Σκεδασμός Compton 5 Οπως είναι γνωστό ο Compton ανακάλυψε το 1923 ότι το μήκος κύματος των σκληρών ακτίνων Χ αυξάνεται όταν αυτές σκεδάζονται από ηλεκτρόνια σε ηρεμία. Αυτό ήρθε ως μία ακόμη επιβεβαίωση της κβαντικής θεωρίας του Einstein για τον δυϊσμό της φύσης του φωτός. Κατά τον σκεδασμό Compton το εισερχόμενο φωτόνιο συγκρούεται με το ακίνητο ηλεκτρόνιο και του μεταφέρει μέρος της ενέργειας και της ορμής του. Επειδή και τα δύο αυτά μεγέθη εξαρτώνται από τη συχνότητα της ακτινοβολίας, η απώλεια ενέργειας του φωτονίου αντιστοιχεί στη μετρούμενη αύξηση του μήκους κύματός του. Μεγάλο ενδιαφέρον για την Αστροφυσική Υψηλών Ενεργειών παρουσιάζει η περίπτωση όπου σχετικιστικά ηλεκτρόνια σκεδάζουν φωτόνια χαμηλής ενέργειας σε υψηλές ενέργειες. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται αντίστροφος σκεδασμός Compton γιατί σε αυτήν την περίπτωση είναι τα ηλεκτρόνια που χάνουν ενέργεια αντί για τα φωτόνια. Θα ξεκινήσουμε το Κεφάλαιο με σύντομες αναφορές στο κλασικό φαινόμενο Thomson και στον σκεδασμό Compton. Στη συνέχεια θα αναπτύξουμε τη θεωρία του αντίστροφου σκεδασμού Compton και θα δώσουμε μερικές αστροφυσικές εφαρμογές. 5.1 Σκεδασμός Thomson Οπως είναι γνωστό από τον Ηλεκτρομαγνητισμό τα φορτία που επιταχύνονται ακτινοβολούν. Αυτή η αρχή είναι η βάση της θεωρίας των διαφόρων ακτινοβολιών. Η ισχύς της ακτινοβολίας που παράγεται δίνεται από τη σχέση του Larmor P = 2q2 r 2 3c 3 = 39 2 d 2 3c 3 (5.1)
40 Σκεδασμός Compton όπου q το φορτίο, r το μέτρο της επιτάχυνσής του στο στιγμιαίο σύστημα ηρεμίας του φορτίου και c η ταχύτητα του φωτός. Η παραπάνω σχέση εκφράζεται ακόμη και ως συνάρτηση της διπολικής ροπής d = qr. Η γωνιακή κατανομή της ακτινοβολίας ακολουθεί την κατανομή δίπολου και δίνεται από τη σχέση dp dω = q2 r 2 4πc 3 sin2 Θ, (5.2) όπου Θ η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της επιτάχυνσης και της διεύθυνσης της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας. Οπως παρατηρούμε δεν εκπέμπεται καθόλου ακτινοβολία κατά τη διεύθυνση της επιτάχυνσης, ενώ η μεγίστη εκπομπή επιτυγχάνεται κάθετα σε αυτήν τη διεύθυνση [σχήμα 5.1]. Σχήμα 5.1: Γεωμετρία και εκπομπή ακτινοβολίας διπόλου. ηλεκτρικό πεδίο της ακτινοβολίας.) (E rad είναι το Σημείωση: Η σχέση (5.1) προκύπτει κατευθείαν από την (5.2), εάν ολοκληρώσουμε αυτήν την τελευταία ως προς στερεά γωνία, δηλαδή P = dp dω dω = q2 r 2 4πc 3 sin 2 ΘdΩ Στην περίπτωση τώρα που ένα γραμμικά πολωμένο ηλεκτρομαγνητικό κύμα χαμηλής συχνότητας ω 0 προσπίπτει σε ένα ηλεκτρόνιο σε ηρεμία η δύναμη που του ασκεί είναι: F = eˆεe 0 sin ω 0 t, (5.3) όπου e το φορτίο και ˆε το μοναδιαίο διάνυσμα κατά τη διεύθυνση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου E. Από τις (5.1) και (5.3), χρησιμοποιώντας επιπλέον
5.1 Σκεδασμός Thomson 41 τις σχέσεις F = m r και < sin 2 ω 0 t >= 1 2, παίρνουμε ενώ η (5.2) δίνει αντίστοιχα P = e4 E 0 2 3m 2 c 3 (5.4) 2 dp dω = e4 E 0 8πm 2 c 3 sin2 Θ (5.5) Ορίζουμε στη συνέχεια τη διαφορική ενεργό διατομή ως dσ(θ) dω ακτινοβολούμενη ισχύς ανά μονάδα στερεάς γωνίας = εισερχόμενη ισχύς ανά μονάδα επιφάνειας Η εισερχόμενη ισχύς ανά μονάδα επιφανείας δεν είναι άλλη από τη ροή Σχήμα 5.2: Σκεδασμός πολωμένης ακτινοβολίας από ένα φορτισμένο σωματίδιο. Poynting που δίνεται από < S >= (c/8π)e 2 0. Συνεπώς από τον παραπάνω ορισμό της διαφορικής ενεργού διατομής έχουμε ( ) dσ(θ) = 1 dp dω < S > dω = e4 m 2 c 4 sin2 Θ = r 2 0 sin 2 Θ, (5.6) όπου η ποσότητα πoλ r 0 e2 (5.7) mc 2 είναι η κλασική ακτίνα του ηλεκτρονίου και δίνει ένα μέτρο της «ακτίνας» του φορτίου του. Η τιμή της είναι r 0 = 2.82 10 13 cm. Η ολική ενεργός διατομή βρίσκεται από την (5.6) με ολοκλήρωση ως προς τη στερεά γωνία και ισούται με σ T = 8π 3 r 0 2. (5.8)
42 Σκεδασμός Compton Η ποσότητα σ T ονομάζεται ενεργός διατομή Thomson και ισούται με 0.665 10 24 cm 2, ενώ η φυσική διαδικασία που μόλις περιγράψαμε ονομάζεται σκεδασμός Thomson ή σκεδασμός ηλεκτρονίου. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι σχέσεις (5.6) και (5.8) που δίνουν τη διαφορική και την ολική ενεργό διατομή είναι ανεξάρτητες της συχνότητας του προσπίπτοντος κύματος. Ωστόσο αυτό ισχύει για πολύ χαμηλές συχνότητες ώστε να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κλασική προσέγγιση. Οπως θα δούμε στην παράγραφο 5.2, για υψηλές συχνότητες η ενεργός διατομή προσδιορίζεται πλέον από την Κβαντομηχανική και εξαρτάται από τη συχνότητα του προσπίπτοντος φωτονίου. Ο σκεδασμός που εξετάσαμε αφορούσε πολωμένη ακτινοβολία. Είναι εύκολο τα αποτελέσματα που βρήκαμε να επεκταθούν και στη γενικότερη περίπτωση της μη πολωμένης ακτινοβολίας εάν θυμηθούμε ότι αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως μία επαλληλία δύο γραμμικά πολωμένων κυμάτων που ταλαντώνονται σε ορθογώνια επίπεδα. Συνεπώς αναλύουμε το ηλεκτρικό πεδίο της προσπίπτουσας δέσμης σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μία (με μοναδιαίο διάνυσμα ˆε 1 ) βρίσκεται στο επίπεδο που ορίζουν η διεύθυνση της ακτινοβολίας πριν και μετά τον σκεδασμό (όπως αυτές ορίζονται από τα διανύσματα ˆk και ˆn αντίστοιχα σχήμα 5.3), ενώ η άλλη (με μοναδιαίο διάνυσμα ˆε 2 ) είναι κάθετη σε αυτό το επίπεδο. Εστω Θ η γωνία μεταξύ των ˆε 1 και ˆn. Ορίζουμε επίσης τη γωνία θ, που είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της σκεδασμένης και προσπίπτουσας δέσμης: θ = π/2 Θ. Η διαφορική ενεργός διατομή της μη πολωμένης ακτινοβολίας είναι η μέση τιμή των ενεργών διατομών των δύο παραπάνω συνιστωσών που είναι γραμμικά πολωμένες. Γράφουμε λοιπόν: ( ) dσ(θ) = 1 [( ) ( ) ] dσ(θ) dσ(π/2) + = 1 dω 2 dω dω 2 r 0 2 (1+sin 2 Θ) = 1 2 r 0 2 (1+cos 2 θ). πoλ πoλ (5.9) Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα εξαρτάται μόνο από τη διεύθυνση της προσπίπτουσας και σκεδασμένης ακτινοβολίας. Σχήμα 5.3: Γεωμετρία σκεδασμού μη πολωμένης ακτινοβολίας.
5.2 Σκεδασμός Compton 43 Δύο βασικές ιδιότητες του σκεδασμού της μη πολωμένης ακτινοβολίας είναι: 1. Είναι συμμετρικός ως προς τον μετασχηματισμό θ θ (μπρος-πίσω). 2. Η ολική ενεργός διατομή είναι ίση με σ T, ίση δηλαδή με την περίπτωση της πολωμένης ακτινοβολίας. 5.2 Σκεδασμός Compton Οι σχέσεις (5.8) και (5.9) αποτελούν τα βασικά αποτελέσματα του σκεδασμού Thomson, όπου το φωτόνιο προσεγγίζεται με ένα συνεχές ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Αυτή η προσέγγιση ισχύει όταν η ενέργεια της προσπίπτουσας ακτινοβολίας είναι πολύ μικρότερη της ενέργειας ηρεμίας του ηλεκτρονίου, όταν δηλαδή ϵ = hν m e c 2. Ενα ακόμα βασικό αποτέλεσμα είναι ότι ο σκεδασμός είναι ελαστικός, ισχύει δηλαδή ϵ = ϵ 1, όπου ϵ και ϵ 1 η ενέργεια του φωτονίου πριν και μετά τον σκεδασμό αντίστοιχα. Κβαντικά φαινόμενα υπεισέρχονται στην παραπάνω εικόνα με δύο τρόπους. Πρώτον, όσο αυξάνεται η ενέργεια του φωτονίου ο σκεδασμός παύει να είναι ελαστικός (δηλαδή ϵ ϵ 1 ), καθώς το ηλεκτρόνιο αρχίζει να παίρνει ένα διαρκώς αυξανόμενο μέρος της ορμής και της ενέργειας του προσπίπτοντος φωτονίου. Επίσης ο υπολογισμός της ενεργού διατομής της αλληλεπίδρασης ξεφεύγει πλέον από τα όρια του Ηλεκτρομαγνητισμού και γίνεται αντικείμενο της Κβαντοηλεκτροδυναμικής. Συνοψίζοντας: 1. Οριο Thomson: Στο μη σχετικιστικό όριο (x = ϵ/m e c 2 1) η ενεργός διατομή δίνεται από σ = σ T σύμφωνα με τα όσα είπαμε προηγουμένως. 2. Οριο Klein Nishina: Στο σχετικιστικό όριο (x = ϵ/m e c 2 1) η ενεργός διατομή δίνεται από τη σχέση σ = 3 ( 8 σ T x 1 ln 2x + 1 ) 2 (5.10) δηλαδή η ενεργός διατομή ελαττώνεται όσο αυξάνεται η ενέργεια του φωτονίου. 5.3 Αντίστροφος Σκεδασμός Compton 5.3.1 Κινηματικές αρχές κατά τον σκεδασμό Compton Ας θεωρήσουμε ένα σχετικιστικό ηλεκτρόνιο κινούμενο μέσα σε πεδίο μονοχρωματικών ισοτροπικών φωτονίων κατά τη διεύθυνση του άξονα των x στο
44 Σκεδασμός Compton Σχήμα 5.4: Γραφική παράσταση της ενεργού διατομής για σκεδασμό Compton σε συνάρτηση της ενέργειας του φωτονίου. σύστημα ηρεμίας του παρατηρητή Κ. Εστω θ η γωνία ανάμεσα στις διευθύνσεις ηλεκτρονίου-εισερχόμενου φωτονίου 1. Στο σύστημα ηρεμίας του ηλεκτρονίου Κ οι αντίστοιχες γωνίες θ δίνονται από τις γνωστές σχέσεις αποπλάνησης του φωτός και tan θ = sin θ γ(cos θ β) cos θ = cos θ β 1 β cos θ (5.11) (5.12) όπου γ και βc είναι αντιστοίχως ο παράγοντας Lorentz και η ταχύτητα του ηλεκτρονίου στο σύστημα ηρεμίας του παρατηρητή. Οταν γ 1, τότε όλα τα φωτόνια (εκτός αυτών που κινούνται κατά μήκος του άξονα x, δηλαδή παράλληλα με τη διεύθυνση του ηλεκτρονίου) εμφανίζονται από τη διεύθυνση θ π. Η ενέργεια των φωτονίων στο Κ δίνεται από τη γνωστή σχέση του Doppler ϵ = γϵ(1 β cos θ) (5.13) και κατά συνέπεια παίρνει τιμές από ϵ min ϵ/2γ, για θ = 0 έως ϵ max 2ϵγ για θ = π. Παρατηρούμε ότι τα φωτόνια εμφανίζονται με πολύ χαμηλές ενέργειες όταν κατευθύνονται σχεδόν παράλληλα με το ηλεκτρόνιο, ενώ αντίθετα εμφανίζονται πολύ πιο ενεργητικά όταν οι συγκρούσεις είναι μετωπικές. Εάν ως μέση τιμή της ενέργειας του φωτονίου πάρουμε την < ϵ >= γϵ, τότε 1 Η γωνία θ = π αντιστοιχεί σε μετωπική σύγκρουση.
5.3 Αντίστροφος Σκεδασμός Compton 45 Σχήμα 5.5: Γωνίες μεταξύ φωτονίων και ηλεκτρονίου όπως αυτές παρουσιάζονται στα συστήματα ηρεμίας του παρατηρητή (Κ) και του ηλεκτρονίου (Κ ) αντίστοιχα. έχουμε ότι όταν 1. < ϵ >= γϵ m e c 2 όριο Thomson 2. < ϵ > γϵ m e c 2 όριο Klein Nishina (5.14) Παρόλο που θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τα διάφορα ζητούμενα μεγέθη στο σύστημα ηρεμίας του ηλεκτρονίου και στη συνέχεια να μετασχηματίσουμε στο σύστημα ηρεμίας του παρατηρητή, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσουμε τετρανύσματα. Εστω λοιπόν P και K τα τετρανύσματα της ορμής του ηλεκτρονίου και του φωτονίου πριν τον σκεδασμό και P 1 και K 1 τα αντίστοιχα τετρανύσματα μετά τον σκεδασμό. Δηλαδή: Ηλεκτρόνιο P = [γm e c, γm e v] P 1 = [γ 1 m e c, γ 1 m e v 1 ] [ hν Φωτόνιο K = c, hν ] [ hν1 c êk K 1 = c, hν ] 1 c êk 1 Πριν τον σκεδασμό Μετά τον σκεδασμό Τώρα μπορούμε να εργασθούμε όπως στην περίπτωση της αλληλεπίδρασης φωτονίου-φωτονίου. Το τετράνυσμα της ορμής διατηρείται κατά τον σκεδασμό, οπότε P + K = P 1 + K 1. (5.15) Υψώνουμε στη συνέχεια στο τετράγωνο και χρησιμοποιούμε τις σχέσεις P P = P 1 P 1 = m e 2 c 2 και K K = K 1 K 1 = 0. Συνεπώς είναι εύκολο να δειχτεί (άσκηση!) ότι P K = P 1 K 1 (5.16) Πολλαπλασιάζουμε τώρα τα μέλη της (5.15) με K 1 και με τη βοήθειά της (5.16) καταλήγουμε στη σχέση P K 1 + K K 1 = P K (5.17)
46 Σκεδασμός Compton η οποία είναι και η ζητούμενη. Χρησιμοποιούμε στη συνέχεια τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο τετρανυσμάτων και ορίζουμε τις γωνίες οι οποίες υπεισέρχονται στον σκεδασμό ως [βλ. και σχήμα 5.5]: Γωνία κατεύθυνσης φωτονίου πριν και μετά τον σκεδασμό: α = cos 1 (ê k ê k1 ) Γωνία κατεύθυνσης ) φωτονίου πριν τον σκεδασμό και ηλεκτρονίου: θ = (êk cos 1 v v Γωνία κατεύθυνσης ) φωτονίου μετά τον σκεδασμό και ηλεκτρονίου: θ 1 = (êk1 cos 1 v v Από την (5.17) βρίσκουμε: ϵ 1 ϵ = 1 (v/c) cos θ [1 (v/c) cos θ 1 + (ϵ/γm e c 2 )(1 cos α)] (5.18) Η παραπάνω σχέση είναι σημαντική για τον σκεδασμό Compton (τόσο τον ευθύ όσο και τον αντίστροφο) και αξίζει να σταθούμε για λίγο σε αυτήν. Καταρχήν, όταν το ηλεκτρόνιο είναι σε ηρεμία (v = 0, γ = 1), αυτή περιγράφει το γνωστό φαινόμενο Compton: ϵ 1 ϵ = 1 1 + (ϵ/m e c 2 )(1 cos α) (5.19) η οποία εκφράζεται ακόμα ως συνάρτηση του μήκους κύματος του φωτονίου λ λ = λ 1 λ λ = ϵ (1 cos α) (5.20) m e c2 Επίσης η σχέση (5.18) μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τη μέγιστη ενέργεια που μπορεί να αποκτήσει ένα φωτόνιο όταν σκεδάζεται με ένα σχετικιστικό ηλεκτρόνιο. Πράγματι στο όριο Thomson όπου ϵ γm e c 2 το δεξί μέλος της (5.18) γίνεται μέγιστο όταν θ=π και θ 1 = 0 (όταν έχουμε δηλαδή μετωπική σύγκρουση ηλεκτρονίου-φωτονίου και το φωτόνιο μετά τον σκεδασμό κινείται παράλληλα με το ηλεκτρόνιο: αν και η πρώτη συνθήκη αποδεικνύεται πολύ πιο ισχυρή από τη δεύτερη). Σε αυτήν την περίπτωση είναι εύκολο να δειχτεί ότι: ϵ 1 = 4γ 2 ϵ (5.21)
5.3 Αντίστροφος Σκεδασμός Compton 47 που είναι και η ζητούμενη μέγιστη ενέργεια. Σημείωση: Αξίζει να αναπαράγουμε την παραπάνω σχέση χρησιμοποιώντας απλούς μετασχηματισμούς ανάμεσα σε συστήματα αναφοράς. Εστω λοιπόν ότι μετά από έναν σκεδασμό (όπως αυτός μετράται στο Κ ) το φωτόνιο αποκτά ενέργεια ϵ 1 ενώ σχηματίζει γωνία α με τη διεύθυνση του φωτονίου πριν τον σκεδασμό. Προφανώς ισχύει η σχέση (5.19), η οποία γράφεται ϵ 1 ϵ = 1 1 + (ϵ /m e c 2 )(1 cos α ). Επειδή έχουμε θεωρήσει σκεδασμό στο όριο Thomson ισχύει ϵ m e c 2 και συνεπώς ϵ 1 = ϵ (δηλαδή τα γνωστά περί ελαστικού σκεδασμού στο όριο Thomson). Ισχύει όμως η σχέση (5.13) καθώς και η σχέση: ϵ 1 = γϵ 1(1 + β cos θ 1) Παίρνοντας, όπως προηγουμένως, την περίπτωση όπου θ = π και θ 1 = 0, βρίσκουμε αμέσως τη ζητούμενη (5.21). 5.3.2 Ενεργειακές απώλειες στο όριο Thomson Μία παρουσίαση των ενεργειακών απωλειών για τα σχετικιστικά ηλεκτρόνια στο όριο Thomson (βλ. σχέση 5.14) δίνει ο Longair. Οι ενεργειακές απώλειες στο σύστημα ηρεμίας του ηλεκτρονίου Κ δίνονται από τη σχέση ( ) de = σ T cu φωτ, (5.22) dt όπου u φωτ είναι η ενεργειακή πυκνότητα των φωτονίων. Επειδή η ενέργεια και ο χρόνος μετασχηματίζονται με τον ίδιο τρόπο, ισχύει δηλαδή de = γde και dt = γdt, έχουμε ( ) de = dt ( ) de dt (5.23) συνεπώς για να υπολογίσουμε τις ενεργειακές απώλειες του ηλεκτρονίου αρκεί να υπολογίσουμε την ενεργειακή πυκνότητα των φωτονίων όπως αυτή μετράται στο σύστημα ηρεμίας του ηλεκτρονίου Κ (η ενεργειακή πυκνότητα των φωτονίων u φωτ στο σύστημα ηρεμίας του παρατηρητή Κ θεωρείται γνωστή). Για να υπολογίσουμε την ενεργειακή πυκνότητα των φωτονίων στο Κ χρειαζόμαστε δύο ποσότητες: την ενέργεια κάθε φωτονίου στο Κ και τον ρυθμό με τον οποίο φτάνουν αυτά στο ηλεκτρόνιο. Το πρώτο ζητούμενο,
48 Σκεδασμός Compton δηλαδή η ενέργεια, δίνεται από τη σχέση (5.13). Για να βρούμε τη μετρούμενη ροή εργαζόμαστε ως εξής: Εστω θ η γωνία υπό την οποία η δέσμη φωτονίων προσπίπτει στο Κ. Αυτή συνδέεται με την αντίστοιχη γωνία θ την οποία μετράει παρατηρητής στο σύστημα Κ σύμφωνα με τις σχέσεις (5.11) και (5.12). Ας θεωρήσουμε τώρα δύο φωτόνια τα οποία φτάνουν στο Κ τις χρονικές στιγμές t 1 και t 2. Οι συντεταγμένες των γεγονότων αυτών στο Κ είναι [x 1, 0, 0, t 1 ] = [γvt 1, 0, 0, γt 1] και [x 2, 0, 0, t 2 ] = [γvt 2, 0, 0, γt 2] αντίστοιχα. Ο υπολογισμός αυτός κάνει την υπόθεση ότι τα φωτόνια της δέσμης κινούνται σε παράλληλες τροχιές, όπως δείχνει και το σχήμα 5.6. Από το ίδιο σχήμα φαίνεται επίσης ότι η χρονική διαφορά με την οποία τα φωτόνια φτάνουν σε ένα επίπεδο κάθετο προς τη διεύθυνση διάδοσής τους είναι t = t 2 (x 2 x 1 ) c cos θ t 1 = (t 2 t 1)γ [1 v c cos θ ], (5.24) με άλλα λόγια η χρονική διαφορά είναι μικρότερη κατά έναν παράγοντα γ(1 β cos θ) στο Κ απο ότι στο Κ. Παρατηρούμε ότι αυτός ο παράγοντας είναι ακριβώς ο ίδιος με αυτόν που υπεισέρχεται στη σχέση του Doppler (5.13). Συνεπώς η ενεργειακή πυκνότητα της δέσμης φωτονίων που προσπίπτουν με Σχήμα 5.6: Γεωμετρία που παριστάνει τον ρυθμό πρόσπτωσης των φωτονίων όπως τον αντιλαμβάνεται παρατηρητής στο αδρανειακό σύστημα Κ. γωνία θ στο σύστημα Κ είναι u φωτ(θ) = [γ(1 β cos θ)] 2 u φωτ (5.25)
5.3 Αντίστροφος Σκεδασμός Compton 49 Υπολογίζουμε στη συνέχεια την ολική ενεργειακή πυκνότητα ολοκληρώνοντας ως προς τη στερεά γωνία, οπότε π u φωτ = u φωτ [γ(1 β cos θ) 2 ] 1 sin θdθ (5.26) 0 2 και συνεπώς u φωτ = 4 3 u φωτ ( γ 2 1 ). (5.27) 4 Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (5.22) και (5.23) βρίσκουμε ( ) de = 43 ( dt σ T cu φωτ γ 2 1 ). (5.28) 4 Αυτή είναι η ενέργεια που κερδίζουν τα φωτόνια εξ αιτίας των σκεδασμών. Ταυτόχρονα όμως αυτά χάνουν την ενέργεια αυτών που σκεδάζονται και που ισούται με σ T cu φωτ. Τελικά έχουμε λοιπόν ( ) de = 43 ( dt σ T cu φωτ γ 2 1 ) σ T cu φωτ = 4 4 3 σ T cu φωτ β 2 γ 2 (5.29) που δίνει τις συνολικές ενεργειακές απώλειες ηλεκτρονίων ενέργειας E e = γm e c 2 όταν αυτά βρίσκονται σε ισοτροπικό πεδίο φωτονίων ενεργειακής πυκνότητας u φωτ, υπό την προϋπόθεση ότι οι σκεδασμοί ηλεκτρονίων-φωτονίων πραγματοποιούνται στο όριο Thomson (σχέση 5.6). Σημείωση: Μία άλλη, πιο αυστηρή, απόδειξη της σχέσης (5.27) προκύπτει από τις εξισώσεις διάδοσης ακτινοβολίας. Ξεκινάμε από το βασικό αποτέλεσμα, ότι το πηλίκο I ν /ν 3 παραμένει αναλλοίωτο σε μετασχηματισμούς Lorentz, όπου η ποσότητα I ν είναι η ειδική ένταση ακτινοβολίας (για τους ορισμούς βλ. κεφάλαιο 3.1.1). Συνεπώς ανάμεσα στα συστήματα Κ και Κ ισχύει η σχέση ( ) ν I ν 3 = I ν (5.30) ν Επίσης είναι γνωστό από τη θεωρία διάδοσης της ακτινοβολίας ότι η ειδική ενεργειακή πυκνότητα (δηλαδή η ενεργειακή πυκνότητα ανά συχνότητα ανά στερεά γωνία) δίνεται από τη σχέση: U ν (Ω) = 1 c I ν. (5.31) Συνεπώς ορίζοντας U(Ω) = dνu ν (Ω)
50 Σκεδασμός Compton και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (5.13), (5.30) και (5.31) μπορούμε να συσχετίσουμε τη διαφορική ενεργειακή πυκνότητα στα συστήματα Κ και Κ U (Ω ) = γ 4 (1 βµ) 4 U(Ω) (5.32) Ορίζουμε στη συνέχεια την ολική ενεργειακή πυκνότητα των φωτονίων ως u φωτ dωu(ω) και χρησιμοποιούμε ότι το διαφορικό της στερεάς γωνίας μετασχηματίζεται σύμφωνα με τη σχέση dω = dω γ 2 (1 β cos θ) 2. (5.33) 5.3.3 Παραγόμενο φάσμα στο όριο Thomson: Μονοενεργητικά ηλεκτρόνια Το επόμενο ζητούμενο είναι ο προσδιορισμός του φάσματος της ακτινοβολίας που σκεδάζεται στο όριο Thomson. Μία ανάλυση υπάρχει στο άρθρο των Blumenthal & Gould, εδώ απλώς επαναλαμβάνουμε το αποτέλεσμα για λόγους πληρότητας. Εστω ότι ηλεκτρόνιο ενέργειας E e = γm e c 2 εισέρχεται σε ισοτροπικό πεδίο φωτονίων ενέργειας ϵ και έστω ϵ 1 η ενέργεια των σκεδαζόμενων φωτονίων. Ο ολοκληρωμένος ως προς στερεά γωνία συντελεστής εκπομπής (διαστάσεις [j ν ]= (ακτινοβολούμενη) ενέργεια/χρόνος/ ενέργεια εκπομπής) δίνεται από τη σχέση j ics (ϵ 1 ) = [ ( ) 3σT c n(ϵ) 16γ 4 ϵ ϵ ϵ1 2 1 2ϵ 1 ln + ϵ 4γ 2 1 + 4γ 2 ϵ ϵ 1 2 ] dϵ. (5.34) ϵ 2γ 2 ϵ Τη μορφή της ολοκληρωτέας ποσότητας δίνει το σχήμα 5.7. Η ποσότητα n(ϵ) είναι η διαφορική αριθμητική πυκνότητα των φωτονίων του πεδίου (διαστάσεις [n(ϵ)]= φωτόνια/όγκος/ενέργεια) και ορίζεται ως 0 n(ϵ)dϵ = n φωτ, όπου n φωτ η ολική αριθμητική πυκνότητα των φωτονίων. Από το σχήμα 5.7 παρατηρούμε ότι το φάσμα εκτείνεται μέχρι την ενέργεια ϵ max 1 = 4γ 2 ϵ, σε συμφωνία με τη σχέση (5.21), και ότι παρουσιάζει μέγιστο κοντά σε αυτή την ενέργεια. Προφανώς το συνολικό φάσμα βρίσκεται μετά από ολοκλήρως η της (5.34) ως προς όλες τις ενέργειες των χαμηλοενεργειακών φωτονίων τα οποία έχουν κατανομή n(ϵ). Για να απλουστεύσουμε το πρόβλημα ας θεωρήσουμε ότι το πεδίο φωτονίων είναι μονοχρωματικό, ισχύει δηλαδή n(ϵ) = n 0 δ(ϵ ϵ 0 ). Τότε από την (5.34) μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση ενέργεια των φωτονίων μετά τον σκεδασμό τους. Βρίσκουμε < ϵ 1 >= 4 3 γ2 ϵ 0. (5.35)
5.3 Αντίστροφος Σκεδασμός Compton 51 Σχήμα 5.7: Δημιουργούμενο φάσμα σκεδασμένων ισοτροπικών φωτονίων ενέργειας ϵ 1 από μονοενεργητικά ηλεκτρόνια ενέργειας E e = γm e c 2 όταν τα φωτόνια στόχοι έχουν ενέργεια ϵ. Σημείωση: Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε και με έναν πιο εμπειρικό τρόπο. Θεωρούμε ότι σε κάθε σκεδασμό το ποσό ενέργειας που χάνει ένα ηλεκτρόνιο ισούται με την ενέργεια του φωτονίου μετά τον σκεδασμό του. Ισχύει λοιπόν η σχέση Ενεργειακές απώλειες = (Μέση ενέργεια φωτονίου) (Ρυθμός σκεδασμών). Ο ρυθμός σκεδασμών δίνεται από τη σχέση ( ) dn = σ T cn 0 (5.36) dt ενώ οι ενεργειακές απώλειες δίνονται από τη σχέση (5.29). Χρησιμοποιώντας επιπλέον τη σχέση u φωτ = dϵϵn(ϵ) = dϵϵn 0 δ(ϵ ϵ 0 ) = n 0 ϵ 0 (5.37) βρίσκουμε ότι Μέση ενέργεια φωτονίου μετά τον σκεδασμό = 4 3 β2 γ 2 ϵ 0 η οποία για γ 1 (οπότε β 1) γίνεται η σχέση (5.35). Η σημασία του αντίστροφου σκεδασμού Compton για την Αστροφυσική Υψηλών Ενεργειών γίνεται τώρα προφανής. Ηλεκτρόνια με παράγοντα Lorentz γ σκεδάζουν φωτόνια χαμηλών ενεργειών σε ενέργειες που είναι υψηλότερες κατά έναν παράγοντα γ 2. Για παράδειγμα, ηλεκτρόνια με γ=1000 σκεδάζουν ραδιοφωτόνια στο υπεριώδες, υπέρυθρα φωτόνια στις ακτίνες Χ και οπτικά φωτόνια στις ακτίνες γ.
52 Σκεδασμός Compton 5.3.4 Παραγόμενο φάσμα: Ηλεκτρόνια με κατανομή νόμο δύναμης Στις περισότερες περιπτώσεις με αστροφυσικό ενδιαφέρον τα ηλεκτρόνια δεν έχουν μονοενεργητική κατανομή αλλά κατανομή που είναι νόμος δύναμης, δηλαδή N e (E) E p (γm e c 2 ) p γ p, οπότε έχουμε: N e (γ) = k e γ p για γ min γ γ max (5.38) και N e (γ) = 0 για γ < γ min ή γ > γ max. Τα όρια της κατανομής των ηλεκτρονίων δεν είναι γνωστά αλλά εξαρτώνται από τον μηχανισμό επιτάχυνσης που δρα στη συγκεκριμένη περίπτωση. Εδώ θα τα θεωρήσουμε ως ελεύθερες παραμέτρους. Το φάσμα των σκεδασμένων φωτονίων που παράγεται σε αυτήν την περίπτωση βρίσκεται αν ολοκληρώσουμε το φάσμα (5.34), το οποίο παράγεται από μονοενεργητικά ηλεκτρόνια, ως προς όλες τις ενέργειες των ηλεκτρονίων. Εχουμε λοιπόν: jics(ϵ pl γmax 1 ) = dγn e (γ)j ics (ϵ 1 ). (5.39) γ min Το παραπάνω ολοκλήρωμα υπολογίζεται αναλυτικά (βλ. π.χ. το άρθρο των Blumenthal και Gould). Ωστόσο είναι πιο απλό να εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι η συνάρτηση j ics (ϵ 1 ) παρουσιάζει ένα μέγιστο κοντά στην ενέργεια ϵ 1 = 4 3 γ2 ϵ 0 και να θέσουμε j ics (ϵ 1 ) = Aϵ 1 δ(ϵ 1 ϵ 1) (5.40) προσεγγίζουμε δηλαδή, όπως υποδηλώνει η συνάρτηση δέλτα, το φάσμα του σχήματος 5.7 με μονοενεργητική εκπομπή στη μέση ενέργεια σκεδασμού. Η σταθερά A υπολογίζεται από την απαίτησή μας ο ρυθμός της ακτινοβολούμενης ενέργειας των φωτονίων να ισούται με τον ρυθμό απώλειας ενέργειας του ηλεκτρονίου (σχέση 5.29). Εξισώνοντας βρίσκουμε A = n 0 σ T c. Αντικαθιστώντας την (5.40) στην (5.39) βρίσκουμε όπου j pl ics(ϵ 1 ) = 1 2 k en 0 σ T cϵ 0 p 1 2 ϵ1 p 1 2 για ϵ min 1 ϵ 1 ϵ max 1 (5.41) ϵ min 1 = 4 3 ϵ 0γ 2 min και ϵ max 1 = 4 3 ϵ 0γ 2 max (5.42) Παρατηρούμε ότι η εκπομπή είναι νόμος δύναμης με εκθέτη ο οποίος καθορίζεται από την κατανομή των ηλεκτρονίων. Εχουμε δηλαδή ότι το παραγόμενο φάσμα (και κατά συνέπεια η ροή βλ. κεφάλαιο 3.1.1) των φωτονίων είναι της μορφής F ν I ν ν α με α = p 1 2 (5.43)
5.3 Αντίστροφος Σκεδασμός Compton 53 Η διαφορά στους εκθέτες ηλεκτρονίων και φωτονίων οφείλεται στο ότι η μέση ενέργεια των φωτονίων μετά τη σκέδαση συνδέεται με το τετράγωνο της ενέργειας του ηλεκτρονίου. Η παραπάνω σχέση είναι σημαντική γιατί μας επιτρέπει να εξάγουμε από παρατηρησιακά δεδομένα την ενεργειακή κατανομή των ηλεκτρονίων, συνεπώς μας δίνει πληροφορίες για τις φυσικές συνθήκες στην πηγή των φωτονίων. Πράγματι σε πολλές περιπτώσεις έχουμε μετρήσεις για τις παραμέτρους n 0 και ϵ 0 του πεδίου φωτονίων καθώς και το φάσμα της πηγής στις υψηλές ενέργειες. Με βάση αυτά τα στοιχεία μπορούμε να υπολογίσουμε τα χαρακτηριστικά των ηλεκτρονίων υψηλών ενεργειών που υπάρχουν σε αυτές. Εφαρμογή Ο ανιχνευτής Fermi ανακάλυψε περίπου 1000 ενεργούς γαλαξίες (που όλοι ανήκουν στην κατηγορία των blazars) να εκπέμπουν στις σκληρές ακτίνες γ. Αυτή η ανακάλυψη φανέρωσε για πρώτη φορά ότι οι ενεργοί γαλαξίες επιταχύνουν σωματίδια σε υψηλές ενέργειες. Μία σχεδόν καθολικά αποδεκτή θεωρία για τους blazars προτείνει ότι πρόκειται περί ενεργών γαλαξιών με τους πίδακές τους στραμμένους προς την κατεύθυνση της Γης (σε αντίθεση με τους ραδιογαλαξίες που έχουν τους πίδακες σε μεγάλες γωνίες ως προς την κατεύθυνση της Γης). Αυτός ο χαρακτηριστικός προσανατολισμός είναι που προσδίδει στους blazars τις ιδιομορφίες τους (ταχύτατες αυξομειώσεις στην ένταση, ισχυρή πόλωση, σε πολλές περιπτώσεις υπέρφωτη κίνηση και ακτινοβολία γ) μιας και η συνολική εκπομπή τους κυριαρχείται από την εκπομπή του πίδακά τους. Το σχήμα 5.8 παρουσιάζει το φάσμα εκπομπής από τον blazar PG 1553+113. Το εύρος του καλύπτει από τα ραδιοκύματα (1 GHz) έως ενέργειες γ πολύ υψηλών ενεργειών (10 TeV). Αυτό που προκαλεί εντύπωση δεν είναι μόνο οι 19 τάξεις μεγέθους που καλύπτει η εκπομπή του συγκεκριμένου blazar, αλλά και η συνεχής μεταβολή της ροής που παρατηρείται κυρίως σε ακτίνες Χ και γ. Οπως και στην περίπτωση των pulsars, μία από τις βασικές απόψεις για την ακτινοβολία γ (ενέργειες από 1 MeV έως 10 TeV) είναι ότι πρόκειται για αντίστροφο σκεδασμό Compton σχετικιστικών ηλεκτρονίων. Τα ηλεκτρόνια επιταχύνονται σε ωστικά κύματα που οδεύουν στους πίδακες 2 και σκεδάζουν σε υψηλές ενέργειες είτε φωτόνια του δίσκου προσαύξησης της κεντρικής μελανής οπής είτε φωτόνια των γραμμών εκπομπής [σχήμα 5.9]. Επειδή τα φωτόνια αυτά έχουν ενέργειες από υπέρυθρο έως το υπεριώδες μέρος του φάσματος (ϵ 0 0.1eV ) και οι ακτίνες γ μπορούν να φτάσουν τουλάχιστον μέχρι 1 TeV, βρίσκουμε ότι απαιτούνται ηλεκτρόνια με 2 Πρόκειται για μηχανισμό επιτάχυνσης ανάλογο με αυτόν που έχει παρατηρηθεί στα ωστικά κύματα των υπερκαινοφανών.
54 Σκεδασμός Compton Σχήμα 5.8: Εκπομπή του Ενεργού Γαλαξία PG 1553+113 σε όλο το εύρος του Η/Μ φάσματος και για διάφορες εποχές παρατήρησης. παράγοντες Lorentz γ ϵ 1 /ϵ 0 = 3 10 7. 5.3.5 Το κβαντικό όριο Klein-Nishina Οπως ήδη έχουμε αναφέρει, σε περιπτώσεις όπου ο παράγοντας Lorentz των ηλεκτρονίων και η ενέργεια ε των φωτονίων πριν τη σκέδαση ικανοποιούν τη σχέση γϵ m e c 2 δεν μπορούμε πλέον να χρησιμοποιήσουμε την κλασική προσέγγιση για να περιγράψουμε την αλληλεπίδραση. Αντίθετα θα πρέπει να θεωρήσουμε το φωτόνιο ως σωμάτιο και να χρησιμοποιήσουμε την κβαντική εκδοχή της ενεργού διατομής του σκεδασμού που δίνεται από τη σχέση (5.10). Επειδή αυτή ελαττώνεται όσο αυξάνει η ενέργεια της σύγκρουσης, ελαττώνεται και ο ρυθμός των συγκρούσεων ηλεκτρονίων-φωτονίων. Ταυτόχρονα μπορεί να δειχθεί, με ανάλογη μέθοδο με αυτή που οδήγησε στη σχέση (5.21), ότι η μέση τιμή της ενέργειας που λαμβάνει ένα φωτόνιο μετά τον σκεδασμό αυξάνεται και ότι για πολύ υψηλές τιμές του γινομένου γϵ αυτή μπορεί να πλησιάσει την ενέργεια του ηλεκτρονίου. Στο ακραίο δηλαδή σχετικιστικό όριο του αντίστροφου σκεδασμού Compton έχουμε μεν πιο αραιές συγκρούσεις ηλεκτρονίων-φωτονίων αλλά σε αυτές τις συγκρούσεις τα ηλεκτρόνια δίνουν όλη τους σχεδόν την ενέργεια στα φωτόνια σκεδάζοντάς τα σε πολύ υψηλές ενέργειες. Υπενθυμίζουμε ότι στο μη σχετικιστικό όριο Thomson ισχύουν τα αντίθετα. Οι συγκρούσεις ηλεκτρονίων-φωτονίων είναι πιο συχνές αλλά τα ηλεκτρόνια χάνουν ένα μικρό μέρος της ενέργειάς τους σε κάθε σύγκρουση. Μία σε βάθος ανάλυση του ορίου Klein-Nishina ξεφεύγει
5.3 Αντίστροφος Σκεδασμός Compton 55 Σχήμα 5.9: Σχηματική αναπαράσταση της γεωμετρίας του πυρήνα ενός ενεργού γαλαξία. Ωστικά κύματα που κινούνται μέσα στον πίδακα (δεξί μέρος του σχήματος) επιταχύνουν ηλεκτρόνια τα οποία σκεδάζουν φωτόνια του δίσκου προσαύξησης (αριστερό μέρος του σχήματος) σε υψηλές ενέργειες. του παρόντος καθώς η ενεργειακή εξάρτηση της ενεργού διατομής κάνει τους υπολογισμούς πολύπλοκους. Εδώ θα παρουσιάσουμε μόνο έναν απλό τρόπο για να υπολογίσουμε τις ενεργητικές απώλειες των ηλεκτρονίων. Εστω λοιπόν ότι μονοενεργητικά ηλεκτρόνια ενέργειας γm e c 2 εισέρχονται σε μονοχρωματικό πεδίο φωτονίων χαρακτηριστικής ενέργειας ϵ 0 και αριθμητικής πυκνότητας n 0 και έστω ότι ισχύει γϵ 0 m e c 2. Σύμφωνα με τα όσα αναφέραμε στην παράγραφο 5.3.3 οι ενεργειακές απώλειες των ηλεκτρονίων δίνονται από τη σχέση de dt =< ϵ 1 > dn dt =< ϵ 1 > n 0 σ KN c Εάν λοιπόν θέσουμε < ϵ 1 > γm e c 2 και χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (5.10) παίρνουμε de dt = 3 ( σ T cn 0 m e c 2 ln 2 γϵ 0 8 ϵ 0 m e c + 1 ) (5.44) 2 2 Συγκρίνοντας την παραπάνω σχέση με τη σχέση (5.29) διαπιστώνουμε ότι όσο αυξάνεται η ενέργεια των ηλεκτρονίων και ο σκεδασμός κινείται από το μη σχετικιστικό στο σχετικιστικό όριο, οι ενεργειακές απώλειες των ηλεκτρονίων ουσιαστικά γίνονται σχεδόν ανεξάρτητες της ενέργειας των ηλεκτρονίων. Δεν θα ασχοληθούμε άλλο εδώ με το όριο Klein-Nishina παρόλο που αυτό συναντάται συχνά στην Αστροφυσική Υψηλών Ενεργειών, με αποτέλεσμα βέβαια να δυσχεραίνει σημαντικά τους υπολογισμούς.
56 Σκεδασμός Compton 5.4 Ασκήσεις Άσκηση 5.1: Να ολοκληρώσετε ως προς στερεά γωνία τη σχέση (5.2) για να βρείτε τη σχέση (5.1). Υπενθυμίζεται ότι dω = sin ΘdΘdφ. Άσκηση 5.2: Ολοκληρώνοντας τη σχέση (5.9) ως προς στερεά γωνία να δείξετε ότι η ολική ενεργός διατομή στην περίπτωση μη πολωμένης ακτινοβολίας ισούται με σ T. Άσκηση 5.3: Να δειχθεί ότι στο σύστημα ηρεμίας του ηλεκτρονίου Κ τα φωτόνια προσπίπτουν σε έναν στενό κώνο που έχει για άξονα τον αρνητικό άξονα των x και άνοιγμα γ 1. (Υπόδειξη: Να εξετάσετε τι συμβαίνει για ένα φωτόνιο που προσπίπτει σχηματίζοντας ορθή γωνία με τη διεύθυνση του ηλεκτρονίου στο σύστημα Κ). Άσκηση 5.4: Ξεκινώντας από τη σχέση (5.17) να αποδείξετε τη σχέση (5.18). Άσκηση 5.5: Να αποδειχθεί η σχέση (5.22). (Υπόδειξη: Να ξεκινήσετε από τη σχέση (5.4) και να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι η ακτινοβολούμενη ισχύς P ισούται με τις ενεργειακές απώλειες του ηλεκτρονίου καθώς και το ότι η ενεργειακή πυκνότητα των φωτονίων δίνεται από τη σχέση u φωτ = Ei 2 /8π, όπου E i i είναι οι εντάσεις των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που σκεδάζονται από το ηλεκτρόνιο). Άσκηση 5.6: Ξεκινώντας από τη σχέση (5.12) να αποδείξετε την (5.33). Άσκηση 5.7: Να βρεθεί ο συντελεστής στη σχέση (5.40). Άσκηση 5.8: Να αποδειχτεί η σχέση (5.41). Άσκηση 5.9: Δίνεται η σχέση ϵ 1 ϵ = 1 β cos θ 1 β cos θ 1 + ϵ m e γc 2 (1 cos α) (5.45)
5.4 Ασκήσεις 57 όπου ϵ, ϵ 1 είναι οι ενέργειες του φωτονίου πριν και μετά τη σκέδαση αντίστοιχα, μετρημένες στο σύστημα του εργαστηρίου. Επίσης α είναι η γωνία που σχηματίζουν οι διευθύνσεις των ορμών του φωτονίου πριν και μετά τη σκέδαση. 1. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (5.45) να υπολογίσετε: Τη μέγιστη και την ελάχιστη ενέργεια του σκεδαζόμενου φωτονίου (όπως αυτή μετράται στο σύστημα του εργαστηρίου) στο όριο Thomson. Τι βλέπετε; Κερδίζουν ή χάνουν ενέργεια τα φωτόνια; (Υπόδειξη: Για το όριο Thomson χρησιμοποιήστε την εξ. (5.45) αφού πρώτα την γράψετε στο σύστημα ηρεμίας του ηλεκτρονίου.) 2. Να υπολογίσετε τη μέση ενέργεια του σκεδαζόμενου φωτονίου (όπως αυτή μετράται στο σύστημα του εργαστηρίου) στο όριο Thomson, χρησιμοποιώντας τον συνολικό ρυθμό απώλειας ενέργειας ενός ηλεκτρονίου ενέργειας m e γc 2 και τον μέσο ρυθμό σκεδασμού των φωτονίων. Πώς σχετίζεται με τη μέγιστη ενέργεια; 3. Υπολογίστε τη μέγιστη ενέργεια και για το όριο Klein-Nishina. Η μέση ενέργεια αποδεικνύεται ότι είναι επίσης πολύ κοντά στη μέγιστη ενέργεια. Κρίνοντας από το αποτέλεσμα που βρήκατε, τι συμπεραίνετε για τους σκεδασμούς σε αυτό το όριο; Τι άλλο αλλάζει σε σχέση με το κλασικό όριο; 4. Εστω ότι ηλεκτρόνιο με παράγοντα Lorentz γ = 10 3 σκεδάζει φωτόνιαστόχους διάφορων ενεργειών. Να συμπληρώσετε τον επόμενο πίνακα (σκεφτείτε σε ποιο όριο γίνονται οι σκεδασμοί) Περιοχή ΗΜ φάσματος Συχνότητα στόχου Συχνότητα φωτονίου μετά ν (Hz) τη σκέδαση ν 1 (Hz) Ραδιοκύματα 10 9 Μακρινό Υπέρυθρο 3 10 12 Οπτικό 4 10 14 Άσκηση 5.10: Η πλήρης έκφραση για την ενεργό διατομή του αντίστροφου σκεδασμού Compton είναι: σ = 3 4 [ 1 + x x 3 [ 2x (1 + x ] ) ln(1 + 2x ) + 1 1 + 2x 2x ln(1 + 2x ) 1 + ] 3x, (1 + 2x ) 2 όπου x = ϵ /m e c 2 είναι η αδιάστατη ενέργεια του φωτονίου στο σύστημα ηρεμίας του ηλεκτρονίου.
58 Σκεδασμός Compton x 1 Οριο Thomson x > 1 Οριο Klein-Nishina Με χρήση αναπτύγματος Taylor να βρείτε τις προσεγγιστικές εκφράσεις για την ενεργό διατομή στα δύο παραπάνω όρια. (Υπόδειξη: για το όριο Thomson θα χρειαστεί να κρατήσετε μέχρι και 3ης τάξης όρους σε ορισμένα αναπτύγματα για να βρείτε ότι σ σ T.) Άσκηση 5.11: Δεδομένου ότι ο ρυθμός απώλειας ενέργειας ενός ηλεκτρονίου με παράγοντα Lorentz γ λόγω αντίστροφου σκεδασμού Compton είναι de dt = 4 3 cσ T u φωτ β 2 γ 2 4 3 cσ T u φωτ γ 2 να εκτιμήσετε τον χρόνο ζωής (συναρτήσει του γ) ενός ηλεκτρονίου που κινείται εντός του μικροκυματικού υποβάθρου ακτινοβολίας. (Δίνεται ότι η θερμοκρασία του υποβάθρου είναι T = 2.7 Κ.) Άσκηση 5.12: Η συνάρτηση που μας δίνει το φάσμα στην περίπτωση μονοενεργειακών ηλεκτρονίων και φωτονίων δίνεται από τη σχέση (5.34) για το όριο Thomson. Μπορεί να προσεγγιστεί με μια συνάρτηση δέλτα περί τη μέση ενέργεια, δηλαδή I γ (ϵ 1 ) = Aϵ 1 δ(ϵ 1 4 3 γ2 ϵ) Βρείτε ποια είναι η σταθερά A απαιτώντας ο ρυθμός της ακτινοβολούμενης ενέργειας των φωτονίων να ισούται με τον ρυθμό απώλειας ενέργειας του ηλεκτρονίου. Αν έχουμε ηλεκτρόνια νόμου δύναμης dn e /dγ = k e γ p, γ min γ γ max να γράψετε πώς υπολογίζεται το φάσμα για ένα αυθαίρετο πεδίο φωτονίων n(ϵ). Για μονοχρωματικά φωτόνια προκύπτει ένα φάσμα επίσης της μορφής νόμου δύναμης με δείκτη α = (p 1)/2. Να δειχθεί. Ποια τα όρια αυτού; Αν το σκεδαζόμενο πεδίο φωτονίων είναι μέλαν σώμα, ποια η μορφή του φάσματος;
5.4 Ασκήσεις 59 Άσκηση 5.13: Υποθέστε ότι ηλεκτρόνια επιταχύνονται από ένα σταθερό ηλεκτρικό πεδίο έντασης E statvolt / cm. Στο ίδιο περιβάλλον υπάρχει ένα λουτρό φωτονίων, αριθμητικής πυκνότητας n γ και ενέργειας < E x > στο σύστημα εργαστηρίου. Η ενεργός διατομή για αντίστροφο σκεδασμό Compton δίνεται από την Άσκηση 10. Το κάθε ηλεκτρόνιο ξεκινάει με μηδενική ταχύτητα, οπότε, εφόσον έχει διανύσει απόσταση d στο ηλεκτρικό πεδίο, η ενέργεια που θα έχει αποκτήσει θα είναι E = eed. 1. Ορίσατε το x max συναρτήσει του ηλεκτρικού πεδίου, της ενέργειας < E x > και της απόστασης d, όπου x = ϵ /m e c 2 είναι η αδιάστατη ενέργεια ενός φωτονίου όπως αυτή μετράται στο σύστημα ηρεμίας του ηλεκτρονίου. Αν υποθέσουμε ότι x max 1, υπολογίστε (με ακρίβεια τάξης μεγέθους) το οπτικό βάθος για αντίστροφο σκεδασμό Compton. Θεωρήστε την αριθμητική πυκνότητα n γ γνωστή. 2. Υποθέστε ότι τα φωτόνια παράγονται κοντά σε μία κεντρική πηγή λαμπρότητας L, ώστε σε απόσταση R από αυτήν η αριθμητική πυκνότητα φωτονίων να είναι n γ = L/(4πR 2 c < E x >). Υπολογίστε ξανά (με ακρίβεια τάξης μεγέθους) το οπτικό βάθος για αντίστροφο σκεδασμό Compton. Λύστε για d = 0.1R, R = 10 8 cm, L = 10 37 erg s 1, < E x >= 1000 ev, και E = 10 4 statvolt cm 1. (1 statvolt = 300 Volt, 1 statcoulomb = 1/3 10 9 Coulomb, Volt = Joule/Coulomb.) Πως εκτιμάτε τις δυνατότητες επιτάχυνσης ηλεκτρονίων σε αυτό το σύστημα; Άσκηση 5.14: Ο Geminga pulsar (σχήμα 5.10) παρατηρήθηκε στις ακτίνες γ κατά τη δεκαετία του 1990. Η περίοδος περιστροφής του είναι 0.237 s με P = 1.097 10 14, η δε απόστασή του από εμάς είναι D = 552 ly (1 parsec = 3.26 ly). Η εκπομπή του στις ακτίνες γ υπερβαίνει κατά 3 τάξεις μεγέθους την εκπομπή του στις ακτίνες Χ και κατά 9 τάξεις μεγέθους τη ραδιοεκπομπή. Μία εξήγηση της εκπομπής αυτής είναι ο αντίστροφος σκεδασμός Compton από σχετικιστικά ηλεκτρόνια που επιταχύνονται στη μαγνητόσφαιρα του Geminga και σκεδάζουν θερμικά φωτόνια, που εκπέμπονται στις ακτίνες Χ. Ξεκινώντας από αυτήν την υπόθεση μπορούμε να εκτιμήσουμε την ενεργειακή κατανομή των σχετικιστικών ηλεκτρονίων που θα χρειαζόταν το μοντέλο για να λειτουργήσει. 1) Ο νόμος δύναμης που παρατηρούμε στις ακτίνες γ έχει φασματικό δείκτη a = 0.5. Αυτό σημαίνει ότι τα ηλεκτρόνια θα πρέπει να έχουν κατανομή νόμου δύναμης με εκθέτη που δίνεται από τη σχέση a = p 1, άρα p = 2. 2
60 Σκεδασμός Compton Σχήμα 5.10: Εκπομπή του Geming Pulsar σε όλο το εύρος του Η/Μ φάσματος. Τα βέλη δηλώνουν πάνω όρια 2) Από τις παρατηρήσεις στις ακτίνες Χ, διαπιστώνεται ότι το φάσμα εκεί μπορεί να προσεγγιστεί με μία συνάρτηση δ (μονοχρωματική εκπομπή) της μορφής A 0 δ(ν ν 0 ) με A 0 = 10 11 Jy Hz και ν 0 = 10 17 Hz. (1 Jy = 10 23 erg s 1 cm 2 Hz 1 ). Εάν θεωρήσουμε τα φωτόνια αυτά σαν τα φωτόνια χαμηλών ενεργειών για τον αντίστροφο σκεδασμό Compton, τότε από τις σχέσεις ϵ min 1 = 4ϵ 3 0γmin 2 και ϵ max 1 = 4ϵ 3 0γmax 2 βρείτε τα γ min και γ max για ν1 min = 10 22 Hz και ν1 max = 10 24 Hz. 3) Για να βρούμε την αριθμητική πυκνότητα n 0 των φωτονίων στις ακτίνες Χ θεωρούμε ότι προέρχονται από την επιφάνεια του αστέρα, οπότε γράφουμε L 0 = 4πR 2 cu 0 = 4πR 2 chν 0 n 0, όπου L 0 είναι η λαμπρότητα στις ακτίνες Χ, R η ακτίνα του αστέρα νετρονίων και u 0 = hν 0 n 0 η ενεργειακή πυκνότητα των ακτίνων Χ. Η λαμπρότητα λαμβάνεται κατευθείαν από τις παρατηρήσεις μας, L 0 = 4πD 2 dνf o = 4πD 2 A 0. Οπότε, χρησιμοποιώντας και ότι R = 10 6 cm, μπορείτε να υπολογίσετε το n 0 ; 4) Από τη σχέση I pl (ϵ 1 ) = 1k 2 en 0 σ T cϵ p 1 2 2 1 και το n 0 μπορούμε να βρούμε τη σταθερά k e των ηλεκτρονίων. Από το φάσμα έχουμε ότι ν 1 = 10 24 Hz, νf ν = 10 14 JyHz, και συνεπώς η ένταση ακτινοβολίας στη μαγνητόσφαιρα του pulsar θα είναι I ν = 4πD 2 F ν = 5 10 35 erg/s/hz. Μπορούμε πλέον να λύσουμε την αρχική σχέση ως προς k e (κάντε το). Η συνολική ενέργεια που 0 ϵ 1 p 1 υπάρχει στα ηλεκτρόνια δίνεται από τη σχέση E tot = γmax γ min dγ γm e c 2 N(γ).
5.5 Βιβλιογραφία 61 Χρησιμοποιώντας τη σχέση N(γ) = k e γ p για γ min γ γ max μπορείτε να υπολογίσετε το E tot ; 5) Οι ενεργειακές απώλειες των ηλεκτρονίων δίνονται από τη σχέση ( ) de = 4 dt 3 σ T cu φωτ β 2 γ 2. Από αυτές μπορούμε να εκτιμήσουμε τον χρόνο ζωής ηλεκτρονίων με παράγοντα Lorentz γ ως τ(γ) = E e ( de dt ) = γm ec 2 4 3 σ T cu φωτ γ 2. Θέτοντας u φωτ = u 0 = hn 0 ν 0 = 9.3 10 6 erg/cm 3 βρίσκουμε τ(γ) 3.3γ 1. Για γ max 3 10 3, ο χρόνος αυτός είναι της τάξης των δευτερολέπτων. Αυτό σημαίνει ότι νέα ηλεκτρόνια θα πρέπει συνεχώς να επιταχύνονται σε τέτοιες ενέργειες για να αναπληρώνουν αυτά που χάνονται, και έτσι έχουμε μία ένδειξη για την επιτάχυνση σωματιδίων στις μαγνητόσφαιρες των pulsars. ν2 6) Η συνολική λαμπρότητα του pulsar στις ακτίνες γ είναι L γ = 4πD 2 dνf ν 7 10 33 erg/s. Ο ρυθμός ακτινοβολίας περιστρεφόμενου δίπολου, όμως, για τις παραμέτρους του Geminga pulsar μας δίνει Ė = 1.2 10 34 erg/s. Συγκρίνοντας τα δύο μεγέθη μπορούμε να παρατηρήσουμε το ποσοστό της συνολικά ακτινοβολούμενης ενέργειας που μετατρέπεται σε ακτίνες γ. ν 1 5.5 Βιβλιογραφία Longair, M. S., (2011), High Energy Astrophysics. Cambridge University Press (3rd edition). Blumenthal, G. B., & Gould, R. J. (1970). Bremsstrahlung, Synchrotron Radiation, and Compton Scattering of High-Energy Electrons Traversing Dilute Gases. Reviews of Modern Physics 42, 237.