Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία
Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες του ελέγχου υποθέεων που αφορούν τη ύγκριη μέων τιμών και τη υνάφεια μεταξύ δυο μεταβλητών. Γίνεται επίης ειαγωγή την εκτιμητική της μέης τιμής με τη βοήθεια των διατημάτων εμπιτούνης. 2
Εκτιμητική
Σημειακές εκτιμήεις παραμέτρων Σε πολλές περιπτώεις το ενδιαφέρον των ερευνητών είναι η εκτίμηη της τιμής μιας παραμέτρου ενός πληθυμού. Η παιδίατρος του παραδείγματος που είδαμε τον έλεγχο υποθέεων που προτείνει το μεγάλωμα των παιδιών με «πολλές αγκαλιές», ενδιαφέρεται για το μέο βάρος των παιδιών αυτών. Δηλαδή, ενδιαφέρεται για μια εκτίμηη της μέης τιμής μ του πληθυμού των βαρών των παιδιών αυτών με τη βοήθεια του δείγματος που διαθέτει. Ο βέλτιτος ημειακός εκτιμητής της μέης τιμής ενός πληθυμού είναι η μέη τιμή ενός τυχαίου δείγματος από τον πληθυμό: µˆ = X Ονομάζεται ημειακός επειδή δίνει μια μόνο τιμή για τη μέη τιμή του πληθυμού. Στην περίπτωη των παιδιών «με πολλές αγκαλιές» ˆ µ =12 Kgr η μέη τιμή του δείγματος είναι: X =12 Kgr αφού 4
Διατήματα εμπιτούνης (1 από 8) Η βεβαιότητα ότι η εκτίμηη ημείου έδωε την πραγματική μέη τιμή του πληθυμού είναι πολύ μικρή. Οι μέες τιμές των δειγμάτων έχουν μια φυική μεταβλητότητα που εκφράζεται από το τυπικό φάλμα της μέης τιμής. Αυτό οδήγηε ε μεθόδους εκτίμηης της μέης τιμής ενός πληθυμού με τη βοήθεια ενός διατήματος τιμών για το οποίο η βεβαιότητα να περιέχει την μέη τιμή του πληθυμού είναι γνωτή και υψηλή. 5
Διατήματα εμπιτούνης (2 από 8) Η λογική της κατακευής ενός διατήματος εμπιτούνης είναι απλή: Για ένα πληθυμό με άγνωτη μέη τιμή μ και γνωτή τυπική απόκλιη, όταν ιχύει το Κ.Ο.Θ. η δειγματοληπτική κατανομή της μέης τιμής είναι κανονική με μέη τιμή μ και τυπική απόκλιη. Συνεπώς το 95% των δειγματικών μέων διάτημα: [ µ 1,96, µ + 1,96 ] ανήκει το παρακάτω Ιοδύναμα η μέη τιμή μ του πληθυμού περιλαμβάνεται το 95% των διατημάτων της μορφής: [ X 1,96, X + 1,96 ] Το παραπάνω διάτημα ονομάζεται 95%- διατήμα εμπιτούνης και το ποοτό 95% είναι ο υντελετής εμπιτούνης. X 6
Διατήματα εμπιτούνης (3 από 8) 7
Διατήματα εμπιτούνης (4 από 8) To 95%- διατήματος εμπιτούνης για τη μέη τιμή του πληθυμού των βρεφών με «πολλές αγκαλιές» με τη βοήθεια των τοιχείων του δείγματος (=36) με X =12 Kgr και δεδομένο ότι η τυπική απόκλιη του υγκεκριμένου πληθυμού είναι γνωτή =2 Kgr είναι: [ X 1,96, X + 1,96 ] = [12 ± 0,65] = [11,35 12,65] = [12 ± 1,96 2 ] 36 8
Διατήματα εμπιτούνης (5 από 8) Η τιμή 1,96 είναι η τιμή της τυπική κανονικής κατανομής και θα μπορούε να είναι μια οποιαδήποτε τιμή Ζ (1- α/2) αυτής της κατανομής που ονομάζεται υντελετής αξιοπιτίας καθορίζοντας το ποοτό των 100(1- α)% διατημάτων της μορφής: [ X Z(1 α / 2), X + Z1 α / 2 που περιέχουν την άγνωτη μέη τιμή μ του πληθυμού. Αν ο τόχος μας είναι η κατακευή ενός 90%- διατήματος τότε α= 0,1 αφού 100(1-0,1)%=90%. Άρα η τον πίνακα της τυπικής κανονικής κατανομής θα αναζητηθεί η Ζ 1-0,05 ή Ζ 0,95. Από τον πίνακα προκύπτει Ζ 0,95 =1,64 (τη τήλη Β για Β=0,95). Το 90%- διάτημα εμπιτούνης είναι : [ X 1,64, X + 1,64 ] ] 9
Διατήματα εμπιτούνης (6 από 8) To 90%- διατήματος εμπιτούνης για τη μέη τιμή του πληθυμού των βρεφών με «πολλές αγκαλιές» με τη βοήθεια των τοιχείων του δείγματος (=36) με X =12 Kgr και δεδομένο ότι η τυπική απόκλιη του υγκεκριμένου πληθυμού είναι γνωτή =2 Kgr είναι: [ X 1,64, X + 1,64 ] = [12 ± 1,64 = [12 ± 0,55] = [11,45 12,55] 2 ] 36 Το 95% διάτημα [11,35 12,65] είχε το ίδιο κέντρο με το 90%- διάτημα, την μέη τιμή X =12 Kgr του δείγματος, αλλά είναι ευρύτερο. Το εύρος το πρώτου είναι 12,65-11,35=1,3 Kgr ενώ του τελευταίου 1,1 Kgr. Δηλαδή όο αυξάνεται η εμπιτούνη μας ότι το διάτημα περιέχει τη μέη τιμή του πληθυμού τόο μειώνεται η ακρίβεια της εκτίμηης. 10
Διατήματα εμπιτούνης (7 από 8) Αν η κατανομή του πληθυμού δεν είναι κανονική η μορφή του διατήματος εμπιτούνης που είδαμε: [ X ± Z(1 α / 2) ] μπορεί να χρηιμοποιηθεί μόνο αν 30. Στην πράξη πάνια είναι γνωτή η τυπική απόκλιη του πληθυμού. Τότε, όπως είδαμε τον έλεγχο υποθέεων αν ο πληθυμός ακολουθεί κανονική κατανομή το πηλίκο X µ ακολουθεί κατανομή t με - 1 βαθμούς ελευθερίας. S N Άρα το διάτημα 100(1- α)% διάτημα εμπιτούνης είναι: [ X ) S ± t(1 α / 2 ] Όπου η τιμή t (1- α/2) είναι η τιμή του πίνακα της t για - 1 βαθμούς ελευθερίας κάτω από την οποία βρίκεται το α/2 ποοτό των τιμών της κατανομής. 11
Διατήματα εμπιτούνης (8 από 8) Για την κατακευή ενός 95% διατήματος για τη μέη επίδοη νηπίων που διδάκονται αρμόνιο με την μέθοδο «Θεοχαράτου» χρηιμοποιώντας τυποποιημένο test για το οποίο η μέη επίδοη ενός δείγματος μαθητών (=17) ήταν X = 6,8 και S=1,8. Από την επικόπηη του ιτογράμματος των βαθμών αρμονίου δεν προέκυψε οβαρή απόκλιη από τη κανονική κατανομή υνεπώς μπορεί να χρηιμοποιηθεί η κατανομή t και υγκεκριμένα η τιμή της t (1- α/2) και το διάτημα: [ X ) S ± t(1 α / 2 ] Η τιμή t (1-0,05/2) ή t 0,975 για 16 βαθμούς ελευθερίας από τον πίνακα της t αντιτοιχεί την τιμή 2,12 και το 95% διάτημα εμπιτούνης: [X 2,12 S, X + 2,12 S 1,8 ] = [6,8± 2,12 ] = [6,8± 0, 93] = [5,87 7,73] 17 12
Διατήματα εμπιτούνης με το SPSS Στόχοι έρευνας: (1 από 4) α κατακευατεί ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για το μέο χρόνο μελέτης των ημερινών μαθητών το πίτι. α διερευνηθεί κατά πόο ο χρόνος μελέτης των ημερινών μαθητών διαφέρει από το χρόνο που μελετούαν οι μαθητές της ίδιας ηλικίας πριν 20 έτη (ε έρευνα της εποχής βρέθηκε μ=7,5 ώρες). 13
Διατήματα εμπιτούνης με το SPSS Από το ιτόγραμμα δεν παρατηρούμε οβαρή απόκλιη της κατανομής των χρόνων μελέτης δείγματος από την κανονική κατανομή. Συνεπώς για την κατακευή του διατήματος θα χρηιμοποιηθεί η t αφού είναι άγνωτη η διακύμανη του χρόνου μελέτης τον πληθυμό των ημερινών μαθητών. (2 από 4) 14
Διατήματα εμπιτούνης με το SPSS (3 από 4) Επιλέγουμε Descripyve Staysycs=> Explore 15
Διατήματα εμπιτούνης με το SPSS Το ζητούμενο 95% διάτημα εμπιτούνης. Απορρίπτεται η μηδενική υπόθεη μ=7,5 ε επίπεδο ημαντικότητας α=0,05 επειδή η τιμή 7,5 δεν ανήκει το διάτημα 7,9424-8,3996. Επειδή 7,5 < 7,94 υμπεραίνουμε ότι οι ημερινοί μαθητές μελετούν ημαντικά περιότερο ε χέη με το παρελθόν. (4 από 4) 16
Τέλος Ενότητας
Χρηματοδότηη Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί τo πλαίιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα το Πανεπιτήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήει μόνο την αναδιαμόρφωη του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται το πλαίιο του Επιχειρηιακού Προγράμματος «Εκπαίδευη και Δια Βίου Μάθηη» και υγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωη (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Επαγωγική Στατιτική 18
Σημειώματα
Σημείωμα Ιτορικού Εκδόεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοη 1.0. 20
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιτριακόν Πανεπιτήμιον Αθηνών 2015, Βαίλης Γιαλαμάς 2015. Βαίλης Γιαλαμάς. «Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική.». Έκδοη: 1.0. Αθήνα 2015. Διαθέιμο από τη δικτυακή διεύθυνη: h p://opencourses.uoa.gr/courses/ ECD102/. 21
Σημείωμα Αδειοδότηης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήης Creayve Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήη Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέτερη, Διεθνής Έκδοη. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται ε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήης τους το «Σημείωμα Χρήης Έργων Τρίτων». [1] h p://creayvecommons.org/licenses/by- nc- sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήη: που δεν περιλαμβάνει άμεο ή έμμεο οικονομικό όφελος από την χρήη του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική υναλλαγή ως προϋπόθεη για τη χρήη ή πρόβαη το έργο που δεν προπορίζει το διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίεις) από την προβολή του έργου ε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει τον αδειοδόχο ξεχωριτή άδεια να χρηιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήη, εφόον αυτό του ζητηθεί. 22
Διατήρηη Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διακευή του υλικού θα πρέπει να υμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότηης τη δήλωη Διατήρηης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήης Έργων Τρίτων (εφόον υπάρχει) μαζί με τους υνοδευόμενους υπερυνδέμους. 23
Σημείωμα Χρήης Έργων Τρίτων (1/2) Το Έργο αυτό κάνει χρήη των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Σχήμα 1, Σελίδα 7: Σχήμα με διατήματα εμπιτούνης / Copyrighted Εικόνα 1, Σελίδα 14: Ιτόγραμμα / Copyrighted Εικόνα 2, Σελίδα 15: Εικόνα οθόνης ηλεκτρονικού υπολογιτή όπου γίνεται χρήη του SPSS / Copyrighted 24
Σημείωμα Χρήης Έργων Τρίτων (2/2) Το Έργο αυτό κάνει χρήη των ακόλουθων έργων: Πίνακες Πίνακας 1, Σελίδα 16: Πίνακας δεδομένων / Copyrighted 25