Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Transcript

1 Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων - Ιδιότητες της Γραμμής Παλινδρόμησης Υποθέσεις του Απλού Γραμμικού Υποδείγματος Θεώρημα των Gauss- Markov. (Εφαρμογές με το Οικονομετρικό Πακέτο Eviews) 4

5 Περιεχόμενα Διάστημα Εμπιστοσύνης των συντελεστών β 0 και β 1. Έλεγχος Υποθέσεων. Δίπλευρος Έλεγχος με την Κατανομή t. Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2. 5

6 Διάστημα Εμπιστοσύνης των συντελεστών β 0 και β 1 (1/3) Το τυπικό σφάλμα ενός εκτιμητή χρησιμοποιείται ως μέτρο για την ακρίβεια του εκτιμητή. Όσο πιο μικρό το τυπικό σφάλμα τόσο πιο καλή θα είναι η εκτίμηση του άγνωστου συντελεστή. Για τους άγνωστους συντελεστές β 0 και β 1 της παλινδρόμησης του πληθυσμού μπορούμε να κατασκευάσουμε διαστήματα εμπιστοσύνης. 6

7 Διάστημα Εμπιστοσύνης των συντελεστών β 0 και β 1 (2/3) Επειδή οι εκτιμητές β ο και β 1 ακολουθούν την κανονική κατανομή, το διάστημα εμπιστοσύνης των συντελεστών β 0 και β 1 δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: Prob( β ο - Z a/2 s β ο < β 0 < β ο + Z a/2 s β ο ) = (100 7

8 Διάστημα Εμπιστοσύνης των συντελεστών β 0 και β 1 (3/3) Επειδή δεν γνωρίζουμε την τυπική απόκλιση του διαταρακτικού όρου σ e που χρησιμοποιείται στο τυπικό σφάλμα των εκτιμητών β ο και β 1 το αντικαθιστούμε με την αμερόληπτη εκτίμηση της s β ο και s β 1 χρησιμοποιώντας την t κατανομή με n-2 βαθμούς ελευθερίας οπότε θα έχουμε: Prob( β ο - t (ν n 2)a/2 s β ο < β 0 < β ο + t (ν n 2)a/2 s β ο ) = 100 a % Prob( β 1 - t (ν n 2)a/2 s β 1 < β 1 < β 1 + t (ν n 2)a/2 s β 1 ) = 100 a % 8

9 Έλεγχος Υποθέσεων (1/5) Κατά τη διαδικασία του ελέγχου υποθέσεων (testing hypothesis) έχουμε δύο υποθέσεις, εκ των οποίων η μία είναι ψευδής (η μηδενική υπόθεση) και η άλλη αληθής, (η εναλλακτική υπόθεση). Το πιθανό ενδεχόμενο η μηδενική υπόθεση να είναι ψευδής είναι α (επίπεδο σημαντικότητας) (level of significance) και επομένως η εναλλακτική υπόθεση να είναι αληθής είναι 1-α. 9

10 Έλεγχος Υποθέσεων (2/5) Ο στατιστικός έλεγχος των συντελεστών του πληθυσμού β 0 και β 1 προϋποθέτει την ύπαρξη της μηδενικής υπόθεσης (null hypothesis) και της εναλλακτικής υπόθεσης (alternative hypothesis). Άρα οι υποθέσεις που θέλουμε να ελέγξουμε για τους συντελεστές β 0 και β 1 είναι: H 0 : β 0 = 0, H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 0 0, H 1 : β

11 Έλεγχος Υποθέσεων (3/5) Όπου Η0 συμβολίζει τη μηδενική υπόθεση, και Η1 την εναλλακτική υπόθεση. Η υπόθεση Η0 συνήθως υποδηλώνει ότι κάποιο αποτέλεσμα δεν ισχύει. Αν η υπόθεση Η0 απορρίπτεται τότε γίνεται αποδεκτή η εναλλακτική υπόθεση Η1. Στην διαδικασία του στατιστικού ελέγχου υπάρχουν τα λάθη τύπου Ι και τύπου ΙΙ. Η κατηγορία τύπου Ι αφορά την πιθανότητα κατά την οποία μετά τη διαδικασία του στατιστικού ελέγχου απορρίπτεται μία αληθής μηδενική υπόθεση. Η κατηγορία λάθους τύπου ΙΙ αναφέρεται στην πιθανότητα μετά το στατιστικό έλεγχο να γίνει αποδεκτή μία ψευδής μηδενική υπόθεση. 11

12 Έλεγχος Υποθέσεων (4/5) Για τον έλεγχο των παραπάνω υποθέσεων χρησιμοποιούμε τη στατιστική t η τιμή της οποίας ορίζεται από τους παρακάτω τύπους: t = β ο β ο s β ο = β ο s β ο, t = β 1 β 1 s β 1 = β 1 s β 1 t = β ο t s (ν n 2)a/2, t = β 1 t s (ν n 2)a/2 βο β1 Για α επίπεδο σημαντικότητας η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν: 12

13 Έλεγχος Υποθέσεων (5/5) Απόρριψη των παραπάνω μηδενικών υποθέσεων σημαίνει ότι οι συντελεστές του πληθυσμού β 0 και β 1 είναι διάφοροι από το μηδέν (στατιστικά σημαντικοί), η γραμμή παλινδρόμησης του πληθυσμού δεν περνάει από την αρχή των αξόνων, και ότι υπάρχει σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές Y και Χ. 13

14 Δίπλευρος Έλεγχος με την Κατανομή t Εικόνα 1: Δίπλευρος Έλεγχος με την Κατανομή t. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 14

15 Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 Είδαμε σε προηγούμενη παράγραφο ότι με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων εκτιμούμε τη γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος και βρίσκουμε αν οι εκτιμητές β ο και β 1 είναι BLUE (άριστοι, γραμμικοί, αμερόληπτοι εκτιμητές). Επίσης, με τη γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε τη μεταβλητότητα (variation) της μεταβλητής Y που εξηγείται από τις μεταβολές στις τιμές της μεταβλητής της X. Το μέρος της εξαρτημένης μεταβλητής Y που δεν ερμηνεύεται από την ανεξάρτητη μεταβλητή X ερμηνεύεται από τα κατάλοιπα. 15

16 Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 (1/6) Δηλαδή από τη γραμμή της παλινδρόμησης το ερώτημα που τίθεται είναι πόση είναι η μεταβλητότητα της Y που εξηγείται από την παλινδρόμηση και πόση μένει ανεξήγητη, δηλαδή οφείλεται στους τυχαίους παράγοντες. Την αναλογία (ή ποσοστό) της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση ονομάζουμε συντελεστή προσδιορισμού (coefficient of determination) και συμβολίζεται με R 2. 16

17 Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 R 2 = t=1 n Y t Y 2 n Y t Y 2 t=1 (2/6) Ο συντελεστής προσδιορισμού δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές ή μεγαλύτερες από τη μονάδα, δηλαδή: 0 < R 2 < 1. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του συντελεστή R 2 τόσο καλύτερη είναι η προσαρμογή της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος στα στοιχεία και αντίστροφα. 17

18 Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 (3/6) Εικόνα 2: Η γραμμή παλινδρόμησης ενός δείγματος που εκτιμήθηκε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (OLS). Πηγή: Διδάσκουσα (2015). 18

19 Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 (4/6) Στο παραπάνω σχήμα δίνεται η γραμμή παλινδρόμησης ενός δείγματος που εκτιμήθηκε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (OLS). Από το σχήμα αυτό παρατηρούμε ότι η απόκλιση της Y από τη μέση τιμή Y του δείγματος, δηλαδή Y - Y αποτελείται από δύο μέρη το Y t Y t και το Y t Y. Το μέρος Y t Y t αποτελεί το ανερμήνευτο τμήμα της συνολικής μεταβλητότητας της που οφείλεται στα κατάλοιπα. Το άλλο μέρος Y t Y αποτελεί το τμήμα της μεταβλητότητας της που ερμηνεύεται από την ανεξάρτητη μεταβλητή. 19

20 Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 (5/6) Η συνολική μεταβλητότητα θα είναι: Y t Y = Y t Y + Y t Y t Για να μετρήσουμε τη συνολική ερμηνευτική ικανότητα της Y υψώνουμε την παραπάνω σχέση στο τετράγωνο αφού πρώτα πάρουμε τα αθροίσματα των παρατηρήσεων του δείγματος οπότε θα έχουμε: n t=1 Y t Y 2 = n t=1 Y t Y 2 + n t=1 Y t Y t 2 20

21 Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 TSS = RSS + ESS. Όπου: (6/6) TSS = Συνολικό Άθροισμα των Τετραγώνων (Total Sum of Squares). RSS = Άθροισμα των Τετραγώνων της Παλινδρόμησης (Regression Sum of Squares). ESS = Άθροισμα των Τετραγώνων των Καταλοίπων (Error Sum of Squares). 21

22 Τέλος Ενότητας

23 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη. «Οικονομετρία Ι». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: 23

24 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 24

25 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 25