Εύρεση ν-στού πρώτου αριθμού

Transcript

1 Εύρεση ν-στού πρώτου αριθμού Ορισμός Πρώτος αριθμός λέγεται κάθε φυσικός αριθμός (εκτός της μονάδας) που έχει φυσικούς διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και τη μονάδα. Ερώτημα: Να υπολογιστεί ο ν-στός πρώτος αριθμός. Λύση Α Προσδιορισμός αλγορίθμου Θεωρώ γνωστούς τους δύο πρώτους αριθμούς 2 και 3. Σχηματίζω τις παρακάτω ισότητες (Α i ) A 1 ) α) β) A 2 ) α) β) A 3 ) α) β) A 4 ) α) β) A 5 ) α) β) A 6 ) α) β). Στις παραπάνω ισότητες (Α i ) ορίζω τους και ως εξής: (Α i ) 1) Τους δηλαδή όλους τους αντίστοιχους με περιττούς δείκτες να ισούνται με τους δείκτες αυτών. Έτσι έχω: κ.ο.κ. 2) Τους δηλαδή όλους τους αντίστοιχους με άρτιους δείκτες να ισούνται με το διπλάσιο αριθμό του δείκτη αυτών. Έτσι έχω: κ.ο.κ. 3) Τους δηλαδή όλους τους αντίστοιχους με άρτιους δείκτες να είναι ίσοι με τον αριθμό του δείκτη αυτών. Έτσι έχω: κ.ο.κ. 4) Τους δηλαδή όλους τους αντίστοιχους με περιττούς δείκτες να είναι ίσοι με το άθροισμα των αντίστοιχων και την αντίστοιχη αριθμητική τιμή για του συντελεστή του της ισότητας (Α i ) (β). Έτσι έχω:. Ο συντελεστής του της (Α 1 ) (β) είναι ο. Αριθμητική του τιμή για είναι.

2 - 2 - Όμοια έχω:. Ο συντελεστής του της (Α 3 ) (β) είναι ο. Αριθμητική του τιμή για είναι. Όμοια προκύπτουν: κ.ο.κ. Σύμφωνα με τα παραπάνω οι ισότητες (Α i ) παίρνουν τη μορφή: A 1 ) α) β) A 2 ) α) β) A 3 ) α) β) A 4 ) α) β) A 5 ) α) β) A 6 ) α) β).. (Α i ) 5) Τους συντελεστές δηλαδή όλους τους αντίστοιχους με περιττούς δείκτες, τους υπολογίζω αν προσθέσω την αριθμητική τιμή για του αντίστοιχου συντελεστή τους της (Α i )(β) με τον αντίστοιχο. Έτσι έχω: Ο συντελεστής του της (Α 1 )(β) είναι ο. Η αριθμητική του τιμή για είναι. Ο.. Όμοια, ο συντελεστής του της (Α 3 )(β) είναι. Η αριθμητική του τιμή για είναι. Ο.. Όμοια προκύπτουν: κ.ο.κ. 6) Τέλος, τους δηλαδή όλους τους αντίστοιχους με άρτιους δείκτες, τους υπολογίζω αν προσθέσω την αριθμητική τιμή για του αντίστοιχου συντελεστή τους της (Α i ) (β) με τον αντίστοιχο. Έτσι έχω: Ο συντελεστής του της (Α 2 ) (β) είναι ο. Η αριθμητική του τιμή για είναι. Ο.. Όμοια, ο συντελεστής του της (Α 4 ) (β) είναι. Η αριθμητική του τιμή για είναι. Ο.. Όμοια προκύπτουν: κ.ο.κ. Κατόπιν όλων των παραπάνω οι ισότητες (Α i ) λαμβάνουν την μορφή των παρακάτω αριθμητικών προόδων πλέον (Β i ) Β 1 ) α) β) με, με Β 2 ) α) β) (Β i ) Β 3 ) α) β)

3 - 3 - Β 4 ) α) β) Β 5 ) α) β) Β 6 ) α) β). Β Εκτέλεση αλγορίθμου Επειδή θεώρησα γνωστούς τους 2 και 3, αφαιρώ από τον αριθμό ν το 2 και έχω. Στον αριθμό αντιστοιχίζω το 1 ο βήμα, δηλαδή ( 1 ο βήμα. Αν λ είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου όλων των τιμών των αριθμητικών προόδων Β από τις (Β i ) με, τότε: 2 ο βήμα. Αν μ είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου όλων των τιμών των αριθμητικών προόδων Β από τις (Β i ) με, τότε: 3 ο βήμα.. Αν Χ στό βήμα και j είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου όλων των τιμών των αριθμητικών προόδων Β από τις (Β i ) με, τότε: Παρατήρηση: Από τη δομή των (Β i ) και τον ορισμό των πληθικών αριθμών των αντίστοιχων βημάτων συνάγονται τα παρακάτω: α) και β) Το πλήθος των βημάτων είναι πεπερασμένο και μικρότερο είτε ίσο με..

4 - 4 - Εφαρμογή Ερώτημα Να βρεθεί ο πεντηκοστός δεύτερος (52 ος ) πρώτος αριθμός. Απάντηση Από τον αριθμό αφαιρώ τον αριθμό 2, δηλαδή. Άρα: 1 ο βήμα. Εξετάζω τώρα από τις αριθμητικές προόδους (Β i ) το πλήθος των και τέτοιοι ώστε: Από την (Β 1 ) α) προκύπτει ότι οι αριθμοί που είναι μικρότεροι είτε ίσοι του 50 είναι οι: Από την (Β 1 ) β) προκύπτει ότι οι αριθμοί που είναι μικρότεροι είτε ίσοι του 50 είναι οι: Όμοια, από την (Β 2 ) α) οι αριθμοί που είναι μικρότεροι είτε ίσοι του 50 είναι οι: Επίσης, από την (Β 2 ) β) οι αριθμοί που είναι μικρότεροι είτε ίσοι του 50 είναι οι: Πρέπει: με το οποίο ισχύει. Από την (Β 3 ) α) οι αριθμοί που είναι μικρότεροι είτε ίσοι του 50 είναι μόνο ο: Από την (Β 3 ) β) οι αριθμοί που είναι μικρότεροι είτε ίσοι του 50 είναι μόνο ο:. Άρα: 2 ο βήμα. Εφαρμόζοντας τον ίδιο αλγόριθμο, εξετάζω τώρα από τις αριθμητικές προόδους (Β i ) το πλήθος των και τέτοιοι ώστε: Από την (Β 1 ) α) έχουμε:, δηλ..

5 - 5 - Από την (Β 1 ) β) έχουμε:, δηλ.. Όμοια από την (Β 2 ) α) έχουμε:, δηλ.. Από την (Β 2 ) β) έχουμε:, δηλ.. Επίσης, από την (Β 3 ) α) έχουμε:, δηλ.. Από την (Β 3 ) β) έχουμε:, δηλ. Ακόμα, από την (Β 4 ) α) έχουμε:, δηλ.. Από την (Β 4 ) β) έχουμε:, δηλ... Άρα 3 ο βήμα. Συνεχίζοντας βρίσκω από τις αριθμητικές προόδους (Β i ) το πλήθος των και τέτοιοι ώστε: Από (Β 1 ) α):,, δηλ.. Από (Β 1 ) β):,, δηλ.. Από (Β 2 ) α):,, δηλ.. Από (Β 2 ) β):,, δηλ.. Από (Β 3 ) α):, δηλ.. Από (Β 3 ) β):,, δηλ..

6 - 6 - Από (Β 4 ) α):, δηλ.. Από (Β 4 ) β):, ( ), δηλ... Άρα 4 ο βήμα. Εξακολουθώ βρίσκοντας από τις αριθμητικές προόδους (Β i ) το πλήθος των και τέτοιοι ώστε: Από (Β 1 ) α):,, δηλ.. Από (Β 1 ) β):,, δηλ.. Από (Β 2 ) α):,, δηλ.. Από (Β 2 ) β):,, δηλ.. Από (Β 3 ) α):, δηλ.. Από (Β 3 ) β):,, δηλ.. Από (Β 4 ) α):, δηλ.. Από (Β 4 ) β):, δηλ... Άρα 5 ο βήμα. Συνεχίζω να βρίσκω από τις αριθμητικές προόδους (Β i ) το πλήθος των και τέτοιοι ώστε: και Από (Β 1 ) α):,, δηλ..

7 - 7 - Από (Β 1 ) β):,, δηλ.. Από (Β 2 ) α):,, δηλ.. Από (Β 2 ) β):,, δηλ.. Από (Β 3 ) α):, δηλ.. Από (Β 3 ) β):,, δηλ.. Από (Β 4 ) α):, δηλ.. Από (Β 4 ) β):, δηλ... Άρα 6 ο βήμα. Με την ίδια διαδικασία βρίσκω από τις αριθμητικές προόδους (Β i ) το πλήθος των τέτοιοι ώστε: και Από (Β 1 ) α):,, δηλ.. Από (Β 1 ) β):,, δηλ.. Από (Β 2 ) α):,, δηλ.. Από (Β 2 ) β):,, δηλ.. Από (Β 3 ) α):, δηλ.. Από (Β 3 ) β):,, δηλ..

8 - 8 - Από (Β 4 ) α):, δηλ.. Από (Β 4 ) β):, δηλ... Παρατηρώ ότι ο τελευταίος πληθικός αριθμός των και, είναι ίδιος με τον πληθικό αριθμό που βρήκα στο προηγούμενο (6 ο ) βήμα. Εδώ σταματά πλέον ο αλγόριθμος. Άρα. Νικόλαος Καμπούρας Καθηγητής Μαθηματικών του 9 ου Γυμνασίου Λάρισας