ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR.

Transcript

1 ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) c f (x), x ΙR. Μονάδες 10 B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α,Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα; Μονάδες 3 β. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής; Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x 0 A, όταν f(x) f(x 0 ) για κάθε x σε μια περιοχή του x 0. Μονάδες β. Aν το ενδεχόμενο Α, συμπληρωματικό του ενδεχομένου Α, πραγματοποιείται, τότε δεν πραγματοποιείται το Α. ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 1 1 γ. Για κάθε x 0 ισχύει: x x. Μονάδες δ. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών δεδομένων. Μονάδες ΘΕΜΑ ο Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 μαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύμφωνα με τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας: Αριθμός Βιβλίων Αριθμός Μαθητών x i ν i 0 α+4 1 5α+8 4α 3 α-1 4 α Σύνολο 50 α. Να υπολογίσετε την τιμή του α. Μονάδες 3 Στη συνέχεια να βρείτε: β. Τη μέση τιμή του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές. Μονάδες 7 γ. Τη διάμεσο του αριθμού των βιβλίων που διάβασαν οι μαθητές. Μονάδες 7 δ. Την πιθανότητα ένας μαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστο 3 βιβλία. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 3o Σε ένα χορευτικό όμιλο συμμετέχουν x αγόρια και (x+4) κορίτσια. α. Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο, για να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια εκδήλωση. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι. Μονάδες 7 β. Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση με 19 1 και ο όμιλος περιλαμβάνει λιγότερα από 100 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι. Μονάδες 8 γ. Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των αγοριών του ομίλου, ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιμή της πιθανότητας αυτής; Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Έστω η συνάρτηση f(x) -x +kx + 4 x + 10, x 0. α. Aν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x x, να αποδείξετε ότι k και να βρείτε την εξίσωσή της. Μονάδες 5 β. Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή x f(1) και τυπική απόκλιση ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f (4) s. Τρεις παρατηρήσεις, αντιπροσωπευτικού 13 δείγματος μεγέθους ν, είναι μικρότερες ή ίσες του 8. (i) Να βρείτε τον αριθμό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (10,16). Μονάδες 10 (ii)να αποδείξετε ότι το δείγμα των παρατηρήσεων που έχει ληφθεί, δεν είναι ομοιογενές. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παραμέτρου α>0, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε μία από τις προηγούμενες παρατηρήσεις, ώστε το δείγμα των νέων παρατηρήσεων να είναι ομοιογενές. Μονάδες 10 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. Τα σχήματα που θα χρησιμοποιήσετε στο τετράδιο μπορείτε να τα σχεδιάσετε και με μολύβι.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: μετά τη πρωινή. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α: Θεωρία σελίδα 30 από το σχολικό βιβλίο Β α): Θεωρία σελίδα 14 από το σχολικό βιβλίο β): Θεωρία σελίδα 16 από το σχολικό βιβλίο Γ: α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ΘΕΜΑ ο Α) x i v i 0 α+4 1 5α+8 4α 3 α-1 4 α Σύνολο 50 v50 α+4+5α+8+4α+α-1+α+5050 α3

6 Β) Για α3 ο πίνακας γίνεται: x i v i x i v i Σύνολο v50 x Σx v i v i ,54 Βιβλία Γ) Η διάµεσος δ ( είναι το ηµιάθροισµα των µεσαίων παρατηρήσεων που είναι η 5 η και η 6 η ) 1+ 1 Άρα δ 1 βιβλίο ) Η ζητούµενη πιθανότητα είναι 8/50 ( εφόσον 8 µαθητές διάβασαν τουλάχιστον 3 βιβλία). ΘΕΜΑ 3 ο Σύνολο αγοριών και κοριτσιών: x + ( x + 4) x + 9x + 16 Α) Έστω Α: το άτοµο είναι αγόρι x P ( A) x + 9x x 1 P ( A) x 10x x + 9x Β) 0 x ή x8 Για x µε αντικατάσταση το πλήθος είναι 38 Για x8 το πλήθος γίνεται 15 (άτοπο γιατί τα άτοµα είναι λιγότερα από 100) Άρα τα αγόρια είναι και τα κορίτσια 36

7 Κ: το άτοµο είναι κορίτσι 36 P(Κ) 38 Γ) Θεωρώ την f x x) x ( x + 16 f ( x)... ( x + 9x + 16) x f (x) + f(x) γν. αύξουσα 0 - γν. φθίνουσα Για x4 έχουµε τη µέγιστη πιθανότητα και είναι f ( 4) ΘΕΜΑ 4 ο f ( x) x + κ x + 4 x + 10 x 0 Α) H εφαπτοµένη είναι παράλληλη στον x x οπότε f (1)0 Με f (x)-4x+κ+ 4 x Οπότε 4+κ+0 κ Η ζητούµενη εφαπτοµένη είναι της µορφής yβ άρα y14 η εξίσωσή της αφού f(1) 14 Β) i) x f ( 1) + κ f (4) 13 S f (4)

8 Από την καµπύλη της κανονικής κατανοµής προκύπτει ότι οι τρεις παρατηρήσεις που είναι 8 αντιστοιχούν σε ποσοστό 0,15% του δείγµατος 0,15 άρα ν 3 ν Στο διάστηµα ( 10-16) είναι το 81,5% του δείγµατος. 81,5 Άρα s 14 ii) CV 0, 14 x ή 14% άρα όχι οµοιογενές Αν y i οι νέες τιµές και x i οι παλιές y i x i +α Οπότε εάν y η νέα µέση τιµή και s y η νέα τυπική απόκλιση y x + a 14 + a s y s x 14 + a Θα πρέπει CV y 0,1 0,1... a 6 Άρα α6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ ΒΑΚΑΛΗ