Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συμπληρώνει σωστά Α1. Ένα μολύβι βρίσκεται ακίνητο πάνω σε ένα λείο τραπέζι. Αν ασκήσουμε δύναμη στο κέντρο μάζας του, το μολύβι: α) εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση β) εκτελεί μόνο περιστροφική κίνηση γ) εκτελεί σύνθετη κίνηση δ) παραμένει ακίνητο Α2. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος: α) εξαρτάται από το σχήμα του στερεού και όχι από τη μάζα του β) είναι σταθερή και ανεξάρτητη από τον άξονα περιστροφής του στερεού γ) εξαρτάται από τη μάζα του στερεού, την κατανομή της γύρω από τον άξονα περιστροφής και από τον άξονα περιστροφής δ) εξαρτάται από το είδος της κίνησης που εκτελεί το στερεό Α3. Η σχέση που δίνει τη ροπή αδράνειας ενός σφαιρικού φλοιού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι: α) 2 ΜR β) 2 3 3 ΜR2 γ) 2 3 Μ2 R 2 δ) 2 3 Μ2 R Α4. Όταν οι ακροβάτες θέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα, συμπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους. Με αυτό τον τρόπο: α) αυξάνουν την στροφορμή τους άρα αυξάνουν την γωνιακή ταχύτητά τους β) μειώνουν την στροφορμή τους άρα αυξάνουν την γωνιακή τους ταχύτητα γ) μειώνουν την ροπή αδράνειάς τους και επειδή η στροφορμή τους παραμένει σταθερή αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητά τους δ) πετυχαίνουν μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση λόγω του βάρους τους Α5. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. α) Η ροπή αδράνειας είναι το μέγεθος που εκφράζει την δυνατότητα περιστροφής ενός σώματος β) Η δύναμη του βάρους δεν δημιουργεί ποτέ ροπή γ) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός σώματος είναι ίσος με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δέχεται δ) Τα στοιχειώδη σωμάτια όπως το ηλεκτρόνιο έχουν σπίν μέτρου 0,53 10-34 Ν m 2 /s 2 1
ε) Το θεώρημα Steiner συσχετίζει τη ροπή αδράνειας του στερεού ως προς δύο οποιουσδήποτε παράλληλους άξονες περιστροφής Θέμα Β Β1. Ο ομογενής δίσκος ακτίνας R και μάζας M του σχήματος (α) μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και περνά από το κέντρο του. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι 2 MR2 και επιπλέον γνωρίζουμε ότι η μάζα ενός τμήματος του δίσκου είναι ανάλογη της επιφάνειας που καλύπτει. 1 Αφαιρούμε από το δίσκο ένα κυκλικό τμήμα ακτίνας r=r/2 όπως φαίνεται στο σχήμα (β). Αν γνωρίζετε ότι η μάζα του δίσκου που αφαιρέσαμε είναι m=m/4, η ροπή αδράνειας του δακτυλίου που σχηματίστηκε είναι: α) 3 8 MR2 β) 7 16 MR2 γ) 15 32 MR2 Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Β2. Στο σχήμα φαίνεται μια διπλή τροχαλία, η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και δύο μικρά σώματα Σ 1 και Σ 2, τα οποία αναρτώνται από τη διπλή τροχαλία. Για να ισορροπεί το σύστημα πρέπει α) το Σ 1 να έχει μεγαλύτερη μάζα β) το Σ 2 να έχει μεγαλύτερη μάζα γ) τα δύο σώματα να έχουν ίσες μάζες 2
Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας B3. Ένας κύβος και ένας δίσκος έχουν ίδια μάζα και αφήνονται από το ίδιο ύψος να κινηθούν κατά μήκος δύο κεκλιμένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές και φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου με ταχύτητα. Ο δίσκος κυλιέται χωρίς να ολισθαίνει και φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου με ταχύτητα υ 2. Αν η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι 1 2 ΜR2 τότε ο λόγος των ταχυτήτων των δύο σωμάτων είναι: α) υ 2 = 1 β) υ 2 = 4 3 Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας γ) υ 2 = 2 3 Γ Θέμα Η ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μάζα M=4kg και μήκος L=2m. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια άρθρωσης στο άκρο Ο και νήματος που είναι δεμένο στο άκρο Α και σχηματίζει γωνία 30 με τη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από ένα σημείο Γ της ράβδου έχει δεθεί μέσω αβαρούς σχοινιού ένας κύλινδρος μάζας m=12kg και ακτίνας R=0,1m. Ο κύλινδρος ελευθερώνεται και κατέρχεται διαγράφοντας κατακόρυφη τροχιά, χωρίς ποτέ το σχοινί να γλιστρά. Καθώς το γιο-γιο κατέρχεται το νήμα ΑΒ ασκεί στη ράβδο δύναμη μέτρου T=100N. Να βρείτε: Γ1. το μέτρο της επιτάχυνσης α cm του κέντρου μάζας K του κυλίνδρου Γ2. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον ελεύθερο άξονα περιστροφής του, που περνά από το κέντρο του Κ. Γ3. την απόσταση (ΟΓ) Γ4. Την χρονική στιγμή t=0,3s κόβουμε το νήμα που ενώνει τον κύλινδρο με τη ράβδο. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου λόγω περιστροφής οποιαδήποτε χρονική στιγμή μετά τη στιγμή που κόψαμε το νήμα 3
(Μονάδες 7) Δίνονται: Η ροπή αδράνειας του γιο-γιο ως προς τον ελεύθερο άξονα περιστροφής του I cm = 1 2 mr2, g=10m s -2. Θέμα Δ Η κατακόρυφη τροχαλία του σχήματος, μάζας m=3kg και ακτίνας r=0,1m, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος σε αυτήν. Στο αυλάκι της τροχαλίας περνά νήμα που από το ένα άκρο του κρέμεται σώμα Σ 2 μάζας m 2 =2kg και στο άλλο άκρο του είναι δεμένος ένας κατακόρυφος τροχός Σ 1 που έχει μάζα Μ=4kg και ακτίνα R=0,2m. Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F ώστε το σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να παραμείνει ακίνητο. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξάνουμε τη δύναμη ακαριαία έτσι ώστε να γίνει F=80N. Δ2. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος Σ 2. (Μονάδες 7) Για τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ 2 έχει ανέλθει κατά h=2m, να υπολογίσετε: Δ3.Το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της. Δ4. Τη μετατόπιση του τροχού από την αρχική του θέση. Δ5. Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του τροχού Σ 1 κατά τη μετατόπιση του σώματος Σ 2 κατά h. Δίνονται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s 2, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της I = 1 2 mr2 και του σώματος Σ 1 ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι 1 = 1 2 ΜR2. 4
Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Το νήμα είναι αβαρές. Ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση. 5