g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f x 0 και ισχύει

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 4 ΜΑΡΤΙΟΥ 206 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ ο Α. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται «-» σε ένα σύνολο Α; A2. Αν c 0, τότε ποιο εμβαδόν εκφράζει το a cdx ; Α3. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f x 0 και ισχύει f g x f ( x ) g ( x ) g είναι παραγωγίσιμη στο (Μονάδες 7) Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ α) Η εικόνα f ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. β) Αν η f είναι συνεχής στο a,, ώστε ( ) 0 με 0 f, τότε κατ ανάγκη 0 f και υπάρχει f. γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR. και δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α, β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Roll. δ) Αν μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο A είναι συνεχής στο A και f x 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του A, τότε η f είναι πάντα σταθερή σε όλο το σύνολο A. ε) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ a, ], τότε ισχύει: f ( x ) dx f ( x ) dx 0 a ΘΕΜΑ 2 ο Δίνεται η συνάρτηση f με: f x 2ln x 3 x (Μονάδες 2x5=0) ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Β2. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της. Β3. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να μελετήσετε την f ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισμού της. Β4. Να βρείτε τα όρια: lim f x x και lim x f x (Μονάδες 7) (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με: f x x 2 x, αν x 0, x x ln x, x 0, αν x 0 g x f x ln, x 0 x 2 Γ. Να βρείτε το όριο lim f 0 ( x ) x ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο καθώς και την τιμή του,. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ2. i) Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς την μονοτονία της. ii) Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 4 και x x, αν x x x, αν 0 x Μονάδες 4 Γ3. i) Να μελετήσετε την συνάρτηση g ως προς τα κοίλα της στο διάστημα 0, και να βρείτε τα σημεία καμπής της. Μονάδες 5 ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στα σημεία A2, g (2) και, () και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: B g αντίστοιχα x2 4 73x x, για κάθε x 2 2, 2 και Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

5 ΘΕΜΑ 4 ο ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ x 2, για κάθε x 2 2 2, Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, 0, τιμών f A, τέτοια, ώστε: f (x) f 2(x) 2f (x) 3 x με σύνολο Δ. Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f - της f. Για τα ερωτήματα Δ2 και Δ3 δίνεται ότι: f (x) x x2 2x 3, x (Μονάδες 6) Δ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f - ως προς την κυρτότητα. Στη συνέχεια, να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f -, την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f - στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα y y, και την ευθεία x =. (Μονάδες 8) Δ3. Για κάθε x θεωρούμε τα σημεία A x,f (x), B f (x),x των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f - και f αντίστοιχα. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

6 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε x το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f - και f στα σημεία A και B αντίστοιχα, είναι ίσο με. (Μονάδες 6) β) Να βρείτε για ποια τιμή του x η απόσταση των σημείων Α, Β γίνεται ελάχιστη, και να βρείτε την ελάχιστη απόστασή τους. (Μονάδες 5) ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

7 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ι Ε Σ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμο σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Δεν επιτρέπεται να γράψετε καμία άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: ώρα μετά από την διανομή των φωτοαντιγράφων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ Επιστημονική επιμέλεια: Συντακτική ομάδα Συντονιστής: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών