ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ 4 ΘΕΜΑ 1ο Α. ς υποθέσουµε ότι 1,,, k είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν, όπου k,ν µη µηδενικοί φυσικοί αριθµοί µε k ν. α. Τι ονοµάζεται απόλυτη συχνότητα ν i, που αντιστοιχεί στην τιµή i, i 1,,,k; β. Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα f i της τιµής i, i 1,,,k; γ. Να αποδείξετε ότι: i f i 1 για i 1,,,k Μονάδες Μονάδες ii f 1 f f k 1. Μονάδες 4 Β.1. Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ Α Β ΡΑ ΡΒ. Μονάδες 8 Β.. α. Να δώσετε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας ενός ενδεχοµένου Α κάποιου δειγµατικού χώρου Ω. β. Να δώσετε τις αριθµητικές τιµές των παρακάτω πιθανοτήτων: i Ω ii Ρ. Μονάδες 5 Μονάδες ΘΕΜΑ ο ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ίνεται η συνάρτηση f 1. α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. Μονάδες 4 β. Να υπολογίσετε το όριο lim f. Μονάδες 4 γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. Μονάδες 7 δ. Να βρεθούν οι εφαπτόµενες της καµπύλης της συνάρτησης f που είναι παράλληλες στην ευθεία y 5. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ ο Ένα προϊόν πωλείται σε 1 διαφορετικά καταστήµατα στις παρακάτω τιµές, σε Ευρώ: 8, 1, 1, 1, 15, 16, 18, 14, 14, 9. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο και την επικρατούσα τιµή. Μονάδες 6 β. Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή µεταβολής. Μονάδες 6 γ. Αν οι τιµές του προϊόντος σε όλα τα καταστήµατα υποστούν έκπτωση 1%, να εξετάσετε αν θα µεταβληθεί ο συντελεστής µεταβολής. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 4ο Έστω Α,Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε ΡΑ ΡΒ ΡΑ Β. ίνεται ακόµα η συνάρτηση: f - - -, R. α. Να δείξετε ότι. Μονάδες 5 β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει µέγιστο στο σηµείο. Μονάδες 1 γ. Εάν τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να δείξετε ότι f f. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ Ο ΗΓΙΕΣ για τους εξεταζόµενους 1. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα. Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο. Τα σχήµατα που θα χρησιµοποιήσετε στο τετράδιο µπορούν να γίνουν και µε µολύβι.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. Καµιά άλλη σηµείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε λύση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μια 1 ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 65 Β.1. Σχολικό Βιβλίο σελ. 15 Β.. α. Σχολικό Βιβλίο σελ. 148 β. Σχολικό Βιβλίο σελ. 149 ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει 1-1 Άρα Α R { -1 } β. lim 1 1 6 4 1 1 1 γ. f 1 1 1 δ. Πρέπει f 1 1 1 1 1! f 1 f Άρα η ευθεία διέρχεται από το σηµείο Ο,. Εποµένως ε 1 : y.
! f f 4 1 Άρα η ευθεία διέρχεται από το Κ-, 4. Είναι ε : y β. Επειδή διέρχεται από το σηµείο Κ θα ισχύει: 4. - β β 8 Εποµένως ε : y 8 ΘΕΜΑ ο 8 1 1 1 15 16 18 14 14 9 1 α. 1 1 1 8, 9, 1, 1, 1, 14, 14, 15, 16, 18 Επειδή ν 1 άρτιος διάµεσος θα είναι: η η 5 παρ. 6 παρ. 1 14 δ άρα δ 1, 5 Μ 1, Μ 14 δικόρυφη β. R 18 8 1 8 1 9 1 1 1 1 1 14 1 1 15 1 16 1 18 1 S 5 16 9 4 9 5 9 9 1 1 S 9 S CV, ή περίπου % 1 γ. Αν i οι τιµές πριν την έκπτωση, y i µετά την έκπτωση, θα ισχύει: y i i,1 i,9 i, i 1,,, 1 Σύµφωνα µε γνωστή εφαρµογή θα ισχύουν: y S, 9 ψ,9 S, 9 S
Άρα CV S y S CV Ψ Ψ,9,9 οπότε ο συντελεστής µεταβολής δεν µεταβάλλεται. ΘΕΜΑ 4 ο α. ΡΑ ΡΒ ΡΑΒ 1 Από προσθετικό νόµο πιθανοτήτων έχουµε: ΡΑΒ ΡΑ ΡΒ ΡΑΒ ΡΑ ΡΒ ΡΑΒ ΡΑΒ Οπότε από σχέση 1 ΡΑΒΡΑΒ ΡΑΒ ΡΑΒ ΡΑΒ β. f, R Η f παραγωγίσιµη στο R µε f [ ] f Επειδή ΑΒ ΑΒ έχουµε ΡΑΒ ΡΑΒ. Όµως από ερώτηµα α ΡΑΒ ΡΑΒ άρα ΡΑΒ < ΡΑΒ > > f... < < f f - Ma -
Άρα η f παρουσιάζει µέγιστο στο γ. Τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, άρα: ΡΑΒ ΡΑ ΡΒ και ΡΑΒ f - f - Άρα f f Επιµέλεια Θεµάτων: Νίκος ακουτρός, Τάκης ρούτσας, ιαµαντής Νικολάου, ηµήτρης Χατζόπουλος, Χρήστος Χρηστίδης, Πέτρος Κουνούκλας Μαθηµατικοί