλαδή τη θεμελιώδη κατάσταση του ατόμου). Το ερώτημα λοιπόν που μπαίνει στη συνέχεια είναι: πως μπορούμε να υπολογίσουμε τη σταθερά a ; Στα περισσότερα εισαγωγικά βιβλία κβαντομηχανικής, όπως ήδη προαναφέραμε, το ερώτημα απαντάται μέσα από τη συνθήκη κβάντωσης της στροφορμής. Δηλαδή θεωρείται δεδομένο ότι η στροφορμή του ηλεκτρονίου πρέπει να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της σταθεράς δράσης του Planck διαιρεμένης δια π. Πράγματι: έχουμε: Θεωρώντας δεδομένη τη σχέση: m a n n (11) ( ) n m ( a n ) n m a n n n 4 n m a n (1) n Η σχέση () για την ταχύτητα του ηλεκτρονίου, γράφεται:
Η (1) με τη βοήθεια της (13), γίνεται: οπότε: k ke e n (13) mr ma n k m e a n mke a man a mke (14) Στη συγκεκριμένη παρουσίαση όμως δεν θεωρούμε «δεδομένη» τη σχέση κβάντωσης της στροφορμής (σχέση 11), αλλά θέλουμε να την εξάγουμε με τη βοήθεια της αρχής της αντιστοιχίας (correspondence principle) (όπως άλλωστε έπραξε και ο ίδιος ο Bohr). Σύμφωνα με την αρχή αυτή, οι προβλέψεις της κβαντικής μηχανικής πρέπει να τείνουν στις αντίστοιχες της κλασσικής, στο όριο των μεγάλων κβαντικών αριθμών. Σύμφωνα λοιπόν με την Κλασσική Φυσική (Κλασσική Ηλεκτροδυναμική), το ηλεκτρόνιο πρέπει να εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με συχνότητα αυτή της περιστροφής του. Όμως σύμφωνα με τη δεύτερη συνθήκη του Bohr (που συχνά τη λέμε και οπτική συνθήκη), η συχνότητα του εκπεμπόμενου φωτονίου δίνεται από τη σχέση (1). Αυτό λοιπόν που απαίτησε ο Bohr από την θεωρία του ήταν η συχνότητα του φωτονίου να τείνει στη συχνότητα περιστροφής του ηλεκτρονίου, για μεγάλες τιμές τιμές του κβαντικού αριθμού n, δηλαδή για τροχιές μεγάλης ακτίνας (σε σχέση με την ακτίνα Bohr a ). Η συχνότητα όμως περιστροφής του ηλεκτρονίου (στα επόμενα θα τη συμβολίζουμε ως f orb ), δίνεται από τη σχέση: f orb n ή r n
f orb n an (16) Ακολούθως έχουμε: f orb ke 1 4 ma n a n ή 4 f orb ke 4 ma n (17) 3 6 (Ο ενδιαφερόμενος για παραπέρα λεπτομέρειες αναγνώστης παραπέμπεται στην εργασία: Συχνότητα περιστροφής ηλεκτρονίου και συχνότητα εκπεμπομένου φωτονίου) Αντίστοιχα η συχνότητα του εκπεμπόμενου φωτονίου (στα επόμενα θα τη συμβολίζουμε με f rad για να τη διακρίνουμε από τη συχνότητα περιστροφής του ηλεκτρονίου f orb ) για μετάβαση μεταξύ των γειτονικών τροχιών n+1 και n, σύμφωνα με τη δεύτερη συνθήκη του Bohr θα δίνεται από την σχέση: hf rad 1 ke 1 1 ( ) a n ( n 1) ή f 1 ke 1 1 rad [ ( )] h a n ( n 1) ή f k e n 1 4 rad [ ] 4 h a n ( n 1) (18) Για μεγάλες τιμές του n, έχουμε: ke lim f ( ) ή n 4 rad 3 4h a n lim f rad n 4 ke 1 (19) h a n 6 Σύμφωνα όμως με την αρχή της αντιστοιχίας, οι προβλέψεις της κβαντικής μηχανικής πρέπει να τείνουν στις αντίστοιχες της κλασσικής, στο όριο των μεγάλων τιμών του n.
Έτσι εξισώνουμε την οριακή τιμή (για τα μεγάλα n) της έχουμε: f rad με αυτή της f orb και lim f rad f orb n ή k e 1 h a n ke 4 ma n ή 4 6 3 6 a h 1 4 mke ή a mke () Ας υπολογίσουμε λοιπόν τώρα τη στροφορμή του ηλεκτρονίου στη n-οστή τροχιά του Bohr. Θα έχουμε: Από τη σχέση (13): ke n, και από την () ma n Συνδυάζοντας τις δύο αυτές σχέσεις προκύπτει: a mke ke. ma n ή m a n (1) n ma n Η αντίστοιχη λοιπόν στροφορμή του ηλεκτρονίου είναι: L m r m a n n n ή man L n () Είδαμε λοιπόν πως ο Bohr, εκκινώντας από την σχέση του Balmer, κατάφερε μέσω των δύο συνθηκών του και με τη βοήθεια της αρχής της αντιστοιχίας, να φτάσει στην κβάντωση της στροφορμής.
Με δεδομένη πλέον την τιμή της σταθεράς a μπορούμε να υπολογίσουμε και την ενέργεια του ηλεκτρονίου στη n-οστή στιβάδα και την σταθερά του Rydberg. Η ενέργεια είναι: E n 1 ke 1 1 ke rn an ή E n 4 mk e 1 (3) n Για δε τη σταθερά Rydberg, από τη σχέση (9), για m 1και n, παίρνουμε: 4 mk e hcrh ή R H 4 mk e (4) 3 hc 18 (Με R,18.1 J 13,6eV ) H Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης, παραπέμπεται στο λήμμα της Wikipedia: Rydberg constant Johannes Rydberg
Αξίζει να αναφέρουμε εδώ ότι η σχέση (7) προτάθηκε στα 1885 από τον Balmer, για την περίπτωση με m, n 3 και γενικεύθηκε αργότερα στα 1888 από τον Rydberg για όλα τα δυνατά ζεύγη (m,n). Johann Jakob Balmer
Aage and Niels Bohr
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Το πρότυπο του Bohr, όπως εισήχθη από τον Bohr το 1913 και παρά την βελτίωση του από τον Arnold Sommerfeld στα 1916 σήμερα (στα πλαίσια της κβαντομηχανικής) γνωρίζουμε ότι είναι εσφαλμένο. Σύμφωνα με την Κβαντομηχανική τα ηλεκτρόνια κάθε άλλο παρά κινούνται σε καθορισμένες τροχιές (Κεπλεριανού τύπου). Επίσης όταν το ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου βρίσκεται στο τροχιακό 1s (θεμελιώδης κατάσταση), έχει στροφορμή ίση προς το μηδέν. (Αυτό μπορούμε να το εξηγήσουμε απλά αν θυμηθούμε ότι το τροχιακό s παρουσιάζει σφαιρική συμμετρία και άρα η αναμενόμενη τιμή της στροφορμής είναι ίση με μηδέν). Αντιθέτως το μοντέλο του Bohr προβλέπει για τη στροφορμή του ηλεκτρονίου στη βασική στάθμη την τιμή. Παρόλα αυτά το πρότυπο του Bohr (πέρα της ιστορικής του αξίας) δίνει: α) Σωστές τιμές για την ενέργεια του ατόμου του υδρογόνου καθώς και των υπόλοιπων μονο-ηλεκτρονικών (υδρογονοειδών hydrogenlike) ιόντων. β) Σωστή εκτίμηση του μεγέθους του ατόμου (περίπου μισό Angstrom) τη στιγμή που η κλασσική Φυσική αδυνατούσε να δώσει μια τέτοια σωστή εκτίμηση [1], και γ) Μας παρέχει μια πρώτη εκτίμηση για την τιμή που παίρνουν μια σειρά από φυσικά μεγέθη (πχ. η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου) στο ατομικό επίπεδο. Επίσης δ) Με το πρότυπο του Bohr σε συνδυασμό με την «απαγορευτική αρχή» του Pauli έγινε κατανοητή σε μεγάλο βαθμό η συμπεριφορά των ατόμων και τελικά «Το περιοδικό Σύστημα των Στοιχείων» [] ε) Αξίζει τέλος να αναφέρουμε την περιγραφή των επιτευγμάτων του Bohr, στην τριμερή δημοσίευση του 1913, όπως αναγράφεται
στο βιβλίο: Σύγχρονη Φυσική, R. A. Serway, C. J. Moses, C. A. Moyer, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, : «Αν και η θεωρητική περιγραφή των φασματικών γραμμών ήταν από μόνη της ένα αξιοσημείωτο επίτευγμα, η ευρύτητα εφαρμογών και ο αντίκτυπος της μνημειώδους επιτυχίας του Bohr μπορούν αληθινά να διαπιστωθούν όταν αναλογισθεί κανείς ποια άλλα θέματα πραγματεύθηκε ο Δανός φυσικός στην τριμερή δημοσίευσή του του 1913: i) Εξήγησε τον περιορισμένο αριθμό γραμμών που παρατηρούνται στο φάσμα απορρόφησης του υδρογόνου σε σύγκριση με το φάσμα εκπομπής ii) iii) iv) Εξήγησε την εκπομπή ακτίνων Χ από τα άτομα Εξήγησε την πυρηνική προέλευση των σωματιδίων β Εξήγησε τις χημικές ιδιότητες των ατόμων μέσω του μοντέλου των ηλεκτρονικών στιβάδων v) Εξήγησε πως τα άτομα συνδέονται για να σχηματίσουν μόρια.» [11]. Στην εργασία θεωρήσαμε το πρωτόνιο ακίνητο κάτι που σε πρώτη προσέγγιση επιτρέπεται μιας και το πρωτόνιο είναι περίπου φορές βαρύτερο από το ηλεκτρόνιο. Διαφορετικά πρέπει να δουλέψουμε με την ανηγμένη μάζα του συστήματος πρωτονίου-ηλεκτρονίου. Αν λοιπόν m είναι η μάζα του ηλεκτρονίου και Μ η μάζα του πρωτονίου, η ανηγμένη μάζα είναι: mm m M (5). Τότε (για λεπτομέρειες: Introduction to Quantum Mechanics, B. H. Bransden and C. J. Joahain, Longman Scientific & Technical, 199): Η συνθήκη κβάντωσης της στροφορμής γράφεται:
L r n, n 1,,3,... (6) Η (πρώτη) ακτίνα Bohr γίνεται: a m a (7) Οι υπόλοιπες επιτρεπτές ακτίνες δίνονται (κανονικά) από τη σχέση: rn a n (8) Και τέλος οι ενεργειακές στάθμες καθίστανται: E n 4 ke 1 (9) n (Δηλαδή στη σχέση (3) αντικαθιστούμε το m με μ). 1 3. Η μονάδα cm ονομάζεται Kaiser (αν και κανείς δεν χρησιμοποιεί αυτή την ονομασία) [5] 4. Έχει ενδιαφέρον να δούμε ποιες είναι οι μέσες (αναμενόμενες) τιμές που δίνει η k (μη-σχετικιστική) κβαντομηχανική (Schrodinger), για διάφορες εκφράσεις του r. Έχουμε λοιπόν: a r n l l [3 ( 1)] (3.α) an r [5n 13 l( l 1)] (3.β) 1 1 r a n (3.γ) 1 1 r 3 1 an ( l ) (3.δ)
Σε όλες τις παραπάνω εκφράσεις ο αριθμός n παίρνει τις τιμές n 1,,3,... ενώ ο l τις τιμές l,1,,... n 1. Για ιστορικούς λόγους (από την εποχή που η μελέτη των ατομικών φασμάτων οδηγούσε στην ταξινόμηση των παρατηρούμενων φασματικών γραμμών), οι διάφορες τιμές του l παρουσιάζονται με γράμματα του λατινικού αλφαβήτου, δηλαδή: l s l 1 p l d l 3 f l 4 g [13] Παρατηρούμε λοιπόν ότι για τη θεμελιώδη κατάσταση του ατόμου του υδρογόνου 3 (σχέση 3.α), δηλαδή για n 1 και l (τροχιακό 1s), η μέση τιμή του r είναι a και όχι a. Ίσως το γεγονός μας εκπλήσσει αν σκεφτούμε ότι οι ενεργειακές στάθμες, υπολογιζόμενες και με Bohr και με Schrodinger ταυτίζονται. Όμως πρέπει να λάβουμε υπ όψη μας ότι στον τύπο της ενέργειας υπεισέρχεται το 1 r και όχι το r. Και παρατηρήστε (σχέση 3.γ, για n 1 ) ότι η μέση τιμή του 1 r είναι (όπως πρέπει) a 1 [3 ] Έχει ενδιαφέρον να δείξουμε ότι πράγματι η μέση τιμή του 1 r είναι ίση με. Για το a σκοπό αυτό θα χρειασθούμε την κυματοσυνάρτηση που περιγράφει το άτομο του υδρογόνου στη βασική του στάθμη. Αυτή είναι: 1 e r a a 3 Θα έχουμε λοιπόν: 1 1 1 r r r ( ) dv dv ή V V
r a 1 1 e ( 3 ) r sin r r r a drd d (31) Τώρα: d sin d [ cos ] r a r r r e 1 a 1 a a r 1 a a 1 r dr re dr [ e e ] 3 3 3 3 a a a 4 a 4 4 a r r Αντικαθιστώντας στην (31) έχουμε: 1 1 1 4 (3) r 4 a a 5. Έτσι για διασκέδαση ας επιχειρήσουμε να εφαρμόσουμε τις συνθήκες κβάντωσης του Bohr, στην περιστροφή της Γης γύρω από τον Ήλιο. Ας ονομάσουμε m τη μάζα της Γης και Μ τη μάζα του Ήλιου. Τώρα το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης παίζει η βαρυτική έλξη ανάμεσα στη Γη και τον Ήλιο, οπότε η ποσότητα ke πρέπει να αντικατασταθεί από την ποσότητα GmM. Η ακτίνα λοιπόν της τροχιάς γράφεται: r n n n mgmm Gm M (33) Ο αντίστοιχος «κβαντικός αριθμός» n, θα είναι: Θεωρώντας λοιπόν της τιμές: m rngm n (34) m 6.1 4 Kg
G 6,67.1 m Kg s 11 3 1 M 1,99.1 3 Kg rn 1, 49.1 11 m και αντικαθιστώντας στην (34), παίρνουμε: 34 1,6.1 Js 74 n,5.1
That this insecure and contradictory foundation [of physics in the years from 191 to 19] was sufficient to enable a man of Bohr s unique instinct and tact to discover the major laws of the spectral lines and of the electron shells of the atoms together with their significance for chemistry appeared to me like a miracle and appears to me as a miracle even today. This is the highest form of musicality in the sphere of thought. Albert Einstein
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Κβαντομηχανική Ι, Στέφανος Τραχανάς, Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο 1985.. Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική, Κυριάκος Ταμβάκης, Leader books, Au;hna 3 3. Σύγχρονη Φυσική, Arthur Beiser, εκδόσεις τυπωθήτω-γ. Δαρδανος, Αθήνα 1 4. Fundamentals of Modern Physics, R. M. Eisberg, John Wiley & sons, 1961 5. Topics in Atomic Physics, C. E. Burkhardt and J. J. Leventhal, Springer 6 6. Niels Bohr in: Sources of Quantum Mechanics, B. L. Van Der Waerden, Dover Publications, Inc, New York, 1968 7. An Introduction to Quantum Physics, A. P. French, E. F. Taylor, W. W. Norton & Company, New York 1978. 8. Classical Electrodynamics, W. Greiner, Springer, 1998 9. Introduction to Electrodynamics, D. Griffiths, Prentice Hall, 1989 1. Course of Theoretical Physics - Vol 3 Quantum Mechanics - nonrelativistic theory 3rd ed, L. Landau, E. Lifshitz 11. Σύγχρονη Φυσική, R. A. Serway, C. J. Moses, C. A. Moyer, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης,. 1. Introduction to Quantum Mechanics, B. H. Bransden and C. J. Joahain, Longman Scientific & Technical, 199 13. Theory and Proflems of Quantum Mechanics, Y. Peleg-R. Pnini-E. Zaarur, McGraw-Hill- 1998. 14. Facts and Mysteries in Elementary Particle Physics, Martinus Veltman, World Scientific, 3
ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Χρόνος κατάρρευσης του κλασσικού ατόμου. Το πρότυπο του Bohr για το άτομο του υδρογόνου 3. Συχνότητα περιστροφής ηλεκτρονίου και συχνότητα εκπεμπόμενου φωτονίου 4. Ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό του ατόμου. 5. Χρόνος κατάρρευσης του κλασσικού ατόμου (Παρουσίαση) 6. Προβλήματα κβαντομηχανικής με τη βοήθεια υπερσυμμετρικών μεθόδων 7. Rydberg constant 8. Johannes Rydberg 9. Johann Jakob Balmer 1. Correspondence principle 11. Niels Bohr ΑΘΗΝΑ, ΑΠΡΙΛΗΣ 1 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ