ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΟΥΣΗ. m 1. m 2. Σαράντος Οικονοµίδης- Φυσικός

1 ΕΛΑΣΤΙΗ ΡΟΥΣΗ 1. ύο σφαίρες µε µάζες 1 =1 kg και 2 =3 kg ολισθαίνουν (χωρίς να περιστρέφονται) πάνω σε λείο δάπεδο, κατευθυνόµενες η µία προς την άλλη µε ταχύτητες αντίστοιχα υ 1 =10 /s και υ 2 =20 /s. Αν η κρούση που θα ακολουθήσει είναι µετωπική-ελαστική να βρεθούν: α) οι ταχύτητες των σφαιρών µετά την κρούση. β) το % ποσοστό της απώλειας της ενέργειας της σφαίρας µάζας 2 κατά την κρούση. ΑΠ.: α) 35 /s, 5 /s β) 2. Οι σφαίρες Α, Β, Γ βρίσκονται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Η σφαίρα Α έχει ταχύτητα υ=15 /s, ενώ οι Β, Γ ηρεµούν. Οι µάζες των Α, Β είναι ίσες Α = B =2 kg. Πόσες κρούσεις θα γίνουν και ποιές οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών στις περιπτώσεις: α) Γ =1 kg β) Γ =3 kg Όλες οι κρούσεις είναι µετωπικές ελαστικές. 3. Εκτρέπουµε το σφαιρίδιο µάζας 1 του διπλανού σχήµατος, σε ύψος h και το αφήνουµε ελεύθερο. Αυτό θα συγκρουστεί µετωπικά ελαστικά µε το σφαιρίδιο µάζας 2 =κ 1. Να βρεθούν τα ύψη που θα αναπηδήσουν τα σφαιρίδια µετά την κρούση. Γνωστά κ, h. ΑΠ.: h 1 =(1-κ/1+κ) 2, h 2 =(2/1+κ) 2 h 4. ύο σφαίρες αµελητέων ακτίνων µε µάζες 1 και 2, όπου 1 = 2, αφήνονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h 1 =18 επί οριζοντίου επιπέδου. Οι σφαίρες κινούνται στην ίδια κατακόρυφο. Αφήνεται πρώτα η σφαίρα µάζας 1 και µετά η σφαίρα 2. Η σφαίρα 1 προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. όλις αποχωρισθεί από το επίπεδο, συγκρούεται µετωπικά µε την κατερχόµενη σφαίρα 2. Να θεωρηθεί ότι, όταν οι σφαίρες συγκρούονται έχουν διανύσει την ίδια κατακόρυφη απόσταση h 1. Όλες οι κρούσεις είναι ελαστικές και η αντίσταση του αέρα αµελητέα. Να λυθεί το πρόβληµα αυτό και στη γενική περίπτωση όπου 1 / 2 =λ, µε λ>1. ΑΠ.: h 2 =h 1 =18, (3λ-1/λ+1) 2 h. 5. Το σφαιρίδιο του εκκρεµούς του διπλανού σχήµατος έχει µάζα =1 kg. Εκτρέπουµε το σφαίδιο, ώστε το σχοινί µήκους l=0,9 να σχηµατίζει µε την κατακόρυφο γωνία θ=60 ο. Αφήνουµε το σφαιρίδιο, οπότε στην κατώτερη θέση Α υ 1 Β l h θ Γ l 2

2 της τροχιάς του συγκρούεται µετωπικά ελαστικά µε το σώµα µάζας =3 kg, που ηρεµεί στο λείο δάπεδο. Το σώµα θα συµπιέσει το ελατήριο σταθεράς K=675 Ν/, ενώ το σφαιρίδιο θα εκτιναχθεί πάλι πίσω. Να βρεθούν: α) η µέγιστη συµπίεση του ελατηρίου. β) το % ποσοστό απώλειας της ενέργειας του σφαιριδίου κατά την κρούση. γ) η µέγιστη γωνία θ, που θα εκτραπεί το σχοινί µετά την κρούση. ίνεται g=10 /s 2. ΑΠ.: α) 0,1, β) 75%, γ) συνθ =0,875 θ =29 6. Το σώµα µάζας 1 κινείται στο οριζόντιο δάπεδο και συγκρούεται µετωπικά ελαστικά µε τη σφαίρα µάζας 2 =2 1, που είναι αρχικά ακίνητη, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. ετά την κρούση η σφαίρα ανεβαίνει σε µέγιστο ύψος h, ενώ το σώµα διανύει στο δάπεδο διάστηµα S=1,25h, µέχρι να σταµατήσει. Να βρεθεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ σώµατος και δαπέδου. ΑΠ.: 0,2 7. Η επιβράδυνση των νετρονίων, µάζας και ταχύτητας υ, γίνεται µε ελαστικές κρούσεις αυτών µε ακίνητους πυρήνες άλλων στοιχείων µάζας. α) Να βρεθεί το ποσοστό της ενέργειας που χάνουν τα νετρόνια σε κάθε τέτοια κρούση συναρτήσει του λόγου λ= M. β) Για ποια τιµή του λ τα νετρόνια χάνουν όλη την ενέργειά τους; ΑΠ.: 4λ (λ + 1) 2, λ=1 8. Το σώµα µάζας =1 kg αφήνεται να R κατέλθει στο τραχύ τεταρτοκύκλιο ακτίνας R=1, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Αυτό στη βάση του φ R τεταρτοκυκλίου συγκρούεται µετωπικά - ελαστικά µε το σώµα µάζας 2, το 2 οποίο είναι αρχικά ακίνητο. Το σώµα A µάζας 2 κινείται µετά την κρούση στο λείο οριζόντιο δάπεδο, συναντά το ελατήριο και του προκαλεί µέγιστη συµπίεση x=0,4. Το σώµα µάζας µετά την κρούση ανέρχεται στο τεταρτοκύκλιο µέχρι το Α, όπου φ=23 ο (συν23 ο =0,92). Ποια η ολική θερµότητα, που αναπτύχθηκε λόγω τριβών κατά την κάθοδο του σώµατος µάζας στο τεταρτοκύκλιο και την άνοδό του µέχρι το Α. ίνονται =100 Ν/ και g=10 /s 2. ΑΠ.: 1,2 J ο 1 2 h

3 9. Η σφαίρα µάζας 1 κινείται µε ταχύτητα υ και συγκρούεται µετωπικά - ελαστικά µε την αρχικά ακίνητη σφαίρα µάζας 2. ατόπιν, η σφαίρα µάζας 2 συγκρούεται µε τον τοίχο ελαστικά και αλλάζει φορά κίνησης. Να βρεθεί ο 2 λόγος, ώστε να µη συµβεί άλλη κρούση. 1 ΑΠ.: 2 3 1 10. Εκτρέπουµε το σφαιρίδιο µάζας 1 του διπλανού σχήµατος, ώστε το νήµα να σχηµατίζει γωνία θ 1 =60 ο µε την κατακόρυφο και το αφήνουµε. Αν οι κρούσεις που θα ακολουθήσουν είναι µετωπικές ελαστικές, να βρεθεί η µέγιστη γωνία θ 2, που θα εκτραπεί το νήµα της 1 2 3 3. ίνεται: = =. 1 2 3 193 ΑΠ.: συνθ 2 = θ 2 31 ο 225 1 θ 2 1 θ 1 2 3 11. υο ελαστικές σφαίρες έχουν µάζες 1 =0,30 kg και 2 =0,50 kg και ταχύτητες υ 1 =20 /s και υ 2 =10 /s, που έχουν τον ίδιο φορέα και την ίδια φορά. Οι σφαίρες συγκρούονται, οπότε παραµορφώνονται προσωρινά και στη συνέχεια ξαναπαίρνουν το αρχικό τους σχήµα. α) Πόση είναι η µέγιστη δυναµική ενέργεια παραµόρφωσης κατά την κρούση; β) Ποιες θα είναι οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών; Εννοείται ότι δεν υπάρχει µετατροπή ενέργειας σε θερµοδυναµική ενέργεια. 12. Ελαστική σφαίρα µάζας 3 κινείται χωρίς τριβές µε ταχύτητα υ 1 =10 /s σε οριζόντιο δάπεδο και προσπίπτει πάνω σε ακίνητες σφαίρες µαζών 2 και, που βρίσκονται σε επαφή. α) Αν οι κρούσεις είναι ελαστικές και µετωπικές, να υπολογιστούν οι τελικές ταχύτητες των τριών σφαιρών µετά τις διαδοχικές κρούσεις. β) Αν η µάζα της σφαίρας 2 είναι 0,20 kg, να υπολογιστούν οι δυνάµεις κρούσεως που δέχεται αυτή, αν υποτεθούν σταθερές και ότι κάθε κρούση διαρκεί 0,010 s. 13. Από το σηµείο Α αφήνουµε µια σφαίρα µε µάζα να κινηθεί στο εσωτερικό της κυλινδρικής επιφάνειας ακτίνας R=0,050, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Στο σηµείο Γ συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε µια άλλη σφαίρα της ίδιας ακτίνας και µάζας 9 που βρίσκεται ακίνητη στο σηµείο Γ. Να βρεθούν οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών. Οι τριβές θεωρούνται αµελητέες (g=10 /s 2 ). A R Γ R 9 3

4 14. Σφαίρα µάζας 1 κινείται µε ταχύτητα υ 1 και συγκρούεται κεντρικά ελαστικά µε ακίνητη σφαίρα µάζας 2. Να βρεθούν οι τιµές της 2 για τις οποίες αυτή µετά την κρούση έχει τη µέγιστη δυνατή: α) ταχύτητα. β) κινητική ενέργεια. γ) ορµή. ΑΠ.: α) 2 << 1, β) 1 = 2, γ) 2 >> 1 15. Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και µπροστά από κατακόρυφο τοίχο δίνονται δύο σηµεία Α, Β που απέχουν αντίστοιχα από τον τοίχο 2,75 και 4. Ακόµα, ΑΒ=10. Από το Α εκσφενδονίζεται ελαστική σφαίρα, η οποία κτυπά στον τοίχο και περνά από το Β. Να βρεθεί το µήκος της τροχιάς της σφαίρας από το Α ως το Β. ΑΠ.: 12 ΑΝΕΛΑΣΤΙΗ ΡΟΥΣΗ 1. Η σφαίρα µάζας 1 =1 kg του διπλανού σχήµατος, αφήνεται από ύψος h 1 =5 να 1 κατέλθει στο λείο κεκλιµένο επίπεδο και κατόπιν συνεχίζει την κίνησή της στο λείο οριζόντιο δάπεδο, όπου συγκρούεται µε h 1 2 την ακίνητη σφαίρας µάζας 2 =5 kg. Η σφαίρα µάζας 1 µετά την κρούση επιστρέφει προς τα πίσω και ανεβαίνει πάλι στο κεκλιµένο επίπεδο µε µέγιστο ύψος h 2 =7,25. α) Να βρεθεί η ταχύτητα της σφαίρας µάζας 2 αµέσως µετά την κρούση. β) Να δείξετε ότι η κρούση δεν είναι ελαστική. γ) Να βρείτε το % ποσοστό απώλειας της µηχανικήςενέργειας του συστήµατος των σφαιρών. ίνεται g=10 /s 2. ΑΠ.: α) 3 /s, γ) 30% 2. Βλήµα µάζας 10 g κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ 1 =500 /s. Αυτό διέρχεται ακαριαία από κοµµάτι ξύλου µάζας 1 kg, που ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο. Το βλήµα εξέρχεται από το ξύλο µε ταχύτητα υ 2 =100 /s, ενώ το ξύλο ολισθαίνει στο δάπεδο και σταµατά µετά από 2. Να βρεθεί: α) η θερµότητα που αναπτύχθηκε κατά τη διέλευση του βλήµατος από το ξύλο (θεωρούµε ότι έγινε θερµότητα όλη η απώλεια κινητικής ενέργειας). β) πόση θερµότητα αναπτύχθηκε λόγω τριβών του ξύλου µε το δάπεδο. γ) ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ ξύλου και δαπέδου. ίνεται g=10 /s 2.

5 3. Αν η σφαίρα του διπλανού σχήµατος εξέλθει από το ξύλο µε ταχύτητα υ/2, ποια θα είναι η ελάχιστη τιµή της υ, ώστε το ξύλο να ανακυκλώσει γύρω από το Ο; Γνωστά:,, h, l, g. ΑΠ.: 2M 5 gl υ r O l 4. Η σφαίρα µάζας 2 ισορροπεί µε το νήµα κατακόρυφο. Η σφαίρα µάζας 1 αφήνεται από ύψος h, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. ετά την µετωπική κρούση οι σφαίρες κινούνται αντίθετα και φθάνουν σε µέγιστο ύψος h/9 και οι δύο. α) Ποιος ο λόγος 1 / 2 ; β) είξτε ότι η κρούση δεν είναι ελαστική. γ) Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής ενέργειας της σφαίρας µάζας 1 : i) που έγινε θερµότητα. 1 2 h E =0 ii) που µεταφέρθηκε στη σφαίρα µάζας 2 κατά την κρούση. iii) που παρέµεινε σ αυτήν. ΑΠ.: α) 1 4, γ) 4 4 9 9 1 9 ΠΛΑΣΤΙΗ ΡΟΥΣΗ 1. ύο σφαίρες κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και στην ίδια ευθεία µε ταχύτητες υ 1 =20 /s και υ 2 =5 /s. Έστω λ είναι ο λόγος των µαζών των 1 σφαιρών λ=. Οι σφαίρες κάποια στιγµή συγκρούονται και κολλάνε. Να 2 βρεθεί η ταχύτητα του συσσωµατώµατος στις περιπτώσεις: α) Οι σφαίρες πριν την κρούση τους κινούνται οµόρροπα και λ=½. β) Οι σφαίρες πριν την κρούση τους κινούνται αντίρροπα και: i) λ= 1 3 ii) λ= 1 4 iii) λ= 1 7 ΑΠ.: α) 10 /s, β) i)1,25 /s, ii) 0, iii) -1,875 /s 2. Ένα κοµµάτι ξύλου µάζας =1,9 kg είναι ακίνητο στο δάπεδο. Βλήµα µάζας =0,1 kg κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ=100 /s και σφηνώνεται στο ξύλο.

6 α) Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά τη σφήνωση του βλήµατος στο ξύλο. Η σφήνωση θεωρούµε πως γίνεται ακαριαία. β) Να βρεθεί το ίδιο, αν το ξύλο πριν τη σφήνωση του βλήµατος κινείται µε ταχύτητα υ 1 =5 /s i) οµόρροπα µε το βλήµα. ii) αντίρροπα µε το βλήµα. ΑΠ.: α) 5 /s, β) i) 9,75 /s, ii) 0,25 /s 3. Σφαίρα µάζας 1 =4 kg κινείται µε ταχύτητα υ 1 =15 /s πάνω σε λείο δάπεδο. Στο ίδιο δάπεδο κινείται δεύτερη σφαίρα µάζας 2 =1 kg µε ταχύτητα υ 2 =80 /s. Οι διευθύνσεις κίνησης των σφαιρών είναι κάθετες. άποια στιγµή οι σφαίρες συγκρούονται και κολλάνε. Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωµατώµατος που προκύπτει µετά τη σύγκρουση. ΑΠ.: 20 /s, 53 o µε υ r 1 4. Το σώµα µάζας =1,8 kg αφήνεται από το σηµείο Α να ολισθήσει κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Αφού το σώµα κατέλθει κατά S=1,6, συγκρούεται πλαστικά µε βλήµα µάζας =0,4 kg, που ανέρχεται παράλληλα µε το κεκλιµένο επίπεδο µε ταχύτητα υ. Η υ έχει τέτοια τιµή, ώστε, αν δεν είχαµε τριβές και η κρούση γινόταν στην ίδια θέση, το συσσωµάτωµα θα έφθανε πάλι ως το σηµείο Α ανερχόµενο. Όµως, υπάρχουν τριβές, οπότε το συσσωµάτωµα ανεβαίνει κατά S. Αν η= 4 3 S 1,81. Είναι παράλογο ότι S >S; 5. Το βλήµα µάζας =0,1 kg σφηνώνεται στο ξύλο µάζας =1,9 kg και το νήµα µήκους l=1,6 αποκλίνει (µέγιστη απόκλιση) κατά 60 ο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Να βρεθούν: α) η ταχύτητα υ του βλήµατος. υ r 30 o S και g=10 /s 2, δείξτε ότι είναι β) Το % ποσοστό απώλειας της ενέργειας του συστήµατος βλήµα - ξύλο κατά την κρούση. ίνεται g=10 /s 2. ΑΠ.: 80 /s, 95% M A l 60 o M+ 6. είξτε ότι κατά την πλαστική µετωπική κρούση κινούµενης σφαίρας µάζας 1 µε ακίνητη σφαίρα µάζας 2 το σύστηµα των σφαιρών χάνει ενέργεια. Ποιο το % ποσοστό απώλειας της ενέργειας στην παραπάνω κρούση, αν είναι 1 =3 2 ; ΑΠ.: 25% 7. Η φίλη σας είχε πρόσφατα ένα τροχαίο ατύχηµα και προσπαθεί να διαπραγµατευθεί µε την ασφαλιστική εταιρεία του άλλου οδηγού προκειµένου να της φτιάξει το αυτοκίνητο. Η φίλη σας θεωρεί ότι το άλλο αυτοκίνητο είχε

7 υπερβεί το όριο ταχύτητας και συνεπώς το λάθος ήταν του άλλου οδηγού. Γνωρίζει ότι ξέρετε Φυσική και ελπίζει ότι θα µπορέσετε να αποδείξετε τον ισχυρισµό της. Σας είπε λοιπόν ότι ταξίδευε προς τον Βορρά όταν µπήκε στην µοιραία διασταύρωση. εν υπήρχε σήµα STOP, κοίταξε και προς τις δύο κατευθύνσεις και δεν είδε κανένα αυτοκίνητο να πλησιάζει. Ήταν µια ηλιόλουστη µέρα. Όταν έφθασε στο µέσον της διασταύρωσης, το αυτοκίνητό της συγκρούστηκε µε το άλλο αυτοκίνητο που κινούταν προς την ύση. Τα δύο αυτοκίνητα µετά τη σύγκρουση παρέµειναν ενωµένα και ολίσθησαν µέχρι να σταµατήσουν. Το όριο ταχύτητας και στους δύο δρόµους ήταν 80 k/h. Από τα σηµάδια που είναι ακόµη ορατά στο δρόµο, βρήκατε ότι µετά τη σύγκρουση τα αυτοκίνητα ολίσθησαν 10 πριν σταµατήσουν, µε κατεύθυνση Βορειοδυτικά που σχηµάτιζε γωνία 30 ο µε την κατεύθυνση Ανατολής - ύσης. Από την αναφορά της τροχαίας πήρατε τη µάρκα και τη χρονολογία των δύο αυτοκινήτων και βρήκατε ότι η µάζα του αυτοκινήτου της φίλης σας ήταν 1200 kg, ενώ αυτή του άλλου αυτοκινήτου ήταν 1000 kg, συµπεριλαµβανοµένων των οδηγών. Επίσης βρήκατε ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των ελαστικών στη στεγνή άσφαλτο είναι µ=0,8 και το g 10 /s 2. Για να πείσετε την ασφαλιστική εταιρία δεν θα είναι αρκετό να αποδείξετε ότι ο άλλος οδηγός παραβίασε το όριο ταχύτητας αλλά και ότι η φίλη σας κινούταν µε ταχύτητα κάτω του ορίου ταχύτητας. Ποια είναι τα αποτελέσµατά σας; ΑΠ: Η ταχύτητα του άλλου οδηγού ήταν µεγαλύτερη από το όριο και της φίλης µας µικρότερη. ΡΟΥΣΗ ΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 1. Το σώµα µάζας =0,9 kg του διπλανού σχήµατος, εκτελεί ΑΑΤ γύρω από τη θέση Ο µε πλάτος 0,2. Τη στιγµή που περνά από το Ο, σφηνώνεται ακαριαία σ αυτό βλήµα µάζας =0,1 kg και υ ταχύτητας υ=62 /s. Τη Ο στιγµή της σφήνωσης βλήµα και σώµα έχουν οµόρροπες ταχύτητες. Να βρεθούν: α) το πλάτος της ΑΑΤ, που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα. β) η περίοδος της ταλάντωσης που εκτελεί αρχικά το σώµα, καθώς και η περίοδος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. γ) η ταχύτητα του συσσωµατώµατος, όταν αυτό περνά από τη θέση Α, όπου x=0,2. ηλαδή την ακραία θέση της ΑΑΤ, που εκτελεί αρχικά το σώµα. Για το ελατήριο =90 Ν/, τριβές αµελητέες. ΑΠ.: α) 0,84, β) 0,628 s, 0,662 s, γ) 7,77 /s x Α

8 2. Οι σφαίρες Α, Γ του διπλανού σχήµατος, έχουν ίσες µάζες =1 kg. Εκτοξεύουµε την Α µε ταχύτητα υ 0 =8 /s από απόσταση S=1,5 από τη Γ. S r α) Αν η κρούση των σφαιρών είναι ελαστική, να υ0 A βρεθεί το πλάτος της ΑΑΤ, που θα εκτελέσει η Γ. φ β) Αν η κρούση είναι πλαστική, να βρεθεί το πλάτος της ΑΑΤ, που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα. ίνονται: g=10 /s 2, K=400 N/, φ=30 ο, τριβές αµελητέες. ΑΠ.: α) 35 c, β) 24,78 c Γ 3. Το σώµα µάζας =1,96 kg του διπλανού σχήµατος, εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους x 0 =10 c. Τη στιγµή που αυτό περνά από το κέντρο ταλάντωσης κολλάει πάνω του ένα κοµµάτι πλαστελίνης, µάζας =0,6 kg, που πέφτει κατακόρυφα. Να βρεθεί το πλάτος της ΑΑΤ που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα. Τριβές αµελητέες. ΑΠ.: 8,75 c 4. Το σώµα Α µάζας =1 kg του διπλανού σχήµατος, ταλαντώνεται υ 0 γύρω από το Ο µε ω=20 rad/s και πλάτος x 0 =0,2. Το σώµα Β έχει ίδια µάζα και κινείται µε υ ταχύτητα υ=6 /s. Τα δύο σώµατα συγκρούονται πλαστικά, όταν το σώµα Α είναι στη θέση Ο ισορροπίας Ο και οι ταχύτητές τους είναι οµόρροπες. Αν η κρούση γίνεται τη στιγµή t=0, να βρεθούν: α) η ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. β) η περίοδος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. γ) η εξίσωση της αποµάκρυνσης x-t της ΑΑΤ, που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα. Τριβές αµελητέες. ΑΠ.: α) 5 /s, β) 0,1 2 π s, γ) x= 4 2 ηµ10 2 t 5. Σφαίρα µάζας =0,5 kg ανεβαίνει κατακόρυφα µε ταχύτητα υ=6 /s και συσσωµατώνεται µε το σώµα µάζας =2,5 kg, το οποίο ισορροπεί στο κάτω άκρο ελατηρίου σταθεράς =25 Ν/, του οποίου το πάνω άκρο είναι στερεωµένο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Να βρεθεί η εξίσωση της αποµάκρυσης x-t, στην ΑΑΤ που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα. (t=0 είναι η στιγµή της κρούσης και η θετική φορά προς τα πάνω). υ

9 ίνεται g=10 /s 2. 5 ΑΠ.: x=0,4ηµ( 3 3 π t + ) 6 6. Η σφαίρα µάζας =1 kg αφήνεται από ύψος h=80 c να πέσει στο δίσκο µάζας =2 kg, ο οποίος ισορροπεί στο ελατήριο του διπλανού σχήµατος σταθεράς =200 N/. ετά την κρούση η σφαίρα αναπηδά σε ύψος h =5 c. Να βρεθεί η µέγιστη (πρόσθετη) συµπίεση του ελατηρίου. ίνεται g=10 /s 2. ΑΠ.: 25 c 7. Ένας δίσκος µάζας =2 kg ισορροπεί δεµένος στην πάνω άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς =100 Ν/. Από ύψος h=0,6 πάνω από το δίσκο αφήνεται να πέσει ένα άλλο σώµα µάζας =2 kg, το οποίο συγκρούεται µετωπικά και πλαστικά µε το δίσκο πάνω στη διεύθυνση του κατακόρυφου ελατηρίου. Να βρείτε: α) το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα β) τη συνάρτηση υ=f(t) της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος. γ) το χρονικό διάστηµα που µεσολαβεί από τη στιγµή της κρούσης µέχρι τη στιγµή που η ταχύτητα του συσσωµατώµατος µηδενίζεται για πρώτη φορά. Θεωρείστε θετική φορά του άξονα της ταλάντωσης προς τα πάνω. ΑΠ.: α) 0,4, β) υ=2συν(5t+5π/6), γ) 2π/15s h ΓΕΝΙΕΣ 1. Από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου ύψους h=1,6 και γωνίας κλίσης φ=30 ο αφήνεται να ολισθήσει σώµα µάζας 1 =1 kg. Στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου το σώµα συναντά λείο οριζόντιο επίπεδο στο οποίο κινείται µέχρις ότου συγκρουστεί πλαστικά µε σώµα µάζας 2 =4 kg. Το συσσωµάτωµα κινούµενο συναντά και συσπειρώνει οριζόντιο ιδανικό ελατήριο, το οποίο έχει µόνιµα στερεωµένο το ένα άκρο του. Αν µεταξύ σώµατος και κεκλιµένου επιπέδου είναι n= 4 3, να βρεθούν: α) η συσπείρωση του ελατηρίου. β) το % ποσοστό ελάττωσης της αρχικής ενέργειας του σώµατος µάζας 1, κατά την ολίσθησή του επί του κεκλιµένου επιπέδου. ίνονται σταθερά ελατηρίου =1000 Ν/ και g=10 /s 2. ΑΠ.: α) x=4 c, β) u=75%

10 2. Από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ=30 ο, στερεώνεται διαµέσου ιδανικού ελατηρίου σώµα µάζας 1 =2 kg και το σύστηµα ισορροπεί πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο. Από τη βάση του κεκλιµένου επιπέδου κινείται προς τα πάνω σώµα µάζας 2 =3 kg και αρχικής ταχύτητας υ ο =5 /s, που έχει τη διεύθυνση του ελατηρίου. Τα δύο σώµατα συγκρούονται κεντρικά και η κρούση είναι πλαστική. Η αρχική απόσταση των δύο σωµάτων είναι 0,9. Αν η µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου µετά την κρούση είναι 0,2, να υπολογισθεί η σταθερά του ελατηρίου. ίνονται: τριβές αµελητέες, g=10 /s 2. ΑΠ.: =570 Ν/ 3. Tα ξύλα µαζών 1, 2 ηρεµούν πάνω στο λείο οριζόντιο υ r S M 1 2 δάπεδο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Το βλήµα µάζας =0,1 kg κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ=400 /s. Τη στιγµή t=0 το βλήµα διαπερνά ακαριαία το ξύλο µάζας 1 =1,1 kg, βγαίνει από αυτό µε ταχύτητα υ/2 και κατόπιν σφηνώνεται στο ξύλο µάζας 2 =2 kg. Να βρεθεί η χρονική στιγµή που τα ξύλα θα έλθουν σε επαφή. ίνεται S=10. ΑΠ.: 1, 1 s 4. Στο διπλανό σχήµα, δίνονται 1 =2 kg, 2 =4 kg, υ 1 =12 /s, υ 2 =6 /s, K=1200 N/ και τριβές αµελητέες. Ποια η µέγιστη συµπίεση του ελατηρίου κατά την κρούση των σωµάτων; ΑΠ.: 20 c K υ r 1 1 2 5. Το σύστηµα των σωµάτων Α, Β, που είναι δεµένα στο ελατήριο, K υ r 2 ηρεµεί πάνω στο λείο δάπεδο, A B όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Αν το βλήµα σφηνωθεί στο σώµα Α, να βρεθεί η µέγιστη συµπίεση του ελατηρίου. ίνονται =1 kg, K=900 N/, υ=30 /s. ΑΠ.: 0,5 6. Το βλήµα µάζας =10 g του διπλανού σχήµατος διαπερνά ακαριαία το σώµα µάζας 1 =1 kg, που αρχικά ηρεµεί στο 1 2 δάπεδο. Το σώµα Α µετά τη διέλευση του βλήµατος κινείται στο δάπεδο και σταµατά µετά 2,25. Το βλήµα µετά την υ r A B έξοδό του από το Α σφηνώνεται στο σώµα µάζας 2 =990 g και το συσσωµάτωµα ανεβαίνει σε κατακόρυφο ύψος h=5 c. Αν µεταξύ Α και δαπέδου είναι n=0,2 και g=10 /s 2, να βρεθεί η ταχύτητα υ του βλήµατος. ΑΠ.: 400 /s υ r 2

11 7. Οριζόντια δύναµη F r εφαρµόζεται σε σώµα µάζας, που κινείται µε ταχύτητα υ r 0 σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Η F r είναι οµόρροπη µε την υ r 0 και έχει µέτρο, που είναι συνάρτηση της µετατόπισης x του σώµατος: F=κx (κ>0). Να βρεθεί η ώθηση της F r στη διάρκεια της µετατόπισης του σώµατος κατά x 0. ΑΠ.: Ω= ( υ0 ) + κx0 υ0 2 2 8. Τα σώµατα Α, Β είναι δεµένα µε σχοινί και ανάµεσά τους κρατείται συµπιεσµένο κατά l ένα ελατήριο σταθεράς 1 =1080 N/, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. όβουµε το σχοινί, οπότε παρατηρούµε τα εξής: i) Το σώµα Β κινείται στο λείο οριζόντιο δάπεδο, συγκρούεται πλαστικά µε το Γ και το ελατήριο σταθεράς 2 =90 N/ συµπιέζεται κατά x=0,2. ii) Το σώµα Α συγκρούεται µετωπικά ελαστικά µε τη σφαίρα, η οποία ανυψώνεται, ώστε η µέγιστη απόκλιση του νήµατος µήκους l=32 c να είναι θ. θ l 2 A K 1 B Γ K 2 Να βρεθούν: α) η γωνία θ. β) η συµπίεση l του ελατηρίου σταθεράς 1. ίνονται =1 kg, g=10 /s 2. ΑΠ.: α) 60 ο, β) 0,1 9. Θεωρούµε τεταρτοκύκλιο ΑΒ ακτίνας R=2, που εφάπτεται στο κάτω άκρο Β µε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σώµα µάζας 1 =4 kg αφήνεται να γλυστρήσει κατά µήκος του τεταρτοκυκλίου από το άνω άκρο Α. Το σώµα περνάει από το σηµείο Β του τεταρτοκυκλίου µε ταχύτητα υ Β =5 /s και συνεχίζει να κινείται χωρίς τριβή κατά µήκος της οριζόντιας εφαπτοµένης του τεταρτοκυκλίου στο σηµείο Β. Αφού διανύσει διάστηµα S=0,6 στο οριζόντιο επίπεδο, συγκρούεται πλαστικά µε σώµα µάζας 2 =6 kg, που είναι δεµένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς =250 Ν/, το οποίο έχει το άλλο άκρο του στερεωµένο σε ακλόνητο σηµείο. Τα σώµατα µετά την πλαστική κρούση κινούνται ως µια µάζα και το ελατήριο συσπειρώνεται. Να υπολογισθούν: α) η θερµότητα που παράχθηκε εξαιτίας της τριβής κατά την κίνηση του σώµατος στο τεταρτοκύκλιο. β) το ποσοστό της αρχικής µηχανικής ενέργειας που µετατράπηκε σε θερµότητα εξαιτίας της πλαστικής κρούσης.

12 γ) το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης που θα κάνειτο σύστηµα των µαζών µετά την κρούση. δ) να δοθεί η γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης της ταλάντωσης σε συνάρτηση µε το χρόνο. ίνεται ότι η κίνηση του συστήµατος των µαζών γίνεται κατά τον άξονα του ελατηρίου, ότι το ελατήριο υπακούει στο νόµο του Hooke και ότι g=10/s 2. Το οριζόντιο επίπεδο, το οποίο διέρχεται από το σηµείο Β, θεωρείται ως επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας. ΑΠ.: α) 30 J, β) 37,5%, γ) 0,4, 0,4π s, δ) x=0,4ηµ5t 10. Το κατακόρυφο ελατήριο του διιπλανού σχήµατος έχει σταθερά =192 Ν/ και στο πάνω άκρο του ισορροπεί µια µεταλλική πλάκα µάζας που έχει προσδεθεί σε αυτό. Ένα Γ µεταλλικό σφαιρίδιο µάζας και αµελητέων διαστάσεων αφήνεται h 1 χωρίς αρχική ταχύτητα από το σηµείο Γ που βρίσκεται στην ίδια ευθεία µε το ελατήριο και απέχει από τη µεταλλική πλάκα απόσταση h 1 =1,8. Η κρούση του σφαιριδίου µε την πλάκα είναι µετωπική, διαρκεί αµελητέο χρόνο και το σφαιρίδιο µετά την κρούση φθάνει σε ύψος h 2 = 0,2 από τη θέση της κρούσης. Η πλάκα κινείται προς τα κάτω και η µέγιστη απόστασή της από M h 2 τη θέση της κρούσης είναι 1/3. Το σφαιρίδιο και η πλάκα συγκρούονται ξανά καθώς η πλάκα ανεβαίνει και έχει φτάσει για πρώτη φορά στη θέση της πρώτης κρούσης. ίνονται ακόµη g =10 /s 2 και θεωρήστε π = 3,2. α) Να υπολογίσετε τα µέτρα των ταχυτήτων του µεταλλικού σφαιριδίου ακριβώς πριν και µετά την πρώτη κρούση του µε την πλάκα. β) Να εκφράσετε την κινητική ενέργεια της µεταλλικής πλάκας σε συνάρτηση µε το χρόνο, από την στιγµή που αυτή ξεκινά να κινηθεί (t=0) ως την στιγµή πριν ακριβώς την δεύτερη κρούση. γ) Να προσδιορίσετε τις µάζες και. δ) Να εξετάσετε αν η πρώτη κρούση είναι ελαστική ή όχι. 32 ΑΠ: α) 6/s, 2/s, β) Ε κ = συν 2 (2,5πt) (S.I.), γ) =3kg, =1kg, δ) η 3 κρούση δεν είναι ελαστική.