Ανάλυση μετρήσεων εικονικού πειράματος. Τελική εργασία εργαστηρίου φυσικής ΙΙ. Βασικά στοιχεία εργασίας. Ονοματεπώνυμο φοιτητή : Ευστάθιος Χατζηκυριακίδης. Αριθμός μητρώου : Ημερομηνία εκτέλεσης : 03/06/2008-07/06/2008. Ημερομηνία παράδοσης : 09/06/2008. Ακαδημαϊκό εξάμηνο, έτος : Εαρινό, 2007-2008. Μέτρηση κατανομής ηλεκτρικού πεδίου. Εικόνα 1: Αναπαράσταση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Δευτέρα 18:00-20:00. Χατζηκυριακίδης Ευστάθιος. 1
1. Σκοπός της εργασίας. Σκοπός της εργασίας είναι η μέτρηση της κατανομής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, μπροστά από την χοάνη της κεραίας. 2. Θεωρητική εισαγωγή. Το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο το οποίο εκπέμπεται από μία πηγή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, όπως για παράδειγμα από την χοάνη ακτινοβολίας του ταλαντωτή Gunn ή από μία κεραία ενός πομπού τηλεόρασης ή ραδιοφώνου, παρουσιάζει μία ορισμένη κατανομή στο χώρο που εξαρτάται κυρίως από το είδος και την γεωμετρία της πηγής. Την κατανομή αυτή, φυσικά, την επηρεάζουν και διάφοροι εξωτερικοί παράγοντες. Τέτοιοι παράγοντες είναι για παράδειγμα ανακλάσεις από διάφορα εμπόδια όπως βουνά, απορρόφηση από Εικόνα 2: Συντεταγμένες ενός σημείου στο χώρο μπροστά από την κεραία. διαφορετικά στρώματα αέρα, σύννεφα, κλπ. Στην εργαστηριακή αυτή εργασία θα αγνοήσουμε τις επιρροές των διαφόρων εξωτερικών παραγόντων πάνω στο πεδίο προσπαθώντας να μειώσουμε όσο το δυνατόν την επίδρασή τους. Σύμφωνα λοιπόν και με το σχήμα 2, κάθε σημείο στο χώρο μπροστά από την κεραία μπορεί να περιγραφεί καθορίζοντας τις συντεταγμένες του. Στην τεχνολογία της κεραίας, υπάρχει μια σαφής διάκριση ανάμεσα στο κοντινό και στο μακρινό πεδίο. Το κοντινό πεδίο βρίσκεται στο χώρο που είναι γύρω από την κεραία και γενικά έχει μια περίπλοκη κατανομή του πεδίου. Το μακρινό πεδίο φτάνει σε μεγάλη απόσταση r από την κεραία και η κατανομή του είναι σχετικά απλή. Στο σχήμα 3 φαίνεται η κατανομή του ηλεκτρικού πεδίου που εκπέμπεται από μία απλή διπολική κεραία μισού μήκους κύματος (μια απλή κεραία που το μήκος της είναι το μισό του μήκους κύματος της ακτινοβολίας που εκπέμπει). Εικόνα 3: Ηλεκτρικό πεδίο ακτινοβολίας από κεραία. Δευτέρα 18:00-20:00. Χατζηκυριακίδης Ευστάθιος. 2
Το όριο (σύνορο) ανάμεσα στο κοντινό και το μακρινό πεδίο δεν είναι σαφώς ορισμένο. Δηλαδή δεν μπορούμε να πούμε ότι σε μια συγκεκριμένη απόσταση το κοντινό πεδίο σταματά, σαν να κόβεται με μαχαίρι, και αρχίζει το μακρινό πεδίο. Προφανώς υπάρχει μια σχετικά ομαλή μετάβαση από το ένα είδος πεδίου στο άλλο. Γενικά όμως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το μακρινό πεδίο αρχίζει από μία απόσταση r 0 από την πηγή και μετά, η οποία μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο: r 0 = 2D 2 H (σχέση 3.1) λ 0 όπου D H : στην περίπτωση της διπολικής κεραίας το μήκος της κεραίας ή για τον ταλαντωτή Gunn η μεγαλύτερη διάσταση της χοάνης ακτινοβολίας. όπου r 0 : απόσταση από την οποία αρχίζει το μακρινό πεδίο. Επίσης για το μακρινό πεδίο ισχύουν τα παρακάτω: Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι πάντοτε εφαπτόμενα στην επιφάνεια σφαίρας σταθερής ακτίνας r. Δηλαδή το πεδίο δεν έχει συνιστώσες κατά μήκος της διεύθυνσης r. Η πυκνότητα ισχύος S εξαρτάται από την απόσταση r και ελαττώνεται σύμφωνα με τη σχέση : S 1 r 2 (σχέση 3.2) Δευτέρα 18:00-20:00. Χατζηκυριακίδης Ευστάθιος. 3
3. Πειραματική διαδικασία. Στην εργασία αυτή μας δόθηκαν Ν=300 ζεύγη τιμών x i (Z [cm]) και y i (U REC [Volts]) (υποτιθέμενες πειραματικές τιμές). Σχεδιάσαμε την γραφική παράσταση y i συναρτήσει x i (κανονική κλίμακα) και επεξεργαστήκαμε τα δεδομένα μας με σκοπό να βρούμε τον συντελεστή γραμμικής συσχέτισης r. Αυτή η διαδικασία έγινε επίσης για την γραφική παράσταση ln (y i ) συναρτήσει x i (ημιλογαριθμική κλίμακα) και για την γραφική παράσταση ln (y i ) συναρτήσει ln (x i ) (λογαριθμική κλίμακα). Διαπιστώσαμε πως και στις τρεις περιπτώσεις η σχέση των x i και y i είναι αύξουσα. Αυτό φανερώνεται από τις γραφικές παραστάσεις και επίσης από την τιμή του συντελεστή γραμμικής συσχέτισης r που είναι θετική. Ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης r είναι ίσος με: r = x i x y i y i =1 x i x 2 1 όπου x= x i και y= 1 y i y 2 Παρατηρήσαμε συγκριτικά πως στην ημιλογαριθμική κλίμακα ο συντελεστής γραμμικής συσχέτισης r έχει την ποιο καλή τιμή, αφού είναι πάρα πολύ κοντά στο 1 με τιμή: 0,997932. Από την στιγμή που το r στην περίπτωση αυτή προσεγγίζει τόσο καλά το 1, αυτό σημαίνει πως τα δεδομένα μας (300 ζεύγη τιμών x i και y i ) συνδέονται καλά με μια γραμμική σχέση της μορφής: y i = αx i + β. Τέλος, υπολογίσαμε τα α, β και βρήκαμε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων: y i = 0.100312 x i 2,000201. Παρακάτω φανερώνεται ο τρόπος υπολογισμού: α= Ν x i y i x i 2 y i i =1 x i x i 2 = 300 42,35 4515 147,152499 300 90450,5 4515 2 0,100312 y i β= x i 2 y i i =1 x i 2 x i x i y i = x i 2 90450,5 147,152499 4515 42,35 2,000201 300 90450,5 4515 2 Δευτέρα 18:00-20:00. Χατζηκυριακίδης Ευστάθιος. 4
4. Πίνακες μετρήσεων και γραφικές παραστάσεις. Πίνακας τιμών, γραφική παράσταση y i συναρτήσει του x i με και χωρίς την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. xi yi Για συντελεστή γραμμικής συσχέτισης r. Z (cm) U REC (V) αx + β xi X yi Y (xi-x)(yi-y) (xi X)^2 (yi Y)^2 0,100000 0,148041 0,099482-14,950000-0,724831 10,836217 223,502500 0,525379 0,200000 0,134341 0,105282-14,850000-0,738531 10,967179 220,522500 0,545427 0,300000 0,126208 0,111082-14,750000-0,746664 11,013287 217,562500 0,557506 0,400000 0,151282 0,116882-14,650000-0,721590 10,571287 214,622500 0,520691 0,500000 0,135160 0,122682-14,550000-0,737712 10,733703 211,702500 0,544218 0,600000 0,155057 0,128481-14,450000-0,717815 10,372420 208,802500 0,515258 0,700000 0,133391 0,134281-14,350000-0,739481 10,611546 205,922500 0,546831 0,800000 0,144115 0,140081-14,250000-0,728757 10,384781 203,062500 0,531086 0,900000 0,155632 0,145881-14,150000-0,717240 10,148940 200,222500 0,514433 1,000000 0,138501 0,151681-14,050000-0,734371 10,317906 197,402500 0,539300 για α και β xi * yi xi^2 0,014804 0,010000 0,026868 0,040000 0,037862 0,090000 0,060513 0,160000 0,067580 0,250000 0,093034 0,360000 0,093374 0,490000 0,115292 0,640000 0,140069 0,810000 0,138501 1,000000 Σ (xi * yi) Σ (xi^2) 5668,934443 90450,500000 Ν 300 Μέσος Όρος X Y 15,050000 0,872872 Σxi Σyi Σαxi+b Σ(xi X) Σ(yi Y) Σ(xi-X)(yi-Y) Σ(xi X)^2 Σ(yi Y)^2 4515,000000 261,861463 289,966212 0,000000 0,000000 1727,919424 22499,750000 153,425798 r α β 0,930005 0,057998 0,093682 Δευτέρα 18:00-20:00. Χατζηκυριακίδης Ευστάθιος. 5
Πίνακας τιμών, γραφική παράσταση ln(y i ) συναρτήσει του x i με και χωρίς την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. xi yi Για συντελεστή γραμμικής συσχέτισης r. Z (cm) ln(u REC ) (V) αx + β xi X yi Y (xi-x)(yi-y) (xi X)^2 (yi Y)^2 0,100000-1,910266-1,990170-14,950000-1,419758 21,225377 223,502500 2,015712 0,200000-2,007374-1,980139-14,850000-1,516866 22,525454 220,522500 2,300881 0,300000-2,069824-1,970108-14,750000-1,579316 23,294905 217,562500 2,494238 0,400000-1,888610-1,960077-14,650000-1,398101 20,482184 214,622500 1,954687 0,500000-2,001296-1,950045-14,550000-1,510788 21,981961 211,702500 2,282479 0,600000-1,863962-1,940014-14,450000-1,373454 19,846413 208,802500 1,886376 0,700000-2,014471-1,929983-14,350000-1,523962 21,868859 205,922500 2,322461 0,800000-1,937144-1,919952-14,250000-1,446635 20,614554 203,062500 2,092754 0,900000-1,860261-1,909921-14,150000-1,369753 19,382001 200,222500 1,876222 1,000000-1,976878-1,899889-14,050000-1,486369 20,883490 197,402500 2,209294 για α και β xi * yi xi^2-0,191027 0,010000-0,401475 0,040000-0,620947 0,090000-0,755444 0,160000-1,000648 0,250000-1,118377 0,360000-1,410129 0,490000-1,549715 0,640000-1,674235 0,810000-1,976878 1,000000 Σ (xi * yi) Σ (xi^2) 42,345911 90450,500000 Ν 300 Μέσος Όρος X Y 15,050000-0,490508 Σxi Σyi Σαxi+b Σ(xi X) Σ(yi Y) Σ(xi-X)(yi-Y) Σ(xi X)^2 Σ(yi Y)^2 4515,000000-147,152499-147,152499 0,000000 0,000000 2256,991026 22499,750000 227,342349 r α β 0,997932 0,100312-2,000201 Δευτέρα 18:00-20:00. Χατζηκυριακίδης Ευστάθιος. 6
Πίνακας τιμών, γραφική παράσταση ln(y i ) συναρτήσει του ln(x i ). xi yi Για συντελεστή γραμμικής συσχέτισης r. ln (Z) (cm) ln(u REC ) (V) xi X yi Y (xi-x)(yi-y) (xi X)^2 (yi Y)^2-2,302585-1,910266-4,716353-1,419758 6,696078 22,243984 2,015712-1,609438-2,007374-4,023206-1,516866 6,102662 16,186184 2,300881-1,203973-2,069824-3,617741-1,579316 5,713554 13,088047 2,494238-0,916291-1,888610-3,330058-1,398101 4,655759 11,089289 1,954687-0,693147-2,001296-3,106915-1,510788 4,693889 9,652920 2,282479-0,510826-1,863962-2,924593-1,373454 4,016795 8,553246 1,886376-0,356675-2,014471-2,770443-1,523962 4,222050 7,675353 2,322461-0,223144-1,937144-2,636911-1,446635 3,814649 6,953301 2,092754-0,105361-1,860261-2,519128-1,369753 3,450583 6,346007 1,876222 0,000000-1,976878-2,413768-1,486369 3,587751 5,826275 2,209294 Ν 300 Μέσος Όρος X Y 2,413768-0,490508 Σxi Σyi Σ(xi X) Σ(yi Y) Σ(xi-X)(yi-Y) Σ(xi X)^2 Σ(yi Y)^2 724,130322-147,152499 0,000000 0,000000 221,401149 278,739036 227,342349 r 0,879510 Δευτέρα 18:00-20:00. Χατζηκυριακίδης Ευστάθιος. 7
5. Σχόλια - Συμπεράσματα. Μετά από τις μετρήσεις και τις τιμές που πήραμε, τις τοποθετήσαμε κατάλληλα στους παραπάνω πίνακες. Επίσης, στην συνέχεια, αφού υλοποιήσαμε τις ανάλογες πράξεις, καταλήξαμε στις γραφικές παραστάσεις που απεικονίζονται παραπάνω. Μας προέκυψαν έτσι όπως ακριβώς τις περιμέναμε, και ιδίως η γραφική παράσταση ln(y i ) συναρτήσει του x i (ημιλογαριθμική κλίμακα) με την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων y i = 0,100312 x i - 2,000201 η οποία περνά ακριβώς ανάμεσα από τις υποτιθέμενες πειραματικές τιμές. 6. Βιβλιογραφία. Σημειώσεις εργαστηρίου Φυσική ΙΙ (Χρήστος Λ. Βοζίκης). Σημειώσεις Πιθανότητες και Στατιστική (Αποστόλης Κουιρουκίδης). Η εικόνα στο εξώφυλλο της εργασίας πάρθηκε από το Διαδίκτυο. Δευτέρα 18:00-20:00. Χατζηκυριακίδης Ευστάθιος. 8
Κατάλογος Περιεχομένων. 1. Σκοπός της εργασίας......2 2. Θεωρητική εισαγωγή......2 3. Πειραματική διαδικασία......4 4. Πίνακες μετρήσεων και γραφικές παραστάσεις...5 Πίνακας τιμών, γραφική παράσταση yi συναρτήσει του xi...5 Πίνακας τιμών, γραφική παράσταση ln(yi) συναρτήσει του xi...6 Πίνακας τιμών, γραφική παράσταση ln(yi) συναρτήσει του ln(xi)...7 5. Σχόλια - Συμπεράσματα... 8 6. Βιβλιογραφία......8 Κατάλογος εικόνων. Εικόνα 1: Αναπαράσταση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος...1 Εικόνα 2: Συντεταγμένες ενός σημείου στο χώρο μπροστά από την κεραία...2 Εικόνα 3: Ηλεκτρικό πεδίο ακτινοβολίας από κεραία...2 Ευρετήριο λέξεων. α, β......4 συντελεστής γραμμικής συσχέτισης r...4 yi = αxi + β......4 Δευτέρα 18:00-20:00. Χατζηκυριακίδης Ευστάθιος. 9