Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο

Transcript

1 Ασκήσεις στις συναρτήσεις, όρια και παράγωγο Σπύρος Γλένης, Μαθηματικός Εάν α) 0,, β) να βρείτε τα παρακάτω: t,,, Να βρείτε το ( h) ( ) για τις παρακάτω συναρτήσεις: h i) ii) iii), ρητός 0, άρρητος Δίνονται οι συναρτήσεις και g Να υπολογίσετε τα παρακάτω: g α) 0 g 0 β) στ) ε) e 0, g g Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: i) ii) g γ) iv) g,, δ) ( ) g( ) iii) h ln iv) t v) ln( ) vi) q ln 5 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) 5 α) Να βρείτε τα, ώστε τα σημεία (,5) και (,0) να ανήκουν στη C β) Να παραγοντοποιήσετε την σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων γ) Να βρείτε για ποια η C βρίσκεται πάνω από τον άξονα

2 6 Αν η είναι συνάρτηση τέτοια ώστε α) να υπολογίσετε το ( ) () τότε: β) να βρείτε το σημείο της C με τεταγμένη γ) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία Α(,()), B(,()) 7 Σύρμα μήκους μ κόβεται σε δυο κομμάτια μήκους και Το πρώτο κάμπτεται σε σχήμα κύκλου και το δεύτερο σε σχήμα τετραγώνου Να βρεθεί: α) Το άθροισμα των περιμέτρων ως συνάρτηση του β) Το άθροισμα των εμβαδών ως συνάρτηση του 8 Δυο δωμάτια συνδέονται με μια πόρτα Επειδή το ένα έχει θέρμανση ενώ το άλλο όχι όταν η πόρτα που τα συνδέει μείνει ανοικτή, για χρόνο t min η θερμοκρασία τους σε βαθμούς Κελσίου, δίνεται από τις συναρτήσεις, g με τύπους: t ( t) 5- t και g( t) α) Ποια από τις δυο συναρτήσεις περιγράφει τη μεταβολή της θερμοκρασίας του δωματίου χωρίς θέρμανση; β) Ποια η αρχική θερμοκρασία των δωματίων; γ) Πότε τα δωμάτια θα έχουν την ίδια θερμοκρασία; δ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των, g ε) Ποια η θερμοκρασία των δωματίων μετά από 0 min; Τι παρατηρείτε; Ποιο πρέπει να είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων; 9 Αν, g, h lim 0 g, lim 0 h, lim 0 0, 0 009, 0 να υπολογίσετε τα όρια 0 Δίνεται η συνάρτηση α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να υπολογίσετε το lim ( ) Δίνεται η ()= α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να υπολογίσετε το lim ( )

3 a, 0 Δίνεται η ()= Να βρείτε το a ώστε η να είναι a, 0 συνεχής στο o 0 Δίνεται συνάρτηση με την ιδιότητα ( ) ( ) για κάθε 0 α) Να βρείτε τον τύπο της για και να υπολογίσετε το β) Αν η είναι συνεχής στο o να υπολογίσετε το Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της όταν: α εφάπτεται στη γραφική παράσταση της στο M, β όταν διέρχεται από την αρχή των αξόνων γ όταν είναι παράλληλη στην ευθεία y δ όταν σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία 5 Αν οι συναρτήσεις, g και h είναι παραγωγίσιμες στο και, g h g h 6 να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της F g h στο σημείο με τετμημένη 6 Αν P αποδείξτε ότι 7 α Αν 0 και η P P είναι παραγωγίσιμη στο να αποδείξετε ότι β Να υπολογίσετε τις παραγώγους,, 8 Αποδείξτε ότι για την ισχύει ότι ( ) ( ) 9 Αν η συνάρτηση είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο και ισχύει ότι να υπολογίσετε το F για την F

4 0 Να «αποσυνθέσετε» τις επόμενες συναρτήσεις σε απλούστερες: ( ) g e, e, d π, h, t( ) ( ), ln ln Να βρείτε την παράγωγο των e ln και g 5e Αν ( ) για κάθε 0, να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 0 για κάθε 0, Δίνεται η συνάρτηση g g e όπου υπολογίσετε τα g0 και 0 Δίνεται η συνάρτηση α) Να αποδείξετε ότι 0 g Να β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο Α (0,) γ) Να βρείτε τα για τα οποία ισχύει η σχέση: λ = 5 Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση ισχύει ( ) ( ) για κάθε, τότε να υπολογίσετε τα και e 6 Δίνονται οι συναρτήσεις και e α Να βρείτε τη συνάρτηση g β Να βρείτε τη συνάρτηση g 7 Γνωρίζουμε ότι α) Να αποδείξετε ότι k ( ) k k β) Να υπολογίσετε το e e g για κάθε και γ) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της C στο Α(,())

5 8 Η θέση Μ(,y) ενός σημείου τη χρονική στιγμή t δίνεται από τις t, y t 9 α) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης και της τεταγμένης y στις χρονικές στιγμές t 0, t β) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης ΟΜ όταν t 0, t 9 Να βρείτε τα, ώστε η ( ) 5 ώστε 0 0 Κατόπιν να μελετήσετε την μονοτονία της 0 και 0 Να βρείτε τα, ώστε η ( ) να δέχεται στο σημείο Α(,()) εφαπτομένη την y και κατόπιν να βρείτε τα ακρότατα της Αν η συνάρτηση η ( ) ln εφάπτεται του στο τότε: α) Να βρείτε τις τιμές των, β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της Μια ώρα μετά τη λήψη mgr ενός αντιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρασίας ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση T, 0 α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας ως προς β) Για ποια δόση ο ρυθμός μεταβολής γίνεται μέγιστος; Ένας τενεκές έχει σχήμα ορθογώνιο παραλληλεπίδο Ο τενεκές είναι ανοικτός από πάνω ενώ η βάση του είναι τετράγωνο πλευράς cm Αν ο όγκος του τενεκέ είναι, 5 lt τότε: α) αποδείξτε ότι η επιφάνειά του είναι E, 0 β) Να βρεθούν οι διαστάσεις του τενεκέ οι οποίες ελαχιστοποιούν το κόστος κατασκευής του από φύλλο αλουμινίου Η τιμή σε μιας μετοχής t μήνες από σήμερα και για το επόμενο εξάμηνο εκτιμάμε ότι δίνεται από τη συνάρτηση α) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της pt ; p t 0, t 0, 9t, 5t c β) Να βρείτε πότε πρέπει ν αγοράσουμε και πότε να πουλήσουμε ώστε να μεγιστοποιήσουμε τα κέρδη καθώς και ποιο είναι το μέγιστο κέρδος ανά μετοχή o 5