ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΝΟΕΡΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ 1 Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε γενικά θεωρητικά θέματα που αφορούν στους νοερούς υπολογισμούς και τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τον προσδιορισμό των όρων και τον ορισμό του νοερού υπολογισμού και της εκτίμησης, καθώς και με τη σημαντικότητά τους. Θα παρουσιάσουμε τη θέση των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης στο σύγχρονο διδακτικό περιβάλλον, όπως στα Προγράμματα Σπουδών, και στο πλαίσιο του αριθμητισμού. Επίσης, θα παρουσιάσουμε τη σχέση των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης με την εννοιολογική κατανόηση και την αίσθηση του αριθμού. Θα γίνει μια σύντομη παρουσίαση της εμφάνισης και της ανάπτυξης των πρώτων αριθμητικών ικανοτήτων με έμφαση στους νοερούς υπολογισμούς και θα αναπτυχθεί το θέμα των στρατηγικών και των άτυπων στρατηγικών των παιδιών. Τέλος, θα παρουσιάσουμε το θέμα της ευελιξίας στους νοερούς υπολογισμούς. Πώς ορίζεται ο νοερός υπολογισμός; Διευκρίνιση των όρων. Στη διεθνή βιβλιογραφία έχουν πραγματοποιηθεί πολλές έρευνες και έχουν γραφτεί πολλά σχετικά με τους νοερούς υπολογισμούς. Οι πρώτες ερμηνείες και ορισμοί του όρου κινούνται με βάση την έλλειψη χρήσης του μέσου χαρτί μολύβι. Όπως αναφέραμε και στην εισαγωγή, θεωρείται ότι οι υπολογισμοί μπορεί να πραγματοποιηθούν βασικά με τη χρήση τριών μέσων: α) την αριθμομηχανή, β) με το μυαλό ή νοερά και γ) με χαρτί και μολύβι. Σύμφωνα με τους Wandt και Brown (1957) «νοερός υπολογισμός, είναι η διαδικασία του υπολογισμού με ακρίβεια ενός αριθμητικού αποτελέσματος χωρίς τη βοήθεια κάποιου εξωτερικού μέσου υπολογισμού ή γραφής». Ο Trafton (1978) ορίζει τους νοερούς υπολογισμούς ως «χρήση μη τυπικών αλγορίθμων υπολογισμού για την εξαγωγή απαντήσεων χωρίς τη χρήση χαρτιού και μολυβιού». Αργότερα ο Reys (1984) δίνει έναν ορισμό για τον νοερό υπολογισμό, αλλά αναφέρεται και στην εκτίμηση, προσδιορίζοντας και τη σχέση των δύο υπολογισμών. «Υπάρχουν δύο ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του νοερού υπολογισμού. Παράγει μια ακριβή απάντηση και η διαδικασία πραγματοποιείται νοερά, χωρίς τη χρήση εξωτερικών μέσων, όπως μολύβι και χαρτί. Ο νοερός υπολογισμός είναι ένα σημαντικό στοιχείο της εκτίμησης, δεδομένου ότι συνιστά τον ακρογωνιαίο λίθο που είναι απαραίτητος για τις διαφορετικές αριθμητικές διαδικασίες που χρησιμοποιούνται στην υπολογιστική εκτίμηση». Στη συνέχεια, για τον προσδιορισμό των νοερών υπολογισμών χρησιμοποιείται η έννοια των στρατηγικών (Thompson 1999a, 2001, Threlfall, 2002). Ο Threlfall (2002, σελ. 30) χαρακτηρίζει και αξιολογεί τους διάφορους τρόπους απάντησης σ ένα πρόβλημα και θεωρεί ως ζωτικής σημασίας για τις ευρύτερες ανάγκες του νοερού υπολογισμού τις στρατηγικές. Ως στρατηγικές θεωρεί τις διαδικασίες κατά τις οποίες πραγματοποιείται μια ακολουθία μετασχηματισμών των αριθμών ενός προβλήματος, προκειμένου να βρεθεί μία λύση (για περισσότερα βλέπε, ενότητα 1.3.2.). Ο Thompson (2001, σελ. 75), επίσης, δείχνει ότι η φράση νοερός υπολογισμός 1 Με τον όρο νοερός υπολογισμός τις περισσότερες φορές εννοούμε μαζί τους ακριβείς νοερούς υπολογισμούς και τους κατ εκτίμηση υπολογισμούς. Αν και είναι διαφορετικοί όροι, όπως θα δείξουμε στη συνέχεια, αυτό το κάνουμε χάριν συντομίας και επειδή και οι δύο υπολογισμοί είναι νοεροί.
χρησιμοποιείται σε επίσημα έγραφα στην Αγγλία και την Ουαλία για να τονίσει τη σημασία της χρήσης των στρατηγικών στην νοητική εργασία. Επίσης, και η Anghileri (1999) κινείται στο ίδιο πνεύμα και προσδιορίζει τον νοερό υπολογισμό με βάση τις στρατηγικές, αλλά αναφέρεται και στις «σύντομες σημειώσεις» που μπορούν να κρατούνται κατά τη διάρκεια των νοερών υπολογισμών. Πιο συγκεκριμένα αναφέρει: «τονίζοντας τη σημασία των στρατηγικών νοερών μεθόδων υπολογισμού (SCAA 1997), γίνεται διαχωρισμός μεταξύ νοερής ανάκλησης και νοερού υπολογισμού (βλ. Thompson, Κεφάλαιο 12, σε αυτό τον τόμο). Οι νοερές στρατηγικές μπορεί να χρειάζονται χαρτί και μολύβι για σύντομες σημειώσεις, για να υποστηρίζουν τη βραχύχρονη μνήμη των μαθητών, ως νοερό δηλαδή ερμηνεύεται το υπολογίζω με το κεφάλι και όχι μόνο μέσα στο κεφάλι. Για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση είναι σημαντικό να θυμούνται οι μαθητές τα αριθμητικά γεγονότα, αλλά επίσης θα πρέπει να είναι ικανοί να παράγουν επιπλέον γεγονότα και να βλέπουν συνδέσεις που θα τους βοηθούν να απλοποιούν τους υπολογισμούς» (σελ. 186). Όσον αφορά στον ορισμό των νοερών υπολογισμών, λοιπόν, μπορούμε να συμπεράνουμε σύμφωνα με τα παραπάνω ότι: είναι υπολογισμοί που γίνονται με το μυαλό, αλλά δεν αφορούν μόνο ανάκληση απλών αριθμητικών γεγονότων, αντιθέτως αφορούν κυρίως τη χρήση στρατηγικών. Είναι υπολογισμοί ακριβείς και αποτελούν μέρος των κατ εκτίμηση υπολογισμών. Επίσης, όσον αφορά τα μέσα του υπολογισμού, οι εκφράσεις όπως «χωρίς τη χρήση κανενός εξωτερικού μέσου» ή «μόνο με το μυαλό» μπορεί να είναι πολύ περιοριστικές. Μπορούμε να δεχτούμε ότι μερικές φορές στους νοερούς υπολογισμούς χρησιμοποιείται χαρτί και μολύβι για «σύντομες σημειώσεις» που διευκολύνουν τη βραχύχρονη μνήμη. Σύμφωνα με όλα αυτά μπορούμε να διατυπώσουμε τον παρακάτω ορισμό για το νοερό υπολογισμό: Νοερός υπολογισμός είναι ο υπολογισμός που πραγματοποιείται νοερά και με τη χρήση στρατηγικών. Παράγει μια ακριβή απάντηση. Πραγματοποιείται συνήθως χωρίς τη χρήση εξωτερικών μέσων όπως χαρτί και μολύβι, αν και μπορεί να χρησιμοποιείται το χαρτί και το μολύβι, για «σύντομες σημειώσεις» που υποστηρίζουν τη μνήμη. Στην αγγλόφωνη βιβλιογραφία για την απόδοση του όρου νοερός υπολογισμός συναντούμε διαφορετικούς όρους όπως: mental computation ή mental calculation ή mental arithmetic (νοερή αριθμητική). Συναντούμε, επίσης, τον γενικό όρο mental maths (νοερά μαθηματικά), που χρησιμοποιείται συνήθως για να εκφράσει την ενότητα των νοερών υπολογισμών μέσα στα σύγχρονα Προγράμματα Σπουδών. Πράγματι, στην αγγλική γλώσσα υπάρχουν οι δύο λέξεις calculation και computation, που αποδίδουν τη σημασία της ελληνικής λέξης υπολογισμός. Στον όρο calculation αποδίδεται μια πιο ελεύθερη και ευρεία σημασία του υπολογισμού, ενώ στον όρο computation μια πιο επιστημονική και αλγοριθμοποιημένη σημασία. Οι δύο αυτοί όροι συνήθως δεν διαχωρίζονται στη βιβλιογραφία των νοερών υπολογισμών (Maclellan, 2001). Στην Ελληνική γλώσσα, επίσης, σε παλαιότερες εποχές χρησιμοποιούνταν ο όρος λογαριασμός αντί του υπολογισμός που χρησιμοποιείται σήμερα. Για παράδειγμα, ένα σχετικό βιβλίο του 1965, έφερε τον τίτλο «Μέθοδος λογαριασμών από μνήμης» (Σαφαρίκας, 1965). Θα πρέπει ίσως να αναφερθούμε εδώ σε ένα θέμα το οποίο συγχέουν πολλοί εκπαιδευτικοί και είναι η σχέση των νοερών υπολογισμών με την εκτίμηση. Πολλοί εκπαιδευτικοί έχουν μια γενική ιδέα ότι νοεροί υπολογισμοί είναι κάποιοι υπολογισμοί που δεν είναι οι τυπικοί γραπτοί υπολογισμοί και γίνονται κατά προσέγγιση. Ταυτίζουν δηλαδή την έννοια των νοερών υπολογισμών με αυτήν των κατ εκτίμηση υπολογισμών.
Όταν πραγματοποιούμε έναν υπολογισμό χειριζόμαστε τους αριθμούς, τις ιδιότητες του αριθμητικού συστήματος, τα αριθμητικά γεγονότα που γνωρίζουμε κ.ά., με στόχο να καταλήξουμε σε μια απάντηση. Η απάντηση μπορεί να είναι συγκεκριμένη και μοναδική ή μπορεί να είναι μια τιμή κατά προσέγγιση. Όταν σε ένα πρόβλημα νοερής αριθμητικής ο στόχος είναι να δοθεί μια ακριβής απάντηση, τότε απαιτείται ένας υπολογισμός. Το κατά πόσον ο υπολογισμός αυτός μπορεί να είναι νοερός εξαρτάται από το μέγεθος των εμπλεκόμενων αριθμών στην πράξη. Εάν αντίθετα ο στόχος είναι να δοθεί μια προσεγγιστική απάντηση ή ακόμη αν οι αριθμοί έχουν μεγάλο μέγεθος, τότε απαιτείται μια εκτίμηση (Sowder, 1988). Σύμφωνα με τον Sowder (1988) «εκτίμηση είναι η διαδικασία μετατροπής αριθμών από ακριβείς σε προσεγγιστικούς και ο νοερός υπολογισμός με αυτούς τους αριθμούς, για να ληφθεί μια απάντηση η οποία είναι αρκετά κοντά στο αποτέλεσμα του ακριβούς υπολογισμού». Μπορούμε να πούμε, δηλαδή, ότι η εκτίμηση είναι κάτι περισσότερο από τον νοερό υπολογισμό και τον περιλαμβάνει. Επομένως, νοερός υπολογισμός είναι η διαδικασία διεξαγωγής αριθμητικών πράξεων, για να επιτευχθεί είτε μια ακριβής απάντηση (στην περίπτωση αυτή απαιτείται νοερός υπολογισμός) είτε μια κατά προσέγγιση απάντηση (στην περίπτωση αυτή απαιτείται υπολογιστική εκτίμηση) (Maclellan, 2001). Γιατί είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί; Πολλοί ερευνητές επισημαίνουν, αλλά είναι πλέον και μια κοινή παραδοχή, ότι οι νοεροί υπολογισμοί διαδραματίζουν έναν σημαντικό ρόλο στη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών. Για παράδειγμα, ο Reys (1984, σελ. 549) αναφέρει τους παρακάτω πέντε ευρέως αποδεκτούς λόγους για τη διδασκαλία των νοερών υπολογισμών: 1. Είναι προαπαιτούμενοι για μια επιτυχημένη ανάπτυξη όλων των γραπτών αριθμητικών αλγορίθμων. 2. Συμβάλλουν στην καλύτερη κατανόηση της δομής και των ιδιοτήτων των αριθμών. 3. Προωθούν τη δημιουργική και ανεξάρτητη σκέψη και ενθαρρύνουν τους μαθητές να βρίσκουν έξυπνους τρόπους για να χειρίζονται τους αριθμούς. 4. Συμβάλλουν στην ανάπτυξη καλύτερων ικανοτήτων στη λύση προβλήματος. 5. Αποτελούν την βάση για να αναπτυχθούν οι ικανότητες των κατ εκτίμηση υπολογισμών. Ο Ian Thompson (1999b, σελ. 147) επισημαίνει τέσσερις βασικούς λόγους για τους οποίους πρέπει να διδάσκονται οι νοεροί υπολογισμοί: 1. Χρησιμοποιούνται στην καθημερινή ζωή περισσότερο από τους γραπτούς υπολογισμούς. 2. H εξάσκηση με αυτούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της αίσθησης του αριθμού (McIntoch, 1990; Sowder, 1990). 3. H νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων. 4. Bοηθούν στην κατανόηση και την ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού. Ανακεφαλαιώνοντας και επεκτείνοντας τους βασικούς λόγους για τους οποίους είναι σημαντικοί και πρέπει να διδάσκονται οι νοεροί υπολογισμοί, μπορούμε να αναφέρουμε τους εξής: Α. Η χρησιμότητα και η εφαρμογή τους στην πράξη: Χρησιμοποιούνται πολύ στην καθημερινή ζωή και μάλιστα περισσότερο από τους γραπτούς υπολογισμούς. Β. Η συμβολή τους σε άλλες μαθηματικές έννοιες: H εξάσκηση με αυτούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της αίσθησης του αριθμού. Bοηθούν στην
κατανόηση και την ανάπτυξη των γραπτών μεθόδων υπολογισμού. Αποτελούν την βάση για να αναπτυχθούν οι ικανότητες των κατ εκτίμηση υπολογισμών. H νοερή εργασία αναπτύσσει ικανότητες για τη λύση προβλημάτων. Γ. Η συμβολή τους σε γνωστικές ικανότητες: Με τους νοερούς υπολογισμούς εξασκείται η ικανότητα αναπαράστασης και χρήσης αφηρημένων εννοιών στη βραχύχρονη μνήμη, ασκείται επίσης και η ικανότητα της ευελιξίας (η έννοια της ευελιξίας παρουσιάζεται στην παράγραφο 1.4.). Ασκείται, τέλος και η μεταγνωστική ικανότητα των μαθητών, όταν αυτοί παρουσιάζουν τους τρόπους με τους οποίους υπολόγισαν. Αριθμητισμός και νοεροί υπολογισμοί Τα τελευταία χρόνια αναπτύχθηκε η έννοια του αριθμητισμού ή του αριθμητικού γραμματισμού, που δίνει έμφαση στη σχέση των μαθηματικών της καθημερινής ζωής με τα μαθηματικά του σχολείου και επηρεάζει τα προγράμματα σπουδών, όπως για παράδειγμα αυτό της Αγγλίας, το οποίο φέρει και το όνομά του -National Numeracy Strategy (DfEE, 1999, DfES 2007). Οι νοεροί υπολογισμοί συνδέονται με την έννοια του αριθμητικού γραμματισμού γιατί αποτελούν περιεχόμενα των μαθηματικών που βρίσκουν εφαρμογή στην καθημερινή ζωή. Παρακάτω θα αναφερθούμε σύντομα στις έννοιες ενάριθμος και μαθηματικός αριθμητισμός και θα προσδιορίσουμε τη θέση των νοερών υπολογισμών σχετικά με αυτές τις έννοιες. Ο αριθμητισμός ή αριθμητικός γραμματισμός αναπτύχθηκε μέσα στα πλαίσια της γενικότερης έννοιας του γραμματισμού. Οι κοινωνίες αλλάζουν και η έννοια του τι σημαίνει να είναι κάποιος ενάριθμος και εγράμματος επίσης αλλάζει. Η σύγχρονη κοινωνία στα ανεπτυγμένα κράτη κυριαρχείται από την τεχνολογική ανάπτυξη. Τα μαθηματικά αποτελούν την βασική δομή επάνω στην οποία βασίζεται η τεχνολογική ανάπτυξη, διότι το λογισμικό των υπολογιστών παράγεται με βάση τους αλγορίθμους και το λειτουργικό μέρος των υπολογιστών σχεδιάστηκε με βάση τη μαθηματική λογική. Βρισκόμαστε στην εποχή της πληροφορίας και της ανάγκης διαχείρισης των πληροφοριών. Οι αριθμομηχανές και οι υπολογιστές πραγματοποιούν ένα μεγάλο μέρος των υπολογισμών που σε παλαιότερες εποχές έπρεπε να τις πραγματοποιεί υποχρεωτικά ο άνθρωπος. Η ύπαρξη της τεχνολογίας αλλάζει, εκτός από τον τρόπο διδασκαλίας, και το περιεχόμενο των μαθηματικών στα σχολικά προγράμματα. Οι απαιτήσεις, λοιπόν, σήμερα ενός πολίτη μιας ανεπτυγμένης κοινωνίας για μαθηματικές και αριθμητικές γνώσεις, είναι πολύ αυξημένες και διαφορετικές από άλλες εποχές. Ο Paulos (1998) ονομάζει innumeracy αναριθμησία την άγνοια βασικών αριθμητικών γνώσεων και θεωρεί ότι μπορεί να είναι σοβαρή αδυναμία σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, είτε στο σπίτι και την ιδιωτική ζωή είτε στην εργασία και την καριέρα είτε και στη δημόσια και επαγγελματική ενασχόληση. Η γνώση, όμως, στεγνών μαθηματικών τύπων και κανόνων από το σχολείο δεν είναι αρκετή και δεν συνεπάγεται αυτόματη εφαρμογή τους στην καθημερινότητα, ώστε ένα άτομο να αντιμετωπίζει τις καθημερινές του ανάγκες στα μαθηματικά και να θεωρείται μαθηματικά ενάριθμο. Το να ξέρει κάποιος, δηλαδή, τους αλγορίθμους των τεσσάρων πράξεων από το σχολείο δεν σημαίνει ότι μπορεί με αυτή τη γνώση να αντεπεξέλθει στις απαιτήσεις των υπολογισμών και των εκτιμήσεων που απαιτούνται στην αγορά. Παρακάτω παρουσιάζεται ένας από τους πρώτους ορισμούς του όρου ενάριθμος, που αναφέρεται ευρέως από τους εκπαιδευτικούς των μαθηματικών και
εμφανίζεται στην Αναφορά Cockcroft της Βρετανικής κυβέρνησης, η οποία αποτελεί σταθμό στον επαναπροσδιορισμό των στόχων της μαθηματικής εκπαίδευσης στην Αγγλία (Cockcroft, 1982, παρ. 34): Θα επιθυμούσαμε η λέξη ενάριθμος να αποδίδει την ταυτόχρονη ύπαρξη δύο χαρακτηριστικών. Το πρώτο από αυτά είναι η εξοικείωση με τους αριθμούς και η ικανότητα να χρησιμοποιεί κανείς μαθηματικές δεξιότητες που δίνουν την δυνατότητα σε ένα άτομο να αντιμετωπίζει τις πρακτικές απαιτήσεις της καθημερινής ζωής. Το δεύτερο είναι η ικανότητα του ατόμου να εκτιμά και να κατανοεί τις πληροφορίες που παρουσιάζονται με μαθηματικούς όρους, για παράδειγμα με γραφικές παραστάσεις, διαγράμματα ή πίνακες ή με αναφορές σε ποσοστά αύξησης ή μείωσης. Συνολικά, αυτά σημαίνουν ότι ένα ενάριθμο άτομο θα πρέπει να είναι ικανό να αξιολογεί και να καταλαβαίνει μερικούς από τους τρόπους με τους οποίους τα μαθηματικά μπορεί να χρησιμοποιηθούν ως μέσο επικοινωνίας. Σύμφωνα με τα παραπάνω μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η αριθμητική ως μαθηματικό περιεχόμενο είναι κάτι διαφορετικό από τον αριθμητισμό, αλλά και γενικότερα τα μαθηματικά και ο μαθηματικός γραμματισμός είναι διαφορετικές περιοχές που θα μπορούσαν να θεωρηθούν συμπληρωματικές. Τα μαθηματικά ασχολούνται με αφηρημένα νοητικά αντικείμενα, προϊόντα της ανθρώπινης αφαιρετικής σκέψης (αριθμούς, γεωμετρικά σχήματα, εξισώσεις, ). Χρησιμοποιούν ως μέσο επαλήθευσης και αξιολόγησης την μαθηματική απόδειξη και αποτελούν μια εξειδικευμένη δραστηριότητα. Πολλές φορές η λογική στα μαθηματικά διαφέρει από την καθημερινή λογική. Ο μαθηματικός γραμματισμός αφορά τη λειτουργική διάσταση των μαθηματικών γνώσεων και τη χρήση τους στις δραστηριότητες της καθημερινής ζωής. Ένας ορισμός για τον μαθηματικό γραμματισμό, που αναπτύχθηκε από μια ομάδα ειδικών για τα μαθηματικά του προγράμματος PISA (Program for International Student Assessment), είναι ο εξής: Μαθηματικός γραμματισμός (mathematical literacy) είναι η ικανότητα του ατόμου να αναγνωρίζει και να κατανοεί τον ρόλο που παίζουν τα μαθηματικά στον κόσμο, να κάνει καλά θεμελιωμένες κρίσεις και να χρησιμοποιεί τα μαθηματικά με τρόπους που ανταποκρίνονται στις ανάγκες της ζωής του ως ενός δημιουργικού, ενδιαφερόμενου και στοχαζόμενου πολίτη (OECD, 1999). Όταν μιλάμε για τον μαθηματικό γραμματισμό και τα μαθηματικά που εφαρμόζονται στη πράξη της ζωής, οι καταστάσεις και τα φαινόμενα που εμπλέκονται είναι πάρα πολλά και πολλές φορές είναι δύσκολο να διακρίνουμε τις μαθηματικές έννοιες που εμπεριέχονται. Ποιες είναι αυτές οι έννοιες και πως οργανώνονται; Προτείνονται τέσσερις φαινομενολογικές κατηγορίες: Ποσότητα, Χώρος και Σχήμα, Αλλαγή και Σχέσεις και Αβεβαιότητα (Steen, 1990, OECD, 2002). Ο De Lange (2003) παρουσιάζει τη φαινομενολογική έννοια της ποσότητας ως εξής: Ποσότητα. Αυτή η πρωταρχική ιδέα εστιάζει στην ανάγκη της ποσοτικοποίησης για την οργάνωση του κόσμου. Σημαντικά σχετικά στοιχεία είναι η κατανόηση των σχετικών μεγεθών, η αναγνώριση αριθμητικών μοτίβων και η ικανότητα να χρησιμοποιούμε αριθμούς για την αναπαράσταση των μετρήσιμων ιδιοτήτων των αντικειμένων του πραγματικού κόσμου (μέτρα). Επιπλέον, η έννοια της ποσότητας σχετίζεται με την επεξεργασία και την κατανόηση των αριθμών που αναπαριστούνται σε εμάς με διάφορους τρόπους. Μια σημαντική πτυχή της ενασχόλησης με την ποσότητα είναι ο ποσοτικός συλλογισμός, του οποίου οι βασικές συνιστώσες είναι η ανάπτυξη και η χρήση της αίσθησης του αριθμού, η αναπαράσταση των αριθμών με διάφορους
τρόπους, η κατανόηση του νοήματος των πράξεων, η αίσθηση του μεγέθους των αριθμών, η γραφή και η μαθηματική κατανόηση κομψών υπολογισμών και η πραγματοποίηση νοερής αριθμητικής και εκτίμησης (σελ. 79). Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η νοερή αριθμητική και η εκτίμηση αναφέρονται ρητά και είναι μέρος του αριθμητισμού, ήδη μέσα στα πλαίσια της αρχικής έννοιας που είναι η ποσότητα. Η νοερή αριθμητική και η εκτίμηση αναφέρονται ως βασικές συνιστώσες του ποσοτικού συλλογισμού μαζί με την κατανόηση του νοήματος των πράξεων, την αίσθηση του αριθμού και την αναπαράσταση των αριθμών με διαφορετικούς τρόπους. Οι έννοιες αυτές βλέπουμε να περιέχονται και να τονίζονται μέσα στα σύγχρονα Προγράμματα Σπουδών, σε αντίθεση με τα παλαιότερα Προγράμματα που ήταν πιο παραδοσιακά και επικεντρώνονταν περισσότερο στις μαθηματικές έννοιες και την αλληλουχία τους. Όπως θα δούμε και τη συνέχεια (κεφ. 3, 3.2), οι νοεροί υπολογισμοί και η εκτίμηση, αν και είναι πολύ χρήσιμοι στην καθημερινότητα, δεν συμπεριλαμβάνονταν στα παραδοσιακά Προγράμματα Σπουδών γιατί δεν διαθέτουν μια καθαρή μαθηματική υπόσταση και δυνατότητα γενίκευσης. Οι περισσότερες στρατηγικές των νοερών υπολογισμών και της εκτίμησης, όπως θα δούμε στη συνέχεια, έχουν ιδιοσυγρασιακή προέλευση και δεν εφαρμόζονται σε όλες τις περιπτώσεις, δεν διαθέτουν δηλαδή, μια δυνατότητα γενίκευσης που είναι το χαρακτηριστικό των μαθηματικών τύπων. Η εννοιολογική κατανόηση και οι διαδικαστικές δεξιότητες στους νοερούς υπολογισμούς Σε αυτήν την ενότητα θα δούμε πώς οι όροι εννοιολογική κατανόηση και εργαλειακή ή διαδικαστική κατανόηση χρησιμοποιούνται στους νοερούς υπολογισμούς, αφενός για να ερμηνεύσουν την αλληλεπίδραση της εννοιολογικής κατανόησης και των διαδικαστικών ικανοτήτων και αφετέρου για τον διαχωρισμό των στρατηγικών που χρησιμοποιούνται στους νοερούς υπολογισμούς σε διαδικαστικές και εννοιολογικές στρατηγικές. Ο Skemp (1976) διαχώρισε και αντιπαρέβαλε την εννοιολογική (relational) κατανόηση με την εργαλειακή (instrumental) κατανόηση. Σύμφωνα με αυτόν η εννοιολογική κατανόηση βασίζεται στην κατανόηση των εννοιών και στην αλληλοσύνδεσή τους, έτσι ώστε ο μαθητής να ξέρει τι κάνει και γιατί το κάνει χωρίς να στηρίζεται απλώς σε εφαρμογή κανόνων (κανόνων χωρίς λόγο). Στην εργαλειακή κατανόηση ο μαθητής εφαρμόζει μηχανικά, κατά κάποιον τρόπο, μια αλγοριθμική διαδικασία. Οι Hiebert & Wearne (1996) ανέπτυξαν μια θεωρία σχετικά με την επιρροή και την αλληλεπίδραση της εννοιολογικής κατανόησης στις διαδικαστικές ικανότητες. Υποστηρίζουν ότι τα παιδιά που διαθέτουν κατανόηση ή κατάλληλες νοητικές δομές είναι σε πλεονεκτική θέση στο να αποκτούν και να χρησιμοποιούν κατάλληλα τις διαδικασίες. Τα παιδιά μπορούν να αποκτούν τις διαδικασίες: α) ανακαλύπτοντας νέες διαδικασίες, είτε με το να τις δημιουργούν είτε με το να υιοθετούν γνωστές διαδικασίες για να λύνουν νέα προβλήματα, ή β) υιοθετώντας διαδικασίες που παρουσιάζονται από άλλους. Οι συγγραφείς υποστηρίζουν ότι και στις δύο περιπτώσεις η εννοιολογική κατανόηση διευκολύνει την απόκτηση των διαδικασιών. Οι Hiebert & Wearne υποστηρίζουν ότι μαθητές με κατάλληλη κατανόηση έχουν μεγαλύτερο πλεονέκτημα σε οποιουδήποτε είδους πληροφορίες, επειδή διαθέτουν την
νοητική δομή που μπορεί να ταξινομήσει και να αποδώσει νόημα στις πληροφορίες. Οι διαδικασίες που υιοθετούνται μπορεί να συνδεθούν με τη σχετική γνώση των μαθητών και να κατανοηθούν. Η σχετική γνώση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο της καταλληλότητας και την εκτέλεση των διαδικασιών σε ειδικά πλαίσια, καθώς και για την υποστήριξη της μνήμης για τέτοιες διαδικασίες. Η κατανόηση μπορεί να είναι σημαντική για την κατασκευή κατάλληλων ανακαλύψεων ή τροποποιήσεων διαδικασιών που υπάρχουν ήδη, μπορεί όμως να είναι ευεργετική χωρίς να είναι απαραίτητη και για την υιοθέτηση των διαδικασιών. Όπως γνωρίζουμε, μια διαδικασία μπορεί να υιοθετηθεί χωρίς να κατανοείται. Τέλος, οι παραπάνω συγγραφείς δηλώνουν ότι μαθητές που παρουσιάζουν εννοιολογική κατανόηση είναι πιο πιθανό να αναπτύσσουν νέες κατάλληλες διαδικασίες και να προσαρμόζουν τις διαδικασίες που μαθαίνουν σε νέες καταστάσεις καλύτερα από τους συμμαθητές τους. Είναι πιθανό, επίσης, οι μαθητές που καταλαβαίνουν να αποκτούν τις διαδικασίες που παρουσιάζονται από τους άλλους με περισσότερη κατανόηση και πιθανά να τις θυμούνται καλύτερα. Οι Hiebert & Wearne (1996) θεωρούν την κατανόηση, σύμφωνα με την υπάρχουσα βιβλιογραφία, ως την εσωτερική κατασκευή των συνθέσεων ή των σχέσεων μεταξύ των αναπαραστάσεων των μαθηματικών ιδεών. Σύμφωνα με αυτήν την οπτική, η κατανόηση αυξάνεται όταν οι μαθητές κατασκευάζουν συνδέσεις μεταξύ των ιδεών, των δράσεων, των αριθμητικών γεγονότων και των διαδικασιών, καθώς επίσης και μεταξύ των διάφορων αναπαραστάσεων τους. Για παράδειγμα, τα παιδιά που διαθέτουν εννοιολογική κατανόηση αναγνωρίζουν ότι οι πολυψήφιοι αριθμοί αποτελούνται από μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κτλ. και μπορούν τους ανασυνθέτουν. Σύμφωνα με τους Hiebert & Wearne, εάν η διδασκαλία δίνει έμφαση μόνο στους γραπτούς αλγόριθμους για τη λύση προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης, τότε είναι πιθανό οι μαθητές να εκτελούν αυτές τις διαδικασίες χωρίς να κατανοούν τη σημασία τους. Αντίθετα, αν η διδασκαλία υποστηρίζει την κατανόηση των μαθητών, τότε η κατανόηση και οι δεξιότητες μπορεί να αναπτυχθούν μαζί. Οι Hiebert and Wearne (1996) πραγματοποίησαν μια έρευνα που επικεντρώθηκε στην αλληλεπίδραση μεταξύ της εννοιολογικής κατανόησης και των διαδικαστικών δεξιοτήτων. Παρακολούθησαν περίπου 70 μαθητές κατά τη διάρκεια των 3 πρώτων χρόνων του σχολείου ενώ μάθαιναν το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης και πρόσθεση και αφαίρεση με πολυψήφιους αριθμούς σε δύο διαφορετικά διδακτικά περιβάλλοντα. Το ένα ήταν το συμβατικό διδακτικό περιβάλλον σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο και το άλλο ήταν μια εναλλακτική διδασκαλία που ενθάρρυνε τους μαθητές να αναπτύξουν τις δικές τους διαδικασίες και να δίνουν νόημα σε διαδικασίες που παρουσιάζονταν από άλλους. Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής έδειξαν ότι η εναλλακτική διδασκαλία δημιούργησε στους μαθητές υψηλότερα επίπεδα κατανόησης και οι μαθητές που παρουσίαζαν εννοιολογική κατανόηση είχαν μεγαλύτερες πιθανότητες από τους συμμαθητές τους να ανακαλύψουν τις δικές τους διαδικασίες και να προσαρμόσουν τις παλιές για τη λύση νέων προβλημάτων. Οι Heirdsfield and Cooper (2004) πραγματοποίησαν επίσης μια έρευνα με επτά μαθητές της τρίτης τάξης με χαμηλή επίδοση στους νοερούς υπολογισμούς. Εξέτασαν τις γνώσεις των μαθητών με προσωπικές συνεντεύξεις και βρήκαν ότι η έλλειψη διαδικαστικής κατανόησης είναι αιτία για τα λάθη στους νοερούς υπολογισμούς και την αδυναμία στη χρήση εναλλακτικών στρατηγικών. Οι McIntosh et al. (1994), με βάση τους όρους του Skemp (1976) που είδαμε παραπάνω, διαχώρισαν τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές στις πράξεις, σε εργαλειακές ή συντελεστικές (instrumental) και εννοιολογικές (conceptual). Τον
διαχωρισμό αυτό χρησιμοποίησαν και οι Callingham, & Watson, J. (2008), όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 5, για να κατατάξουν τις στρατηγικές των μαθητών στους ρητούς αριθμούς σε εργαλειακές και εννοιολογικές στρατηγικές. Εργαλειακές ή συντελεστικές χαρακτηρίζονται οι στρατηγικές όταν οι μαθητές χρησιμοποιούν τεχνικές που τις μαθαίνουν «απ έξω» και τις χρησιμοποιούν χωρίς να δείχνουν ότι τις κατανοούν. Για παράδειγμα, στην πράξη 1/2: 1/4 οι μαθητές εφαρμόζουν την τεχνική κατά την οποία αντιστρέφουν και πολλαπλασιάζουν με το δεύτερο κλάσμα: 1/2:1/4=1/2.4/1 =4/2=2. Αντίθετα, χαρακτηρίζονται εννοιολογικές στρατηγικές αυτές κατά τις οποίες φαίνεται ότι οι μαθητές κατανοούν όταν εκτελούν τις πράξεις. Για παράδειγμα, στην πράξη 1/2:1/4 οι μαθητές αναπαριστούν τα κλάσματα σ ένα ρολόι και βλέπουν το 1/2 σαν μισή ώρα και το1/4 σαν τέταρτο της ώρας. Σκέφτονται ότι η μισή ώρα έχει 2 τέταρτα και έτσι δίνουν την απάντηση 2 στην πράξη. Μια ακόμη εννοιολογική λύση θα ήταν η μετατροπή των κλασμάτων σε δεκαδικούς: 1/2:1/4=0,5:0,25, το 0,25 χωράει 2 φορές στο 0,5. Αίσθηση του αριθμού, οι νοεροί υπολογισμοί και η εκτίμηση Τι είναι η αίσθηση του αριθμού Έχει περάσει παραπάνω από μισός αιώνας από τότε που οριοθετήθηκε η έννοια της αίσθησης του αριθμού (Dantzing, 1954) η οποία αναφέρεται στις ικανότητες της χρήσης και κατανόησης των αριθμών, των αριθμητικών σχέσεων και των πράξεων. Παρόλα αυτά, η αίσθηση του αριθμού είναι δύσκολο να οριστεί, έτσι διάφοροι ερευνητές προσδιόρισαν ποικίλους συνδυασμούς, που συμπεριλαμβάνουν από την εννοιολογική κατανόηση του αριθμού και τις ειδικές αριθμητικές ικανότητες ως συστατικά της αίσθησης του αριθμού (Berch, 2005). Η αίσθηση του αριθμού αναφέρεται στη γενική κατανόηση ενός ατόμου των αριθμών και των πράξεων και στην ικανότητα χειρισμού καταστάσεων της καθημερινής ζωής που περιέχουν αριθμούς. Η ικανότητα αυτή προϋποθέτει τη χρήση ευέλικτων, χρήσιμων και αποτελεσματικών στρατηγικών στον νοερό υπολογισμό και την εκτίμηση, για τη διαχείριση αριθμητικών προβλημάτων (McIntosh, Reys, & Reys, 1992; Reys & Yang 1998 ; Sowder, 1992). Οι Kalchman, Moss, & Case (2001, σελ. 2) σημειώνουν ότι τα χαρακτηριστικά της καλής αίσθησης του αριθμού περιλαμβάνουν: α) ευχέρεια στην εκτίμηση και την κρίση των μεγεθών, β) ικανότητα αναγνώρισης παράλογων αποτελεσμάτων, γ) ευελιξία στους νοερούς υπολογισμούς, δ) ικανότητα κίνησης μεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων και χρήση της πιο κατάλληλης αναπαράστασης. Προφανώς η αίσθηση του αριθμού προσδιορίζεται διαφορετικά ανάλογα με την ηλικία και τις γνώσεις που διαθέτουν τα παιδιά στις διάφορες ηλικίες. Σύμφωνα με τα παραπάνω παρατηρούμε ότι οι νοεροί υπολογισμοί και οι εκτιμήσεις είναι ένα υποσύνολο της αίσθησης του αριθμού και εμπεριέχονται σε αυτήν. Μπορούμε να πούμε, λοιπόν, όπως θα παρουσιάσουμε λεπτομερώς και παρακάτω, ότι οι νοεροί υπολογισμοί και οι εκτιμήσεις συνδέονται και εξαρτώνται άμεσα από την αίσθηση του αριθμού. Εξάλλου, όπως είδαμε παραπάνω, ανάμεσα στους λόγους για τους οποίους είναι σημαντικοί οι νοεροί υπολογισμοί (1.1.2.) συμπεριλαμβάνεται και το ότι: «η εξάσκηση με τους νοερούς υπολογισμούς δημιουργεί καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση της αίσθησης του αριθμού».
Η αίσθηση του αριθμού και οι νοεροί υπολογισμοί Διαπιστώθηκε, αντίθετα, ότι μαθητές μπορεί να πετυχαίνουν σε υπολογισμούς, χωρίς όμως να υπάρχει κατανόηση, δηλαδή μπορεί να επιτευχθεί υψηλή επίδοση στους νοερούς υπολογισμούς χωρίς να συνοδεύεται από την αίσθηση του αριθμού (McIntosh & Dole, 2000). Οι μαθητές αυτοί πιθανά με πολλή εξάσκηση χρησιμοποιούν μηχανικά μια στρατηγική με σωστό τρόπο. Οι McIntosh et al. (1992) δηλώνουν ότι η υψηλή ικανότητα στους γραπτούς υπολογισμούς δεν συνοδεύεται υποχρεωτικά από την αίσθηση του αριθμού. Μπορεί, δηλαδή, ένας μαθητής ή ενήλικας να βρίσκει μηχανικά τη σωστή απάντηση για μια πράξη, χωρίς να καταλαβαίνει τη σημασία των αριθμών ή της πράξης. Για παράδειγμα, όπως αναφέραμε παραπάνω, μπορεί πολλοί μαθητές να υπολογίζουν σωστά τη διαίρεση 1/2:1/4=2 με το να αντιστρέφουν και να πολλαπλασιάζουν με το δεύτερο κλάσμα, αλλά δεν ξέρουμε πόσοι από αυτούς καταλαβαίνουν ότι το 1/4 χωράει δύο φορές στο 1/2. Όπως θα δούμε παρακάτω, από την επισκόπηση της βιβλιογραφίας φαίνεται πως ο νοερός υπολογισμός επηρεάζεται και συσχετίζεται με αρκετές ικανότητες και συστατικά της αίσθησης του αριθμού όπως: την κατανόηση του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης και των ιδιοτήτων του, τη δομή του αριθμού και των ιδιοτήτων του, τη χρήση των διάφορων αναπαραστάσεων του αριθμού, τη γνώση των αριθμητικών γεγονότων και την ευελιξία. Η Reys, Β. (1985) τονίζει ότι ο «νοερός υπολογισμός προωθεί την κατανόηση του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης, καθώς επίσης και τις ιδιότητές του» (σελ. 45-46). Η ίδια ταξινόμησε και τις στρατηγικές που χρησιμοποιήθηκαν από μαθητές υψηλής και μεσαίας ικανότητας της Β και Γ τάξης του Γυμνασίου. Οι μαθητές υψηλής ικανότητας μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν με ευχέρεια τις διαφορετικές ιδιότητες του αριθμού, συμπεριλαμβανομένων της αντιμεταθετικής, της προσετεριστικής και της επιμεριστικής ιδιότητας. Επίσης, οι μαθητές υψηλής ικανότητας χρησιμοποιούσαν ευέλικτα τη γνώση της αξίας θέσης στο σύστημα αρίθμησης και των συνδέσεων μεταξύ των πράξεων. Οι μαθητές μεσαίας ικανότητας, από την άλλη, χρησιμοποιούσαν περισσότερο τους τυποποιημένους γραπτούς αλγορίθμους και φάνηκαν απρόθυμοι να επινοήσουν νοερές στρατηγικές. Η Reys, Β. (1985) δηλώνει ότι ο «νοερός υπολογισμός καλλιεργεί την ανάπτυξη της έντονης αίσθησης του αριθμού» (σελ. 46). Επιπλέον, ο Reys, R. (1984) πιστεύει ότι ο νοερός υπολογισμός «προωθεί τη μεγαλύτερη κατανόηση της δομής του αριθμού και των ιδιοτήτων του» και «προάγει τη δημιουργική και ανεξάρτητη σκέψη και ενθαρρύνει τους μαθητές στο να δημιουργούν έξυπνους τρόπους χειρισμού των αριθμών» (σελ. 549). Οι Carraher, Carraher, και Schliemann (1987) κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα προφορικά μαθηματικά που χρησιμοποιούνται για να επιλύσουν τα καθημερινά προβλήματα, παρέχουν τα στοιχεία για την κατανόηση του δεκαδικού συστήματος από τους μαθητές. Επιπλέον, οι μαθητές τείνουν να χρησιμοποιούν τις στρατηγικές που βασίζονται στην ανάλυση και σύνθεση του αριθμού, γεγονός που δείχνει την κατανόησή τους σχετικά με τις ιδιότητες του αριθμού. Οι Reys και Barger (1994) επιβεβαιώνουν ότι οι μαθητές που είναι καλοί στους νοερούς υπολογισμούς χρησιμοποιούν ιδιότητες του αριθμού και ισοδύναμες αναπαραστάσεις των αριθμών για να εκτελέσουν μετασχηματισμούς σε αυτούς. Οι μαθητές που είναι λιγότερο ικανοί τείνουν να στηρίζονται στις νοερές εκδόσεις των τυποποιημένων αλγορίθμων. Η γνώση των αριθμητικών γεγονότων είναι μια από τις ικανότητες της αίσθησης του αριθμού που συνδέεται στενά με τους νοερούς υπολογισμούς. Η γνώση των
βασικών αριθμητικών γεγονότων είναι προϋπόθεση για τους νοερούς υπολογισμούς και γενικά για τις αριθμητικές διαδικασίες (Plunkett, 1979; Sowder, 1988; Dowker, 2005). Όταν τα αριθμητικά γεγονότα ανακαλούνται άμεσα από τη μακρόχρονη μνήμη, η εργαζόμενη μνήμη διευκολύνεται και είναι διαθέσιμη για να υπολογίσει πιο πολύπλοκα προβλήματα (Resnick & Ford, 1981). Μια λεπτομερής ανάλυση της λειτουργίας των αριθμητικών γεγονότων στη μνήμη κατά τη διάρκεια των νοερών υπολογισμών γίνεται στην παράγραφο 7.5. Αρκετές έρευνες, που πραγματοποιήθηκαν ειδικά στην Αυστραλία (π.χ. McIntosh et al., 1997; McIntosh, Reys, Reys, 1992; Reys, 1984; Sowder, 1990, 1992; Trafton, 1992), εξέταζαν και συσχέτιζαν την ικανότητα των μαθητών στην αίσθηση του αριθμού με την ευελιξία στους νοερούς υπολογισμούς. Τα αποτελέσματα των ερευνών αυτών δείχνουν ότι η αίσθηση του αριθμού είναι βασική προϋπόθεση για την ανάπτυξη της ευελιξίας στους νοερούς υπολογισμούς. Πολλοί ερευνητές υποστηρίζουν ότι η ευελιξία στους νοερούς υπολογισμούς αποτελεί συστατικό της αίσθησης του αριθμού (π.χ. Klein, & Beishuizen, 1994; McIntosh, 1998; Yea-Ling Tsao, 2004). Η αίσθηση του αριθμού και η εκτίμηση Στο κεφάλαιο 6 παρουσιάζονται λεπτομερώς οι κατ εκτίμηση υπολογισμοί και τα διάφορα είδη της εκτίμησης και αναλύεται περισσότερο η υπολογιστική εκτίμηση, που είναι ένα από τα πιο συνηθισμένα είδη εκτίμησης. Όπως επισημάναμε και παραπάνω, η ικανότητα της εκτίμησης θεωρείται συστατικό της αίσθησης του αριθμού. Παρακάτω θα παρουσιάσουμε κάποια αποτελέσματα ερευνών που δείχνουν και αναλύουν αυτήν την σχέση. Σε μια έρευνά της, η Levine (1982) εξέτασε μαθητές Γυμνασίου, για να προσδιορίσει τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν στην εκτίμηση. Ταυτόχρονα, δόθηκε σε κάθε μαθητή ένα τεστ για να εξεταστεί η ποσοτική ικανότητά του. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι μαθητές με υψηλό σκορ στο τεστ της ποσοτικής ικανότητας χρησιμοποιούσαν πολλές και ποικίλες στρατηγικές εκτίμησης και ήταν καλύτεροι στις ικανότητες της υπολογιστικής εκτίμησης, σε σχέση με τους μαθητές που είχαν χαμηλότερο σκορ στο τεστ της ποσοτικής ικανότητας. Η Levine (1982) βρίσκει ότι αυτοί που είναι αδύνατοι στην εκτίμηση αρχικά υπολογίζουν ακριβώς και μετά στρογγυλοποιούν για να βρουν μια εκτίμηση. Παρατηρεί, επίσης, ότι τα άτομα που χρησιμοποιούν αυτή την μέθοδο φαίνεται ότι δεν έχουν καμία αίσθηση του αριθμού. Η Threadgill-Sowder, (1984) εξέτασε με προσωπική συνέντευξη 12 θέματα από το National Assessment of Education Progress (NAEP) με μαθητές από την έκτη έως την ένατη βαθμίδα (αντιστοιχούν από Στ Δημοτικού έως Γ Γυμνασίου). Η έρευνα αυτή έδειξε ότι τα αποτελέσματα, όσον αφορά την εκτίμηση, είναι ακόμη χειρότερα από ό,τι αναφέρονται στο NAEP. Διαπιστώθηκε, επίσης ότι «οι μαθητές που έδωσαν αποδεκτές απαντήσεις έδειξαν ότι έχουν ποσοτική διαίσθηση ή αίσθηση του αριθμού, ενώ εκείνοι που έδωσαν απαράδεκτες απαντήσεις φάνηκε ότι είχαν μικρή αίσθηση της αντιπροσώπευσης των αριθμών» (σελ. 335). Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής δείχνουν ότι οι ικανότητες των μαθητών στην εκτίμηση εξαρτώνται πολύ από την αίσθηση των αριθμών. Η Threadgill-Sowder (1984) αναφέρει ότι αυτοί που είναι καλοί στην εκτίμηση έχουν καλή κατανόηση των βασικών γεγονότων, της θεσιακής αξίας, και των αριθμητικών ιδιοτήτων, είναι ικανοί στο νοερό υπολογισμό, δείχνουν ανεκτικότητα στα λάθη, μπορούν ευέλικτα να χρησιμοποιούν μια ποικιλία από στρατηγικές και διαθέτουν αυτοεκτίμηση.
Η Sowder (1992) σε ένα άρθρο της όπου συνθέτει τα αποτελέσματα των ερευνών σχετικά με την εκτίμηση και την αίσθηση του αριθμού αναφέρει χαρακτηριστικά: «Τι συμβαίνει με αυτούς που συμπεριφέρονται φτωχά σε καταστάσεις εκτίμησης και νοερού υπολογισμού; Εάν η Resnick έχει δίκαιο, τότε πρέπει να διαμορφώσουμε τη διδασκαλία έτσι ώστε να αποκτήσουν σημασία τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά. Η διδασκαλία μπορεί να βοηθήσει και να αναπτύξει την ποσοτική διαίσθηση, εάν επιτρέπει και ενθαρρύνει την ανακάλυψη των αλγορίθμων, εάν προωθεί την αμφισβήτηση σχετικά με το πώς οι αριθμοί μπορούν να αποσυνθέτονται και να ανασυνθέτονται και πώς οι έννοιες της θεσιακής αξίας μπορούν να εφαρμόζονται, εάν επιτρέπει τις πολλαπλές απαντήσεις και διαδικασίες και ζητά σκέψη σχετικά με τη λογικότητα. Η εκτίμηση και ο νοερός υπολογισμός δεν είναι μόνο χρήσιμα εργαλεία στην καθημερινή ζωή, αλλά μπορούν επίσης να οδηγήσουν στην καλύτερη αίσθηση του αριθμού» (σελ. 382).