ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να έχει ελάχιστο μεγαλύτερο του..ρίχνουμε συγχρόνως δύο αμερόληπτα ζάρια ένα άσπρο και ένα μπλε που το καθένα είναι αριθμημένο από το ένα έως το έξι. Αν α, β είναι αντίστοιχα οι ενδείξεις τους, να βρείτε την πιθανότητα, ώστε η εξίσωση x + α x + β = 0 να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.. Ρίχνουμε ένα όχι αμερόληπτο ζάρι. Συμβολίζουμε με ( κ ), κ 1,,,6 Ρ = K την πιθανότητα εμφάνισης της κ-έδρας. Αν οι αριθμοί Ρ ( 1 ), Ρ ( ), K, Ρ ( 6) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και οι αριθμοί Ρ ( ), Ρ ( 5 ), Ρ ( 6) είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α: η ένδειξη του ζαριού να είναι περιττός αριθμός και Β: η ένδειξη του ζαριού να είναι πολλαπλάσιο του. 4. Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια, ένα κίτρινο και ένα μαύρο. Το καθένα είναι αριθμημένο από το ένα έως το έξι. Οι ενδείξεις του κίτρινου ζαριού είναι οι τιμές της παραμέτρου κ, ενώ οι τιμές του μαύρου ζαριού είναι οι τιμές της παραμέτρου µ Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) η ευθεία κ x µ y 7 + = να περνάει από το σημείο Α (,1 ) β) η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x ) = ηµχ + συνχ να περνάει από το π κ σημείο Β, µ 5. Δίνεται ο ακέραιος αριθμός κ με κ [ 4, ] και η εξίσωση x ( ) Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να έχει: α) δύο πραγματικές ρίζες β) μία διπλή ρίζα πραγματική κ + κ x + κ = 0 6. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,, K,6}, που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα ενδεχόμενο α Ω,,, α α α α Γ α + 1,5 α α και θεωρούμε τα σημεία Α ( + ) Β ( + ) και ( ) Να βρείτε την πιθανότητα τα Α, Β και Γ να είναι συνευθειακά. Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου 1

2 7. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = { 0,1, K,5}, που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα ενδεχόμενο α Ω 4 f x = x α x + 6x + x + α Να βρείτε την και θεωρούμε την συνάρτηση ( ) πιθανότητα να ισχύει f ( x ) 0 για κάθε x 8. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,, K,8}, που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα απλό ενδεχόμενο α Ω Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση x 4x + α = 0, x να είναι αδύνατη στο 9.Έστω Ω = { 1,,,4,5,6,7,8,9 } ένας δειγματικός χώρος ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε ένα απλό ενδεχόμενο λ Ω Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση x 4x + λ = 0 να έχει πραγματικές ρίζες. 10.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,, K,6},που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα ενδεχόμενο α Ω και θεωρούμε τη f x = x x + α + 1 x + α 4α + Να βρείτε την πιθανότητα η συνάρτηση ( ) ( ) εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( 1, α α 1) διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Α + να 11. Σε ένα κουτί υπάρχουν 4 αριθμημένες σφαίρες με τους αριθμούς 1, 1,, αντιστοίχως. Επιλέγουμε δύο σφαίρες συγχρόνως, προσθέτουμε τις ενδείξεις και ονομάζουμε α το άθροισμά τους. Δεχόμαστε ότι ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση x + x + α = 0 να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. 1. Έστω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι Ω = { β β < 5} και αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα β Ω και 4 f x = x β x + x 5 Να βρείτε την πιθανότητα να θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ισχύει f ( x ) 0 > για κάθε x 1. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και X, Y ενδεχόμενά του τέτοια ώστε X Y Ρ X, Ρ Y είναι οι πιθανότητες των X, Y αντιστοίχως. Έστω ότι ( ) ( ) Αν οι πραγματικοί αριθμοί ( X ), ( Y ) συνάρτησης ( ) Ρ Ρ είναι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της f x = 4x 5x + x + 00, x R, να υπολογίσετε α) τις πιθανότητες Ρ ( X ), Ρ ( Y ) β) τις πιθανότητες Ρ ( X Y ), Ρ ( X Y ), Ρ ( Y X ) 14. Έστω Ω = { 1,,, K,10} είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου

3 Αν λ Ω, θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) και τα ενδεχόμενά του X, Y του Ω όπου 1 f x = x x + x + λ, x R Χ: Η μέγιστη τιμή της f στο [ 0,5 ],είναι μεγαλύτερη ή ίση του 68 Υ: Η ελάχιστη τιμή της f στο [ 0,5 ] είναι μικρότερη ή ίση του 4. Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ ( x ), Ρ ( Y ), Ρ ( X Y ), Ρ ( X Y ), Ρ ( Y X ) 15. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) f x x αx x = + + Από ένα κουτί που έχει τρεις αριθμημένες σφαίρες με τους αριθμούς 0,1, αντιστοίχως, επιλέγουμε τυχαία μία και την τοποθετούμε στη θέση του α. Να βρείτε την πιθανότητα η f να είναι γνήσια αύξουσα για κάθε x 16. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι συχνότητες των τιμών μίας μεταβλητής X Τιμές xi Συχνότητα ν i Αν η τυπική απόκλιση είναι s =,8, να βρείτε: α) τη μέση τιμή x των τιμών β) την πιθανότητα μία τυχαία τιμή της μεταβλητής να βρίσκεται στο διάστημα ( x s, x + s ) 17. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = { K ν },4,6,, ν * με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, που αν θεωρηθούν τιμές της μεταβλητής X έχουν μέση τιμή x = 9 α) Να βρείτε ποιος είναι ακριβώς ο δειγματικός χώρος Ω β) Να βρείτε τη διάμεσο και το εύρος της μεταβλητής X γ) Αν ( ) s η τυπική απόκλιση, να αποδείξετε ότι s = x + Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου

4 δ) Δίνονται τα ενδεχόμενα Α: ( «α Ω, ώστε α = πολ 4» και Β: «α Ω, ώστε β να x 6x + 8 ) είναι ρίζα της εξίσωσης ( x ) = 0» να βρείτε τις πιθανότητες x Ρ Α Β Ρ ( Α), Ρ ( Β), Ρ ( Α Β), Ρ ( Α Β ) και ( ) 18. Να υπολογίσετε το πλήθος ν των παρατηρήσεων x1 = In, x = In, 4 ν + 1 In004 x = In, K, xν = In, αν η μέση τιμή τους είναι x = ν ν 19. Σε μία ερώτηση απάντησαν ν φοιτητές σε χρόνους t1, t, L, t ν αντιστοίχως. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x ) = ( t ) ( ) 1 x + t x + L + ( tν x ) οποία παρουσιάζει ελάχιστο το f ( ) = 8 α) Να βρείτε τη μέση τιμή των t 1, t, L, β) Να αποδείξετε ότι f ( ) 0 = 4ν t ν με x, η γ) Να βρείτε το μικρότερο πλήθος ν ώστε το δείγμα t 1, t, L, t ν να είναι ομοιογενές δ) Αν ισχύει ν ti i = 1 = 48, να βρείτε το πλήθος ν των φοιτητών. 0. Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για τον αριθμό των αδελφών τους. Οι απαντήσεις που πήραμε είναι: 0, 1,,, 4, 5 Αν ν1, ν, ν, ν 4, ν5, ν 6 είναι οι αντίστοιχες συχνότητές τους και γνωρίζετε επίσης ότι: η πιθανότητα να έχουν πέντε αδέλφια είναι 0, 10 ο αριθμός ν αντιστοιχεί σε γωνία 7 ο σε κυκλικό διάγραμμα. ( x 4) ο αριθμός ν 4 ισούται με το lim x 4 x η διάμεσος και η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι,5 α) Να κάνετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων. β) Ποια η πιθανότητα αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή η οικογένειά του να έχει παιδιά. γ) Να βρείτε το συντελεστή μεταβλητότητας του παραπάνω δείγματος. 1.Έστω Α, Β δύο μη ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με μη Ρ Α, Ρ Β αντίστοιχα, για τις οποίες ισχύουν: μηδενικές πιθανότητες ( ) ( ) 1 1 Ρ ( Α Β) ( Β Α ) = & Ρ ( Α ) + Ρ ( Β ) =, 5 x + 1 x g x = Ρ Α Β α) Να ορίσετε τη συνάρτηση ( ) ( ) β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής τής Ρ ( Α Β ) ως προς x όταν x = 0 Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου 4

5 γ) Ποια η μέγιστη τιμή τής Ρ ( Α Β ) ; δ)να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ : «Πραγματοποιούνται Ρ Α Β ταυτόχρονα τα Α, Β ή δεν πραγματοποιείται κανένα απ αυτά», όταν η ( ) παίρνει τη μέγιστη τιμή της.. Ο παρακάτω πίνακας δίνει ορισμένα από τα αποτελέσματα πρόσφατης έρευνας που έγινε σε δείγμα ελληνικών νοικοκυριών, σχετική με το ύψος οφειλών αυτών (σε ευρώ) για καταναλωτικά δάνεια. Οφειλές σε ευρώ ( ) κλάσεις (-) Σύνολο ν i f i % Αν ισχύουν: i. το πλήθος των νοικοκυριών που οφείλουν μέχρι αντιστοιχεί στο κυκλικό διάγραμμα σε κυκλικό τομέα γωνίας 6 ο. ii. Η συχνότητα ν 5 είναι ίση με τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης f με τύπο ( ) ( x ) f x =, x f 0 και x e iii. το 5% των νοικοκυριών οφείλει τουλάχιστον 1.000, τότε: α) Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. β) Να βρείτε τη διάμεσο των οφειλών. γ) Ποιο το ποσοστό των νοικοκυριών που οφείλουν τουλάχιστον αλλά το πολύ ;. Τα ημερήσια έξοδα 10 μαθητών σε ευρώ ( ) είναι: x 10, 50 1 x, x, 7 x, 45 x, 0, x, x 7, 0 x και x, µε x, α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x για τον οποίο η μέση τιμή των εξόδων των μαθητών γίνεται ελάχιστη. β) Για x = να υπολογίσετε: i. τη μέση τιμή των εξόδων Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου 5

6 ii. τη διάμεσο τιμή των εξόδων iii. την τυπική απόκλιση των εξόδων iv. τη μεταβολή του συντελεστή μεταβλητότητας των ημερήσιων εξόδων των μαθητών αν αυτά αυξηθούν κατά 10%. 4. Η μέση τιμή του δείγματος 7,, x, 5, 8, y, 1, ω,, είναι Χ = 4, όπου x, y, ω διαφορετικοί ανά δύο. i. Αν x, y, ω διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, δείξτε ότι y = 4 και x + ω = 8 ii. Αν ω = x να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 5. Έστω Ω = { 1,,, L ν } ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, που αποτελείται από ν ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, όπου ν η λύση της εξίσωσης ν = Έστω επίσης Α Ω ένα ενδεχόμενο που περιέχει τις τιμές του ( ) λ ώστε η εξίσωση x x λ = να είναι αδύνατη στο Βρείτε την Ρ ( Α) 6. Οι ημέρες απουσίας 6 μαθητών της Γ τάξης ενός Λυκείου κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους ήταν: f x x x x ( 1 ), α,, β, 6, β όπου: f ( x ) = e, α = lim και β ο συντελεστής x x διεύθυνσης της εφαπτομένης g x = x 4x + 8x + 5 στο σημείο (, g ( ) ) g με ( ) Α Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 7. Σε κάποια σχολική τάξη πήραμε ένα δείγμα μαθητών και το εξετάσαμε ως προς το βάρος τους. Διαπιστώσαμε ότι το βάρος τους κυμαίνεται από 45 kg έως 75 kg, και η κατανομή των βαρών τους είναι περίπου κανονική. Α. Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και το εύρος του δείγματος. Β. Να βρείτε τη διασπορά των βαρών τους. Γ. Να εξετάσετε εάν το δείγμα είναι ομοιογενές. Δ. Αν το άθροισμα όλων των βαρών είναι 1800 kg, να βρείτε το μέγεθος του δείγματος. Ε. Αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα το βάρος του να είναι μεταξύ 50 kg και 60 kg; Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου 6

7 X 8. Δίδεται η συνάρτηση f ( x ) = x S x + 1 όπου Χ και S η μέση τιμή και τυπική απόκλιση αντίστοιχα ενός δείγματος με Χ f 0 Α. Εάν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α ( 1,1 ) υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής δείγμα είναι ομοιογενές., να V δείγματος, και να εξετάσετε αν το Β. Να βρείτε τα τυχόν ακρότατα της συνάρτησης f στο σύνολο lim f x = 1 να υπολογίσετε τη μέση τιμή x S Χ και την τυπική απόκλιση S του δείγματος. Γ. Εάν είναι γνωστό ότι ( ) Δ. Να βρείτε το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που περιέχονται στο διάστημα ( 1,5 ) εάν υποθέσουμε ότι η καμπύλη κατανομής του δείγματος είναι περίπου κανονική, καθώς και το εύρος των τιμών του δείγματος. 9.Έστω οι συναρτήσεις, ( ) g Χ = Χ Χ + Χ + 005, Χ f g με f ( x ) = 0 Χ 0 Χ Χ και Α. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Χi Vi f % i f i ΧiVi Νi κ ω 0, 4 0,16 ΣΥΝΟΛΟ Β. Να βρείτε τη διάμεσο και τη μέση τιμή. 0. Έστω Ω = { 1,,, 4,5,6,7,8 } δειγματικός χώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Εκλέγουμε τυχαία ένα απλό ενδεχόμενο λ Ω Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με: 7 f ( x ) = 4x λx + λ x λ, x και g συνεχής στο x = 0 με 5g ( 0) = lim g ( x ) Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α: «Η C f έχει στο σημείο της x 0 ( 1, f ( 1) ) Ρ ( 1 ) ( 0) ( ) 7 Κ εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία «η»: ψ + = 0» και Β: με g Ρ Α Β = Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα ενδεχόμενα Α και Β. Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου 7

8 1. Μελετήσαμε ένα δείγμα 800 οικογενειών ως προς το πλήθος των παιδιών της οικογένειας. Μερικά από τα αποτελέσματα φαίνονται στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα. Α. Να συμπληρώσετε τον πίνακα που ακολουθεί στην επόμενη σελίδα. παιδιά 0 1 παιδί παιδιά 7 ο Β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. Γ. Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια. παιδιά 50% Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i. «Η οικογένεια έχει τουλάχιστον δύο παιδιά» ii. «Η οικογένεια έχει το πολύ δύο παιδιά» Δ. Επιλέγουμε τυχαία ένα παιδί από τις οικογένειες του δείγματος. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i. «Το παιδί έχει έναν μόνον αδελφό» ii. «Το παιδί έχει τουλάχιστον έναν αδελφό» iii. «Το παιδί έχει το πολύ έναν αδελφό» Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. ΑΡΙΘΜ ΌΣ ΠΑΙΔΙΏ Ν ΠΛΉΘΟΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙ ΏΝ ΣΧΕΤΙΚΉ ΣΥΧΝΌΤΗ ΤΑ t 1 ΕΠΊΚΕΝΤ ΡΗ ΓΩΝΊΑ α 1 ΑΘΡΟΙΣΤΙ ΚΉ ΣΥΧΝΌΤΗ ΤΑ Ν i ΣΧΕΤΙΚΉ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚ Ή ΣΥΧΝΌΤΗΤ Α % F i ο 0, Σύνολο 800 1,00 60 ο - -. Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ( + ) f x lnx ln x 1, x f 0 Α. Να αποδείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα. Β. Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της f η εφαπτομένη έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 ; Γ. Θεωρούμε πείραμα τύχης, με δειγματικό χώρο { ν } ακέραιο. Αν για κάθε κ Ω ισχύει 9 ( x ) f ( κ ) Ω =,,4, K,, με ν θετικό Ρ = να αποδείξετε ότι ν = 10 Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου 8

9 . ν τηλεθεατές δήλωσαν την προτίμησή τους σε ένα μόνον από κ προγράμματα, τα α1, α, L α κ με ν Από τις μετρήσεις προέκυψε ότι για τα ποσοστά προτίμησης f ( α i ) των α i είναι: f ( α ) = και ( i ) 400 % 1 f α λ 1 i = g, i 1,, = L κ με λ σταθερό αριθμό. 1 α) Να αποδείξετε ότι: λ = και κ = 5 1 β) Επιλέγουμε έναν τηλεθεατή στην τύχη. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α.: «Προτίμησε το πρόγραμμα α 4». Β.: «Προτίμησε 1 από τα πιο δημοφιλή προγράμματα». Γ.: «Προτίμησε κάποιο εκτός από το α 1». γ) Αν το α 4 προτιμήθηκε από 160 άτομα, να βρείτε το ν δ) Να γίνει το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων της κατανομής ( αi, f ( αi ) ) 4. Δίνεται η συνάρτηση: g ( x ) 5 x, 0 x p x + 8, x p 4 = 1, 4 x p 6 x + 0, 6 x 10 που η γραφική της παράσταση είναι το πολύγωνο συχνοτήτων της βαθμολογίας στην ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ μιας ομάδας φοιτητών του ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ, ομαδοποιημένη σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους. α) Να υπολογίσετε το μέγεθος του δείγματος καθώς και την μέση τιμή Χ της βαθμολογίας των φοιτητών. β) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν φοιτητή, ποια η πιθανότητα να έχει γράψει βαθμό τουλάχιστον 4,5. γ) Αν ο καθηγητής αυξήσει τη βαθμολογία κάθε φοιτητή κατά 0,0 μονάδες, να βρείτε το ποσοστό των φοιτητών που θα περάσουν το μάθημα λόγω της αύξησης αυτής. δ) Αν η τυπική απόκλιση της αρχικής βαθμολογίας είναι S =, να ελέγξετε αν ο καθηγητής μπορεί να κάνει το δείγμα ομοιογενές αυξάνοντας την βαθμολογία κάθε φοιτητή (Βάση βαθμολογίας: 5 μονάδες). Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου 9

10 5. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Α, Β, Α Β και Ρ η συνάρτηση πιθανότητας που ορίζεται στον χώρο Ω. Δίνεται ακόμη η f x = Ρ Α Β x Ρ Α Β x + 1, x που συνάρτηση f με τύπο ( ) ( ) ( ) παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο x 0 = και f ( x ) 0 για κάθε x α) Να εξετάσετε αν Α Β β) Να δείξετε ότι Ρ ( Α Β) gρ ( Β) γ) Ποιος ο CV του δείγματος των τιμών t 1, t, L t κ της μεταβλητής Τ με μέση τιμή t = 0g Ρ ( Β) και τυπική απόκλιση S = 1 gρ ( Α Β). Είναι ομοιογενές το δείγμα των παραπάνω τιμών; 6. Δίδεται η συνάρτηση f με τύπο ( ) τιμές από το σύνολο S = { 1,,, 4} αx f x = β x + με α, β να παίρνουν α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη x 0 = 1 β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: i. Α: «η εφαπτομένη να σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία π» 4 ii. Β: «η εφαπτομένη να διέρχεται από το σημείο,» iii. Γ: «πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α, Β» γ) Αν τα ενδεχόμενα Α, Β πραγματοποιούνται συγχρόνως, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 7. Έστω 5, α,7,8, β, ( α β ) p οι τιμές μιας μεταβλητής Χ α) Αν η μέση τιμή και ο συντελεστής μεταβολής των τιμών της Χ είναι x = 5 και 6 V = αντίστοιχα, να υπολογίσετε: i. τις τιμές α, β 5 ii. τη διάμεσο δ των παραπάνω τιμών της μεταβλητής Χ β) Αν επιπλέον { 5, α,7,8, β } f ( x ) x x, x, Ω = και f συνάρτηση με τύπο = + κ κ κ Ω, να βρείτε την πιθανότητα ώστε η f να έχει ένα, τουλάχιστον, ακρότατο το οποίο βρίσκεται στον άξονα x x Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου 10

11 8. Οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ομαδοποιήθηκαν σε 5 ισοπλατείς κλάσεις και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας. ΚΛΆΣΕΙΣ [ ) ν i fi Ν i F i % [, ) [ 7,11 ) 1 0, [, ) 8 [, ) 90 [, ) Σύνολο - - Αν η πιθανότητα να ανήκει στην 1 η κλάση μια από τις παραπάνω τιμές την 1 οποία παίρνουμε στην τύχη είναι Ρ =, τότε: 4 α) Να συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα και να βρείτε το ποσοστό των τιμών που βρίσκονται στο διάστημα 9 έως 18. β) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διακύμανση των παραπάνω τιμών της μεταβλητής Χ γ) i) Να εξετάσετε αν οι παραπάνω τιμές αποτελούν ομοιογενές δείγμα. ii) Αν στην κάθε μια από τις παραπάνω τιμές προσθέσουμε 41,4 μονάδες, τότε το νέο δείγμα είναι ομοιογενές: Δίνεται: 7,84 5,8 Καραγιάννης Ιωάννης-Σχολικός Σύμβουλος ΜαθηματικώνΝ. Δωδεκανήσου 11