Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων

Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία Παράρτηµα Άρτας Άρτα 17 Μαΐου 2003 Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων Δηµήτρης Κουτσογιάννης Τοµέας Υδατικών Πόρων, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Εισαγωγή Ορισµός της διαχείρισης υδατικών πόρων/συστηµάτων ΥΒΕΤ, Ν. 1739/1987 Ν. S. Grigg, 1996 Μέτρα και δραστηριότητες Απαραίτητα για Κάλυψη αναγκών σε νερό Εφαρµογή µέτρων Έλεγχος Συστήµατα υδατικών πόρων Στόχος Ωφέλεια Κατασκευαστικών Μη κατασκευαστικών Φυσικά Τεχνητά Ανθρώπου Περιβάλλοντος

Πλήρης υποδοµή αστικού υδατικού συστήµατος Αποχέτευση οµβρίων Αποχέτευση λυµάτων Αντιπληµµυρική θωράκιση (ασφαλής στάθµη) ιάθεση στερεών αποβλήτων Υδροδότηση Αστικό υδατόρευµα Προσαρµογή από: Maksimovic, 2000 Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 3

Τ1 Η1 Ε1 Τ2 Η2 Ε2 Κ Χ1 Η3 Τ3 Υ1 Η4 Α1 Ταµιευτήρας Υδροφορέας Ποταµός Αγωγός Γραµµή µεταφοράς ενέργειας Σηµείο ελέγχου Υδροηλεκτρικό έργο Αντλιοστάσιο Κέντρο διανοµής ενέργειας Κατανάλωση νερού Ε3 Ε4 Χ2 Γενική περίπτωση διαχείρισης υδατικού συστήµατος Στόχοι ή/και δεσµεύσεις Καταναλωτικές χρήσεις Ενέργεια Προστασία από πληµµύρες Οικονοµική ωφέλεια Περιβαλλοντική διατήρηση Περιορισµοί Φυσικοί Λειτουργικοί Σε καθεστώς υδρολογικής αβεβαιότητας Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 4

Επίπεδα πολυπλοκότητας στη διαχείριση υδατικών συστηµάτων

Επιστηµονικές και τεχνολογικές περιοχές της διαχείρισης υδατικών συστηµάτων Υδρολογία Υδραυλική Γεωλογία Υδρογεωλογία Εδαφολογία Μετεωρολογία Περιβαλλοντική τεχνολογία Ενεργειακή τεχνολογία Αγροτική τεχνολογία Δασοτεχνολογία Οικολογία Κοινωνιολογία Πολιτική επιστήµη Οικονοµική Νοµική Επιστήµη διεθνών σχέσεων Θεωρία πιθανοτήτων, στατιστική, θεωρία στοχαστικών ανελίξεων Επιχειρησιακή έρευνα, Ανάλυση συστηµάτων Θεωρία ελέγχου Πληροφορική

Ησηµασία της πρόβλεψης στη διαχείριση υδατικών συστηµάτων Θα έχουµε νερό στους Ολυµπιακούς αγώνες; Αν φτιάξουµε έναν ταµιευτήρα µε άλφα διαστάσεις, πόσο νερό θα µας δίνει κάθε χρόνο; Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις ενός ταµιευτήρα για να µπορεί να µας δίνει βήτα ποσότητα νερού κάθε χρόνο; Αν σήµερα εφαρµόσουµε µια γάµα πολιτική απολήψεων από έναν ταµιευτήρα, ποιες θα είναι οι επιπτώσεις σε πέντε χρόνια; Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 7

υνατότητες πρόβλεψης Ένα απλό παράδειγµα Εισροή, Ι = 10 (σταθερή) Ταµιευτήρας Απόθεµα, x Εξίσωση εξέλιξης συστήµατος Εκροή Q = φ(x) = 0.2 e 0.3 x x t = x t 1 + 10 0.2 e 0.3 x t 1 Εισροή, Ι - Εκροή, Q 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 18 16 14 12 10 Εισροή: I = 10 (σταθερή) 8 6 4 Εκροή: Q = 0.2 exp (0.3 x ) 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Απόθεµα, x Απόθεµα x t Απόθεµα: x t = x t - 1 + 10-0.2 exp(0.3 x t - 1) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Απόθεµα x t - 1 Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 8

Απλοί αριθµητικοί υπολογισµοί του παραδείγµατος Εξίσωση εξέλιξης συστήµατος x t = x t 1 + 10 0.2 e 0.3 x t 1 Χρόνος 0 1 Απόθεµα 4.00004 13.33601 Απόθεµα 4.00000 13.33598 Απόθεµ α, x 20 15 Πραγµατική εξέλιξη Αρχική τιµή: x 0 = 4.00004 Eξέλιξη µοντέλου Αρχική τιµή: x 0 = 4 2 12.40761 12.40768 10 3 14.13587 14.13576 5 M 22 23 M 14.33236 9.59670 M 12.87899 13.35076 0 Μέση τιµή 0 10 20 30 40 50 60 Χρόνος, t 24 16.03737 12.37389 25 1.46130 14.18540 Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 9

Συνέχεια και τέλος παραδείγµατος Ποιά είναι η καλύτερη πρόγνωση; (α) του µοντέλου, µε αρχική τιµή x 0 = 4 (αντί της πραγµατικής αλλά άγνωστης τιµής x 0 = 4.00004) ή (β) η στατιστική, π.χ. χρησιµοποιώντας τη µέση τιµή x =11 Απόθεµα, x Σφάλµα πρόγνωσης, x 20 15 10 5 0 15 10 5 0-5 Πραγµατική εξέλιξη Αρχική τιµή: x 0 = 4.00004 Μέση τιµή Eξέλιξη µοντέλου Αρχική τιµή: x 0 = 4 0 10 20 30 40 50 60 Χρόνος, t Σφάλµα µοντέλου Σφάλµα στατιστικής πρόγνωσης -10-15 0 10 20 30 40 50 60 Χρόνος, t Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 10

Συµπέρασµα Όπως διατυπώθηκε από το γάλλο µαθηµατικό Henri Poincare ( 1900) Ακόµα και αν οι φυσικοί νόµοι δεν είχαν άλλα µυστικά από εµάς, θα µπορούσαµε να ξέρουµε την αρχική κατάσταση µόνο κατά προσέγγιση. Αν αυτό µας επιτρέπει να προβλέψουµε τη µεταγενέστερη κατάσταση µε τον ίδιο βαθµό προσέγγισης, αυτό αρκεί να πούµε ότι το φαινόµενο είχε προβλεφθεί, ότι υπόκειται σε νόµους. Όµως, το ζήτηµα δεν είναι πάντοτε έτσι: υπάρχει περίπτωση οι πολύ λεπτές διαφορές στις αρχικές συνθήκες να παράγουν πολύ µεγαλύτερες διαφορές στα τελικά φαινόµενα, ένα ελάχιστο σφάλµα στην αρχή να προκαλεί ένα τεράστιο σφάλµα στο τέλος. Η πρόβλεψη τότε γίνεται αδύνατη κι έτσι έχουµε το φαινόµενο της τύχης. Χάος Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 11

Γενικές αρχές στην αντιµετώπιση της διαχείρισης υδατικών πόρων 1. Αποδοχή της αβεβαιότητας Αδυναµία µακροπρόθεσµης ακριβούς πρόγνωσης Χρήση προγνώσεων πιθανοτικού στατιστικού τύπου (ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας) 2. Αποδοχή της διακινδύνευσης (του ρίσκου) Αδυναµία εξασφάλισης πλήρους ασφάλειας (δεν µπορούµε να βάλουµε όρια στη φύση)... και όχι µόνο Ποσοτικοποίηση µε βάση τη θεωρία πιθανοτήτων Υιοθέτηση ανεκτού επιπέδου διακινδύνευσης, σε όρους πιθανότητας (π.χ. 1%) Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 12

Η πραγµατική διακύµανση των υδρολογικών µεγεθών σε διάφορες χρονικές κλίµακες 1500 1250 1000 750 500 250 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 31 εκεµβρίου 1970 Χρόνοςt (ώρες) 100 80 60 40 20 0 Παροχή Q (m 3 /s) 1000 750 500 250 Παροχή Q (m 3 /s) 0 1 3 5 7 9 1113151719212325272931 εκέµβριος 1970 Χρόνοςt (ηµέρες) εδοµένα: Παροχή Ευήνου στη θέση Πόρος Ρηγανίου 35 30 25 20 15 10 5 0 1970-71 1972-73 1974-75 1976-77 1978-79 1980-81 1982-83 1984-85 1986-87 1988-89 1990-91 1992-93 Παροχή Q (m 3 /s) Οκτ-70 εκ-70 Φεβ-71 Απρ-71 Ιουν-71 Αυγ-71 Οκτ-71 εκ-71 Φεβ-72 Απρ-72 Ιουν-72 Αυγ-72 Παροχή Q (m 3 /s) Χρόνοςt (µήνες) Χρόνοςt (υδρολογικά έτη) Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 13

Ησυµπεριφορά των υδρολογικών µεγεθών (διακύµανση στο χρόνο) Τυχαία συµπεριφορά, αλλά σύνθετη Κανονικοί κύκλοι στην κλίµακα των εποχών του έτους (εποχιακή διακύµανση) Τυχαίες διακυµάνσεις (ακανόνιστοι κύκλοι) σε όλες τις χρονικές κλίµακες Χρονική και χωρική εξάρτηση Εµµονή σε όλες τις κλίµακες Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 14

ιαφοροποίηση της συµπεριφοράς των υδρολογικών µεταβλητών από απλά τυχαία φαινόµενα Ρουλέτα Διακριτό και πεπερασµένο σύνολο δυνατών τιµών (0, 1,..., 36) Σταθερή συµπεριφορά στο χρόνο Γνωστή a priori πιθανότητα εµφάνισης κάθε τιµής (1/37) Το αποτέλεσµα κάθε ρίψης δεν εξαρτάται από την ιστορία των προηγούµενων ρίψεων Παροχή ποταµού Συνεχές και άπειρο σύνολο δυνατών τιµών (από 0 µέχρι + ) (Φαινόµενο Νώε) Μεταβαλλόµενη συµπεριφορά (κανονική µεταβολή µε τις εποχές ακανόνιστη σε άλλες κλίµακες) Κατανοµή πιθανοτήτων εµπειρικά διαπιστωµένη από µετρήσεις Κάθε τιµή εξαρτάται από όλη την ιστορία των προηγούµενων τιµών (Εµµονή: Βραχυπρόθεσµη, µακροπρόθεσµη) Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 15

Υδρολογική (γεωφυσική) εµµονή Ανακάλυψη από τον E. H. Hurst (1951) στα πλαίσια της µελέτης του Υψηλού Φράγµατος Aswan στο Νείλο Φαινόµενο Hurst Πρώτη µαθηµατική µοντελοποίηση από τον Mandelbrot (1965-1971) Φαινόµενο Ιωσήφ Σχετίζεται µε µεταβολές στο κλίµα Δυσµενείς συνέπειες στην αξιοποίηση υδατικών πόρων (αύξηση αβεβαιότητας) Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 16

Υδρολογική εµµονή: ιαπίστωση µε βάση τη χρονοσειρά του Νειλοµέτρου Ελάχιστη στάθµη του ποταµού Νείλου Ένδειξη Νειλοµέτρου 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 Ετήσια τιµή Κυλιόµενος µέσος όρος 40 ετών 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 «Το κλίµα αλλάζει µε ακανόνιστο τρόπο, για άγνωστους λόγους, σε όλες τις χρονικές κλίµακες» (National Research Council, 1991) Έτος Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 17

υσκολία στον τρόπο εκτίµησης πιθανοτήτων σύνθετων γεγονότων Παράδειγµα: Αν (α) χαρακτηρίσουµε ως ξηρό έτος κάθε έτος στο οποίο ο ετήσιος όγκος απορροής ενός ποταµού είναι µικρότερος ή ίσος των 3 εκατοµµυρίων m 3, και (β) γνωρίζουµε ότι η πιθανότητα ενός ξηρού έτους είναι 1/10, ποιά είναι η πιθανότητα δύο διαδοχικά χρόνια να είναι ξηρά; Αντίστοιχο παράδειγµα στη ρουλέτα: ποια είναι η πιθανότητα σε δύο διαδοχικές ρίψεις να έχουµε αποτέλεσµα µικρότερο ή ίσο του 3; Απάντηση: Δεν είναι εύκολο να δοθεί µε κλασικές µαθηµατικές µεθόδους Απάντηση: (4/37) 2 Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 18

Επιστηµονικοί κλάδοι που επιστρατεύονται για την απάντηση στο προηγούµενο ερώτηµα 1. Θεωρία πιθανοτήτων: Θεµέλιο των υπολογισµών 2. Στατιστική: Εκτίµηση της κατανοµής πιθανότητας µε βάση ένα δείγµα µετρήσεων της παροχής 3. Θεωρία στοχαστικών ανελίξεων: Μαθηµατική περιγραφή της εξάρτησης των µεγεθών στο χρόνο 4. Προσοµοίωση: Υπολογιστική µαθηµατική τεχνική Βασίζεται στον πειραµατισµό πάνω σε συνθετικές σειρές Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 19

Ιστορία της στοχαστικής προσοµοίωσης (ή µεθόδου Monte Carlo) Συνδυάζεται µε την ανάπτυξη των των µαθηµατικών και της φυσικής στα µέσα του 20ου αιώνα αλλά και των υπολογιστών Ανακαλύφθηκε από τον Πολωνό µαθηµατικό Stanislaw Ulam το 1946 (Ο Ulam εργαζόταν στην οµάδα του Los Alamos) O Ulam συνέλαβε τη µέθοδο ενώ έπαιζε έριχνε πασιέντζες όταν αρρώστησε και προσπαθούσε να εκτιµήσει την πιθανότητα να του «βγει» η πασιέντζα Ο ίδιος περιγράφει την ιστορία ως εξής: «Αφού έχασα πολύ χρόνο να εκτιµήσω την πιθανότητα µε καθαρά συνδυαστικά µαθηµατικά, διερωτήθηκα γιατί να µη χρησιµοποιήσω µια πιο πρακτική µέθοδο, αντί της αφαιρετικής σκέψης, δηλαδή να τη ρίξω ας πούµε εκατό φορές και να µετρήσω πόσες φορές βγήκε» Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 20

Ιστορία της στοχαστικής προσοµοίωσης (ή µεθόδου Monte Carlo) (2) Αµέσως µετά, η µέθοδος χρησιµοποιήθηκε για την επίλυση προβληµάτων συγκρούσεων ουδετερονίων από τους φυσικούς και µαθηµατικούς του Los Alamos (John von Neumann, Nicholas Metropolis, Enrico Fermi), αφού κωδικοποιήθηκε στον πρώτο υπολογιστή ENIAC Η «επίσηµη» ιστορία της µεθόδου ξεκινά το 1949 µε µια δηµοσίευση των Metropolis και Ulam Από τη δεκαετία του 1970 η προσοµοίωση χρησιµοποιείται σε προβλήµατα υδατικών πόρων Η έρευνα για τις στοχαστικές µεθόδους στους υδατικούς πόρους εξακολουθεί και εντείνεται Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 21

Ένα απλό παράδειγµα για την έκταση των εφαρµογών της προσοµοίωσης m = 20 n = 16 π = 3.2 r y x Υπολογισµός του αριθµού π 1. Μέσω µιας γεννήτριας τυχαίων οµοιόµορφων αριθµών παράγονται m ζεύγη (x, y) στο διάστηµα [0, 1] 2. Μετριούνται τα σηµεία εκείνα τα οποία βρίσκονται µέσα στο τεταρτοκύκλιο, ήτοι τα σηµεία για τα οποία ισχύει x 2 + y 2 1 3. Αν n το πλήθος των σηµείων αυτών, τότε ο λόγος n / m αποτελεί µέτρο εκτίµησης του αριθµού π / 4 (λόγος των εµβαδών του τεταρτοκυκλίου προς το τετράγωνο) 4. Η ακρίβεια εκτίµησης του π εξαρτάται από το πλήθος m Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 22

Στοχαστική προσοµοίωση φυσικών υδρολογικών διεργασιών Κατασκευή συνθετικών εισροών 1000 ετών στην Υλίκη µε τον υδρολογικό προσοµοιωτή «Κασταλία» Περίπτωση 1: Με αναπαραγωγή της µακροπρόθεσµης εµµονής 300 250 200 150 100 50 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 131.77 310.0 49.12 2.0 0.06 0. 92 Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 23

Στοχαστική προσοµοίωση φυσικών υδρολογικών διεργασιών (2) Κατασκευή συνθετικών εισροών 1000 ετών στην Υλίκη µε τον υδρολογικό προσοµοιωτή «Κασταλία» Περίπτωση 2: Χωρίς αναπαραγωγή της µακροπρόθεσµης εµµονής 300 250 200 150 100 50 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 124.80 257.0 49.5 2.0 0.00 0.56 Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 24

Στοχαστική προσοµοίωση ολοκληρωµένου υδροσυστήµατος Εφαρµογή στη στοχαστική πρόγνωση Εξέλιξη των αποθεµάτων του υδροδοτικού συστήµατος της Αθήνας για τα επόµενα 10 χρόνια και για διάφορα επίπεδα πιθανότητας (Εκτίµηση µε βάση τα αποτελέσµατα 200 προσοµοιώσεων µε ισάριθµα σενάρια εισροών και µε αναπαραγωγή της µακροπρόθεσµης εµµονής) Σηµείο εκκίνησης Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 25

Βασική διαφοροποίηση στην προσοµοίωση των φυσικών και τεχνητών συνιστωσών ενός υδροσυστήµατος Στις φυσικές συνιστώσες (βροχή, φυσική απορροή) δεν έχουµε δυνατότητα παρέµβασης Στις τεχνητές συνιστώσες (φράγµατα, υδραγωγεία, αντλιοστάσια) έχουµε δυνατότητα παρέµβασης Ασκούµε αυτή τη δυνατότητα σε τρόπο ώστε να έχουµε την καλύτερη δυνατή επίδοση 1. Εντοπισµός και ποσοτική έκφραση των τρόπων παρέµβασης (x 1, x 2, x 3, ) Μεταβλητές ελέγχου 2. Ποσοτικοποίηση της επίδοσης συναρτήσει των παρεµβάσεων f(x 1, x 2, x 3, ) Μέτρο επίδοσης ή αντικειµενική συνάρτηση 3. Εύρεση των τιµών των µεταβλητών ελέγχου που δίνουν την ακρότατη (κατά περίπτωση ελάχιστη ή µέγιστη δυνατή) τιµή της f(x 1, x 2, x 3, ) Αλγόριθµος βελτιστοποίησης Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 26

Η βελτιστοποίηση για απλή πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής f (x ) Κυρτή (convex) συνάρτηση Σηµείο ελαχίστου x f (x ) Κοίλη (concave) συνάρτηση Σηµείο µεγίστου x f (x ) Τοπικό ελάχιστο Πολυκόρυφη (multimodal) συνάρτηση Ολικό ελάχιστο x f' (x ) Σηµείο µηδενισµού α' παραγώγου x f' (x ) Σηµείο µηδενισµού α' παραγώγου x f' (x ) Σηµεία µηδενισµού α' παραγώγου x f (x ) f (x ) x f (x ) β παράγωγος θετική αρνητική Θετική β παράγωγος Αρνητική β παράγωγος x x Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 27

Η βελτιστοποίηση για απλή πραγµατική συνάρτηση διανυσµατικής µεταβλητής f(x 1, x 2 ) 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 1.00 0.15 0.10 0.05 0.50 0.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.000.00 x 1 x 2 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 x 1 x 2 0.45-0.50 0.40-0.45 0.35-0.40 0.30-0.35 0.25-0.30 0.20-0.25 0.15-0.20 0.10-0.15 0.05-0.10 0.00-0.05 0.45-0.50 0.40-0.45 0.35-0.40 0.30-0.35 0.25-0.30 0.20-0.25 0.15-0.20 0.10-0.15 0.05-0.10 0.00-0.05 ιανυσµατική µεταβλητή: x = [x 1, x 2 ] T (χώρος δύο διαστάσεων) Πραγµατική συνάρτηση: f(x) = (x 1 0.5) 2 + 0.5(x 2 0.5) 2 0.5(x 1 0.5)(x 2 0.5) Το γράφηµα της συνάρτησης στο πεδίο (0 x 1 1, 0 x 2 1) φαίνεται στα διπλανά σχήµατα (πάνω τριδιάστατη προοπτική απεικόνιση, κάτω διδιάστατη απεικόνιση µε µορφή ισοτιµικών καµπυλών). Κλίση: grad(f) = f = T df dx = f T f, x = 1 x 2 [2(x 1 0.5) 0.5 (x 2 0.5), (x 2 0.5) 0.5 (x 1 0.5)] Τ Παραδείγµατα τιµών κλίσης: Για x = [0.6, 0.3] T, grad(f) = [0.3, 0.25] Τ Για x = [0.65, 0.75] T, grad(f) = [0.175, 0.175] Τ Συνθήκη ακροτάτου: grad(f) = 0 Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 28

Εντοπισµός ελαχίστου µε τη µέθοδο της πιο απότοµης κατάβασης x 2 x * x 1 - g 1 - g 0 x 0 x 1 Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 29

Κυρτές και µη κυρτές διανυσµατικές συναρτήσεις Κυρτή Μη κυρτή Τοπικό ελάχιστο Σηµείο σέλας Μοναδικό ελάχιστο Ολικό ελάχιστο Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 30

Παραδείγµατα έντονα µη κυρτών (πολυκόρυφων) διανυσµατικών συναρτήσεων Συνάρτηση Michalewicz f(x 1, x 2 ) = 21.5 + x 1 sin(4π x 1 ) + x 2 sin(20π x 2 ) Συνάρτηση Griewank (για n = 2) f(x 1, x 2,, x n ) = (x 12 + x 22 + + x n2 )/400 cos(x 1 / 1) cos(x 2 / 2) cos(x n / n) + 1 Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 31

Εντοπισµός ολικού ακροτάτου σε πολυκόρυφες διανυσµατικές συναρτήσεις Δεν υπάρχει εγγυηµένη µεθοδολογία εντοπισµού του ολικού ακροτάτου Μέθοδοι κλασικών µαθηµατικών (π.χ. της πιο απότοµης κατάβασης) εγκλωβισµός σε τοπικά ακρότατα Μέθοδοι διακριτοποίησης και απαριθµητικής αναζήτησης «κατάρα» της διαστατικότητας Μέθοδοι τυχαίας αναζήτησης αργή & µη αντικειµενική διαδικασία Μέθοδοι συνδυασµού κλασικών µαθηµατικών και τυχαίας αναζήτησης ηπιοπρόσφορηµέθοδος αλλά δεν εγγυάται τον εντοπισµό της βέλτιστης λύσης Παράδειγµα: Προσοµοιωµένη ανόπτηση προσδιορίζουµε την κατεύθυνση κατάβασης αλλά επιτρέπουµε νακινηθούµε και ανάποδα (µε δεδοµένη πιθανότητα) γιανααποφύγουµε τον εγκλωβισµό Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 32

Ταµιευτήρας Καστρακίου Ταµιευτήρας Στράτου Ταµιευτήρας Κρεµαστών 0 10 20 30 km Ταµιευτήρας Μεσοχώρας Ταµιευτήρας Πύλης Ταµιευτήρας Μουζακίου Ταµιευτήρας Συκιάς Ταµιευτήρας Πλαστήρα Τελικό παράδειγµα: Μελέτη του υδροσυστήµατος Αχελώου- Θεσσαλίας 5 ταµιευτήρες στον Αχελώο (+Πλαστήρα) Σενάριο εκτροπής στη Θεσσαλία µε 2 επιπλέον ταµιευτήρες 7 υδροηλεκτρικοί σταθµοί (κατά µέγιστο) Σύστηµα αγωγών εκτροπής Κύρια χρήση: Υδροηλεκτρική ενέργεια Δευτερεύουσα χρήση: άρδευση Περιβαλλοντικές δεσµεύσεις Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 33

Μεσοχώρα 731-770 m ΗΥΣ Γλύστρας Συκιά 485-550 m ΗΥΣ Συκιάς Κρεµαστά 227-282 m ΗΥΣ Κρεµαστών Σήραγγα Γλύστρας 160 MW Έξοδος Γλύστρας (550 m) 120 MW Έξοδος Συκιάς (396 m) 436 MW Πύλη 310-355 m Συνδετήρια σήραγγα Πύλης- Μουζακίου Μουζάκι 250-290 m 260 MW 270 MW ΗΥΣ Πευκοφύτου Σήραγγα εκτροπής Αχελώου ΗΥΣ Μουζακίου Έξοδος Μουζακίου (156 m) (ανάχωµα Μαυροµατίου ) Πορταϊκός Πάµισος ΗΥΣ Μαυροµατίου Έξοδος Μαυροµατίου (132 m) Σχηµατοποίηση του υδροσυστήµατος Αχελώου - Θεσσαλίας Καστράκι 142-144.2 m ΗΥΣ Καστρακίου 320 MW Στράτος 67-68.6 m ΗΥΣ Στράτου 156 MW Έξοδος Στράτου Αχελώος Ησχηµατοποίηση βοηθά: Στην κατανόηση της λειτουργίας του συστήµατος Στην οργάνωση των πληροφοριών Στην αναγνώριση των ουσιωδών στοιχείων Στην κατασκευή του µαθηµατικού µοντέλου Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 34

Υδρολογικές είσοδοι Ύψη απορροής λεκανών Ύψη καθαρής βροχής ταµιευτήρων Συνιστώσα προσοµοίωσης υναµική συστήµατος Χαρακτηριστικά συνιστωσών Εσωτερικοί (φυσικοί και λειτουργικοί) περιορισµοί Μη παραµετρικοί κανόνες λειτουργίας Παραµετρικοί κανόνες λειτουργίας Προσοµοιωµένες χρονοσειρές Όγκοι εισροών στους ταµιευτήρες Μεταβλητές κατάστασης ταµιευτήρων Όγκοι εκροών και αντλήσεων Ποσότητες ενέργειας Συνιστώσα αξιολόγησης - βελτιστοποίησης Κανόνες αξιολόγησης Τιµές µονάδας Αλγόριθµος βελτιστοποίησης είκτης επίδοσης Οικονοµικό όφελος ενέργειας Οικονοµικό όφελος αρδεύσεων Μικτό οικονοµικό όφελος Επιλογή τελικής λύσης Οικονοµικά κριτήρια Άλλα κριτήρια ιάταξη έργων Ταµιευτήρες υδροσυστήµατος και χωρητικότητές τους Αγωγοί διασύνδεσης και παροχετευτικότητές τους Σταθµοί παραγωγής και χαρακτηριστικά τους Παράµετροι συστήµατος Στόχοι παραγωγής πρωτεύουσας ενέργειας Στόχοι µεταφοράς νερού στους αγωγούς διασύνδεσης Εξωτερικοί περιορισµοί Ανεκτά επίπεδα αξιοπιστίας Μέσες διακινούµενες ποσότητες Μέσες αρδευτικές απολήψεις ιάρθρωση του συνολικού µαθηµατικού µοντέλου του υδροσυστήµατος Αχελώου- Θεσσαλίας Στόχος του µοντέλου: Επαναθεώρηση της Γενικής Διάταξης των Έργων Εκτροπής του Αχελώου προς τη Θεσσαλία (Ρυθµιστικοί όγκοι, υδροηλεκτρικοί σταθµοί) Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 35

Καταληκτικά σχόλια Το θεµέλιο της τεχνολογίας είναι τα µαθηµατικά Όσο πιο υψηλή είναι η τεχνολογία τόσο πιο βαθιά είναι τα µαθηµατικά της θεµέλια Στη διαχείριση των υδατικών πόρων έχουν ιδιαίτερη σηµασία τα µαθηµατικά της αβεβαιότητας Στα φυσικά συστήµατα η φυσική αβεβαιότητα και το ρίσκο δεν µπορεί να µειωθούν µπορεί όµως να ποσοτικοποιηθούν Η τεχνολογία, µε την κατασκευή έργων και τη λήψη τεκµηριωµένων αποφάσεων (βασισµένων σε µαθηµατικές µεθόδους), επιτρέπει τη µείωση όχι όµως την εξάλειψη της αβεβαιότητας και του ρίσκου Δ. Κουτσογιάννης, Μαθηµατικά εργαλεία στη διαχείριση των υδατικών πόρων 36

ΕΠΙΛΟΓΟΣ: Τα µαθηµατικά εργαλεία δεν είναι πανάκεια