Copyright 1998, 2001 øma A. KYBENTI H (Aπαγορε εται η ολική ή µερική ανατ πωση, µε οποιοδήποτε µέσο, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα).

ii øma A. KYBENTI H ñ ÂÓÓ ıëîâ ÙÔ 947 ÛÙÔ N Ô ÂÙÚ ÙÛÈ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ. ñ TÔ 965 appleôêô ÙËÛ applefi ÙÔ ÂÍ Ù ÍÈÔ ÌÓ ÛÈÔ È ËÚÔÎ ÛÙÚÔ ÙÔ N. ÂÚÚÒÓ Î È ÂÁÁÚ ÊËΠÛÙÔ TÌ Ì M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ A... ñ Ú ÙÔ appleù Ô ÙˆÓ M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ 969. ñ AÓ ÁÔÚ ÙËÎÂ È ÎÙÔÚ ÛÙÔ TÌ Ì M ıëì ÙÈÎÒÓ ÙÔ A... ÙÔ 979 Î È applefi ÙÔ 97 Ì ÚÈ Û ÌÂÚ ÂÚÁ ÂÙ È Û Ùfi. ISBN 960-43-700-8  ÙÂÚË ŒÎ ÔÛË 00 Copyright 998, 00 øma A. KYBENTI H (Aπαγορε εται η ολική ή µερική ανατ πωση, µε οποιοδήποτε µέσο, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα). ºˆÙÔÛÙÔÈ ÂÈÔıÂÛ EÎÙ appleˆûë BÈ ÏÈÔappleˆÏÂ Ô www.ziti.gr. ZHTH & È OE 8Ô ÏÌ ÂÛ/Ó ÎË - ÂÚ T.. 7 ñ N ÔÈ EappleÈ Ù ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË ñ T.K. 570 9 TËÏ.: 039-7. (3 ÁÚ Ì.) - Fax: 039-7.9 e-mail: info@ziti.gr AÚÌÂÓÔappleÔ ÏÔ 7 ñ 546 35 ÂÛÛ ÏÔÓ ÎË TËÏ. (03) 03.70, Fax.305 e-mail: sales@ziti.gr

. Eάν τα ς γλώσσαις τ ν νθρώπων λαλ κα τ ν γγέλων, γάπην δ µη χω, γέγονα χαλκ ς χ ν κ µβαλον λαλάζον.. Kα άν χω προφητείαν κα ε δ τ µυστήρια πάντα κα π σαν τ ν γν σιν, κα άν χω π σαν τ ν πίστιν, στε ρη µεθιστάνειν, γάπην δέ µη χω, ο δέν ε µ. 3. Kα άν ψωµίσω πάντα τ πάρχοντά µου, κα άν παραδ τ σ µά µου να καυθήσοµαι, γάπην δέ µή χω, ο δέν φελο µαι. 4. H γάπη µακροθυµε, χρηστε εται, γάπη ο ζηλο, γάπη ο περπερε εται ο φυσιο ται, 5. ο κ σχηµονε, ο ζητε τ αυτ ς, ο παροξ νεται, ο λογίζεται τ κακ ν, 6. ο χαίρει πί τ δικί α, συγχαίρει δέ τ ληθεί α 7. πάντα στέγει, πάντα πιστε ει, πάντα λπίζει, πάντα ποµένει. 8. H γάπη ο δέποτε κπίπτει, ε τε δέ προφητε αι, καταργηθήσονται ε τε γλ σσαι πα σονται ε τε γν σις, καταργηθήσεται. 9. Eκ µέρους δέ γιγνώσκοµεν κα κ µέρους προφητε ο- µεν 0. ταν δ λθη τ τέλειον, τ τε τ κ µέρους καταργηθήσεται.. Oτε µην νήπιος, ς νήπιος λάλουν, ς νήπιος φρ νουν, ς νήπιος λογιζ µην τε δ γέγονα νήρ, κατήργηκα τ το νηπίου.. Bλέποµεν γάρ ρτι δ σ πτρου ν α νίγµατι, τ τε δέ πρ σωπον πρ ς πρ σωπον ρτι γιγνώσκω κ µέρους, τ τε δέ πιγνώσοµαι καθώς κα πεγνώσθην. 3. Nυνί δέ µένει πίστις, λπίς, γάπη, τ τρία τα τα µείζων δέ το των γάπη. iii A O TO OY AY OY A ΠPOΣ KOPINΘIOYΣ EΠIΣTOΛH KÂÊ Ï ÈÔ I, Ù ÔÈ -3

iv Aυτ το βιβλίο αφιερώνεται σ λους σους αγωνίζονται για καθαρ τητα στο περιβάλλον και για το σεβασµ σε κάθε µορφής εκδήλωση ζωής της Γης.

v PO O O Πολλά προβλήµατα, στο χώρο της Bιολογίας, µπορο ν να εκφρασθο ν µε εξισώσεις διαφορών που περιέχουν διακριτές µεταβλητές. Tο βιβλίο αυτ έχει σκοπ να παρουσιάσει µε εξισώσεις διαφορών µερικά µοντέλα ανάπτυξης πληθυσµών ή πως αλλιώς λέγεται της δυναµικής των πληθυσµών. Eξετάζουµε τη δυναµική των πληθυσµών µε διακριτά µοντέλα και η µελέτη προσανατολίζεται προς την ευστάθεια αυτών των µοντέλων. Tο βιβλίο χωρίζεται σε τρία κεφάλαια τα οποία αναφέρονται: ñ το πρώτο στην ανάπτυξη πληθυσµο εν ς είδους, ñ το δε τερο στην ανάπτυξη πληθυσµών δ ο αλληλεπιδρώντων ειδών και ñ το τρίτο στην ανάπτυξη πληθυσµο µε χωρισµ σε κλάσεις ηλικιών. Στο παράρτηµα παραθέτουµε τις εξισώσεις διαφορών και τα συστήµατα εξισώσεων διαφορών τα οποία χρειάζονται για τη µελέτη των διακριτών µοντέλων. Tα διακριτά µοντέλα, γενικά, είναι χρήσιµα στα πειράµατα, που έχουµε διακριτ χρ νο παρατήρησης, και στους H/Y, που έχουµε διακριτές µεταβλητές. Aλλά τ αποτελέσµατα που παίρνουµε απ µοντέλα πρέπει να επαληθε ονται απ τα δεδοµένα των παρατηρήσεων, αλλιώς αποτελο ν ευσεβείς π θους. Θεσσαλονίκη, 000. KYBENTI H

vi. KYBENTI H YNAMIKH TΩN ΠΛHΘYΣMΩN Συνεχή Mοντέλα MEPO PøTO I. B ÛÈÎ ÌÔÓÙ Ï. II. MÔÓÙ Ï Ó appleù ÍË Ô appleïëı ÛÌÒÓ. III. B ÏÙÈÛÙË apple Ú ÁˆÁ ÚÈÒÓ applefi Ê ÛÈÎfi appleâúè ÏÏÔÓ. IV. MÔÓÙ Ï Ó appleù ÍË appleïëı ÛÌÒÓ ÌÂ Û ÁÎÔÌÈ. V. Ó ÌÈÎ ÙˆÓ appleïëı ÛÌÒÓ Û ÙÚÔÊÈÎ Ï Û. VI. ÁÎÚÈÛË ÙË Â ÛÙ ıâè ÙˆÓ Û ÛÙËÌ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ È ÊÔÚÒÓ Î È È ÊÔÚÈÎÒÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ. I. II. III. MEPO EYTEPO MÔÓÙ Ï Î ÓËÁÔ -ıëú Ì ÙÔ Ì ÛÙ ıâúfi Ú ıìfi Û ÁÎÔÌÈ ÙˆÓ Î ÓËÁÒÓ. MÔÓÙ Ï Î ÓËÁÔ -ıëú Ì ÙÔ Ì ÛÙ ıâúfi Ú ıìfi Û ÁÎÔÌÈ ÙˆÓ ıëú Ì ÙˆÓ. MÔÓÙ Ï Î ÓËÁÔ -ıëú Ì ÙÔ Ì ÛÙ ıâúô Ú ıìô Û ÁÎÔÌÈ ÙˆÓ Î ÓËÁÒÓ Î È ÙˆÓ ıëú Ì ÙˆÓ.

vii EPIEXOMENA KEºA AIO I IAKPITA MONTE A ANA TY H H Y MOY ENO EI OY. AappleÏ ÌÔÓÙ Ï Ì ÂÍÈÛÒÛÂÈ È ÊÔÚÒÓ.... Ú ÊÈÎ apple Ú ÛÙ ÛË Ï ÛË : IÛÙfiÁÚ ÌÌ...0 3. ÔÁÈÛÙÈÎfi ÌÔÓÙ ÏÔ X Ô...8 4. È ÎÚÈÙ ÌÔÓÙ Ï Ì ÛÙ ÚËÛË...39 5. MÔÓÙ ÏÔ ÏÈÂ...45 6. ÚÔ Ï Ì Ù...49 KEºA AIO II IAKPITA MONTE A ANA TY H H Y MøN YO A H E I PøNTøN EI øn. MÔÓÙ Ï Î ÓËÁÔ -ıëú Ì ÙÔ Î È ÊÈÏÔÍÂÓÔ ÓÙ - apple Ú Û ÙÔ...54. MÔÓÙ Ï Ê ÙÒÓ - Ê ÙÔÊ ÁˆÓ ÒˆÓ...64 3. ÂÓÂÙÈÎ ÙˆÓ appleïëı ÛÌÒÓ...73 4. ÚÔ Ï Ì Ù...83 KEºA AIO III IAKPITA MONTE A ANA TY H H Y MOY ME XøPI MO E K A EI H IKIøN. XˆÚÈÛÌfi appleïëı ÛÌÔ Û ÎÏ ÛÂÈ ËÏÈÎÈÒÓ...85. E ÛÙ ıâè ÙˆÓ appleïëı ÛÌÒÓ...9 3. ÚÔ Ï Ì Ù...98 APAPTHMA E I ø EI IAºOPøN. Ú ÌÌÈÎ ÂÍÈÛÒÛÂÈ È ÊÔÚÒÓ...0. Ú ÌÌÈÎ Û ÛÙ Ì Ù ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ È ÊÔÚÒÓ...35 3. ÚÒÙË ÁÚ ÌÌÈÎ appleúôû ÁÁÈÛË...38 4. ÂÚÈÔ ÈÎ Ï ÛÂÈ...46 AÛÎ ÛÂÈ...50 BIB IO PAºIA...53 EYPETHPIO OPøN...54

ix TYΠOI AΘPOIΣMATΩN  k n = k(k+) n=,  k n=0 (n+) = k(k+),  k n = k(k+)(k+),  k (n+) = k(k+)(k+), n= 6 n=0 6  k n 3 = k (k+),  k (n+) = k, n= 4 n=0  k n =  k n  k (n+) = k(k+) k = k(k+), n= n= n=0 k  n= n(n+) = k k, k  α n = +α+α + +α k = αk n=0 α  k [α+(n )ω] = k n= [α+(k )ω]  k nα n = α+α + +kα k = α αk n= ( α) kαk+ α ( ˆÌÂÙÚÈÎ appleúfiô Ô ), (AÚÈıÌËÙÈÎ appleúfiô Ô ), (MÂÈÎÙ appleúfiô Ô ), k n=0 Ë ÁÊ n ˆ αk n β n = (α+β) k (n k) ( ÈÒÓ ÌÔ ÙÔ Newton).  k

KEºA AIO I IAKPITA MONTE A ANA TY H H Y MOY ENO EI OY. Aπλά µοντέλα µε εξισώσεις διαφορών ŒÓ appleïfi Ì ıëì ÙÈÎfi ÌÔÓÙ ÏÔ ÁÈ ÙË ÌÂÏ ÙË ÙË ÂÍ ÏÈÍË ÙË ÌÂÙ Ô- Ï ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÂÓfi Â Ô Â Ó È ÂΠÓÔ ÛÙÔ ÔappleÔ Ô Ë ÌÂÙ ÔÏ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ applefi ÙË ÌÈ ÁÂÓÈ ÛÙËÓ ÏÏË Â Ó È Ó ÏÔÁË ÙÔ appleúôëáô ÌÂÓÔ appleïëı ÛÌÔ. E Ó È Ú ÏÈÛÙÈÎfi Ó appleôı ÛÔ Ì appleˆ Ô appleïëı ÛÌfi Â Ó È ÌÈ È ÎÚÈÙ Û Ó ÚÙËÛË N t, ËÏ Ô appleïëı ÛÌfi ÙÔ ÚfiÓÔ t Â Ó È N t Î È ÙÔ ÚfiÓÔ t+ Â Ó È N t+. AÓ ÏÔÈapplefiÓ appleôı ÛÔ Ì fiùè ÛÙË ÁÂÓÈ N t Ô ÌÂ, ÙÔ ÚÔÓÈÎfi È ÛÙËÌ (t, t+), ÁÂÓÓ ÛÂÈ bn t Î È ı Ó ÙÔ dn t, fiappleô b>0, d>0, ÙfiÙÂ Ë ÌÂÙ ÔÏ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ı Â Ó È N t+ N t = (b d)n t. A Ù Ë ÂÍ ÛˆÛË È ÊÔÚÒÓ (Â..) ÁÚ ÊÂÙ È N t+ = λn t, t=0,,, fiappleô λ = +b d Â Ó È Ë ÛÙ ıâú Ó ÏÔÁ. H ÁÂÓÈÎ Ï ÛË Ù ÙË Â.. Â Ó È N t = λ t N 0, t=0,,, fiappleô N 0 Â Ó È Ô Ú ÈÎfi appleïëı ÛÌfi (ÙÔ ÚfiÓÔ t=0). Ú ÙËÚÔ Ì fiùè (Û appleú ÁÌ ÙÈÎÔ appleïëı ÛÌÔ Â Ó È λ>0): fiù Ó Â Ó È λ>, Ô appleïëı ÛÌfi N t Í ÓÂÈ applefi ÁÂÓÈ Û ÁÂÓÈ, fiù Ó Â Ó È 0< λ<, Ô appleïëı ÛÌfi N t ÌÂÈÒÓÂÙ È applefi ÁÂÓÈ Û ÁÂÓÈ, fiù Ó Â Ó È λ=, Ô appleïëı ÛÌfi N t apple Ú Ì ÓÂÈ ÛÙ ıâúfi ÛÔ Ì N 0.

Aκολουθία του Fibonacci Πρ βληµα των κουνελιών ŒÓ Â Á ÚÈ ÎÔ ÓÂÏÈÒÓ ÁÂÓÓ Ó Ó Ô Â Á ÚÈ ÎÔ ÓÂÏÈÒÓ Î ıâ Ì Ó, ÌÂÙ applefi ÙÔ Â ÙÂÚÔ Ì Ó ÙË ËÏÈÎ ÙÔ. K ıâ Ó Ô Â Á ÚÈ ÎÔ ÓÂÏÈÒÓ Î - ÓÂÈ ÎÚÈ Ò ÙÔ ÈÔ. fiû  Á ÚÈ ÎÔ ÓÂÏÈÒÓ ı apple Ú Ô Ó ÌÂÙ applefi t Ì ÓÂ, Ó Ú ÛÔ ÌÂ Ì Ó ÓÂÔÁ ÓÓËÙÔ Â Á ÚÈ ÎÔ ÓÂÏÈÒÓ; (YappleÔı ÙÔ Ì fiùè fiï Ù Â Á ÚÈ ÎÔ ÓÂÏÈÒÓ ÂappleÈ ÈÒÓÔ Ó.) H ÎÔÏÔ ı ÙÔ Fibonacci Â Ó È Ë ÎÔÏÔ ı,,, 3, 5, 8, 3, () Î È ÓÂÈ apple ÓÙËÛË ÛÙÔ appleúfi ÏËÌ ÙˆÓ ÎÔ ÓÂÏÈÒÓ. K ıâ fiúô Ù ÙË ÎÔÏÔ ı, ÌÂÙ ÙÔ Â ÙÂÚÔ fiúô, Â Ó È ÙÔ ıúôèûì ÙˆÓ Ô appleúôëáô ÌÂÓˆÓ fiúˆó ÙË ÎÔÏÔ ı. ŒÙÛÈ Ô ÌÂ, Ó x t Â Ó È Ô t-ûùfi fiúô ÙË ÎÔÏÔ ı ÙfiÙÂ Ë ÎÔÏÔ ı ÙÔ Fibonacci Â Ó È Ë ÌÔÓ ÈÎ Ï ÛË ÙÔ appleúô Ï Ì ÙÔ ÙË Ú ÈÎ ÙÈÌ x t+ = x t+ +x t, t=,, 3, () x =, x =. H ε.δ. () εκφράζει και το πρ βληµα των κουνελιών. Πράγµατι, η x t+ γενιά των κουνελιών αποτελείται απ την x t+ γενιά και τα νεογέννητά της, τα οποία είναι σε πλήθος ίσα µε την x t γενιά. H Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ ÂÍ ÛˆÛË ÙË Â.. () Â Ó È Î È ÂÈ ÙÈ Ú Â λ = `5 λ = λ+ (3), λ = + `5 ÕÚ, Ë ÁÂÓÈÎ Ï ÛË ÙË Â.. () Â Ó È x t = c λ t +c λ t, t=,, 3, fiappleô c, c ı ÚÂÙ ÛÙ ıâú. Aapplefi ÙÈ Ú ÈÎ ÙÈÌ Ô Ì = c λ +c λ = [c ( ` 5)+c (+ ` 5)],. = c λ +c λ = 4 [c ( ` 5) +c (+ `5) ],

3 apple fiappleô Ú ÛÎÔ Ì c = ` 5, c = `5. EappleÔÌ Óˆ, Ë ËÙÔ ÌÂÓË Ï ÛË Â Ó È ` 5 t + ˆ + ` 5 x t = ` 5 ËÁÊ ` 5 ˆ ËÁÊ Ú ÙËÚÔ Ì fiùè Â Ó È λ > Î È <λ <0. OapplefiÙÂ Ë Ú λ = + ` 5 t, t=,, 3,. Â Ó È Ë Î Ú Ú Ë ( Ù Ì ÙÔ ÌÂÁ Ï ÙÂÚÔ Ì ÁÂıÔ λ > λ ) Î È ÙÔ Ì ÁÂıfi ÙË Â Ó È λ >, appleú ÁÌ appleô ÂÍ ÛÊ Ï ÂÈ appleˆ Ë ÎÔÏÔ ı ÙÔ Fibonacci Â Ó È ÍÔ Û. EappleÂÈ Â Ó È λ < Î È <λ <0, appleúôî ÏÔ ÓÙ È Î appleôèâ Ú ÈÎ Ù Ï - ÓÙÒÛÂÈ appleô Û ÓÔ Ó Î ıò Ô t Í ÓÂÈ. MappleÔÚÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ Ó appleôı ÛÔ Ì fiùè, ÁÈ ÌÂÁ Ï t, Ë Âapple Ú ÛË ÙË Ú λ Â Ó È ÌÂÏËÙ ÎÈ ÙÛÈ Ô Ì x t õ ` 5 λ t. O ÏfiÁÔ Ô È Ô ÈÎÒÓ fiúˆó ÙË ÎÔÏÔ ı ÙÔ Fibonacci Û ÁÎÏ ÓÂÈ ÛÙÔÓ ÚÈıÌfi x t+ x t õ λ = + `5 appleô Â Ó È ο χρυσ ς µέσος ρος,68033., 3 ˆÚÔ Ì ÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ Ó appleù ÍË appleïëı ÛÌÔ ÂÓfi Â Ô N t+ = λ α N β t, λ>, α>0, β>0 ÙÔ ÔappleÔ Ô ÁÚ ÊÂÙ È N t+ = Ê ˆ Ë α N β t λn t, t=0,,, () fiappleô λ Â Ó È Ë ÛÙ ıâú Ó ÏÔÁ ( appleôù ıâù È λ>) Î È α N β t Â Ó È ÙÔ ÎÏ ÛÌ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ appleô ÂappleÈ ÈÒÓÂÈ applefi ÙËÓ apple È ÈÎ ËÏÈÎ ˆ ÙËÓ ˆÚÈ- ÌfiÙËÙ ÙË Ó apple Ú ÁˆÁ.

4 ËÏ, λn t Â Ó È ÙÔ appleï ıô ÙˆÓ appleôáfióˆó ÙË ÁÂÓÈ N t Î È α N β t ÙÔ ÎÏ ÛÌ ÙÒÓ appleô ÂappleÈ ÈÒÓÔ Ó Ì ÚÈ ÙË ÁÂÓÈ N t+. TÔ ÎÏ ÛÌ Ùfi Â Ó È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÛÔ ÙÔ Ó, Î È appleú appleâè N t >N c, ÊÎ È È ˆ Ë α N β t N t, ËÏ appleú appleâè Ô appleïëı ÛÌfi Ó Â Ó È ÌÂÁ Ï ÙÂÚÔ applefi Î appleôèô Ì ÁÂıÔ N c ÁÈ Ó Â Ó È ÈÔÏÔÁÈÎ apple Ú ÂÎÙfi ÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ. ( È ÊÔÚÂÙÈÎ, ÁÈ appleôï ÌÈÎÚ N t, ı  Ì α N β t >.) H ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple ÙË Â.. () Â Ó È (ı ÙÔ Ì N = N t = N t+ ) N = λ N β fi N = Ê λ ˆ β. α Ë α ÚÔ Ì ÙËÓ appleúòùë ÁÚ ÌÌÈÎ appleúôû ÁÁÈÛË ÙË Â.. () ÛÙËÓ ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple ÙË N = Ê λ ˆ β. Ë α ˆÚÔ Ì ÙË Û Ó ÚÙËÛË ÙË ÔappleÔ Ë apple Ú ÁˆÁÔ Â Ó È f(n) = λ α N β, EappleÔÌ Óˆ, Ô Ì df dn = f (N) = λ α ( β)n β. df dn ( N) = β Î È Ë appleúòùë ÁÚ ÌÌÈÎ appleúôû ÁÁÈÛË ÙË Â.. () ÛÙËÓ ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple ÙË /β N = Ê λ ˆ Â Ó È Ë α δn t+ = ( β)δn t, t=0,,, fiappleô δn t Â Ó È È Ù Ú ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÌÈÎÚÔ ÌÂÁ ıô. ÕÚ, Ó Â Ó È Ô df Ô Ô dn ( N) = β < fi 0<β< Ô Ë È Ù Ú δn t Æ 0, fiù Ó tæ, Î È Ë ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N Â Ó È Â ÛÙ ı (ÙÔappleÈÎ Û ÌappleÙˆÙÈÎ ). ËÌÂÈÒÓÔ Ì fiùè, fiù Ó β=0, ÙfiÙÂ Ô appleïëı ÛÌfi ÌÂÙ ÏÏÂÙ È ÌÂ Ú ıìfi

5 Ó ÏÔÁ λ α > 0, Î È, fiù Ó Â Ó È β>, ÙfiÙÂ Ë ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N Â Ó È ÛÙ ı. ËÏ, fiù Ó Â Ó È β>, ÙfiÙÂ Ô appleïëı ÛÌfi appleô ÍÂÎÈÓ Ì ÁÂÓÈ N t ÎÔ- ÓÙ ÛÙËÓ ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N, Î ıò Ô ÚfiÓÔ t Í ÓÂÈ, (ÌÂÙ ÓÔÓÙ applefi ÁÂÓÈ Û ÁÂÓÈ ) Ô appleïëı ÛÌfi N t appleôì ÎÚ ÓÂÙ È applefi ÙËÓ ÙÈÌ N. 4 Λογιστικ µοντέλο ˆÚÔ Ì ÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ Ó appleù ÍË appleïëı ÛÌÔ ÂÓfi Â Ô N t+ = N t expr Ê N t ˆ, t=0,,, () Ë K fiappleô r, K Â Ó È ıâùèî ÛÙ ıâú. H appleôûfiùëù λ = expr Ê N t ˆ ÌappleÔÚÂ Ó ıâˆúëıâ ο ρυθµ ς αναπαραγωγής ÙÔ Â Ô, appleô ÂÍ ÚÙ Ù È applefi ÙËÓ apple ÎÓfiÙËÙ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ. Ë K H Â.. () ÁÚ ÊÂÙ È N t+ = e r N t e rn t K, t=0,,, fiappleô e r >, " r>0 Î È Ô fiúô e rn t K Â Ó È Ô Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÂappleÈ ˆÛË (ÎÏ ÛÌ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ appleô ÂappleÈ ÈÒÓÂÈ ÛÙÔ È ÛÙËÌ (t, t+)) Ô ÔappleÔ Ô ÌÈÎÚ ÓÂÈ Î - ıò Ô appleïëı ÛÌfi N t Í ÓÂÈ. λ e r ρυθµ ς αναπαραγωγής λ O K N t H ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple ÙË Â.. () Â Ó È (ı ÙÔ Ì N t+ = N t = N) N = N expr Á Ê N Ë K ˆ, apple fiappleô appleúôî appleùâè N=K (ÂÍ ÈÚÔ Ì ÙËÓ N=0). E Ò Ë Û Ó ÚÙËÛË f Â Ó È

6 f(n) = N exp r Ê N ˆ Ë K Î È Ë apple Ú ÁˆÁfi ÙË Â Ó È f (N) = Èexpr Ê N ˆ Î Ë K Ë Ê Nr K ˆ. EappleÔÌ Óˆ, Ô Ì df dn ( N) = df (K) = r dn Î È Ë appleúòùë ÁÚ ÌÌÈÎ appleúôû ÁÁÈÛË ÙË Â.. (), ÛÙËÓ ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N=K, Â Ó È δn t+ = ( r)δn t, t=0,,, fiappleô δn t È Ù Ú ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÌÈÎÚÔ ÌÂÁ ıô. ÕÚ, fiù Ó Â Ó È Ô df (K) Ô = r < fi 0<r<, Ô dn Ô Ë È Ù Ú δn t Æ 0, fiù Ó tæ, Î È Ë ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N=K Â Ó È Â ÛÙ ı (ÙÔappleÈÎ Û ÌappleÙˆÙÈÎ ). EÈ ÈÎ, fiù Ó Â Ó È <r< (ÔapplefiÙ < r<0) Ô appleïëı ÛÌfi Ù ÓÂÈ ÛÙËÓ ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N=K Ì Êı ÓÔ ÛÂ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ, ÂÓÒ fiù Ó Â Ó È 0<r< Ù ÓÂÈ ÌÔÓfiÙÔÓ ÛÙËÓ N=K. [ ÙËÓ ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N=0 appleô ÂÍ ÈÚ Û ÌÂ Ô Ì f (0) = e r >, " r >0, appleú ÁÌ appleô ÛËÌ ÓÂÈ appleˆ Â Ó È ÛÙ ı.] N t N t 0,5 0,5 O 4 8 0 t O 4 8 0 t K =, r = 0,6 K =, r =,8 Ú ÙËÚÔ Ì fiùè, fiù Ó N<K Ô Ú ıìfi Ó apple Ú ÁˆÁ Â Ó È λ>, ÂÓÒ fiù Ó N>K Â Ó È λ<.

7 O appleïëı ÛÌfi N=K Â Ó È Ô Ì ÁÈÛÙÔ appleïëı ÛÌfi ÙÔ Â Ô appleô ÌappleÔÚÂ Ó ÈÛÔÚÚÔapple ÛÂÈ ÛÙÔ appleâúè ÏÏÔÓ. ÙË Û Ó ÂÈ ı appleô  ÍÔ Ì appleˆ Ë Â ÛÙ ıâè (ÙÔappleÈÎ Û ÌappleÙˆÙÈÎ ) ÙË ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N=K Â Ó È ÔÏÈÎ Â ÛÙ ıâè ÎÈ fi È ÙÔappleÈÎ. ˆÚÔ Ì ÙË Û Ó ÚÙËÛË Liapunov V t = (N t K), t=0,,, appleô ÈÎ ÓÔappleÔÈ ÙÈ apple Ú ÙËÙ appleúô appleôı ÛÂÈ : ) V t 0 Î È ÂÈ ÂÏ ÈÛÙÔ V t =0 ÛÙÔ N t =K, ) Ë ÌÂÙ ÔÏ ÙË V t ÛÙÈ Ï ÛÂÈ ÙË Â.. () Â Ó È V t = V t+ V t = (N t+ N t ) (N t+ +N t K) = = K x t [expr( x t ) ] [x t expr( x t )+x t ], fiappleô x t = N t K. ŒÙÛÈ Ë ËÙÔ ÌÂÓË ÓÈÛfiÙËÙ V t 0 Ó ÁÂÙ È ÛÙÈ Ô ÓÈÛfiÙËÙ : ) e r( x t), e r( x t) + < x t, ) e r( x t) <, e r( x t) + x t. Aapplefi ÙËÓ ÂÍ Ù ÛË ÙÒÓ ÙˆÓ ÓÈÛÔÙ ÙˆÓ appleúôî appleùâè fiùè ÈÛ ÂÈ V t 0, fiù Ó Â Ó È 0<r<, ÁÈ fiï Ù x t >0 Î È V t =0 ÌfiÓÔ fiù Ó x t = ( ËÏ N t =K). 3) EappleÈappleÏ ÔÓ Ô Ì fiùè V t Æ+, fiù Ó tæ+. ÕÚ, Ë ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N=K Â Ó È ÔÏÈÎ Û ÌappleÙˆÙÈÎ Â ÛÙ ı, Ë- Ï, ÁÈ fiïâ ÙÈ Ú ÈÎ ÙÈÌ N 0 >0, Ë Ï ÛË N t Ù ÓÂÈ ÛÙËÓ N=K. ËÌÂÈÒÓÔ ÌÂ, Ù ÏÔ, fiùè, fiù Ó Â Ó È r>, Ë ÙÈÌ ÈÛ ÔÚÚÔapple N=K Á ÓÂÙ È ÛÙ ı ÌÂ Í ÓfiÌÂÓÂ Ù Ï ÓÙÒÛÂÈ. ÕÚ, Ë ÙÈÌ r= Â Ó È Ë appleúòùë τιµή διακλάδωσης. H Â.. () ÁÚ ÊÂÙ È x t+ = x t expr( x t ), x t = N t K, Î È ÁÈ applefiï ÙË ÙÈÌ x t appleôï ÌÈÎÚ, Ë Â.. appleúôûâáá ÂÙ È applefi ÙËÓ Â.. (ÈÛ ÂÈ e x õ+x, fiù Ó Ë x Â Ó È appleôï ÌÈÎÚ ) x t+ õ x t [+r( x t )].

8 H ÙÂÏ ٠Â.. ÌappleÔÚÂ Ó ÁÚ Ê y t+ = (+r)y t ( y t ), fiappleô y t = rx t, Î È Â Ó È Ë ÏÂÁfiÌÂÓË λογιστική ε.δ. ( Ï appleâ 3). +r H ÌÂÁ ÏË Â ÈÛıËÛ ÙˆÓ Ï ÛÂˆÓ Ù ÙË Â.., Û ÌÈÎÚ ÌÂÙ ÔÏ ÙË apple Ú Ì ÙÚÔ r>, Â Ó È ÛÔ Ú Û Ùfi ÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ. ÓÔappleÙÈÎ Ô Ì ٠appleôùâï ÛÌ Ù ( Ï appleâ apple Ú Î Ùˆ ÙËÓ 3): 0<r< E ÛÙ ıâè ÙË ÙÈÌ ÈÛÔÚÚÔapple N=K, <r<.5 ÂÚÈÔ ÈÎ Ï ÛË, appleâúèfi Ô,.5< r<.69 ÂÚÈÔ ÈÎ Ï ÛË, appleâúèfi Ô 4, ÂÚÈÔ ÈÎ Ï ÛË, appleâúèfi Ô 8,.69 < r X ÔÙÈÎ Î Ù ÛÙ ÛË. 5 Aναπαραγωγή των ετήσιων φυτών T ÂÙ ÛÈ Ê Ù apple Ú ÁÔ Ó ÛapplefiÚÔ ÛÙÔ Ù ÏÔ ÙÔ Î ÏÔÎ ÈÚÈÔ. ÙË Û Ó - ÂÈ Ì Ú ÓÔÓÙ È Î È appleâı ÓÔ Ó, Ê ÓÔÓÙ ÙÔ appleôáfióô ÙÔ, Û ÌÔÚ- Ê ÛapplefiÚˆÓ, ÔÈ ÔappleÔ ÔÈ appleú appleâè Ó ÂappleÈ ÈÒÛÔ Ó ÙÔ ÂÈÌÒÓ Î È Ó ÒÛÔ Ó ÙË Ó ÁÂÓÈ Ê ÙÒÓ ÙËÓ ÂapplefiÌÂÓË ÓÔÈÍË. TËÓ ÂapplefiÌÂÓË ÓÔÈÍË Ó ÎÏ ÛÌ ÙˆÓ ÛapplefiÚˆÓ Ê ÙÚÒÓÂÈ, ÔÈ applefiïôèappleôè ÛapplefiÚÔÈ Ì ÓÔ Ó ÛÙÔ ÊÔ, ÁÈ Ó ÚfiÓÔ appleâúèûûfiùâúô, appleúèó Ê ÙÚÒÛÔ Ó. B È Ó Ì ÚÔ ÙˆÓ ÛapplefiÚˆÓ appleô apple Ú ÁÔ Ó Ù Ê Ù ÓÂÙ È applefi Î ÓË- ÁÔ ÙÔ (apple. appleùëó ), ÚÚÒÛÙÂÈÂ Î È ÙÔÓ Î ÈÚfi. AÏÏ Ù Ê Ù, ÁÈ Ó ÂappleÈ ÈÒÛÔ Ó ˆ  Ô, appleú appleâè Ó ÈÎ Ófi ÚÈıÌfi ÙÔ Ó Ó ÓÂÒÓÂÙ È applefi ÚfiÓÔ Û ÚfiÓÔ. ˆÚÔ Ì ÙÈ apple Ú Î Ùˆ apple Ú Ì ÙÚÔ : σ Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÛapplefiÚˆÓ appleô apple Ú ÁÂÙ È Ó Ê Ùfi ÛÙÔ Ù ÏÔ ÙÔ Î ÏÔÎ È- ÚÈÔ, ε ÎÏ ÛÌ ÙˆÓ ÛapplefiÚˆÓ appleô ÂappleÈ ÈÒÓÔ Ó Û Ó ÂÈÌÒÓ, σ ÎÏ ÛÌ ÙˆÓ ÛapplefiÚˆÓ ÂÓfi ÚfiÓÔ appleô Ê ÙÚÒÓÔ Ó ÙËÓ ÓÔÈÍË, σ ÎÏ ÛÌ ÙˆÓ ÛapplefiÚˆÓ Ô ÚÔÓÒÓ appleô Ê ÙÚÒÓÔ Ó ÙËÓ ÓÔÈÍË. YappleÔı ÙÔ Ì appleˆ ÛapplefiÚÔÈ ÙÚÈˆÓ Î È apple Óˆ ÚÔÓÒÓ ÂÓ Ê ÙÚÒÓÔ Ó. Aapplefi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ apple Ú apple Óˆ apple Ú Ì ÙÚˆÓ Á ÓÂÙ È Ê ÓÂÚfi fiùè ÙÔ appleï - ıô ÙˆÓ ÛapplefiÚˆÓ ÛÙÔ ÊÔ αλλάζει πολλές φορές Î Ù ÙË È ÚÎÂÈ ÙÔ ÚfiÓÔ Û Ó appleôù ÏÂÛÌ : ) ÙÔ Ê ÙÚÒÌ ÙÔ ÌÂÚÈÎÒÓ ÛapplefiÚˆÓ, ) ÙËÓ apple Ú ÁˆÁ Ó ˆÓ ÛapplefiÚˆÓ, 3) ÙÔ Á Ú ÛÌ ÙˆÓ ÛapplefiÚˆÓ Î È ÙÔ ı Ó ÙÔ ÔÚÈÛÌ ÓˆÓ ÛapplefiÚˆÓ.

9 ÚfiÓÔ t ÚfiÓÔ t+ ÚfiÓÔ t+ ÚfiÓÔ t+3 AappleÚ ÏÈÔ A ÁÔ ÛÙÔ AappleÚ ÏÈÔ A ÁÔ ÛÙÔ AappleÚ ÏÈÔ A ÁÔ ÛÙÔ AappleÚ ÏÈÔ A ÁÔ ÛÙÔ XÂÈÌÒÓ XÂÈÌÒÓ XÂÈÌÒÓ σ x t y t ε ε ε σ σ σ 3 σ σ x ε t+ σ σ σ ε ε Û σ y t+ σ σ x t+ ε σ y t+ σ º Ù Î È ÛapplefiÚÔÈ ÙË t ÁÂÓÈ º Ù Î È ÛapplefiÚÔÈ ÙË (t+) ÁÂÓÈ º Ù Î È ÛapplefiÚÔÈ ÙË (t+) ÁÂÓÈ x t+3 y t+3 º Ù Î È ÛapplefiÚÔÈ ÙË (t+3) ÁÂÓÈ

0 AÓ appleôı ÛÔ Ì fiùè ÛapplefiÚÔÈ ÙÚÈÒÓ ÚfiÓˆÓ Âapple ÛË Ê ÙÚÒÓÔ Ó, Î È σ 3 Â Ó È ÙÔ ÎÏ ÛÌ ÙˆÓ ÛapplefiÚˆÓ ÙÚÈÒÓ ÚfiÓˆÓ appleô Ê ÙÚÒÓÔ Ó ÙËÓ ÓÔÈÍË, ÙfiÙÂ Ë Â.. appleô appleâúèáú ÊÂÈ ÙËÓ Ó apple Ú ÁˆÁ ÙˆÓ ÂÙ ÛÈˆÓ Ê ÙÒÓ Â Ó È x t+3 σεσ x t+ σε σ ( σ )x t+ σε 3 σ 3 ( σ σ )x t = 0. ANA APA ø H TøN ETH IøN ºYTøN AappleÚ ÏÈÔ A ÁÔ ÛÙÔ XÂÈÌÒÓ AappleÚ ÏÈÔ A ÁÔ ÛÙÔ XÂÈÌÒÓ AappleÚ ÏÈÔ º Ù applefiúôè º Ù applefiúôè º Ù σ εσx t+ σ ( σ )ε σx t x t x t+ x t+ Tα φυτά της t γενιάς. Tα φυτά της (t+) γενιάς. Tα φυτά της (t+) γενιάς. ÌÊˆÓ Ì ÙÔ apple Ú apple Óˆ Û Ì, Ó apple Ú ÛÙ ÛÔ Ì Ì x t+ x t+ Ù Ê Ù ÙË ÁÂÓÈ t+, Ù Ê Ù ÙË ÁÂÓÈ t+, x t Ù Ê Ù ÙË ÁÂÓÈ t, ı Ô Ì ÙËÓ Â.. x t+ = σ εσx t+ +σ ε( σ )εσx t. () È appleïfiùëù ÙˆÓ Û Ì ÔÏÈÛÌÒÓ ı ÙÔ Ì α = σ εσ, β = σ ε ( σ )σ ÔapplefiÙÂ Ë Â.. () ÁÚ ÊÂÙ È x t+ αx t+ βx t = 0, t=0,,, () H Ú ÎÙËÚÈÛÙÈÎ ÂÍ ÛˆÛË ÙË Â.. () Â Ó È λ αλ β = 0 (3) Î È ÂÈ ÙÈ Ú Â fiappleô λ, λ = (α± ```` α +4β) = εσσ (± ``` +γ),

γ = 4σ ( σ ) σσ ÂappleÂÈ Â Ó È 0 < σ <. = 4 σ σ σ Ë Ê > 0, σ ˆ AÓ ÙÔ ÎÏ ÛÌ σ σ Â Ó È appleôï ÌÈÎÚfi, appleú ÁÌ appleô ÛËÌ ÓÂÈ fiùè appleôï Ï ÁÔÈ ÛapplefiÚÔÈ Ô ÚÔÓÒÓ Ê ÙÚÒÓÔ Ó ÛÂ Û ÛË Ì ÙÔ ÙÔ ÛapplefiÚÔ ÂÓfi Úfi- ÓÔ appleô Ê ÙÚÒÓÔ Ó, ÙfiÙ ÙÔ γ Â Ó È appleôï ÌÈÎÚfi ÛÂ Û ÛË Ì ÙÔ (appleú ÎÙÈÎ Ùfi ÛËÌ ÓÂÈ fiùè σ õ0). A Ùfi ÛËÌ ÓÂÈ, Ù ÏÔ, appleˆ Ë ıâùèî Ú λ ÂÈ Ì ÁÂıÔ (appleâú appleô ) λ õ εσσ (+ ` ) = εσσ. Για να έχουµε λοιπ ν συνέχιση της αναπαραγωγής των φυτών πρέπει να ισχ ει η συνθήκη λ > fi εσσ > fi σ >, (.) εσ δηλαδή τα φυτά αυξάνουν ταν ο αριθµ ς των σπ ρων ανά φυτ είναι µεγαλ τερος του. εσ ŸÙ Ó fiìˆ ÙÔ ÎÏ ÛÌ σ ÂÓ Â Ó È ÌÂÏËÙ Ô ÛÂ Ì ÁÂıÔ ÙfiÙÂ Î Ù Ï - ÁÔ Ì ÛÙË Û Óı ÎË (ÁÈ Ó Ô Ì λ > α+β >) λ > fi σ > εσ +σ ε ( σ ) (.) ( Ï appleâ APAPTHMA,, KÚÈÙ ÚÈÔ E ÛÙ ıâè ). ÚÔÊ ÓÒ, fiù Ó Â Ó È σ =0 Ë (.) Ó ÁÂÙ È ÛÙË Û Óı ÎË (.). (  ÍÙ fiùè λ = (α+ ````` α +4β) > α+β >.) H ÁÂÓÈÎ Ï ÛË ÙË Â.. () Â Ó È x t = c λ t +c λ t, t=0,,, fiappleô c, c ı ÚÂÙ ÛÙ ıâú. Aapplefi ÙÈ Û ÛÂÈ λ = εσσ appleùâè fiùè λ >0 Î È λ <0. Aapplefi ÙÈ ÂÎÊÚ ÛÂÈ appleô ÂÈÎÓ ÂÙ È fiùè ÈÛ Ô Ó (+ ``` +γ), λ = εσσ ( ``` +γ), γ>0 appleúôî - λ, λ = (α± ```` α +4β), α>0, β>0

Î È λ > α+β >, λ = α+β =, 0< λ < α+β <, < λ <0 β α <, λ = β α =, λ < β α >. MappleÔÚÔ ÌÂ Ó Û Óı ÛÔ Ì ٠apple Ú apple Óˆ appleôùâï ÛÌ Ù... Ó Â Ó È λ =, ÔapplefiÙÂ Ô Ì α+β =, ÙfiÙ ÁÈ ÙËÓ λ <0 Ô Ì < λ <0, ËÏ β α<, ÂÓÒ ÔÈ ÏÏÂ Ô Û ÛÂÈ β α =, β α > ÂÓ ÈÛ Ô Ó ( ÊÔ α>0, β>0). ŸÙ Ó fiìˆ ÈÛ ÂÈ λ >, ÔapplefiÙ α+β>, ÙfiÙÂ Ë λ <0 ÌappleÔÚÂ Ó Â Ó È ÔappleÔÈ appleôùâ. ËÌÂÈÒÓÔ ÌÂ, Ù ÏÔ, appleˆ ÛÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ Û Ó ıˆ ÈÛ ÂÈ β<α+, ÔapplefiÙÂ Ô Ì < λ <0. XÚËÛÈÌÔappleÔÈÒÓÙ H/Y ÌappleÔÚÔ ÌÂ Ó appleôïôá ÛÔ Ì ÙÔÓ appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ Ê ÙÒÓ ÌÂÙ 0 ÚfiÓÈ (ÁÂÓÈ ), appleôı ÙÔÓÙ fiùè Ù Ú ÈÎ Ê Ù Â Ó È 00 Î È ÂÓ apple Ú Ô Ó Ú ÈÎ ÛapplefiÚÔÈ ÛÙÔ ÊÔ. Περίπτωση : σ =0,5, σ=, ε=0,8, σ =0,5. E Ò Ô Ì =,5, εσ εσ +σ ε ( σ ) =,3 appleô Â Ó È Î È Ù Ô ÌÂÁ Ï ÙÂÚ ÙÔ σ. OapplefiÙÂ Ô Ì 0< λ <, ÂÓÒ Â Ó È < λ <0. ÕÚ, Ô appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ ÂÙ ÛÈˆÓ Ê ÙÒÓ Êı ÓÂÈ. E Ò Ô Ì x 0 =00 Î È x = σ εσx 0 = 0,5 Ø0,8ØØ00 = 80. Aapplefi Ù 00 Ú ÈÎ Ê Ù, ÌÂÙ 0 ÚfiÓÈ, Ì ÓÔ Ó 4,4 Ê Ù. Περίπτωση : σ =0,6, σ=, ε=0,8, σ =0,3. E Ò Ô Ó ÍËıÂ Ï ÁÔ ÔÈ Û ÓÙÂÏÂÛÙ σ Î È σ. Œ Ô Ì =.08, εσ εσ +σ ε ( σ ) =,8 ÙÔ Ó (Ì σ =0) Â Ó È ÌÂÁ Ï ÙÂÚÔ ÙÔ σ, ÏÏ ÙÔ ÏÏÔ (Ì σ =0,3) Â Ó È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ σ. E Ò Ô Ì x 0 =00 Î È x = σ εσx 0 = 0,6 Ø0,8 00 = 96. Ú ÙËÚÔ Ì appleˆ ÔÈ ÛapplefiÚÔÈ Ô ÚÔÓÒÓ apple Ô Ó ÛËÌ ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙËÓ ÍËÛË ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÙˆÓ ÂÙ ÛÈˆÓ Ê ÙÒÓ. Aapplefi Ù 00 Ú ÈÎ Ê Ù, ÌÂÙ 0 ÚfiÓÈ, Ô Ì ÍËÛË Û 593,4 Ê Ù.

3 Σχ λιο: ÙÔ Û ËÌ ÙÈÛÌfi ÙË Â.. () ÙÔ ÌÔÓÙ ÏÔ ÁÓÔ Û ÌÂ: i) ÙÔÓ ÓÙ ÁˆÓÈÛÌfi ÙˆÓ ÂÙ ÛÈˆÓ Ê ÙÒÓ Ì ÏÏ Ê Ù Î È ÌÂÙ Í ÙÔ, ÁÈ ÙËÓ ÙÚÔÊ ÙÔ (Û ÛÙ ÙÈÎ ÙÔ Â ÊÔ ), ii) ÙËÓ ÌË ÔÌÔÈfiÌÔÚÊË Î Ù ÓÔÌ ÙÔ ÛÙÔ appleâúè ÏÏÔÓ, iii) ÙÈ ÏÏ Á appleô Û Ì ÓÔ Ó ÛÙÔ appleâúè ÏÏÔÓ Î È Ù fiúè ÙÔ ÛÙËÓ appleúôû- ÊÔÚ ÙÚÔÊ ÛÙ Ê Ù. ŒÙÛÈ, ı Ù Ó Ï ıô Ó ÓÔÌ Ô Ì fiùè, ÙÔ È ÓÈÎfi ÁÈ Ù ÂÙ ÛÈ Ê Ù,  - Ó È λοι οι σπ ροι τους Ó Ê ÙÚÒÓÔ Ó ÙÔÓ appleúòùô Î È ÙÔ Â ÙÂÚÔ ÚfiÓÔ ( ËÏ ε=, σ +σ = ). Ú ÁÌ ÙÈ, ÏfiÁˆ ÙˆÓ apple Ú apple Óˆ ÏfiÁˆÓ i), ii), iii), Ù ÂÙ ÛÈ Ê Ù ı  - Ó ÂÏÏÂÈapple Ó appleù ÍË, Ì appleôù ÏÂÛÌ Ê Ù Ó Ì appleô Ó ÌËÓ apple Ú ÁÔ Ó ÛapplefiÚÔ Î È ÏÏ appleô Ó apple Ú ÁÔ Ó ÏÈÁfiÙÂÚÔ ÛapplefiÚÔ. TÔ appleôù ÏÂÛÌ, ÌÂÙ applefi ÌÂÚÈÎ ÚfiÓÈ, ı Ù Ó Ë Ì ˆÛË ÙÔ appleïëı - ÛÌÔ ÙˆÓ ÂÙ ÛÈˆÓ Ê ÙÒÓ. EappleÔÌ Óˆ, οι παράµετροι ε, σ, σ κρατο ν, κάτω απ τις συνθήκες (.) και (.), µια ισορροπία που ευνοεί την α ξηση του πληθυσµο των ετήσιων φυτών, µέχρι κάποιο ριο. 6 Πληθυσµ ς εντ µων T ÓÙÔÌ Ô Ó, Û Ó ıˆ, appleâúèûûfiùâú applefi Ó ÛÙ È ÛÙÔÓ Î ÎÏÔ ÙË ˆ ÙÔ (appleô È ÚÎÔ Ó Â ÔÌ Â, Ì Ó ÚfiÓÈ ) applefi Ù Á ˆ ÙËÓ ˆÚÈÌfiÙËÙ ÙÔ. ŸÌˆ, ÚËÛÈÌÔappleÔÈÂ Ù È Û Ó ÌÈ ÁÂÓÈ ÛÙË ÛÈÎ ÌÔÓ ÙÔ ÚfiÓÔ, fiù Ó ÁÚ ÊÔ ÌÂ Ó ÌÔÓÙ ÏÔ ÁÈ ÙËÓ ÍËÛË ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ (ıâˆúô Ì appleˆ Ë ÌÈ ÁÂÓÈ ÂÍ Ê Ó ÂÙ È appleúôùô Ë ÂapplefiÌÂÓË ÁÂÓÈ ÂÌÊ ÓÈ- Ûı ). ETA OY E ÂÙ ÏÔ A Áfi ÎÔ Ï ÎÈ KÔ ÎÔ ÏÈ ÂÙ ÏÔ A Áfi ÎÔ Ï ÎÈ KÔ ÎÔ ÏÈ ÂÙ ÏÔ x t t γενιά x t+ (t + ) γενιά x t+ = rx t x t+ = rx t+ r > 0 Ú ıìfi Ó apple Ú ÁˆÁ x t+ (t + ) γενιά

4 T È ÊÔÚ ÛÙ È ÙÔ Î ÎÏÔ ˆ ÙÔ ÂÎÊÚ ÔÓÙ È Ì Â.. Î È Û Ó fiïâ Ù, Û Ó ÔÓÙ ÙÈ apple Ú Ì ÙÚÔ ÙÔ, Î Ù Ï ÁÔ Ó ÛÂ Ì ÌfiÓÔ Â.. ˆÚÔ Ì ÙÔ apple Ú Î Ùˆ Û Ì ÔÏÈÛÌÔ : x t Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ ÒÚÈÌˆÓ ıëï ÎÒÓ ÂÓÙfiÌˆÓ ÙË t-áâóè, α t Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ appleôáfióˆó ÛÙËÓ t-áâóè, d Ô Û ÓÙÂÏÂÛÙ ı Ó ÙÔ ÙˆÓ appleôáfióˆó, λ Ô ÚÈıÌfi ÙˆÓ appleôáfióˆó Ó ıëï Îfi ÓÙÔÌÔ, m ÙÔ appleôûôûùfi ÙˆÓ ıëï ÎÒÓ ÂÓÙfiÌˆÓ ÛÙÔÓ appleïëı ÛÌfi. Œ Ô Ì ÏÔÈapplefiÓ ÙËÓ Â.. ÙˆÓ appleôáfióˆó α t+ = λx t, t=0,,,. Aapple Ù Ù ÓÙÔÌ Ó ÎÏ ÛÌ d ÂappleÈ ÈÒÓÂÈ Î È apple Ù m( d) Â Ó È ıëï Î ÓÙÔÌ. EappleÔÌ Óˆ, Ë Â.. ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ Â Ó È ÎfiÌË A Ù Ë Â.. ÁÚ ÊÂÙ È x t+ = m( d)α t+ x t+ = m( d)λx t. x t+ = rx t, t=0,,, () fiappleô r = m( d)λ > 0 (m, λ, d, d Â Ó È ıâùèî ÛÙ ıâú ). H Ï ÛË ÙË Â.. () Â Ó È x t = r t x 0, t=0,,, fiappleô x 0 Â Ó È Ô Ú ÈÎfi ÚÈıÌfi των θηλυκών εντ µων. O Û ÓÙÂÏÂÛÙ (Ú ıìfi ) Ó apple Ú ÁˆÁ r ıâˆú ıëîâ ÛÙ ıâúfi. ÙËÓ appleú ÍË fiìˆ Ô r ÂÓ Â Ó È Ô ÈÔ Î Ù ÙË È ÚÎÂÈ ÙË ÂÍ ÏÈÍË ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÙˆÓ ÂÓÙfïÓ. K ıò Ù ÁÂÓÓÔ Ó Î È Í ÓÔ Ó Û appleï ıô, Ë ÏÏÂÈ Ë ÙÚÔÊ appleô ÛË- ÌÂÈÒÓÂÙ È, ÂÈ Û Ó appleôù ÏÂÛÌ Ó ÂÏ ÙÙÒÓÂÙ È Ô Ú ıìfi Ó apple Ú ÁˆÁ ÙÔ, ÌÂÙ applefi Î appleôèô appleïëı ÛÌfi l. T ÏÔ, fiù Ó Ô appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ ÍÂappleÂÚÓ ÙÔÓ appleïëı ÛÌfi L, appleô  - Ó È Ô Ì ÁÈÛÙÔ appleô ÌappleÔÚÂ Ó ÂappleÈ ÈÒÛÂÈ ÛÙÔ appleâúè ÏÏÔÓ, Ô Ú ıìfi Ó apple Ú - ÁˆÁ ÙÔ ÌË ÂÓ ÂÙ È. Œ Ô ÌÂ, ÏÔÈapplefiÓ, ÁÈ ÙÔ Ú ıìfi Ó apple Ú ÁˆÁ r : ) ÁÈ appleïëı ÛÌfi 0 x l Â Ó È r(x) = r > ÛÙ ıâúfi, ) ÁÈ appleïëı ÛÌfi l x L, Ô r(x) Â Ó È Êı ÓÔ Û Û Ó ÚÙËÛË, 3) ÁÈ appleïëı ÛÌfi x L, Ô r(x)=0 (fiù Ó Ô appleïëı ÛÌfi apple ÚÂÈ ÙÔ ÚfiÓÔ t ÙË

5 Ì ÁÈÛÙË ÙÈÌ L, apple ÂÈ Ó Ó apple Ú ÁÂÙ È Î È ÌË ÂÓ ÂÙ È ÙÔ ÚfiÓÔ t+). r(x) r r(x) ρυθµ ς αναπαραγωγής O l L πληθυσµ ς x Παράδειγµα YappleÔı ÙÔ Ì fiùè l=, L= Î È Ô appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ appleâúèáú ÊÂÙ È applefi ÙËÓ Â.. x t+ = f(x t ), t=0,,, () fiappleô f(x t ) = Ì Ï x t, 0 x t, Ó 4 x t, x t. Ô Ì ÏÔÈapplefiÓ ÙÔ Ú ıìfi Ó apple Ú ÁˆÁ ËÏ r(x t ) = f(x t) x t, r(x t ) = f(x t) Ô Ï, ταν 0 x t = Ì 4 x, ταν x t Ó Ô x t t Î È r(x t )=0, fiù Ó x t. r(x) r(x) = r(x) = 4 x r(x) = 0 O x O ρυθµ ς αναπαραγωγής r(x). XˆÚ Ó ÌÂÏÂÙ ÛÔ Ì ÙË ÁÂÓÈÎ Û ÌappleÂÚÈÊÔÚ ÙË Â.. () ı Ô Ì ÌÂÚÈ- Î Ï ÛÂÈ ÙË, ÁÈ Î appleôèâ Ú ÈÎ ÙÈÌ x 0.

6 Aρχικ ς πληθυσµ ς x 0 = 4 È Ô ÈÎ Ô Ì x =0,5, x =, x 3 =. TÔ ÚfiÓÔ t=3 ÊÙ ÓÔ Ì ÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ appleïëı ÛÌfi, ÔapplefiÙÂ Ô Ì x 4 =0 Î È ÛÙË Û Ó ÂÈ x t =0, " t 4. ËÏ, Ô appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ εξαφανίζεται applefiùôì. x t+ x t+ = x t x t = 0, " t 4 f(x t ) O x 0 =/4 x =/ =x =x 3 x t Aρχικ ς πληθυσµ ς x 0 = 3 È Ô ÈÎ Ô Ì x = 3, x = 4 3. x t+ x t+ = x t x t = 4/3, " t f(x t ) O x 0 =/3 x =/3 x =4/3 x t

7 AÏÏ Ô ÚÈıÌfi 4 3 Â Ó È Ë ÌË ÌË ÂÓÈÎ Ï ÛË ÙË ÂÍ ÛˆÛË f(x t ) = x t, appleô ÓÂÈ ÙÔ Ì ÁÂıÔ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ appleô Ì ÓÂÈ ÛÙ ıâúfi. Œ Ô Ì ÏÔÈapplefiÓ x t = 4, " t, ËÏ Ô appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ apple Ú Ì - 3 ÓÂÈ σταθερ ς. Aρχικ ς πληθυσµ ς x 0 = 7 5 È Ô ÈÎ Ô Ì x = 6 5, x = 8 5, x 3 = 4 5, x 4 = 8 5, x 5 = 4 5. Œ Ô Ì ÏÔÈapplefiÓ x t = 8 5, x t+ = 4, t=,,. 5 ËÏ, Ô appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ Â Ó È -περιοδικ ς, ÙË Ì ÁÂÓÈ Â - Ó È 4 5 Î È ÙËÓ ÏÏË ÁÂÓÈ 8 5, Î È ÙËÓ ÂapplefiÌÂÓË ÁÂÓÈ Â Ó È apple ÏÈ 4 Î.Ïapple. Ë- 5 Ï Ì -κ κλο Ù ÛËÌ 8 5, 4 5. x t+ x t+ = x t x t = 8/5, x t+ = 4/5, t =,,... f(x t ) O x 3 x x 0 x x t Aρχικ ς πληθυσµ ς x 0 = 7 È Ô ÈÎ Ô Ì x = 7, x = 4 7, x 3 = 8 7, x 4 = 7, x 5 = 4 7,. Œ Ô Ì ÏÔÈappleÔÓ x 3t+ = 4 7, x 3t+3 = 8 7, x 3t+4 =, t=0,,, 7

8 ËÏ Ô appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ Â Ó È 3-περιοδικ ς, Ì 3-κ κλο Ù ÛË- Ì 4 7, 8 7, 7. x t+ x t+ = x t 0,5 f(x t ) O x 0 =/7 x x x 3 x 4 3-περιοδική λ ση x t ËÌÂÈÒÓÔ Ì appleˆ ÛÙÔ apple Ú ÂÈÁÌ Ùfi Ô ÚÈıÌfi ÂÓ ÛËÌ ÓÂÈ ÛÙËÓ appleú ÁÌ ÙÈÎfiÙËÙ Ó ÓÙÔÌÔ, ÏÏ apple.. ÌÈ ÈÏÈ ÂÓÙfïÓ. Ú ÙËÚÔ Ì ÏÔÈapplefiÓ fiùè ÙÔ Ì ÁÂıÔ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ Í ÓÂÈ ÌÔÓfiÙÔÓ Ì ÚÈ ÙÔ Ì ÁÂıÔ, ÌÂ Ú ıìfi Ó apple Ú ÁˆÁ r=. TfiÙÂ, Ú - ÂÈ Ó apple ÚÔ ÛÈ ÂÙ È ÏÏÂÈ Ë ÙÚÔÊ ÛÙ ÓÙÔÌ Î È Ú Ô Ó Ó appleâı - ÓÔ Ó, Î Ú ˆ Ù ÓÂ Ú ÓÙÔÌ, Î È Ô Ú ıìfi Ó apple Ú ÁˆÁ ÙÔ Á ÓÂÙ È r(x) = 4, x, ËÏ ÌÂÈÒÓÔÓÙ È Ì ÙÔ Û ÓÙÂÏÂÛÙ ÙfiÓ r(x). x ÙËÓ appleú ÍË Ë Ì ˆÛË ÙÔ ÌÂÁ ıô ÙÔ appleïëı ÛÌÔ È ÚΠÙfiÛÔ fiûô Ô appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ Ó ÌappleÔÚÂ Ó Ú ÛÎÂÈ ÙÚÔÊ ÁÈ ÙËÓ Ó apple Ú ÁˆÁ ÙÔ. ËÏ, ÌÂÈÒÓÂÙ È Ì ÚÈ ÙÔ Ì ÁÂıÔ appleô ÌappleÔÚÂ Ó ıú ÂÈ ÙÔ appleâúè Ï- ÏÔÓ ÛÙÔ ÔappleÔ Ô Ú ÛÎÔÓÙ È Ù ÓÙÔÌ. B È Î È ÏÏÔÈ apple Ú ÁÔÓÙÂ Û ÓÙÂÏÔ Ó ÛÙË Ì ˆÛË ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÙˆÓ ÂÓÙfiÌˆÓ fiappleˆ ÔÈ Î ÓËÁÔ ÙÔ (apple.. Ù appleùëó ), ÔÈ ÚÚÒÛÙÂÈÂ Î È ÔÈ Î ÈÚÈÎ Û Óı ÎÂ. EappleÔÌ Óˆ, fiïâ Ù ÔÈ ÌÂÈÒÛÂÈ ÛÙÔÓ appleïëı ÛÌfi ÙˆÓ ÂÓÙfïÓ, ÙÂÏÈÎ, ÏÂÈÙÔ ÚÁÔ Ó ıâùèî ÁÈ Ù ÓÙÔÌ, ÁÈ Ù ÂÓ Ù Ê ÓÔ Ó Ó ÊÙ ÛÔ Ó ÛÙÔ Ì ÁÈÛÙÔ Ì ÁÂıÔ ÙÔ appleïëı ÛÌÔ ÙÔ, appleú ÁÌ appleô ı Ù Ô ËÁÔ Û ÛÙËÓ ÂÍ Ê ÓÈÛË. Mέθοδος ε ρεσης περιοδικών λ σεων H Ó ÙËÛË -περιοδικών λ σεων ÙË Â..

9 x t+ = f(x t ), t=0,,, () Á ÓÂÙ È applefi ÙË Û Ó ÚÙËÛË x t+ = f(f(x t )) = f (x t ). O ÓÙ ÛÙÔÈ Ô -κ κλος appleôùâïâ Ù È applefi Ù ÛÙ ıâú ÛËÌ ÙË Û Ó Ú- ÙËÛË f (x t ), ËÏ applefi ÙÈ ÙÔÌ ÙË Î Ìapple ÏË x t+ = f (x t ) Î È ÙË È Ô- ÙfiÌÔ x t+ = x t (ÂÎÙfi applefi Ù ÛÙ ıâú ÛËÌ ÙË Û Ó ÚÙËÛË f(x t )). ÂÓÈÎfiÙÂÚ, Ë Ó ÙËÛË m-appleâúèô ÈÎÒÓ Ï ÛÂˆÓ ÙË Â.. () Á ÓÂÙ È applefi ÙË Û Ó ÚÙËÛË x t+m = f m (x t ), m ( Ï appleâ APAPTHMA, 3). ÙÔ apple Ú ÂÈÁÌ Ùfi Ô Ì ÔapplefiÙ apple ÚÓÔ Ì f(x t ) = Ó Ì Ï x t, 0 x t, 4 x t, x t, Ï 4x t, 0 x t, f (x t ) = 4 4x t, x t, 4x t 4, x t,5, 8 4x t,,5 x t. Ô Ì Ô Ó T ÛÙ ıâú ÛËÌ ÙË Û Ó ÚÙËÛË f (x t ) (ÔÈ Ï ÛÂÈ ÙË ÂÍ ÛˆÛË f (x t ) = x t ) Â Ó È x * = 4 5, x* = 4 3, x* = 8 5 fiappleô x* = 4 3 Â Ó È Î È ÛÙ ıâúfi ÛËÌÂ Ô ÙË f(x t). EappleÔÌ Óˆ, Ù ÛËÌ x * = f(x * ) = 4 5, x* = f(x* ) = 8 5 appleôùâïô Ó ÙÔÓ -κ κλο ÙË -περιοδικής λ σης x t = 8 5, x t+ = 4 5, t=,,. AÓ ÏÔÁ, Ù ÛÙ ıâú ÛËÌ ÙË f 3 (x t ) (ÔÈ Ï ÛÂÈ ÙË ÂÍ ÛˆÛË f 3 (x t ) = x t ), ÂÎÙfi ÙˆÓ ÛÙ ıâúòó ÛËÌ ˆÓ ÙË f (x t ), Â Ó È x * 0 = 4 9, x * = 4 7, x * = 8 7, x * 3 = 7.

0 Aapple Ù Ù ÛÙ ıâú ÛËÌ appleúôî appleùô Ó: Ë 3-περιοδική λ ση x 3t = 4 7, x 3t+ = 8 7, x 3t+ =, t=0,,, 7 Î È Ë 3-περιοδική λ ση x 3t = 4 9, x 3t+ = 8 9, x 3t+ = 6, t=0,,,. 9 ÓÂ Ô ÌÂ, Ó ÏÔÁ, ÁÈ ÙËÓ Ó ÙËÛË 4-περιοδικών λ σεων, 5-περιοδικών λ σεων, Î.Ïapple. ÙË Â.. ()... Ó apple ÚÔ Ì ÙËÓ Ú ÈÎ ÙÈÌ x 0 =, applefi ÙËÓ Â.. () È Ô ÈÎ apple ÚÓÔ Ì x =, x = 4, x 3 = 8, x 4 = 6, x 5 =, x 6 = 0, x 7 = 4, ÔapplefiÙÂ Ë Â.. () ÂÈ ÙËÓ 5-περιοδική λ ση, Ì 5-κ κλο Ù ÛËÌ ËÏ Ô Ì t=0,,,. 4, 8, 6,, 0 x 5t+ = 4, x 5t+3 = 8, x 5t+4 = 6, x 5t+5 =, x 5t+6 = 0. Γραφική παράσταση λ σης: Iστ γραµµα  appleôïïô appleïëı ÛÌÔ Â Ó È appleèô Ú ÏÈÛÙÈÎfi Ó appleôı ÛÔ Ì fiùè Ô appleïëı ÛÌfi N Â Ó È ÌÈ ËÌ ÙÈÎ Û Ó ÚÙËÛË N=N t, t=0,,, fiappleô N t Â Ó È Ô appleïëı ÛÌfi ÙÔ ÚfiÓÔ t Î È N t+ Â Ó È Ô appleïëı ÛÌfi ÙÔ ÚfiÓÔ t+. T ÙÔÈ ÌÔÓÙ Ï Â.. N t+ = f(n t ) () appleâúèáú ÊÔ Ó Ì appleâúèûûfiùâúë ÎÚ ÂÈ Î È Ú ÏÈÛÙÈÎfiÙËÙ Ê ÛÈÎÔ appleïëı - ÛÌÔ ÛÙË ÈÔÏÔÁ στους οποίους δεν έχουµε επικάλυψη των γενεών... Ùfi Û Ì ÓÂÈ Û ÌÂÚÈÎÔ appleïëı ÛÌÔ ÂÓÙfiÌˆÓ fiappleô Ë Ì ÁÂÓÈ ÂÍ -

Ê Ó ÂÙ È appleúôùô ÂÎÎÔÏ ÊıÂ Ë ÂapplefiÌÂÓË ÁÂÓÈ. ÙË Û Ó ÚÙËÛË f ÂappleÈ ÏÏÔÓÙ È ÌÂÚÈÎÔ, appleúôê ÓÂ, appleâúèôúèûìô N t >0, f(n t )>0, f(0)=0 Î È Ë f Â Ó È ÌÔÓfiÙÈÌË appleâèîfióèûë ÙÔ ËÌÈ ÍÔÓ [0, + ). Aκ µη, η συνάρτηση f(n t ) είναι α ξουσα σε µια περιοχή του µηδεν ς και στη συνέχεια, λ γω έλλειψης τροφής (και άλλων παραγ ντων), η f(n t ) Æ 0, ταν N t Æ+. ηλαδή, η συνάρτηση f(n t ) έχει κάποιο µέγιστο στο N m και ελαττώνεται για τα N t >N m. N t+ N max f(n t ) O N m Tυπική µορφή του µοντέλου N t+ = f(n t ) () N t EappleÂÈ, ÁÂÓÈÎ, Ë f(n t ) Â Ó È ÌË ÁÚ ÌÌÈÎ Û Ó ÚÙËÛË Ë ÁÓÒÛË ÙË ÁÂÓÈ- Î Ï ÛË ÙË Â.. () ÂÓ Â Ó È ÂÊÈÎÙ. ŒÙÛÈ, appleúôûapple ıô ÌÂ Ó Á ÏÔ Ì appleïëúôêôú Â, ÁÈ ÙË ÌÔÚÊ ÙË Ó appleù ÍË ÙÔ appleïëı ÛÌÔ, applefi appleï ÁÚ - ÊÈÎ Î Ù ÛÎÂ ÙˆÓ Ï ÛÂˆÓ ÙË Â.. () appleô Ï ÁÔÓÙ È ιστογράµµατα. È ÙËÓ Î Ù ÛΠÙÔ ÈÛÙÔÁÚ ÌÌ ÙÔ ÌÈ Ï ÛË ÙË Â.. () ÚËÛÈÌÔappleÔÈÔ Ì ÙËÓ Â ıâ ÁÚ ÌÌ N t+ = N t ( È ÔÙfiÌÔ ), ÙË ÔappleÔ ÔÈ ÙÔÌ Ì ÙËÓ Î Ìapple ÏË N t+ = f(n t ) () Â Ó È οι τιµές ισορροπίας ÙË Â.. (). ËÏ, ÔÈ ÙÈÌ N* appleô Â Ó È Ù ÙÔÈ ÒÛÙ N t+ = N t = N*, f(n*) = N* Î È ÓÙÈÛÙÔÈ Ô Ó Û ÛÙ ıâú Ï ÛÂÈ N t =N*, t=0,,,.