ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

Transcript

1 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3) Α. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι (f() g()) f () g (), για κάθε. Μονάδες 7 Α. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0 A ; Μονάδες 4 Α3. Αν ομαδοποιήσουμε τις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής σε κλάσεις, τι ονομάζουμε πλάτος μιας κλάσης; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f: και g: παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε ισχύει (f(g())) f (g()) g (), για κάθε. β) Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,, με ισχύει f( ) f( ). γ) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών δεδομένων. δ) Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου ισχύει ότι P(A B) P(A) P(B) P(A B). ε) Το γραμμοσκιασμένο χωρίο στο διπλανό σχήμα αντιστοιχεί στο ενδεχόμενο B A. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές i και οι αντίστοιχες συχνότητες v i που προέκυψαν από παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ. i v i Β. Για τις παρατηρήσεις αυτές να υπολογιστούν : α. η μέση τιμή (μονάδες 6) β. η διάμεσος δ (μονάδες 5) γ. η διακύμανση s. (μονάδες 7) Μονάδες 8 Β. Να εξετάσετε αν το δείγμα των παραπάνω παρατηρήσεων είναι ομοιογενές. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(),. Γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(,f()). Μονάδες 7 Γ3. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία (ε) του ερωτήματος Γ τέμνει τους άξονες και y y. Μονάδες 4 f() Γ4. Να υπολογίσετε το όριο lim. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Ένα κουτί έχει τρεις μπάλες, μία άσπρη, μία μαύρη και μία κόκκινη. Κάνουμε το εξής πείραμα: παίρνουμε από το κουτί μια μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία άλλη μια φορά. Δ. Να κατασκευάσετε το δενδροδιάγραμμα που περιγράφει το παραπάνω πείραμα (μονάδες 3) και να γράψετε τον δειγματικό χώρο του πειράματος. (μονάδες ) Μονάδες 5 Δ. Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: A : «η δεύτερη μπάλα που θα εξαχθεί να είναι μαύρη» B : «να εξαχθούν δυο μπάλες διαφορετικού χρώματος». Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ3. Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος του προηγούμενου πειράματος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και A, B είναι τα ενδεχόμενα του ερωτήματος Δ. α. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: A, A B, A B, B A. (μονάδες 8) β. Αν Γ είναι ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου, το οποίο είναι ασυμβίβαστο τόσο με το ενδεχόμενο A όσο και με το ενδεχόμενο B, να υπολογίσετε ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να έχει η πιθανότητα Ρ(Γ). (μονάδες 6) Μονάδες 4 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνωπάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας, να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.00 π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 07 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη, παράγραφος.3 σελ 3 Α. Ορισμός παράγραφος. σελ. 4 Α3. Ορισμός σελ 7. Η διαφορά του κατώτερου από το ανώτερο όριο της κλάσης. Α4. α. Σωστό β. Λάθος. με... f ( ) f ( ) γ. Λάθος. και για ποσοτικά και για ποιοτικά δεδομένα. δ. Σωστό ε. Λάθος είναι το Α-Β

5 ΘΕΜΑΒ i v i v i i ( i ) vi ΣΥΝΟΛΟ α) v i i v i β) Οι παρατηρήσεις διατεταγμένες κατά αύξουσα σειρά είναι:,, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, και πλήθος ν=0 (άρτιο) Η διάμεσος 4 γ) Για τη διακύμανση ισχύει: s v i ( ) i v i Άρα s 0 4 i ( ) i v i

6 B. CV s , Άρα το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. ΘΕΜΑ Γ Γ. f, R Πιθανά ακρότατα f ( ) 0 0 Πρόσημο f f 0 0 και 0 f για Οπότε η 3 f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο ίσο με f 4 4 Γ. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο εξίσωση: y a, με f και f y., f δίνεται από την Οπότε f 3 και f 4 3 Άρα Οπότε y 3 3 Γ3. Σημεία τομής: με y Και y y: y 30 3 y 3 Οπότε B,0 και 0, 3

7 Γ4. ) ( lim lim lim f ) ( ) ( ) ( lim lim l l ΘΕΜΑ Δ Δ. Από την υπόθεση παρατηρούμε ότι το πείραμα εκτελείται σε δύο φάσεις, επομένως για το δενδροδιάγραμμα θα ισχύει: η επιλογή η επιλογή Α Α Μ Κ Α Μ Μ Κ Α Κ Μ Κ Όπου: Α: άσπρη μπάλα Μ: μαύρη μπάλα Κ: κόκκινη μπάλα

8 Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι:,,,,,,,, Δ. Για την παράσταση με αναγραφή των ενδεχομένων έχουμε: Α: η δεύτερη μπάλα που θα εξαχθεί είναι μαύρη.,, Β: να εξαχθούν δύο μπάλες διαφορετικού χρώματος.,,,,, Δ3. Από υπόθεση ισχύει ότι έχουμε ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα επομένως θα ισχύει ο κλασικός ορισμός πιθανότητας και με χρήση του ερωτήματος Δ θα ισχύει: α),,,,, και ( ) 6 N( A) 6 άρα P ( A) N ( ) 3 A B AM, KM και ( ) άρα P ( A B) A B και άρα P ( A B),,, και ( ) 4 4 άρα P ( A)

9 β) ος τρόπος ( A B) δηλαδή ( A B) Άρα είναι ( ) και αφού P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) P( A ) P( A B) P( A B) B 3 3 Επομένως P ( ) P( A B) P( ) Άρα P ( ) ma ος τρόπος Το Γ αποτελείται από στοιχεία του Ω εκτός από τα αυτά που περιέχονται στα ενδεχόμενα Α και Β. Άρα,,, Γ=,, Άρα P ( ) ma