ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου k, µη µηδεικοί φυσικοί αριθµοί µε k. α. Τι οοµάζεται απόλυτη συχότητα, που ατιστοιχεί στη τιµή x, 1,,,k; β. Τι οοµάζεται σχετική συχότητα f της τιµής x, 1,,,k; γ. Να αποδείξετε ότι: ) 0 f 1 για 1,,,k ) f 1 + f + + f k 1. Μοάδες 3 Μοάδες 3 Μοάδες 4 Β.1. Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους εδεχόµεα Α, Β εός δειγµατικού χώρου Ω α αποδείξετε ότι: Ρ (Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β). Μοάδες 8 Β.. α. Να δώσετε το κλασικό ορισµό της πιθαότητας εός εδεχοµέου Α κάποιου δειγµατικού χώρου Ω. Μοάδες 5 β. Να δώσετε τις αριθµητικές τιµές τω παρακάτω πιθαοτήτω: ) P(Ω) ) Ρ ( ). Μοάδες 1

2 Απάτηση: α) Οοµάζουµε απόλυτη συχότητα, το φυσικό αριθµό, ο οποίος δείχει πόσες φορές εµφαίζεται η τιµή x της εξεταζόµεης µεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. β) Οοµάζουµε σχετική συχότητα το αριθµό f που προκύπτει α διαιρέσουµε τη απόλυτη συχότητα που ατιστοιχεί στη τιµή x µε το µέγεθος του δείγµατος. Ισχύει δηλαδή ότι: f µε 1,,, κ. γ) ) Επειδή είαι 0 για κάθε 1,,, κ προκύπτει ότι 0 1. Άρα 0 f 1 για κάθε 1,,, κ. ) Έχουµε 1 κ κ f 1 + f + + f κ Β. 1. Καόες λογισµού τω Πιθαοτήτω Θεώρηµα 1. Σελ. 150 σχολ. βιβλίου. Β. α. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης µε ισοπίθαα απλά εδεχόµεα. Ορίζουµε ως πιθαότητα του εδεχοµέου Α Ω το αριθµό Πλήθος Ευοϊκώ Περιπτώσεω Ν(Α) P(A) Πλήθος υατώ Περιπτώσεω Ν(Ω) Β..β. () P(Ω) 1. () P( ) 0

3 ΘΕΜΑ ο ίεται η συάρτηση f(x) x. x + 1 α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συάρτησης f. Μοάδες 4 β. Να υπολογίσετε το όριο lm f(x) x 3. Μοάδες 4 γ. Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. Μοάδες 7 δ. Να βρεθού οι εφαπτόµεες της καµπύλης της συάρτησης f που είαι παράλληλες στη ευθεία y x + 5. Μοάδες 10 Απάτηση: (α) Πρέπει x+1 0, οπότε x -1 Άρα A f R -{-1} (β) lm x 3 f ( x) lm x 3 x x ' x (x)'( x + 1) x( x + 1)' (γ) f '( x) x + 1 ( x + 1) ( x + 1) x x + x ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) (δ) Ααζητούµε x R { 1} ώστε f '( ) Όµως: f '( x) ( x + 1) οπότε: ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 0 ( x + 1) 1 0 x + 1 1)( x ) 0 x ( x + ) 0 ( x 0 ή x ) ( Έτσι τα σηµεία επαφής είαι τα Α(0,f(0)) (0,0) καί B(-,f(-)) (-,4). x 3

4 Οι ατίστοιχες εξισώσεις εφαπτοµέω είαι : Στο σηµείο Α(0,0) y f ( 0) f '(0)( x 0) y 0 x άρα y x Στο σηµείο Β(-,4) y f ( ) f '( )( x + ) y 4 ( x + ) y 4 x + 4 άρα y x + 8 Σηµείωση: Ως απάτηση στη εύρεση τω εξισώσεω τω εφαπτοµέω (ερώτηση δ) θα µπορούσε α δωθεί και η ακόλουθη: Έστω y αx+β η εξίσωση της εφαπτοµέης της καµπύλης της f στο Α(0,0). Τότε: α f ' (0) και β άρα β 0 Οπότε y x Έστω y α'x+β' η εξίσωση της εφαπτοµέης της καµπύλης της f στο B(,4). Τότε: α' f ' (-) και 4 (-)+β άρα β 8 Οπότε y x+8 ΘΕΜΑ 3ο Έα προϊό πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήµατα στις παρακάτω τιµές, σε Ευρώ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο και τη επικρατούσα τιµή. Μοάδες 6 β. Να υπολογίσετε το εύρος, τη τυπική απόκλιση και το συτελεστή µεταβολής. Μοάδες 6 γ. Α οι τιµές του προϊότος σε όλα τα καταστήµατα υποστού έκπτωση 10%, α εξετάσετε α θα µεταβληθεί ο συτελεστής µεταβολής. Μοάδες 13 4

5 Απάτηση: α) x x x Είαι x Για τη διάµεσο θέτοτας τα δεδοµέα σε αύξουσα σειρά έχουµε: t 5 + t Είαι: δ 13,5 3. Έχουµε δύο επικρατούσες τιµές 13, 14. β) Το εύρος R Η διακύµαση s είαι: 1 s ( 8 13) + ( 9 13) + ( 10 13) + ( 13 13) + ( 14 13) + ( 15 13) + ( 16 13) + ( 18 13) [ ] Άρα s s 3 s 3 και CV 1 x 13 Περίπου 3% [ ] 9 γ). Έστω y, 1,,, 10 οι τιµές που προκύπτου µετά τη έκπτωση κατά 10% ή ισοδύαµα µε πολλαπλασιασµό κατά 0,9. Η έα µέση τιµή είαι y 0,9 x, εώ η έα τυπική απόκλιση είαι s y 0,9 s x Έτσι ο έος συτελεστής µεταβολής που προκύπτει είαι 0,9 s x s x CV CV1 0,9 x x Εποµέως δε θα µεταβληθεί ο συτελεστής µεταβολής. 5

6 ΘΕΜΑ 4ο Έστω Α,Β δύο εδεχόµεα εός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β). ίεται ακόµα η συάρτηση: f(x) (x - P(A B)) 3 - (x - P(A B)) 3, α. Να δείξετε ότι P(A B) P(A B). x R. Μοάδες 5 β. Να δείξετε ότι η συάρτηση f(x) παρουσιάζει µέγιστο στο σηµείο P(A ) + P(B) x. Μοάδες 13 γ. Εά τα εδεχόµεα Α, Β είαι ασυµβίβαστα, α δείξετε ότι f(p(a)) f(p(b)). Μοάδες 7 Απάτηση: α) Από τη υπόθεση έχουµε: P(A)+P(B) P(A B) δηλ. P(A)+P(B) - P(A B) P(A B) P(A B) P(A B) β) Είαι: f '(x) 3( x P(A B) ) 3( x P(A B) ) x R Ακόµη: f '(x)0 3( x P(A B) ) 3( x P(A B) ) 0 x P(A B) x P(A B) ή x P(A B) x + P(A B) P(A B) P(A B) αδύατο ή x P(A B) + P(A B) P(A) + P(B) P(A) + P(B) x Επίσης: f ' (x)>0 3( x P(A B) ) 3( x P(A B) ) > 0 ( x P(A B) - x + P(A B) )( x P(A B) + x P(A B) ) > 0 ( P(A B) - P(A B) )[ x ( P(A B) + P(A B) )] > 0 ( P(A B) - P(A B) )[ x ( P(A) + P(B) )] > 0 (1) 6

7 Όµως: A B A B P(A B) P(A B) και επειδή: P(A B) P(A B) είαι: P(A B) < P(A B) Έτσι: P(A B) - P(A B) < 0 Οπότε: (1) x < P(A)+P(B) P(A) + P(B) x < Aτίστοιχα προκύπτει ότι: f ' P(A) + P(B) (x)<0 x > P(A) + P(B) Άρα η f παρουσιάζει max για x γ) Αφού A B P(A B)0 (1) και P(A B) P(A)+P(B) () f P(A) P(A) P(A B) 3 P(A) P(A B) Έτσι: ( ) [ ] [ ] 3 f (1),() [ P(A) P(A) P(B) ] 3 [ P(A) ] 3 -P 3 (B) - P 3 (A) P(B) P(A B) 3 P(B) P(A B) ( P(B) ) [ ] [ ] 3 (1),() 3 3 [ P(B) P(A) P(B) ] P (B) -P 3 (A) - P 3 (B) Άρα: f(p(a)) f(p(b)). 7