Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Α Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: ΘΕΜΑ Α μ 4χ3 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ αν είναι σωστές ή με το Λ αν τις θεωρείται λανθασμένες. 1. Αν ένα ύψος τριγώνου είναι και διχοτόμος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 2. Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο πλευρές και μια αντίστοιχη γωνία ίσες. 3. Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. 4. Αν δύο τρίγωνα έχουν και τις τρεις γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΘΕΜΑ Β μ 10 Τι ονομάζεται μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος; ΘΕΜΑ Γ μ 9 Να γράψετε αναλυτικά τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. 1
ΘΕΜΑ Δ μ 30 Σε τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουμε τη διάμεσο ΑΜ κατά ίσο τμήμα ΜΔ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ είναι ίσα. ΘΕΜΑ Ε Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ(ΑΒ=ΑΓ). Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του ΒΑ,ΓΑ (προς το μέρος του Α) θεωρούμε ίσα τμήματα ΑΔ,ΑΕ αντίστοιχα. Αν Μ το μέσο της βάσης ΒΓ, να αποδείξετε ότι: Α) ΕΒ=ΔΓ μ 11 Β) τα σημεία Δ,Ε ισαπέχουν από τις ΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα. μ 15 Γ) το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές. μ 13 2
Καλή τύχη! Στέλιος Μιχαήλογλου Κριτήριο αξιολόγησης στα κριτήρια ισότητας τριγώνων Ομάδα:Β Όνομα:..Επώνυμο:.ημ/νία: ΘΕΜΑ Α μ 4χ3 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με το γράμμα Σ αν είναι σωστές ή με το Λ αν τις θεωρείται λανθασμένες 1. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία τότε θα έχουν και τις τρίτες πλευρές ίσες. 2. Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. 3. Αν ένα ύψος τριγώνου είναι και διάμεσος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 4. Όταν ένα σημείο ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος, τότε βρίσκεται στο μέσον αυτού. ΘΕΜΑ Β μ 10 Τι ονομάζεται διχοτόμος γωνίας; ΘΕΜΑ Γ μ 9 Να γράψετε αναλυτικά τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. 3
ΘΕΜΑ Δ μ 30 Να αποδείξετε ότι αν δύο τρίγωνα έχουν α α, υβ υβ και υγ υγ, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. ΘΕΜΑ Ε Οι διχοτόμοι ΒΔ, ΓΕ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) τέμνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΔ=ΕΓ μ 11 β) ΖΕ=ΖΔ και ΖΒ=ΖΓ μ 16 γ) Η ευθεία ΑΖ είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ. μ 12 Καλή τύχη! 4
Στέλιος Μιχαήλογλου ΛΥΣΕΙΣ 5
ΟΜΑΔΑ Α ΘΕΜΑ Α 1. Σ 2. Λ 3. Λ 4. Λ ΘΕΜΑ Β Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. ΘΕΜΑ Γ 1ο(ΠΓΠ): Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. 2ο (ΓΠΓ): Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 3ο (ΠΠΠ): Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΘΕΜΑ Δ Τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΜΓΔ έχουν: 1) ΑΜ = ΜΔ 2) ΒΜ = ΜΓ και 3) M 1 M2 ως κατακορυφήν Με βάση το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα οπότε έχουν και ΑΒ = ΓΔ και B 1 1. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΓΔ έχουν: 1) ΒΓ κοινή πλευρά 2) ΑΒ = ΓΔ και 3) B 1 1 Με βάση το κριτήριο ΠΓΠ τα τρίγωνα είναι ίσα. Ε Δ ΘΕΜΑ Ε α) Τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΑΔΓ, έχουν: i) ΑΒ=ΑΓ ii) ΑΕ=ΑΔ και iii) ως κατακορυφήν. Λόγω του κριτηρίου ισότητας τριγώνων Π-Γ-Π τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα, άρα και ΕΒ=ΔΓ. Β Μ Α Γ Ε Κ Λ Δ β) Έστω ΔΚ η απόσταση του Δ από την ΑΒ και ΕΛ η απόσταση του Ε Από την πλευρά ΑΓ. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΚΑ και ΕΛΑ, έχουν: i) ΑΔ=ΑΕ και ii) κοινή, Α 6 Β Μ Γ
Επειδή τα δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις υποτείνουσες τους ίσες και μια οξεία γωνία του ενός τριγώνου είναι ίση με μία οξεία γωνία του άλλου, είναι ίσα, οπότε έχουν και ΕΛ=ΕΚ. Ε Δ γ) Τα τρίγωνα ΕΜΓ και ΔΜΒ, έχουν: i) MΓ=MB γιατί το Μ είναι μέσο της πλευράς ΒΓ, ii) παρά τη βάση γωνίες του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ και iii) Επειδή ΑΓ=ΑΒ και ΑΕ=ΑΔ είναι και ΑΓ+ΑΕ=ΑΒ+ΑΔ ΕΓ=ΔΒ. Λόγω κριτηρίου ισότητας τριγώνων Π-Γ-Π τα τρίγωνα ΕΜΓ και ΔΜΒ είναι ίσα, άρα και ΕΜ=ΔΜ, οπότε το τρίγωνο ΔΜΕ είναι ισοσκελές. Α ΟΜΑΔΑ Β Β Μ Γ ΘΕΜΑ Α 1. Λ 2. Λ 3. Σ 4. Λ ΘΕΜΑ Β Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. ΘΕΜΑ Γ 1ο(ΠΓΠ): Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. 2ο (ΓΠΓ): Αν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. 3ο (ΠΠΠ): Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. ΘΕΜΑ Δ Έστω ότι ΒΓ = Β Γ, ΒΔ = Β Δ και ΓΕ = Γ Ε. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΕΓ και Β Ε Γ είναι ίσα γιατί έχουν: 1) ΒΓ = Β Γ και 2) ΓΕ = Γ Ε. Άρα είναι και B B Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΔΓ και Β Δ Γ είναι ίσα γιατί έχουν: 1) ΒΓ = Β Γ και 2) ΒΔ = Β Δ. Άρα είναι και. Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν: 1) ΒΓ = Β Γ 2) B B και 3) Με βάση το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα. ΘΕΜΑ Ε α) Τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΒΔΓ έχουν: 1) ΒΓ κοινή πλευρά 2) B (στη βάση του ισοσκελούς) και 3) B 2 2 μισά ίσων γωνιών Με βάση το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε και ΒΔ = ΓΕ. β) Τα τρίγωνα ΒΖΕ και ΔΖΓ έχουν: 7
1) ΒΕ = ΔΓ (γιατί τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΒΔΓ είναι ίσα) 2) B 1 1 μισά ίσων γωνιών και 3) E 1 1 (γιατί τα τρίγωνα ΒΕΓ και ΒΔΓ είναι ίσα) Με βάση το κριτήριο ΓΠΓ τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε έχουν και ΖΕ = ΖΔ, ΖΒ = ΖΓ. γ) Επειδή ΑΒ = ΑΓ και ΖΒ = ΖΓ τα σημεία Α, Ζ ισαπέχουν από τα Β και Γ άρα η ΑΖ είναι μεσοκάθετος του ΒΓ. 8