Οι στρατηγικές στους νοερούς υπολογισμούς

Transcript

1 Οι στρατηγικές στους νοερούς υπολογισμούς Θα παρουσιάσουμε στη συνέχεια τι είναι γενικά οι νοερές στρατηγικές και ποια είναι τα χαρακτηριστικά τους. Οι νοερές στρατηγικές αποτελούν έναν ειδικό τύπο γνωστικών διαδικασιών. Αν και οι στρατηγικές ορίζονται με μικρές διαφορές από τους διάφορους ερευνητές, αυτές γενικά θεωρούνται ως νοητικές προσπάθειες και διαδικασίες με κατευθυνόμενο στόχο, που υιοθετούνται για να ενισχύσουν την συμπεριφορά της μνήμης. Οι στρατηγικές μπορούν να ελεγχθούν, εφαρμόζονται σκόπιμα από το άτομο και είναι δυνητικά διαθέσιμες στη συνείδηση (Naus & Ornstein 1983; Bjorkland & Douglas, 1997). Οι στρατηγικές χρησιμοποιούνται για την ανάκληση πληροφοριών από την μακρόχρονη μνήμη, συνυπάρχουν με άλλες γνωστικές λειτουργίες και επηρεάζονται από πολλούς παράγοντες. Το πιο σημαντικό, όμως, απ όλα είναι ότι στρατηγικές αναπτύσσονται. Έχει παρατηρηθεί ότι η διαφορά ηλικίας επηρεάζει τον αριθμό των στρατηγικών που διαθέτουν παιδιά διαφορετικών ηλικιών, καθώς και την αποτελεσματικότητα με την οποία χρησιμοποιούν αυτές τις στρατηγικές (Bjorkland & Douglas, 1997). Τα τελευταία τριάντα χρόνια έχουν γίνει πολλές έρευνες και καταγράφηκαν οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι μαθητές στις τέσσερις πράξεις με φυσικούς και ρητούς αριθμούς. Στη συνέχεια του βιβλίου παρουσιάζουμε λεπτομερώς τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά στην πρόσθεση και την αφαίρεση φυσικών αριθμών μέχρι το 100 (κεφάλαιο 2), τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση φυσικών αριθμών (κεφάλαιο 4), στις πράξεις με ρητούς αριθμούς (κεφάλαιο 5) και, τέλος, τις στρατηγικές στους κατ εκτίμηση υπολογισμούς (κεφάλαιο 6). Για να δούμε, όμως, πιο συγκεκριμένα και να μιλήσουμε για τις νοερές στρατηγικές παρουσιάζουμε παρακάτω μερικά παραδείγματα από στρατηγικές που χρησιμοποιούν παιδιά και ενήλικες. Στην πρόσθεση 5+6 από παιδιά της Α τάξης του Δημοτικού σχολείου μπορεί να έχουμε τις εξής απαντήσεις: Κάποιο παιδί μπορεί να ξεκινήσει να απαριθμεί με τη βοήθεια αντικειμένων (κυβάκια) ένα σύνολο από 5 κυβάκια, (1, 2, 3, 4, 5), ένα σύνολο από 6 κυβάκια, μετά να τα βάλει μαζί και να τα μετρήσει από την αρχή όλα. Αυτή είναι μια αρχική στρατηγική που ονομάζεται απαρίθμηση όλων. Ένα άλλο παιδί μπορεί να ξεκινήσει από το 6 και να ανέβει 5 βήματα 6, 7, 8, 9, 10, 11. Αυτή είναι η στρατηγική αρίθμηση από το μεγαλύτερο. Ένα τρίτο παιδί λέει ότι 6=5+1, άρα το 5+6=5+5+1=11. Αυτό το παιδί ανακάλεσε από τη μνήμη του και υπολόγισε με τα αριθμητικά γεγονότα 6=5+1, 5+5=10 και 10+1=11. Χρησιμοποίησε, δηλαδή, μια κατασκευαστική στρατηγική κοντά στα διπλά. Ένας ενήλικας υπολογίζει το άθροισμα 5+6 με άμεση ανάκληση του αριθμητικού γεγονότος από την μακρόχρονη μνήμη. Στην πρόσθεση σε μαθητές της Γ τάξης, μεταξύ άλλων, μπορούμε να έχουμε τις εξής απαντήσεις: Ένας μαθητής ξεκινάει από το 46 και προσθέτει 20 οπότε έχει 66 και στο 66 προσθέτει άλλα 3, οπότε έχει 69. Είναι η στρατηγική της συσσώρευσης, Ν10. Ένας άλλος μαθητής είπε: 6 και 3 κάνει 9, 4 και 2 ίσον 6, άρα 69. Αυτός ο μαθητής έκανε νοερά τον γραπτό αλγόριθμο της πρόσθεσης. Με αφορμή τα παραπάνω παραδείγματα μπορούμε να κάνουμε κάποιες παρατηρήσεις για τις απαντήσεις των μαθητών και τις στρατηγικές που χρησιμοποιούν. Μια πρώτη και προφανής παρατήρηση είναι ότι για μια ίδια πράξη, όπως εδώ π.χ. με το 5+6, μπορούμε να έχουμε διάφορες στρατηγικές υπολογισμού από διαφορετικά παιδιά. Αλλά και από ένα ίδιο παιδί μπορούμε να έχουμε διαφορετικές στρατηγικές για την ίδια πράξη. Οι στρατηγικές αυτές μπορεί να χαρακτηριστούν από τον χρόνο

2 που απαιτούν, αλλά δείχνουν και το επίπεδο του παιδιού σε αριθμητικές ικανότητες, όπως τη χρήση των αριθμών, των ιδιοτήτων του συστήματος αρίθμησης και τους υπολογισμούς, δηλαδή την αίσθηση του αριθμού. Στο παράδειγμα 5+6, η στρατηγική αρίθμηση από το μεγαλύτερο είναι πιο γρήγορη και πιο έξυπνη από τη στρατηγική απαρίθμηση όλων και η κατασκευαστική στρατηγική κοντά στα διπλά πιο γρήγορη και πιο έξυπνη από τις δύο άλλες. Οι δύο πρώτες στρατηγικές βασίζονται στην απαρίθμηση και αρίθμηση αντίστοιχα, ενώ η τελευταία στην ανάκληση αριθμητικών γεγονότων και υπολογισμό στην βραχύχρονη μνήμη. Οι στρατηγικές των μαθητών μπορούν να αλλάζουν και προσαρμόζονται σε μια πράξη ανάλογα με το μέγεθος των αριθμών, σε αντίθεση με τους γραπτούς αλγόριθμους, όπου χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος σε όλες τις περιπτώσεις. Η ικανότητα αυτή αλλαγής στρατηγικής ανάλογα με τα δεδομένα της πράξης είναι η ευελιξία που θα παρουσιάσουμε παρακάτω. Για παράδειγμα, στην πρόσθεση μπορεί να ταιριάζει η στρατηγική της συσσώρευσης, Ν10, αλλά στην πράξη είναι πιο γρήγορη και έξυπνη η ολιστική στρατηγική της αντιστάθμισης, όπου του 49 γίνεται 50 και αφαιρείται 1 από το αποτέλεσμα 49+23= =72. Για το θέμα των στρατηγικών ο Threlfall (2002, σελ. 30) δηλώνει ότι οι απαντήσεις σε προβλήματα νοερού υπολογισμού μπορεί να προκύψουν από διαφορετικούς τρόπους, από τους οποίους δεν είναι όλοι εξίσου κατάλληλοι για τις πιο μακροπρόθεσμες ανάγκες. Τα παιδιά μπορεί να απαντήσουν σωστά: 1. Με την ανάκληση ή απλά γνωρίζοντας ένα αριθμητικό γεγονός. 2. Με μια απλή διαδικασία καταμέτρησης, όπου στην ακολουθία των αριθμών απαγγέλλονται όλοι οι αριθμοί ένας προς έναν, ενώ η καταμέτρηση παρακολουθείται από τα ίχνη των βημάτων. 3. Με το να κάνει μια νοερή αναπαράσταση της μεθόδου με χαρτί και μολύβι (συνήθως ένα άθροισμα που παρουσιάζεται κάθετα) και να δουλέψει νοερά τη διαδικασία. 4. Με την κατασκευή μιας ακολουθίας μετασχηματισμών των αριθμών του προβλήματος για να καταλήξει σε μια λύση. Για παράδειγμα, για να προσθέσει 36 και 28, πρώτα προσθέτει 20 στο 36 (κάνει 56) μετά σκέφτεται το υπόλοιπο 8 να προστεθεί ως δύο τεσσάρια, προσθέτει το πρώτο τέσσερα για να γίνει 60, μετά προσθέτει το τέσσερα που έμεινε για να φτάσει στο 64 που είναι η απάντηση. Ο Threlfall αναφέρει ότι οποιαδήποτε από αυτές τις απαντήσεις μπορεί να δώσει το σωστό αποτέλεσμα, αλλά οι προσεγγίσεις του τέταρτου είδους, που συχνά αναφέρονται ως στρατηγικές, συνήθως θεωρούνται ζωτικής σημασίας για τις ευρύτερες ανάγκες του νοερού υπολογισμού. Ο Thompson (1999a, σελ. 2) προσδιορίζει τις στρατηγικές στους νοερούς υπολογισμούς ως εξής: «Οι νοερές στρατηγικές είναι περισσότερο η εφαρμογή γνωστών ή γρήγορα υπολογίσιμων αριθμητικών γεγονότων, σε συνδυασμό με ειδικές ιδιότητες του αριθμητικού συστήματος, για να βρεθεί η λύση ενός υπολογισμού του οποίου η απάντηση δεν είναι γνωστή. Επίσης, οι νοερές στρατηγικές ενσωματώνουν την ιδέα ότι τα παιδιά, με δεδομένη μια συλλογή από αριθμούς για να εργαστούν, θα επιλέξουν την στρατηγική που είναι η πιο κατάλληλη για τους συγκεκριμένους αριθμούς». Σε έρευνες φαίνεται ότι οι άνθρωποι χρησιμοποιούν διαφορετικές στρατηγικές στην ίδια πράξη, που παρουσιάζεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Έτσι αρκετοί μαθητές χρησιμοποιούν διαφορετικές στρατηγικές στο ίδιο πρόβλημα, όταν δίνεται σε δύο διαφορετικές ημέρες (Siegler, & Shrager, 1984). Μπορεί να χρησιμοποιούν

3 επίσης διαφορετικές στρατηγικές για να λύσουν ένα ίδιο πρόβλημα που τους δίνεται δύο φορές την ίδια μέρα (Siegler, 1995; Wilkinson, 1982). Οι γραπτοί αλγόριθμοι και οι διαφορές τους με τις νοερές στρατηγικές Στη συνέχεια θα αναλύσουμε και θα παρουσιάσουμε την λειτουργία των γραπτών αλγορίθμων των τεσσάρων πράξεων με φυσικούς αριθμούς και τη σχέση τους με τους νοερούς υπολογισμούς. Είναι ένα σημαντικό θέμα για το οποίο γίνεται πολλή συζήτηση και επηρεάζει σημαντικά τη διδασκαλία. Αρκετοί συγγραφείς που αναλύουν τη λειτουργία των γραπτών αλγορίθμων (Plunkett, 1979; Thomson 1997; Usiskin 1998) αναφέρουν θετικά τους χαρακτηριστικά, όπως: - Αποτελούν παραδοσιακό περιεχόμενο των στοιχειωδών μαθηματικών σε όλο τον κόσμο για πολλά χρόνια. - Είναι ισχυροί στην επίλυση κατηγοριών προβλημάτων, ειδικά όταν οι υπολογισμοί περιέχουν πολλούς αριθμούς και η μνήμη μπορεί να επιβαρύνεται πολύ. - Είναι αυτόματοι και μπορούν να διδάσκονται και να εκτελούνται από κάποιον χωρίς να απαιτείται να αναλύσει την βάση στην οποία στηρίζεται ο αλγόριθμος. - Είναι γρήγοροι και κατευθύνονται απευθείας στην απάντηση. - Παρέχουν μια γραπτή καταγραφή του υπολογισμού, επιτρέποντας σε εκπαιδευτικούς και μαθητές να εντοπίζουν οποιοδήποτε λάθος σε αυτούς. - Αποτελούν μια αυθεντική, μόνιμη και σταθερή (αμετάβλητη) διαδικασία, η οποία χρησιμοποιείται για όλους τους αριθμούς: μονοψήφιους ή πολυψήφιους, ακέραιους ή δεκαδικούς. Αν και τα παραπάνω χαρακτηριστικά των αλγορίθμων φαίνεται να αποτελούν ισχυρές αιτίες, ώστε αυτοί να διδάσκονται παραδοσιακά και να συνεχίζουν να διδάσκονται ακόμη και σήμερα, υπάρχει έντονος αντίλογος σε αυτό το θέμα. Ένας αριθμός ερευνητών βρίσκει ότι η διδασκαλία των αλγορίθμων των πράξεων με φυσικούς αριθμούς στη δημοτική εκπαίδευση είναι επικίνδυνη για τα παιδιά και κάνει κακό στην συγκρότηση των υπολογιστικών τους ικανοτήτων (Kamii & Dominick, 1997; 1998, McIntosh, 1998; Van de Walle, 2005α, 2005β). Οι ερευνητές αυτοί αναφέρουν αρκετές αιτίες δημιουργίας προβλημάτων από τη χρήση των αλγόριθμων, όπως οι παρακάτω: - Οι αλγόριθμοι βασίζονται στα ψηφία και όχι σε ολόκληρους τους αριθμούς, όπως οι νοεροί υπολογισμοί, και λειτουργούν από τα δεξιά προς τα αριστερά παρά από τα αριστερά προς τα δεξιά, που λειτουργούν οι νοεροί υπολογισμοί. Στους αλγορίθμους των πράξεων παίρνονται τα ψηφία των αριθμών ξεχωριστά και μεμονωμένα το καθένα. Για παράδειγμα, στην κάθετη γραπτή πρόσθεση 46+35, προσθέτουμε από δεξιά προς τα αριστερά ξεχωριστά τα ψηφία (6+5=11, γράφουμε 1 και 1 το κρατούμενο, 1+4+3=8). Ενώ σε μια νοερή στρατηγική, για παράδειγμα του διαχωρισμού (1010), υπολογίζουμε: 40+30=70, 6+5=11, 70+11=81, ή της συσσώρευσης (Ν10): 46+30=76, 76+5=81. Παρατηρούμε ότι οι μαθητές που χρησιμοποιούν τις νοερές στρατηγικές χειρίζονται ολόκληρους τους αριθμούς και τους αναλύουν σύμφωνα με τη θεσιακή τους αξία στο σύστημα αρίθμησης σε αντίθεση με

4 τους γραπτούς αλγορίθμους που επεξεργάζονται μεμονωμένα κάθε ψηφίο ανεξάρτητα από τη θεσιακή του αξία. Όπως δηλώνει και η Kamii, οι αλγόριθμοι «ξεδιδάσκουν» τη θεσιακή αξία στο σύστημα αρίθμησης (Kamii & Dominick, 1998). Επίσης, με εξαίρεση τη διαίρεση, οι αλγόριθμοι χειρίζονται τους αριθμούς από τα δεξιά προς τα αριστερά με ένα ψηφιοκεντρικό τρόπο και έτσι κρύβουν το αποτέλεσμα μέχρι το τέλος. Το αποτέλεσμα γίνεται φανερό μετά την ολοκλήρωση της πράξης. - Οι αλγόριθμοι είναι άκαμπτοι και γι αυτό γίνονται μερικές φορές άσκοπα κουραστικοί. Στους νοερούς υπολογισμούς οι στρατηγικές προσαρμόζονται κάθε φορά ανάλογα με τους αριθμούς στις πράξεις, για παράδειγμα χρησιμοποιείται άλλη στρατηγική για την αφαίρεση και άλλη για την αφαίρεση Αντίθετα, στους αλγορίθμους χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος σε όλα τα προβλήματα μιας πράξης. Έτσι, στην αφαίρεση με τον αλγόριθμο οι μαθητές είναι αναγκασμένοι να χρησιμοποιήσουν σειρά από κρατούμενα και αρκετοί από αυτούς να κάνουν λάθη. - Οι γραπτοί αλγόριθμοι διδάσκονται και επιβάλλονται από τη διδασκαλία. Αν και οι διδακτικές μέθοδοι που προτείνονται σήμερα είναι μαθητοκεντρικές και βασίζονται στην κατανόηση και την ανακάλυψη, αυτές είναι δύσκολο να εφαρμοστούν κατά τη διδασκαλία των αλγορίθμων των πράξεων, όπως στην περίπτωση με τα κρατούμενα, την μετατόπιση μιας θέσης στο δεύτερο ψηφίο του πολλαπλασιασμού, τις επιμέρους πράξεις που κρύβονται, κτλ. Για παράδειγμα, πολλοί εκπαιδευτικοί μπορεί να παρατήρησαν ότι, όταν δίδασκαν τη γραπτή διαίρεση, χωρίς να το θέλουν, χρησιμοποίησαν μια εντελώς κατευθυνόμενη και δασκαλοκεντρική μέθοδο, όσο και αν ήθελαν να κινηθούν με επίκεντρο τους μαθητές. Σήμερα ωστόσο, σε σχέση με το παρελθόν, γίνεται προσπάθεια να δοθούν εξηγήσεις και να χρησιμοποιηθούν χειραπτικά υλικά για να γίνουν πιο κατανοητές οι γραπτές πράξεις. Παρόλα αυτά, όμως, οι γραπτοί αλγόριθμοι είναι δύσκολο να κατανοηθούν από τους μαθητές, σε αντίθεση με τις δικές τους επινοούμενες νοερές στρατηγικές. - Οι μαθητές κάνουν περισσότερα λάθη με τους αλγόριθμους παρά με τις δικές τους επινοούμενες στρατηγικές. Αρκετές παλιές έρευνες (Ashlock, 1972; Cox, 1974; Brown & Burton, 1978) έδειξαν ότι οι μαθητές κάνουν πολλά λάθη, όταν εκτελούν τους γραπτούς αλγόριθμους. Τα λάθη αυτά εκτός από συχνά είναι και συστηματικά, δηλαδή εμφανίζονται κατ επανάληψη και μπορεί να εξηγηθούν με βάση τα βήματα του αλγορίθμου. Αυτή η κανονικότητα που εμφανίζεται στα λάθη δείχνει ότι οι μαθητές επικεντρώνονται στο να θυμούνται τα βήματα του αλγορίθμου, χωρίς να τα καταλαβαίνουν και χωρίς να αποκτούν την αίσθηση του αριθμού. Τα πολλά και συστηματικά λάθη, δηλαδή, στους αλγορίθμους δείχνουν την έλλειψη κατανόησης από την πλευρά των μαθητών. Αντίθετα, οι μαθητές καταλαβαίνουν καλύτερα, όταν χρησιμοποιούν τις στρατηγικές που έχουν ανακαλύψει οι ίδιοι ή αυτές που απέκτησαν από κάποιο συμμαθητή τους. Οι Kamii & Dominick (1997, σελ. 58) δηλώνουν ότι οι αλγόριθμοι είναι επιβλαβείς για την ανάπτυξη της αριθμητικής λογικής στα παιδιά για δύο λόγους: (α)

5 «ξεδιδάσκουν» τη θεσιακή αξία και αποθαρρύνουν τα παιδιά να αναπτύξουν την αίσθηση του αριθμού και (β) αναγκάζουν τα παιδιά να εγκαταλείψουν τη δική τους σκέψη. Ο φυσικός τρόπος στα παιδιά είναι να σκέφτονται τους αριθμούς από αριστερά προς τα δεξιά. Ωστόσο, οι αλγόριθμοι τους υποχρεώνουν να εγκαταλείψουν την αντίληψη αυτή και να λειτουργούν από τα δεξιά προς τα αριστερά και να χειρίζονται ξεχωριστά κάθε στήλη. Πραγματοποιήθηκαν έρευνες που συνέκριναν την επίδοση και συμπεριφορά μαθητών που δεν διδάχτηκαν τους παραδοσιακούς αλγόριθμους με μαθητές που τους διδάχτηκαν. Οι μαθητές που δεν διδάχτηκαν αλγορίθμους παρακολούθησαν καινοτόμα προγράμματα, όπως το Everyday Mathematics ή το Investigations, και συγκρίθηκαν με μαθητές που παρακολούθησαν παραδοσιακά προγράμματα, που περιείχαν τη διδασκαλία των αλγορίθμων. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι μαθητές που διδάχτηκαν με αυτά τα καινοτόμα προγράμματα που δεν περιείχαν αλγορίθμους των πράξεων απέδωσαν καλύτερα από τους συμμαθητές τους που διδάχτηκαν με τα παραδοσιακά προγράμματα στην κατανόηση και την επίλυση προβλημάτων. Όσον αφορά τους πολυψήφιους υπολογισμούς, οι περισσότερες έρευνες βρίσκουν ότι οι μαθητές των καινοτόμων προγραμμάτων είναι περίπου στο ίδιο επίπεδο με τους μαθητές των παραδοσιακών προγραμμάτων ή τους ξεπερνούν (Campbell, 1996; Carroll, 2000; Fuson, 2003; Mokros, Berle-Carman, Rubin, and O Neil, 1996; Riordan, & Noyce 2001). Δεν έχει πολύ καιρό που οι νοεροί υπολογισμοί εισήχθησαν στην ελληνική εκπαίδευση (το 2006) αλλά τα προγράμματα και τα βιβλία, μέχρι σήμερα, δεν παρουσιάζουν τους νοερούς υπολογισμούς με μια σύγχρονη και συγκεκριμένη πρόταση διδασκαλίας. Μέσα στα προγράμματα και τα βιβλία η σχέση των νοερών υπολογισμών και των γραπτών αλγορίθμων, καθώς και ο τόπος που αυτές οι δύο έννοιες αναπτύσσονται, δεν είναι ξεκάθαρη και συγκεκριμένη. Οι έλληνες εκπαιδευτικοί δεν έχουν επιμορφωθεί στα θέματα των νοερών υπολογισμών αλλά και της σχέσης τους με τους γραπτούς υπολογισμούς. Για τους παραπάνω λόγους, υπάρχουν ακόμη σήμερα πολλοί εκπαιδευτικοί που δίνουν υπερβολική σημασία και αφιερώνουν πολύ χρόνο στους γραπτούς αλγορίθμους, σε αντίθεση με τους νοερούς υπολογισμούς που παραβλέπουν και δεν ξέρουν να τους διδάξουν. Οι γραπτές πράξεις εισάγονται πολύ νωρίς σε σχέση με τους νοερούς υπολογισμούς και η διδασκαλία τους δεν αναδεικνύει και δεν αναπτύσσει τις άτυπες στρατηγικές των μαθητών. Έτσι, σε πολλές περιπτώσεις, οι φωτοτυπίες των μαθητών για εργασία στο σπίτι είναι γεμάτες με μακροσκελείς και χρονοβόρες γραπτές πράξεις. Γνωρίζουμε ότι η πρόωρη εισαγωγή των γραπτών αλγορίθμων καθώς και η μη σωστή διδασκαλία των νοερών υπολογισμών δημιουργούν αρνητικές επιπτώσεις στις στρατηγικές που μαθαίνουν και χρησιμοποιούν οι μαθητές στην εκτέλεση των πράξεων. Έρευνες (Cooper et al., 1996a, 1996b; Heirdsfield & Cooper, 1996) αναφέρουν την επιρροή της διδασκαλίας των γραπτών πράξεων στις αυθόρμητες νοερές στρατηγικές των παιδιών. Πριν από τη διδασκαλία των γραπτών πράξεων τα παιδιά παρουσιάζουν μια ποικιλία από αποτελεσματικές νοερές στρατηγικές, ενώ μετά τη διδασκαλία τα παιδιά έχουν την τάση να χρησιμοποιούν μια νοερή στρατηγική η οποία φαίνεται να αντανακλά τον γραπτό αλγόριθμο που δίδαξε ο δάσκαλος. Σύμφωνα με αυτά τα στοιχεία, οι ερευνητές (π.χ. Kamii, Lewis, & Jones, 1991; Reys et al., 1995) συμπεραίνουν ότι οι μαθητές πρέπει να είναι ελεύθεροι να διατυπώνουν τις δικές τους νοερές στρατηγικές, καθώς η κατανόηση των αλγορίθμων βελτιώνεται, αν τα παιδιά κατασκευάζουν στρατηγικές στην κατεύθυνση των δικών τους φυσικών τρόπων σκέψης.

6 Τι είναι και πώς ορίζεται η ευελιξία; Στην ελληνική γλώσσα ο λέξη ευελιξία είναι συνώνυμη με τη λέξη ευκαμψία. Ευελιξία ή ευκαμψία είναι η ικανότητα ή η ιδιότητα εκείνου που είναι ευέλικτος ή εύκαμπτος. Σύμφωνα με το λεξικό της κοινής νεοελληνικής του ιδρύματος Μανόλη Τριανταφυλλίδη (1998) ευέλικτος είναι αυτός που εύκολα κάνει ελιγμούς. 1. που κινείται εύκολα προς κάθε κατεύθυνση. 2. (μτφ.) που μπορεί εύκολα και γρήγορα: α. (για πρόσ.) να ενεργεί. β. να αλλάζει και να προσαρμόζεται κατάλληλα, να είναι αποτελεσματικός. Παρατηρούμε, επομένως, ότι στη λέξη ευελιξία αποδίδεται η σημασία της γρήγορης ενέργειας, της αλλαγής και προσαρμοστικότητας αλλά και της αποτελεσματικότητας. Στη σχετική βιβλιογραφία ο όρος ευελιξία βρίσκεται κυρίως ως flexibility (π.χ. Heirdsfield, 1998; Threlfall, 2002; Verschaffel et al., 2007; Threlfall, 2009), αλλά συναντάται επίσης και ως προσαρμοστικότητα (adaptivity) (π.χ. Siegler, & Lemaire, 1997). Όταν πρόκειται για ευελιξία στις στρατηγικές τελευταία χρησιμοποιείται ο όρος ευελιξία στη χρήση στρατηγικών (strategic flexibility). Μερικές φορές συναντάμε και άλλους παρόμοιους όρους όπως: ευέλικτη και προσαρμοστική χρήση των στρατηγικών (flexible and adaptive use of strategies) (π.χ. Heinze et. al., 2009) και στρατηγική σκέψη (strategic thinking) (π.χ. Craig, 2009). Τελευταία χρησιμοποιείται ο όρος ειδίκευση μέσω προσαρμογής (adaptive expertise), τον οποίο θα αναλύσουμε στη συνέχεια. Κάποιοι συγγραφείς θεωρούν τους όρους ευελιξία (flexibility) και προσαρμοστικότητα (adaptivity) ως συνώνυμους και τους χρησιμοποιούν μαζί (π.χ. Verschaffel et al., 2009; Heinze et al. 2009). Κάποιοι άλλοι, και κυρίως στην αρχή, χρησιμοποιούσαν τους όρους ευελιξία και προσαρμοστικότητα διαχωρισμένα (π.χ. Baroody, 2003; Faltovich et al. 1997; Selter, 2009). Αυτοί που διαχωρίζουν τους δύο όρους αποδίδουν στον όρο ευελιξία τη σημασία της ικανότητας του ατόμου να κινείται μεταξύ των διαφορετικών στρατηγικών και να τις εναλλάσσει. Αντίθετα, στο όρο προσαρμοστικότητα δίνουν τη σημασία της ικανότητας του ατόμου να χρησιμοποιεί την πιο κατάλληλη στρατηγική που γνωρίζει, με γνώμονα τη γρήγορη και σωστή απάντηση. Έτσι, όσον αφορά τον γενικό διπλό όρο ευελιξία / προσαρμοστικότητα, αποδίδεται στην ευελιξία η χρήση πολλαπλών στρατηγικών και στην προσαρμοστικότητα η επιλογή κατάλληλων στρατηγικών. Οι Verschaffel et al. (2007) βασισμένοι σε έρευνες πολλών ετών για την ευελιξία από διάφορους ερευνητές, οι οποίοι δεν συμφωνούσαν πάντα για το τι είναι ευελιξία, ποια είναι τα χαρακτηριστικά της και πώς πρέπει να μελετηθεί και να ερμηνευτεί, πρότειναν τον παρακάτω ορισμό: «Με τον όρο προσαρμοστική 1 επιλογή μιας στρατηγικής εννοούμε τη συνειδητή ή ασυνείδητη επιλογή και χρήση της πλέον κατάλληλης στρατηγικής λύσης σε μια δεδομένη μαθηματική κατάσταση ή πρόβλημα, για ένα δεδομένο άτομο, σε ένα δεδομένο κοινωνικό και πολιτισμικό πλαίσιο» (σελ. 19). Στον παραπάνω ορισμό παρατηρούμε ότι η προσαρμοστική/ευέλικτη επιλογή μιας στρατηγικής μπορεί να είναι συνειδητή ή ασυνείδητη. Επειδή οι μεταγνωστικές διαδικασίες, οι οποίες ορίζονται ως συνειδητή αναγνώριση και σκόπιμος έλεγχος, ρυθμίζουν την επιλογή της στρατηγικής, πολλοί ερευνητές πιστεύουν ότι αυτό συμβαίνει και στην ευελιξία/προσαρμοστικότητα της στρατηγικής. Επίσης, σε πολλές καθημερινές δραστηριότητες υπάρχει επιτηδευμένη και ελεγχόμενη επιλογή 1 Εννοώντας προσαρμοστική και ευέλικτη, διότι οι συγγραφείς θεωρούν ταυτόσημους τους όρους ευελιξία / προσαρμοστικότητα.

7 στρατηγικής. Για παράδειγμα, σε ένα καθημερινό πρόβλημα ή λογαριασμό οι ενήλικες κάνουν νοερό υπολογισμό, εφαρμόζουν έναν γραπτό αλγόριθμο ή χρησιμοποιούν αριθμομηχανή. Αφετέρου, υπάρχουν αρκετά στοιχεία που δείχνουν ότι, για γρήγορες και απλές επιλογές στρατηγικών σε απλές προσθέσεις και αφαιρέσεις με αριθμούς μέχρι το 20, η επιλογή των ανθρώπων μιας ειδικής στρατηγικής δεν προέρχεται από μια σκόπιμη εκτίμηση των επιλογών και συνειδητή αναγνώριση των παραγόντων που επηρεάζουν την επιλογή αυτή, αλλά μάλλον από πιο αυτόνομες και υπονοούμενες διαδικασίες (Cary & Reder, 2002; Ellis, 1997; Siegler, 1996). Οι Verschaffel et al. (2009) και Siegler and Jenkins (1989) πιστεύουν ότι μια στρατηγική μπορεί να μην επιλέγεται υποχρεωτικά με ορθολογικό τρόπο ή να μην εκτελείται συνειδητά, δηλαδή μπορεί να επιλέγεται και να εκτελείται χωρίς την εμπλοκή οποιασδήποτε επίγνωσης. Οι όροι ειδίκευση μέσω προσαρμογής (adaptive expertise) και ειδίκευση μέσω επανάληψης (routine expertise) εισήχθησαν από τον Giyoo Hatano το 1982, (Hatano, 1982). O Hatano (2003, σελ. xi) υποστηρίζει ότι ένα από τα πιο σημαντικά ζητήματα στην ψυχολογία της μαθηματικής εκπαίδευσης είναι το πώς οι μαθητές μπορούν να διδάσκονται αντικείμενα του Προγράμματος Σπουδών, έτσι ώστε να αναπτύξουν ειδίκευση μέσω προσαρμογής. Περιγράφει την ειδίκευση μέσω προσαρμογής ως «την ικανότητα να εφαρμόζουν διαδικασίες με νόημα, που έχουν μάθει ευέλικτα και δημιουργικά» και την αντιπαραβάλλει με την ειδίκευση μέσω επανάληψης, δηλαδή με το «να είναι απλώς σε θέση να ολοκληρώνουν τις σχολικές μαθηματικές ασκήσεις γρήγορα και σωστά, χωρίς κατανόηση». O Keith Holyoak (1991) περιγράφει πολύ εύστοχα τη διάκριση: «οι ειδικευμένοι μέσω επανάληψης είναι σε θέση να λύνουν γνωστά είδη προβλημάτων γρήγορα και σωστά, ενώ έχουν μόνο μέτριες δυνατότητες όσον αφορά την αντιμετώπιση νέου τύπου προβλημάτων. Οι ειδικευμένοι μέσω προσαρμογής, από την άλλη πλευρά, μπορεί να είναι σε θέση να εφευρίσκουν νέες διαδικασίες που προκύπτουν από τις εξειδικευμένες γνώσεις τους» (σελ. 310). Οι Hatano και Inagaki (1986) επεκτείνουν ελαφρώς τον παραπάνω χαρακτηρισμό της ειδίκευσης μέσω προσαρμογής, την οποία όσοι έχουν κατακτήσει είναι σε θέση να (1) κατανοήσουν γιατί οι διαδικασίες που γνωρίζουν δουλεύουν. (2) να τροποποιήσουν αυτές τις διαδικασίες ευέλικτα, όταν χρειάζεται,. και (3) να εφευρίσκουν νέες διαδικασίες, όταν καμία από τις γνωστές διαδικασίες δεν είναι αποτελεσματική. Τα τελευταία χρόνια η ευελιξία δεν προσδιορίζεται μόνο από την ικανότητα του ατόμου να διαθέτει και να εναλλάσσει πολλές στρατηγικές, σύμφωνα κάθε φορά με τα χαρακτηριστικά του προβλήματος, όπως γινόταν παλιά. Ο προσδιορισμός της ευελιξίας γίνεται με πολύ πιο σύνθετο τρόπο, έτσι οι Verschaffel et al. (2009) επισημαίνουν τρία διαφορετικά είδη μεταβλητών που επηρεάζουν και προσδιορίζουν την ευελιξία/προσαρμοστικότητα: 1) Μεταβλητές της κατάστασης (task variables) ή τα χαρακτηριστικά του προβλήματος (δηλαδή η φύση των αριθμών στο πρόβλημα). 2) Μεταβλητές του υποκειμένου (subject variables) ή ταχύτητα και αποτελεσματικότητα (δηλαδή με πόση ακρίβεια και πόσο γρήγορα μπορούν να εκτελέσουν τις ανταγωνιστικές στρατηγικές για το συγκεκριμένο πρόβλημα, με δεδομένο τις προσωπικές γνώσεις και τις δεξιότητές τους για την εφαρμογή αυτών των στρατηγικών). 3) Μεταβλητές του πλαισίου (context variables). Αυτές είναι οι μεταβλητές που αφορούν στο κοινωνικό-πολιτισμικό πλαίσιο.