ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν Χ 1, Χ,..., Χ n είναι ένα τυχαίο δείγμα από έναν Ν(μ, ) πληθυμό τότε, n ( i ) i 1 (n 1) * n n 1 Χρηιμοποιώντας το γεγονός αυτό μπορούμε να κατακευάουμε ένα 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για το ως εξής: α/ α/ n 1, α/ n 1,1α/ ή ιοδύναμα n 1, α/ n n1,1α/ 1 α 35

2 ή n n n1,1α/ n1, α/ * (n 1) (n 1) n1,1α/ n1, α/ 1 α * 1 α Παράδειγμα: Μια μηχανή που χρηιμοποιείται να γεμίζει κουτιά με μπύρα θα πρέπει να λειτουργεί με τρόπο ώτε η ποότητα μπύρας που τοποθετείται ε κάθε κουτί να είναι περίπου ταθερή. Αν τοποθετηθεί περιότερη από την κανονική μπύρα, τότε τα κουτιά ξεχειλίζουν, ενώ αντίθετα, αν τοποθετηθεί ποότητα πολύ μικρότερη από την κανονική, θα δημιουργηθούν παράπονα από τους καταναλωτές. Προκειμένου να ελεγχθεί η ποότητα μπύρας που τοποθετείται τα κουτιά, επιλέγονται τυχαία 0 τέτοια κουτιά τα οποία παρατηρείται μια τυπική απόκλιη 0. gr. Να εκτιμηθεί η διακύμανη της ποότητας που τοποθετείται τα κουτιά με την χρήη ενός 95% διατήματος εμπιτούνης. Λύη: Υποθέτοντας ότι η ποότητα της μπύρας που τοποθετείται ε κάθε κουτί ακολουθεί την κανονική κατανομή, ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για το θα είναι το, ή ή 0(.) 19,.975 0(. ) (.), 19,.05 0(. ), (.0,.09) 353

3 Το αντίτοιχο διάτημα εμπιτούνης για την τυπική απόκλιη κατακευάζεται με την θεώρηη των τετραγωνικών ριζών των άκρων του παραπάνω διατήματος. Παρατήρηη: Η επιλογή περιοχών τις ουρές της κατανομής του αυτού εμβαδού για την κατακευή του διατήματος εμπιτούνης είναι βέβαια αυθαίρετη. Ο ερευνητής μπορεί να επιλέξει οποιοδήποτε ζεύγος ημείων, έτι ώτε το υνολικό εμβαδόν τις ουρές της κατανομής να είναι ίο με α. Επιπλέον το διάτημα εμπιτούνης που κατακευάθηκε με τη προηγηθεία μέθοδο δεν είναι κατ' ανάγκη το βραχύτερο. Μπορεί κανείς να κατακευάει διάτημα του αυτού βαθμού εμπιτούνης, το οποίο να είναι βραχύτερο. Παρόλα αυτά, την πράξη χρηιμοποιείται η μεθόδος που αναφέραμε των ίων εμβαδών τις ουρές της κατανομής κυρίως διότι υπάρχουν οι πίνακες αλλά και διότι η ακρίβεια η οποία επιτυγχάνεται δεν διαφέρει πολύ από εκείνην που θα επιτυγχάναμε αν είχαμε χρηιμοποιήει την διαδικαία κατακευής διατήματος εμπιτούνης ελαχίτου μήκους. Σημείωη: Το τατιτικό πακέτο tatgraphics δίνει τα διατήματα εμπιτούνης για τη διακύμανη ενός πληθυμού με την ίδια διαδικαία και την ίδια οθόνη με τα διατήματα εμπιτούνης για την μέη τιμή. Β. Περίπτωη Δύο Πληθυμών Προκειμένου να υγκρίνουμε τις διακυμάνεις δύο ανεξαρτήτων κανονικών πληθυμών με την κατακευή διατημάτων εμπιτούνης, χρηιμοποιούμε το θεώρημα που υνδέει ανεξάρτητες Χ μεταβλητές με την κατανομή. Όταν μας ενδιαφέρει η ύγκριη των διακυμάνεων δύο πληθυμών, κατακευάζουμε διατήματα εμπιτούνης για τον λόγο. Χρηιμοποιώντας το γεγονός ότι: (n 1) * n n 1 354

4 και (m 1) * m m 1 όπου n, m είναι τα μεγέθη των δύο ανεξαρτήτων δειγμάτων με * * διαπορές, (αντίτοιχα, για τις αμερόληπτες εκτιμήτριες) που έχουν ληφθεί από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς με διακυμάνεις,. Σύμφωνα με το θεώρημα του παραρτήματος θα έχουμε, * * n (n 1) m (m 1) n-1, m-1 (, είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές δεδομένου ότι και Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές). α/ α/ n-1, m-1, α/ n-1, m-1, 1-α/ * n (n 1) n 1, m 1, α/ * n 1, m 1,1α/ m (m 1) 1 α 355

5 Επομένως, ένα 100(1-α)% διάτημα εμπιτούνης για το δίνεται από τον τύπο, ή, ιοδύναμα από τον τύπο n n 1, m m 1 n n 1 m m n 1, m 1,1 α/ n 1, m 1,α/ * * 1 1 n1,m1,1α/, * n1,m1,α/ * Σημείωη: Η χρηιμοποίηη του παραπάνω τύπου έχει κάποιες δυκολίες δοθέντος ότι οι πίνακες της κατανομής δεν δίνουν πάντα το κατώτερο εκατοτιαίο ημείο της κατανομής. Παρ όλα αυτά το ημείο αυτό μπορεί να προδιοριθεί δεδομένου ότι, αν U V, r r όπου U και V είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν τις κατανομές με r 1, r βαθμούς ελευθερίας έχουμε ότι, V 1 r r, U Επομένως αν Χ r 1, r θα έχουμε, α/ ( <,r, α/) r 1 ( 1 > 1 ),r, α/ r 1 356

6 Επομένως, Αλλά, 1/ r, Επομένως, δηλαδή ( < ) 1 1,r, α/ 1 1 r ( 1 < 1 ) 1,r α/ r 1, α/ 1/, r, α/ r, r, 1 α/ r 1 1, r, α/ 1 / r,, 1 α/ α/ α/,r, α/, r, 1 α/ 1/, r, 1 α/ r 1 Σημείωη: Τα διατήματα εμπιτούνης για τον λόγο των διακυμάνεων δύο ανεξάρτητων κανονικών πληθυμών δίνονται το τατιτικό πακέτο TATGRAHIC τον ίδιο πίνακα που καταλήγουμε την ανάλυη δύο δειγμάτων (TWO-AMLE ANALI) που είδαμε προηγουμένως. Έτι, για παράδειγμα, αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για τον λόγο των διακυμάνεων των χρόνων που χρειάζονται οι εργαζόμενοι να υναρμολογήουν ένα αντικείμενο μετά από εκπαίδευη με δύο διαφορετικές μεθόδους εκπαίδευης που είδαμε ε προηγούμενο παράδειγμα, παρατηρούμε από τον πίνακα του TATGRAHIC που ακολουθεί ότι, επιλέγοντας το 95% διάτημα εμπιτούνης, το διάτημα αυτό για 357

7 τον λόγο των διακυμάνεων είναι (AMLE 1 AMLE ) (0.746, ) με 8 και 8 βαθμούς ελευθερίας αντίτοιχα. TWO-AMLE ANALI REULT AMLE 1 AMLE OOLED AMLE TATITIC: NUMBER O OB AVERAGE VARIANCE TD. DEVIATION MEDIAN DIERENCE BETWEEN MEAN CON. INTERVAL OR DI. IN MEAN: 95 ERCENT (EQUAL VAR.)AMLE 1-AMLE D.. (UNEQUAL VAR.)AMLE 1-AMLE D.. RATIO O VARIANCE CON. INTERVAL OR RATIO O VARIANCE: 95 ERCENT AMLE 1 AMLE D.. HOTHEI TET OR H0: DI 0 COMUTED t TATITIC V ALT: NE IG. LEVEL AT ALHA.05 O DO NOT REJECT H0. 358