EDUP-332 Διδασκαλία των Μαθηματικών στο Νηπιαγωγείο Συνάντηση 2 Βασικές πρωτομαθηματικές δεξιότητες: σύγκριση, σειροθέτηση, εκτίμηση
Ο Τζέρεμι και η Τζάκι Ο Τζέρεμι και η αδερφή του η Τζάκι συζητούσαν έντονα για το ποιος πήρε περισσότερο επιδόρπιο. - Πήρες πιο πολλά μπισκότα, είπε με παράπονο ο Τζέρεμι. - Δεν πήρα, απάντησε ενοχλημένη η Τζάκι. Πήραμε το ίδιο. - Δεν είναι το ίδιο. Κοίτα. Έχω ένα, δύο, τρία, τέσσερα. Εσύ έχεις ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε. - Τζέρεμι, άκου. Το ένα μου μπισκότο κόπηκε στη μέση. Δεν είναι σωστό να μετράς το κάθε κομμάτι. Αν θέλεις να μετράς κομμάτια, τότε να κόψω κι εγώ τα δικά σου μπισκότα στη μέση, και θα έχεις πολύ περισσότερα από εμένα. Βάλε τα δύο μισά μαζί και μας κάνουν ένα ολόκληρο. Μέτρα ξανά. Ένα, δύο, τρία, τέσσερα. Έχουμε το ίδιο.
Ο Τζέρεμι και η Τζάκι Ποιου η απαρίθμηση ήταν, νομίζετε, πιο σωστή, του Τζέρεμι ή της Τζάκι; Γιατί; Σε ποιες περιπτώσεις πρέπει να απαριθμούμε ξεχωριστά αντικείμενα και σε ποιες αυτό μπορεί να μας οδηγήσει σε λάθος συμπέρασμα; Συνεχείς ποσότητες Vs Διακριτές ποσότητες
Αρχές της απαρίθμησης Αρχή 1 η : Η απαρίθμηση είναι αφηρημένη έννοια π.χ. Προσθέτω 3 στο 4. Δεν έχει ιδιαίτερη σημασία αν αυτό που μετρώ είναι καραμέλες, παιδία, λουλούδια κ.ο.κ. Στην ουσία, η απαρίθμηση όλων των αντικειμένων μπορεί να αναπαρασταθεί με την ίδια αφηρημένη συμβολική μορφή 4 + 3 = 7.
Αρχές της απαρίθμησης Αρχή 2 η : Η σειρά των αντικειμένων δεν έχει σημασία
Αρχές της απαρίθμησης Αρχή 3 η : Η διαρρύθμιση των αντικειμένων δεν έχει σημασία
Αρχές της απαρίθμησης Αρχή 4 η : Οι αριθμοί έχουν συγκεκριμένη σειρά Δεν μπορούμε να μετρούμε αυθαίρετα με όποια σειρά θέλουμε. Πολύ σημαντική η κατανόηση του «ένα λιγότερο» και του «ένα περισσότερο». Φαίνεται αυτονόητο όταν το λες, αλλά ποτέ μου δε σκέφτηκα ότι είναι κάτι που πρέπει τα παιδιά να μάθουν. Χτες ρώτησα ένα τετράχρονο μαθητή μου ποιος αριθμός είναι πριν το πέντε και δεν ήξερε να απαντήσει. Κι όμως, μπορεί να μετρά ως το 20 χωρίς κανένα πρόβλημα! Νηπιαγωγός, Ηνωμένο Βασίλειο Haylock and Cockburn (2008)
Αρχές της απαρίθμησης Αρχή 5 η : Κάθε αντικείμενο αντιστοιχεί με μόνο έναν αριθμό
Αρχές της απαρίθμησης Αρχή 6 η : Η θέση του τελευταίου αριθμού που μετρούμε μας δίνει και τον αριθμό του συνόλου
Βασικές πρωτομαθηματικές δεξιότητες Πολλές από τις πρωτομαθηματικές δεξιότητες που αναμένουμε τα παιδιά του νηπιαγωγείου να αναπτύξουν βασίζονται την ικανότητά τους να απαριθμούν σωστά. (α) Σύγκριση (β) Σειροθέτηση Άμεσα συνδεδεμένες η μία με την άλλη (γ) Εκτίμηση
Σύγκριση Από τον πρώτο χρόνο της ζωής τους, τα μικρά παιδιά αρχίζουν να κτίζουν σχέσεις ισοδυναμίας ανάμεσα σε σύνολα αντικειμένων.
Σύγκριση Η γλώσσα της σύγκρισης: Όταν συγκρίνω δύο διαφορετικές ποσότητες, υπάρχουν δύο ισοδύναμοι τρόποι για να εκφράσω τη μεταξύ τους σχέση. Μαθηματικά, αυτό εκφράζεται ως Α Β Β Α Λεκτικά, αυτό σημαίνει πως «το Α είναι μεγαλύτερο από το Β» και «το Β είναι μικρότερο από το Α».
Καλλιεργώντας στα παιδιά τη γλώσσα της σύγκρισης
Σειροθέτηση Η σειροθέτηση αριθμών είναι η διαδικασία κατά την οποία καθορίζουμε ποιος είναι «ο μεγαλύτερος» ανάμεσα σε δύο αριθμούς. Ας σκεφτούμε δύο ακέραιους αριθμούς, τον α και τον β. Ο β είναι μεγαλύτερος από τον α, αν κατά τη διαδικασία της απαρίθμησης, ο α παρουσιάζεται πρώτος. Ανάμεσα σε δύο αριθμούς πάντα ισχύει μία από τις τρεις πιο κάτω σχέσεις: α = β α > β α < β
Σειροθέτηση Ένας θηλυκός χιμπατζής με το όνομα Άι έχει μάθει να χρησιμοποιεί αραβικά αριθμητικά για να αναπαριστά ακέραιους αριθμούς. Μπορεί να απαριθμεί από μηδέν μέχρι εννιά αντικείμενα, κάτι που το δείχνει πατώντας τον κατάλληλο αριθμό σε μια οθόνη αφής, και μπορεί να σειροθετήσει τους αριθμούς από το μηδέν ως το εννιά με αύξουσα σειρά. Kawai & Matsuzawa (2000) Τι;;; Εμένα γιατί δεν μου έμαθε ποτέ κανένας να απαριθμώ;;;
Σειροθέτηση Σίγουρα, η ικανότητα σειροθέτησης αριθμών δεν είναι ιδιαίτερα προχωρημένη αναπτυξιακά για τα νήπια. Αν το μπορεί ο χιμπατζής, τότε μπορώ να μάθω κι εγώ!
Σειροθέτηση Τα παιδιά της ηλικίας 4-5 μπορούν να αναπτύξουν νοερή εικόνα της αριθμητικής γραμμής. Εντούτοις, έρευνες έχουν δείξει πως πολλά παιδιά της ηλικίας 5-6 που προέρχονται από χαμηλά κοινωνικοοικονομικά στρώματα δεν είναι σε θέση να απαντήσουν σε ερωτήσεις τύπου «ποιο είναι πιο πολύ, το 6 ή το 4;» (Griffin, Case, & Siegler, 1994). Όλα τα παιδιά πρέπει να μπορούν να εξηγούν πως αν η απαρίθμηση των αντικειμένων σε δύο σύνολα είναι 9 και 7, τότε το σύνολο με τα 9 έχει περισσότερα, γιατί το 9 έρχεται μετά το 7 κατά την απαρίθμηση.
Εκτίμηση Εκτίμηση Vs Μάντεμα Η εκτίμηση είναι η διαδικασία επίλυσης κάποιου προβλήματος μέσα από μια γενική αξιολόγηση κάποιας ποσότητας. Τρία συχνά είδη εκτίμησης: (α) Εκτίμηση στις μετρήσεις (β) Εκτίμηση στους υπολογισμούς (γ) Αριθμητική εκτίμηση
Εκτίμηση Πόσα είναι τα αρκουδάκια;
Εκτίμηση με τη χρήση αριθμητικής γραμμής Το να έχουμε στο μυαλό μας μια «νοερή αριθμητική γραμμή» είναι πολύ σημαντική μαθηματική δεξιότητα. Πολλές φορές, οι άνθρωποι υπερβάλλουν στις αποστάσεις ανάμεσα στους αριθμούς.
Μαθησιακή πορεία για τη σύγκριση, τη σειροθέτηση, και την εκτίμηση Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος Διδακτική δραστηριότητα 0-1 Αντιστοίχιση πολλά-προς-ένα Σύγκριση Το παιδί βάζει αντικείμενα, λέξεις, ή πράξεις σε αντιστοιχία ένα-προςένα ή πολλά-προς-ένα. π.χ. Βάζει πολλά τουβλάκια σε ένα κουτί. Η/ο εκπαιδευτικός παρέχει πλούσια αισθητηριακά περιβάλλοντα που περιέχουν υλικά που προκαλούν την αντιστοίχιση.
Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος Διδακτική δραστηριότητα 2 Αντιστοίχιση ένα-προς-ένα Σύγκριση 1. Το παιδί βάζει αντικείμενα σε μη ευέλικτη αντιστοιχία ένα-προς-ένα (ηλικία 2;0). 2. Χρησιμοποιεί λέξεις όπως «περισσότερα», «λιγότερα», «τα ίδια». π.χ. Βάζει ένα τουβλάκι σε ένα κουτί, αλλά ενοχλείται που κάποια τουβλάκια περισσεύουν, έτσι βρίσκει περισσότερα κουτιά για να βάλει μέχρι και το τελευταίο τουβλάκι. 3. Είναι εσωτερικά ευαίσθητο ως προς τη σχέση «περισσότερα από/λιγότερα από» όσον αφορά σε μικρούς αριθμούς (από 1 μέχρι 2 χρονών). Η/ο εκπαιδευτικός 1) παρέχει αντικείμενα που προκαλούν την ακριβή αντιστοίχιση ένα-προς-ένα (π.χ. χαρτονάκια αβγών και πλαστικά αβγά που χωρούν ακριβώς. Δίνει περισσότερα ή λιγότερα αβγά από τις θήκες). 2) συζητεί την αντιστοίχιση που κάνει ή μπορεί να κάνει το παιδί. «Μήπως έχει κάθε ζωάκι τουβλάκι για να καθήσει;»
Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος 2 Αντιστοίχιση αντικειμένων Σύγκριση Το παιδί βάζει αντικείμενα σε αντιστοιχία έναπρος-ένα, αλλά μπορεί να μην έχει πλήρη επίγνωση ότι αυτό που κάνει δημιουργεί ίσες ομάδες (ηλικία 2;8). π.χ. Βάζει ένα καλαμάκι σε ένα ποτήρι. Δεν ανησυχεί που περισσεύουν καλαμάκια, αλλά δεν γνωρίζει απαραίτητα ότι, σε αυτό που κάνει, τα καλαμάκια έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό με τα ποτήρια. Διδακτική δραστηριότητα «Στρώνουμε το τραπέζι» Τα παιδιά στρώνουν το τραπέζι για να φάνε τα πλαστικά ζωάκια. Πρέπει να χρησιμοποιήσουν τόσα χάρτινα πιάτα ώστε το κάθε ζωάκι να έχει το πιάτο του για να φάει. Η/ο εκπαιδευτικός μιλά με τα παιδιά για να ανακαλύψουν και να εμπεδώσουν το ότι η αντιστοιχία ένα-προς-ένα δημιουργεί ίσες ομάδες: Αν ξέρουμε τον αριθμό των αντικειμένων στη μία ομάδα, τότε ξέρουμε τον αριθμό των αντικειμένων και στην άλλη.
Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος Διδακτική δραστηριότητα 2 Αντιληπτική σύγκριση Σύγκριση 1. Το παιδί συγκρίνει ομάδες με πολύ διαφορετικό πληθικό αριθμό (ο ένας να είναι περίπου ο διπλάσιος του άλλου). π.χ. Αν έχει μπροστά του μια ομάδα με 10 τουβλάκια και μία με 25, δείχνει αυτήν με τα 25 ως την ομάδα με τα περισσότερα. 2. Αν οι ομάδες είναι περίπου οι ίδιες, μπορεί να συγκρίνει μόνο μικρούς αριθμούς. Το παιδί κάνει συγκρίσεις χρησιμοποιώντας τις λέξεις «ένα» και «δύο» (2;8). π.χ. Αν έχει δύο ομάδες, με 2 και 4 τουβλάκια, δείχνει αυτήν με τα 4 ως την ομάδα με τα περισσότερα. Παιχνίδια σύγκρισης μεγάλων ποσοτήτων με μικρή διαφορά
Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος Διδακτική δραστηριότητα 3 Πρώτος και δεύτερος Σειροθέτηση Το παιδί αναγνωρίζει το «πρώτο» και συχνά το «δεύτερο» αντικείμενο σε μια σειρά. Η/ο εκπαιδευτικός συζητά με τα παιδιά ποιο θέλει να σταθεί πρώτο ή δεύτερο σε μια σειρά. Σταδιάκά, επεκτείνει τη συζήτηση και σε άλλες θέσεις. Μη λεκτική σύγκριση όμοιων αντικειμένων Σύγκριση Το παιδί συγκρίνει ομάδες 1-4 αντικειμένων λεκτικά ή μη λεκτικά, μόνο και μόνο με οπτική επαφή. Τα αντικείμενα πρέπει να είναι τα ίδια. π.χ. Αναγνωρίζει τα ως ίσα με τα αλλά ως διαφορετικά από τα ή τα «Είναι δίκαιο;» Η/ο εκπαιδευτικός δείχνει ένα μικρό αριθμό αντικειμένων που δίνει σε δύο ανθρώπους (π.χ. κούκλες, ζωάκια, αυτοκινητάκια κτλ) και ρωτά αν είναι δίκαιος ο τρόπος, αν δηλαδή πήραν και οι δύο τον ίδιο αριθμό.
Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος 4 Μη λεκτική σύγκριση ανόμοιων αντικειμένων Σύγκριση Το παιδί αντιστοιχεί μικρές ομάδες με ίδιο πληθικό αριθμό αλλά με ανόμοια αντικείμενα. π.χ. Αντιστοιχεί μια ομάδα με τρία αυτοκινητάκια με μια ομάδα με τρία τουβλάκια και δηλώνει ότι «έχουν τον ίδιο αριθμό». Διδακτική δραστηριότητα Όπως και πριν, αλλά με ανόμοια αντικείμενα. Σύγκριση και αντιστοίχιση Σύγκριση Το παιδί συγκρίνει ομάδες με 1-6 αντικείμενα με αντιστοίχιση. π.χ. Δίνει ένα τουβλάκι σε κάθε μπουλουκάκι και λέει ότι υπάρχει ο ίδιος αριθμός τουβλάκια και μπουλουκάκια. Η/ο εκπαιδευτικός ρωτά τα παιδιά αν, π.χ., υπάρχει ο ίδιος αριθμός σε κουταλάκια και σε πιατάκια. Ζητά από τα παιδιά να εξηγήσουν πώς μπορούν να είναι σίγουρα και πώς το σκέφτηκαν.
Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος 4 Απαρίθμηση και σύγκριση Σύγκριση 1. Το παιδί μπορεί να κάνει ακριβή σύγκριση μέσα από την απαρίθμηση, αλλά μόνο όταν τα αντικείμενα έχουν περίπου το ίδιο μέγεθος και ο πληθικός αριθμός των ομάδων είναι μικρός (1-5). π.χ. Μετρά δύο στήλες με 5 τουβλάκια στην κάθε μία και λέει ότι είναι το ίδιο. 2. Οι συγκρίσεις δεν είναι πάντα ακριβείς όταν τα αντικείμενα στην ομάδα με τον μεγαλύτερο πληθικό αριθμό είναι μικρότερα σε μέγεθος απ αυτά της ομάδας με το μικρότερο πληθικό αριθμό. π.χ. Μετρά με ακρίβεια δύο ομάδες με τον ίδιο πληθικό αριθμό, αλλά όταν ερωτηθεί ποια ομάδα έχει τα περισσότερα, δείχνει αυτή με τα μεγαλύτερα αντικείμενα. Διδακτική δραστηριότητα Η/ο εκπαιδευτικός δίνει σε κάθε ζευγάρι παιδιών 2 ή περισσότερα σετ από κάρτες απαρίθμησης (κάρτες που έχουν διαφορετικό αριθμό από όμοια αντικείμενα, από 1 μέχρι 5). Τα παιδιά μοιράζονται στα ίσα τις κάρτες, αναποδογυρισμένες. Με το σύνθημα, κάθε παιδί γυρίζει μία κάρτα και απαριθμεί τα αντικείμενα. Το παιδί με τα περισσότερα αντικείμενα παίρνει την κάρτα του αντιπάλου. Αν είναι ο ίδιος αριθμός, τότε γυρίζουν άλλη κάρτα. Νικητής είναι το παιδί που θα πάρει τις περισσότερες κάρτες απο τον αντίπαλό του.
Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος Διδακτική δραστηριότητα 4 Αριθμητική γραμμή μέχρι το 5 Εκτίμηση σε άδεια αριθμητική γραμμή Το παιδί χρησιμοποιεί τις γνώσεις του για την απαρίθμηση για να καθορίσει το σχετικό μέγεθος και τη θέση, όταν του δίνεται κάποια αντιληπτική στήριξη. π.χ. Αν στο ένα άκρο ενός ευθύγραμμου τμήματος δοθεί το μηδέν ενώ στο άλλο άκρο το 5, το παιδί μπορεί να τοποθετήσει το «3» κάπου στη μέση. Η/ο εκπαιδευτικός δείχνει στα παιδιά σκαλιά από τουβλάκια, που αυξάνονται και μετά μειώνονται. Τους λέει να κλείσουν τα μάτια τους και αφαιρεί μια στήλη από τουβλάκια. Ρωτά τα παιδιά να πουν πόσα τουβλάκια λείπουν. Ζητά από τα παιδιά να εξηγήσουν τον τρόπο σκέψης τους.
Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος Διδακτική δραστηριότητα 5 Σύγκριση απαριθμήσεων Σύγκριση Το παιδί συγκρίνει ομάδες με αντικείμενα, ακόμα κι αν τα αντικείμενα της ομάδας με τον μεγαλύτερο πληθικό αριθμό είναι μικρότερα σε μέγεθος από αυτά της άλλης ομάδας. Αργότερα, βρίσκει πόσα περισσότερα ή πόσα λιγότερα. «Παιχνίδι μνήμης» Σε κάθε ζευγάρι παιδιών δίνονται δύο σετ από κάρτες. Στο ένα σετ υπάρχουν τελείες ενώ στο άλλο αριθμητικά. Τα δύο σετ τοποθετούνται αναποδογυρισμένα και ξεχωριστά. Το κάθε παιδί γυρίζει μία κάρτα από το σετ με τις τελείες και μία κάρτα από το σετ με τα αριθμητικά. Αν είναι τα ίδια, κρατά τις κάρτες. Αν είναι διαφορετικά, αναποδογυρίζει τις κάρτες στην ίδια θέση που τις βρήκε. Νικητής είναι το παιδί που θα μαζέψει τις περισσότερες κάρτες.
Ηλικία Αναπτυξιακή πρόοδος Διδακτική δραστηριότητα 5 Χωρική εκτίμηση Μικρό/μεγάλο Εκτίμηση αριθμού Το παιδί λέει κάποιο «μικρό αριθμό» (π.χ. 1-4) για ομάδες αντικειμένων που καταλαμβάνουν λίγο χώρο, και κάποιο «μεγάλο αριθμό» (10-20 ή και μεγαλύτερο) για αντικείμενα που καταλαμβάνουν πολύ χώρο. π.χ. Δείχνουμε σε ένα παιδί 9 διασκορπισμένα αντικείμενα για 2 δευτερόλεπτα, και όταν ερωτηθεί «Πόσα είναι;» απαντά «Πενήντα!» «Το βάζο των εκτιμήσεων» Η/ο εκπαιδευτικός φέρνει ένα διαφανές πλαστικό βάζο και τοποθετεί μέσα διάφορα όμοια αντικείμενα. Δείχνει το βάζο στα παιδιά και τους ζητά να κάνουν εκτίμηση του αριθμού των αντικειμένων. Το κάθε παιδί γράφει το αριθμητικό σε ένα χαρτάκι. Στη συνέχεια, απαριθμούν όλοι μαζί τα αντικείμενα και βλέπουν ποια παιδιά πλησίασαν στις εκτιμήσεις τους.