Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Transcript

1 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με ίκαλη είναι τυχαία μεταβλητή και, ύμφωνα με την εταιρεία παραγωγής, ακολουθεί κανονική κατανομή με μέη τιμή μ =.5gr και τυπική απόκλιη =.5gr (ανά φέτα των 5gr περίπου). Με την υπόθεη ότι ο ιχυριμός της εταιρείας παραγωγής είναι αληθής, ποια είναι η πιθανότητα, α) μια τυχαία επιλεγμένη φέτα να περιέχει το πολύ.gr φυτικών ινών β) από τέερις τυχαία επιλεγμένες φέτες, ακριβώς μία να περιέχει το πολύ.gr φυτικών ινών γ) η μέη ποότητα φυτικών ινών που περιέχεται ε τυχαία επιλεγμένες φέτες να είναι το πολύ.gr. ο Θέμα [] (υνέχεια του ου Θέματος). Ένας φοιτητής του Τμήματος Επιτήμης & Τεχνολογίας Τροφίμων προκειμένου, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας, να ελέγξει αν η μέη ποότητα φυτικών ινών που περιέχεται ανά φέτα είναι πράγματι.5gr, πήρε ύμφωνα με ένα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας φέτες από την παραγωγή της υγκεκριμένης εταιρείας και μέτρηε την ποότητα φυτικών ινών που περιέχεται ε αυτές. Οι μετρήεις αυτές έδωαν x =. gr. α) Σε επίπεδο ημαντικότητας %, δίνουν τα δεδομένα του δείγματος που πήρε ο φοιτητής τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη ποότητα φυτικών ινών που περιέχεται ανά φέτα το ψωμί ολικής άλεης με ίκαλη της υγκεκριμένης εταιρείας δεν είναι.5gr αλλά μικρότερη; (Η διαπορά =.5 gr της Χ δεν αμφιβητείται). β) Με βάη το υμπέραμά ας το (α), μπορείτε να υμπεράνετε αν τα δεδομένα του δείγματος δίνουν, ε επίπεδο ημαντικότητας 5%, τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη ποότητα φυτικών ινών που περιέχεται ανά φέτα το ψωμί ολικής άλεης με ίκαλη της υγκεκριμένης εταιρείας δεν είναι.5gr αλλά μικρότερη; γ) Το υμπέραμα του (α) ή το υμπέραμα του (β) ερωτήματος θα προτείνατε τον φοιτητή να αναφέρει την πτυχιακή του εργαία; Εξηγείτε. δ) Γνωρίζετε την πιθανότητα το υμπέραμα το ερώτημα (α) να είναι λάθος; Εξηγείτε. ε) Μπορείτε να απαντήετε το ερώτημα (α) με βάη την απάντηή ας το ερώτημα (γ); Αν ναι, τι θα προτείνατε τον φοιτητή να αναφέρει την πτυχιακή του εργαία για να υποτηρίξει με τον καλύτερο τρόπο το υμπέραμά του; τ) Να υπολογίετε ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για τη μέη ποότητα φυτικών ινών που περιέχεται ανά φέτα το ψωμί ολικής άλεης με ίκαλη της υγκεκριμένης εταιρείας και να εξηγήετε ποιο είναι το περιθώριο φάλματος αυτής της εκτίμηης. Πώς αντιλαμβάνεθε/ερμηνεύετε αυτό το διάτημα; ο Θέμα [] Ένας ερευνητής μέτρηε τη υγκέντρωη γλυκόζης (ε mg/l) το αριτερό και το δεξί μάτι 5, τυχαία επιλεγμένων, υγιών κυλιών υγκεκριμένης ράτας. Ας υμβολίουμε με Χ και Υ τη υγκέντρωη γλυκόζης το αριτερό και το

2 δεξί μάτι, αντίτοιχα, υγιών κύλων της υγκεκριμένης ράτας. Για τις 5 μετρήεις, x, x,..., x5, το αριτερό μάτι και τις 5 μετρήεις, y, y,..., y5, το δεξί, ο ερευνητής υπολόγιε τη μέη τιμή και την τυπική απόκλιή τους, x = 8. 6 mg/l, s x =.6 mg/l, y = 8. 8 mg/l, s y =. 7 mg/l, αντίτοιχα. Υπολόγιε επίης την τυπική απόκλιη, s, των διαφορών, = x y, =,,..., 5, μεταξύ αριτερού και δεξιού ματιού και βρήκε ότι, s =. 6 mg/l. Χρηιμοποιείτε όα και όποια από αυτά τα τατιτικά κρίνετε, για να απαντήετε το εξής ερώτημα: ε επίπεδο ημαντικότητας 5%, υποτηρίζουν οι μετρήεις που έκανε ο ερευνητής ότι υπάρχει τατιτικά ημαντική διαφορά τη μέη υγκέντρωη γλυκόζης μεταξύ των δύο ματιών υγιών κύλων της υγκεκριμένης ράτας; Χρειάθηκε να κάνετε κάποιες παραδοχές; ο Θέμα [] Γνωρίζουμε (από πρόφατη έρευνα) ότι το % των αλλαντικών που διατίθενται την ελληνική αγορά, η ποότητα ενός υγκεκριμένου υντηρητικού που περιέχεται ε αυτά υπερβαίνει το ανώτατο επιτρεπτό όριο. Η μέθοδος που εφαρμόζει ο ΕΦΕΤ όταν πραγματοποιεί χετικούς ελέγχους δεν είναι απολύτως ακριβής. Συγκεκριμένα: δίνει θετικό αποτέλεμα το 98% των δειγμάτων που πράγματι υπερβαίνουν το όριο αλλά και το 5% των δειγμάτων που δεν υπερβαίνουν το όριο. α) Ποια είναι η πιθανότητα ε ένα τυχαία επιλεγμένο δείγμα αλλαντικού ο έλεγχος του ΕΦΕΤ να δώει θετικό αποτέλεμα; β) Αν ε ένα τυχαία επιλεγμένο δείγμα αλλαντικού ο έλεγχος του ΕΦΕΤ έδωε θετικό αποτέλεμα, ποια είναι η πιθανότητα η ποότητα υντηρητικού που περιέχεται ε αυτό πράγματι να υπερβαίνει το όριο; 5 ο Θέμα. [] Ένας οργανιμός ποιοτικού ελέγχου τροφίμων κατατάει τα μήλα, ως προς διάφορα ποιοτικά χαρακτηριτικά, ε τέερις κατηγορίες, Α, Β, Γ και Δ, αντίτοιχα. Τα μήλα που παράγονται το οροπέδιο της Τεγέας, θεωρείται (από εμπειρία πολλών ετών) ότι κατατάονται ε αυτές τις τέερις κατηγορίες ε ποοτό,.,.,. και., αντίτοιχα. Εξακόια μήλα που επελέγηαν, ύμφωνα με ένα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, από το κτήμα ενός υγκεκριμένου παραγωγού του οροπεδίου της Τεγέας, κατετάγηαν τις τέερις κατηγορίες ως εξής: Παρατηρηθεία υχνότητα Κατηγορία Α Β Γ Δ 5 9 Σε επίπεδο ημαντικότητας %, δίνουν αυτά τα δεδομένα τατιτικά ημαντικές αποδείξεις, ότι τα ποοτά των μήλων παραγωγής του υγκεκριμένου παραγωγού τις τέερις κατηγορίες, διαφέρουν από τα αντίτοιχα που θεωρείται ότι ιχύουν για την παραγωγή ε όλο το οροπέδιο; Πρέπει να απαντήετε τα θέματα, και ε δύο από τα,, 5 που εείς θα επιλέξετε. Για το άριτα () απαιτούνται μόρια και για τη βάη (5) απαιτούνται 5 μόρια.

3 Ενδεικτικές Απαντήεις ο Θέμα Δίνεται ότι X ~ N(.5,.5 ) X.5..5 α) P ( X.) = ) = Z.5) = Φ(.5) = β) Έτω Υ ο αριθμός φετών από τις τέερις που επελέγηαν, κάθε μία από τις οποίες περιέχει ποότητα φυτικών ινών το πολύ.gr. Προφανώς, Y ~ B(,.5). Ζητάμε την πιθανότητα, P ( Y = ) = =... γ) Έτω X η ποότητα φυτικών ινών τη φέτα ( =,,...,). Δίνεται ότι, X ~ N(.5,.5 ), =,,...,. Με την υπόθεη ότι οι X είναι ανεξάρτητες X =.5 μεταξύ τους, X = ~ N(.5, ) ή X ~ N(.5,.8 ) άρα, X.5..5 X.) = ) = Z.) = Φ(.) = ο Θέμα α) Έτω μ η ελεγχόμενη (άγνωτη) πληθυμιακή μέη ποότητα φυτικών ινών που περιέχεται το ψωμί ολικής άλεης με ίκαλη (ανά φέτα) που παράγει η υγκεκριμένη εταιρεία. Θα κάνουμε τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεης H : μ. 5gr έναντι της εναλλακτικής H : μ. 5gr ε επίπεδο ημαντικότητας = < α =.. Επειδή η διαπορά του πληθυμού,, είναι γνωτή, η απορριπτική x.5 x.5 περιοχή του ελέγχου είναι: z = < z. ή z = <...5 και επειδή, z = =. <., η μηδενική υπόθεη, ε επίπεδο.5 ημαντικότητας %, απορρίπτεται και επομένως ε επίπεδο ημαντικότητας %, τα δεδομένα του δείγματος δίνουν τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη ποότητα φυτικών ινών που περιέχεται το ψωμί ολικής άλεης με ίκαλη (ανά φέτα) που παράγει η υγκεκριμένη εταιρεία δεν είναι.5gr αλλά μικρότερη. β) Εφόον η μηδενική υπόθεη ε επίπεδο ημαντικότητας % απορρίπτεται, κατά μείζονα λόγο απορρίπτεται και ε οποιοδήποτε μεγαλύτερο (αφού ε μεγαλύτερο επίπεδο ημαντικότητας απαιτούνται λιγότερο ημαντικές αποδείξεις εναντίον της μηδενικής). γ) Προφανώς του ερωτήματος (α) γιατί υποδηλώνει ιχυρότερες αποδείξεις εναντίον της μηδενικής. δ) Ναι. Aπό τον οριμό του επιπέδου ημαντικότητας, είναι το πολύ %. ε) Στο ερώτημα (γ) προφανώς υπολογίαμε την P-Value του ελέγχου και επομένως μπορούμε να απαντήουμε το ερώτημα (α) υγκρίνοντας το επίπεδο ημαντικότητας με την P-Value. Στον φοιτητή θα προτείναμε να αναφέρει την P-Value γιατί έτι θα καταδείξει επακριβώς πόο ιχυρές αποδείξεις εναντίον της μηδενικής προκύπτουν από το υγκεκριμένο δείγμα. Είναι μάλιτα πολύ ιχυρές αφού η P-Value είναι πολύ μικρή (.9). τ) Το.5 ζητούμενο 95% διάτημα εμπιτούνης είναι x ± z.5 ή. ±.96 ή

4 . ±.6. Το περιθώριο φάλματος, με πιθανότητα.95, είναι.6. Το διάτημα αυτό περιέχει την άγνωτη μέη τιμή με πιθανότητα.95. ο Θέμα α) Πρόκειται για ύγκριη κατά ζεύγη. Επομένως αν D = X Y, θα κάνουμε, ε επίπεδο ημαντικότητας 5%, τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεης, H : μ D = έναντι της εναλλακτικής, H : μ D Επειδή το δείγμα των διαφορών είναι μεγάλο (>) η απορριπτική περιοχή είναι: z = > z.5 =.96 και επειδή, = x y =. και s =. 6, έχουμε, s. z = = =.6 s.6 5 Επομένως η μηδενική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας 5%, δεν απορρίπτεται δηλαδή, ε επίπεδο ημαντικότητας 5%, τα ευρήματα τα δείγματα δε δίνουν τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι υπάρχει διαφορά τη μέη υγκέντρωη γλυκόζης μεταξύ των δύο ματιών υγιών κύλων της υγκεκριμένης ράτας. Δεν χρειάθηκε να κάνουμε κάποια παραδοχή γιατί τα δείγματα είναι μεγάλα. ο Θέμα Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: Το αλλαντικό περιέχει ποότητα υντηρητικού που υπερβαίνει το ανώτατο επιτρεπτό όριο Θ: Το αποτέλεμα του ελέγχου είναι θετικό. Δίνονται οι πιθανότητες: P ( A) =., P ( Θ / A) =. 98 και P ( Θ / A ) =. 5 α) Ζητείται η πιθανότητα P (. Από το θεώρημα ολικής πιθανότητας έχουμε: P ( = Θ / A) A) + Θ / A ) A ) = (.) =.59 β) Ζητείται η πιθανότητα P ( A/. Από τον τύπο του Bayes έχουμε: Θ / A) A).98. P ( A/ = = = ο Θέμα α) Έτω p, p, p, p, η πιθανότητα, αντίτοιχα, ένα μήλο παραγωγής του υγκεκριμένου παραγωγού να κατατάεται την κατηγορία Α, Β, Γ, Δ. Σε επίπεδο ημαντικότητας α =., θα ελέγξουμε τη μηδενική υπόθεη, H : p =. και p =. και p =. και p =. έναντι της εναλλακτικής, H : p. ή p. ή p. ή p.. Επειδή 6 p 5 για κάθε =,,,, θα κάνουμε Χ έλεγχο καλής προαρμογής. Με την υπόθεη ότι η H είναι αληθής, θα υπολογίουμε για κάθε κατηγορία κατάταξης την αναμενόμενη (θεωρητική) υχνότητα, E = 6 p, =,,,.

5 E Α Β Γ Δ Σύνολο O p..... = 6 p Η απορριπτική περιοχή του ελέγχου είναι: ( O E ) X = > χ;. ή E ( O E ) X = >. και επειδή, = E (5 ) (9 ) ( 8) ( 6) X = = 5.8 >., 8 6 η μηδενική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας % απορρίπτεται και επομένως τα υγκεκριμένα δεδομένα, ε επίπεδο ημαντικότητας %, δίνουν τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι τα ποοτά κατάταξης των μήλων της παραγωγής του υγκεκριμένου παραγωγού διαφέρουν από τα ποοτά κατάταξης που θεωρείται ότι ιχύουν για τα μήλα που παράγονται ε όλο το οροπέδιο. =