Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Transcript

1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη των µέων δύο πληθυµών Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυµών µε διακυµάνεις 1 και 1

2 Έλεγχος 1 z- Έλεγχος ή Έλεγχος του Gauss Παραδοχές: Θεωρούµε ότι ένα τυχαίο δείγµα 1, από ένα κανονικό πληθυµό µε µέο µ και διακύµανη, όπου είναι γνωτό. Στατιτικές Υποθέεις: Προς Έλεγχο έχουµε τις ακόλουθες υποθέεις ε επίπεδο ηµαντικότητας a µε o<a<1 1) Η: µ=µ 0 έναντι της Α: µ µ 0 ) Η: µ=µ 0 έναντι της Α: µ>µ 0 3) Η: µ=µ 0 έναντι της Α: µ<µ 0. Κανόνες Απόφαεις: 1) Αποφαίζω για την Α της περίπτωης (1) αν Z = ( µο) z a/, ;όπου z a/ είναι το 1-α/ ποοτιαίο ηµείο της τυποποιηµένης κανονικής ) Αποφαίζω για την Α της (), αν Z= ( µο) z a, όπου z a είναι το 1-a ποοτιαίο ηµείο της τυποποιηµένης κανονικής

3 3) Αποφαίζω για την Α της (3), αν Z= ( µο) -z a =z 1-a, Z 1-a είναι το a-ποοτιαίο ηµείο της τυποποιηµένης κανονικής. Παράδειγµα : Θεωρούµε ένα κανονικό πληθυµό µε µέο µ=8 και =. Αν 30 παρατηρήεις δίνανε =7,4 αποδέχετε την Η=µ=8; Λύη: 1) Αν η εναλλακτική λύη είναι Α=µ 8 τότε την αποδεχόµατε αν ( µο) z a/ µ ο -z a/ ή µ ο+ z a/ 7,7 ή 8,71 δηλαδή να παίρνει τιµές εκτός του [7,9, 8,71] Εδώ =7,4 και αποφαίζω για Α ) Αν Α: µ>8 τότε την αποδεχόµατε αν >8,59 Απορρίπτω την Α 3)Αν Α: µ<8 τότε την αποδεχόµατε αν < 7,41 Αποδέχοµαι την Α 3

4 Έλεγχος t-έλεγχος Παραδοχές: Θεωρούµε ότι έχουµε ένα τυχαίο δείγµα 1, από ένα κανονικό πληθυµό µε µέο µ και διακύµανη, όπου είναι άγνωτο. Στατιτικές Υποθέεις:Όµοιες όπως τον Έλεγχο 1 Κανόνες Απόφαεις: (1) Αποφαίζω για την Α της περίπτωης (1) αν t = ( µο) t -1 ;a/, ;όπου t -1 ;a είναι το 1-a ποοτιαίο ηµείο της t-κατανοµής µε -1 βαθµούς ελευθερίας ()Αποφαίζω για την Α της () αν t= ( µο) t -1 ;a (3) Αποφαίζω για την Α της (3) αν t= ( µο) -t -1 ;a=t -1 ;1-a Αν, τότε t~z ιάτηµα Εµπιτούνης [ -t -1 ;a/, +t -1 ;a/ ] 4

5 Έλεγχος 3 X i -τετράγωνο έλεγχο για την διακύµανη Παραδοχές: Θεωρούµε ένα τυχαίο δείγµα όπως τον Έλεγχο Στατιτικές Υποθέεις:Προς έλεγχο έχουµε τις ακόλουθες υποθέεις ε επίπεδο ηµαντικότητας a µε 0<a<1 (1) H: = ο έναντι της Α: ο () H: = ο έναντι της Α: > ο (3) H: = ο έναντι της Α: < ο Κανόνες Απόφαεις (1) Αποφαίζω για την Α της (1) ( 1) Αν 0 ( 1) -1 ;1-a/ ή 0-1 ;a/,. όπου -1 ; 1-a/ και -1 ; a/ είναι τα a/ και 1-a/ ποοτιαία ηµεία της I κατανοµής µε -1 βαθµούς ελευθερίας 5

6 ()Αποφαίζω για την Α της () αν ( 1) 0-1 ; a (3) Αποφαίζω για την Α της (3) αν ( 1) 0-1 ; 1- ιάτηµα Εµπιτούνης ( 1) 1;1 a ( 1), 1; a 6

7 Έλεγχος 4 Α. t Έλεγχος για την ύγκριη δύο ανεξαρτήτων δειγµάτων Παραδοχές; Θεωρούµε ότι έχουµε δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγµατα X 1,,X 1 και Y 1,,Y από δύο κανονικούς πληθυµούς µε µέους µ 1,µ και διακυµάνεις (άγνωτες) 1, αντίτοιχα.επιπλέον θεωρούµε ότι οι διακυµάνεις των είναι ίες. Στατιτικές Υποθέεις: Προς έλεγχο έχουµε τις ακόλουθες υποθέεις ε ε.. a, 0<a<1. (1)H: µ 1 =µ Α: µ 1 µ ()H: µ 1 =µ Α: µ 1 > µ (3)H: µ 1 =µ Α: µ 1 < µ Κανόνες απόφαεις (1) Αποφαίζω για την Α της (1) αν t = ( 1) 1 + ( + y 1) y 1 t 1+- ; a/, όπου t 1+- ; a/ το 1-α/ ποοτιαίο ηµείο της t µε βαθµούς ελευθερίας. Αυτός ο έλεγχος µπορεί να γίνει και όταν οι διακυµάνεις είναι άνιες, την περίπτωη αυτή ακολουθείται η ίδια περίπου διαδικαία µ ένα ελαφρά τροποποιηµένο τρίτο υπολογιµό της τιµής t.το τατιτικό πακέτο P κάµει αυτούς τους υπολογιµούς. 7

8 Β. t-έλεγχος για την ύγκριη δύο εξαρτηµένων δειγµάτων (περίπτωη ζευγών) Παραδοχές:Έτω έχουµε -ανεξάρτητα ζεύγη ( 1,y 1 ),,(,y ), όπου τα περιγράφουν τις µετρήεις από ένα πείραµα 1 και y τις µετρήεις από ένα άλλο πείραµα. Οι µετρήεις από το πείραµα 1 θεωρούµε ότι προέρχονται από έναν κανονικό πληθυµό µε µέο µ 1 και διακύµανη, ένώ οι µετρήεις από το δεύτερο πείραµα θεωρούµε ότι προέρχονται από ένα µε διαφορετικό µόνο µέο µ. Στατιτικές υποθέεις: Προς έλεγχο έχουµε τις ακόλουθες υποθέεις ε ε.. a 0<a<1. (1) Η: µ 1 -µ =0 Α: µ 1 -µ 0 () Η: µ 1 -µ =0 Α: µ 1 -µ > 0 (3) Η: µ 1 -µ =0 Α: µ 1 -µ < 0 Κανόνες απόφαεις: (1) Αποφαίζω για την Α της περίπτωης (1) αν ( z 0) z t -1 ;a, όπου z = z z, µε z 1 = 1 -y 1,,z = -y και 1 = 1 i= 1 ( z i z) 8

9 () Αποφαίζω για την Α της περίπτωης () αν ( z 0) z t -1 ;a (3) Αποφαίζω για την Α της περίπτωης (3) αν ( z 0) s -t -1 ;a=t -1 ; 1-a Γ. t-έλεγχος για την ύγκριη δύο εξαρτηµένων δειγµάτων Στην περίπτωη που δεν έχουµε ζευγαρωτές παρατηρήεις µπορούµε να έχουµε εξαρτηµένα δείγµατα και y και να κάνουµε τους ελέγχους όπως την 4Α.η εδώ τατιτική υνάρτηη ελέγχου είναι t= y s + 1 s y 9

10 Έλεγχος 5 Παραδοχές :Θεωρούµε ότι ιχύουν οι παραδοχές του Ελέγχου 4Α, όπου δεχόµατε ότι οι διακυµάνεις 1 και είναι άνιες Στατιτικές Υποθέεις:Προς έλεγχο έχουµε τις ακόλουθες υποθέεις ε ε.. a, 0<a<1 (1) H: 1 = () H: 1 = (3) H: 1 = Α: 1 Α: 1 > Α: 1 < Κανόνες απόφαεις (1)Αποφαίζω για την Α της (1) αν F= F 1 1, 1; a / ή F 1 1, 1;1 a / y y όπου F 1-1,-1;1-a το a ποοτιαίο ηµείο της F- κατανοµής µε 1-1 και -1 βαθµούς ελευθερίας ()Αποφαίζω για την Α της (), αν F = F 1 1, 1; 1 a y (3) Αποφαίζω για την Α της (3), αν F = F 1 1; 1; a y 10

11 Ανάλογοι έλεγχοι γίνονται και όταν τα δείγµατά µας είναι εξαρτηµένα. Παράδειγµα 1.(i)Ενδιαφερόµατε για το ποοτό των Ανθρώπων που ζουν τις πόλεις (µεταβλητή urba). Χώρες από την temperate regio ( ) αποτελούν τη µια οµάδα, ενώ χώρες από την tropical regio ( 8 ) την άλλη οµάδα Τα δεδοµένα το climate είναι ποιοτικά (τακτική κλίµακα) 1 desert κλπ (ii)ενδιαφερόµατε για την µεταβλητή calories (iii)fertlity{ catholic mus lim 11

12 1