05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

Transcript

1 Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα δείγμα, απαιτούνται τρία τοιχεία της η κεντρική τιμή τάης της, όπως π.χ. ο αριθμητικός μέος ητιμήτηςδιαποράς της, όπως π.χ. η τυπική απόκλιη το είδος της κατανομής της, όπως π.χ. η κανονική κατανομή 1

2 Σε μια έρευνα από τα τοιχεία του δείγματος (τατιτικά : μέος όρος δείγματος τυπική απόκλιη δείγματος s) προπαθούμε να βγάλουμε υμπεράματα (να προδιορίουμε) για τα τοιχεία του πληθυμού (παράμετροι : μέος όρος πληθυμού μ τυπική απόκλιη πληθυμού ) Ερώτημα: Μπορούμε να προδιορίουμε (με ακρίβεια!) τον αριθμητικό μέο ενός πληθυμού (μ) από τον αντίτοιχο αριθμητικό μέο του δείγματος ΟΧΙ!!! 4

3 Διαφορετικά δείγματα οδηγούν ε διαφορετικές εκτιμήεις των παραμέτρων του πληθυμού Υπάρχει δηλαδή πάντα μια απόκλιη, ένα φάλμα. 5 Ερώτημα: Πόο είναι το φάλμα δειγματοληψίας; Δηλαδή, πόο κοντά βρίκεται ο μέος όρος του δείγματος το μέο όρο του πληθυμού (μ); μ ; 6

4 Αν από έναν πληθυμό πάρουμε πολλά δείγματα ίδιου μεγέθους Ν και υπολογίουμε ένα «τατιτικό», π.χ. τον αριθμητικό μέο του κάθε δείγματος, που καλείται δειγματικός μέος, προκύπτει η κατανομή των τατιτικών των δειγμάτων, δηλαδή η κατανομή των μέων όρων των δειγμάτων, η οποία καλείται δειγματική κατανομή. 7 Πληθυμός Δ1 Δ Δ πολλά δείγματα ίδιου μεγέθους Ν Δ4 Δ5 Δ6 Δ7 Δ8 Δ 8 4

5 Πληθυμός αριθμητικός μέος του κάθε δείγματος (δειγματικός μέος) κατανομή των μέων όρων των δειγμάτων (δειγματική κατανομή) 7 8 Παράδειγμα: Έτω ότι ένας πληθυμός αποτελείται από τους αριθμούς, και 4. α/α μ ( μ) = 1 Αριθμητικός μέος πληθυμού: Διακύμανη πληθυμού: μ 1 1 ( μ) 10 5

6 Παράδειγμα: Έτω ότι ένας πληθυμός αποτελείται από τους αριθμούς, και 4. α/α μ ( μ) = 1 1 ( μ) Αριθμητικός μέος πληθυμού: Διακύμανη πληθυμού: μ 1 1 ( μ) 11 Παράδειγμα: Έτω ότι ένας πληθυμός αποτελείται από τους αριθμούς, και 4. α/α μ ( μ) = 1 1 ( μ) Αριθμητικός μέος πληθυμού: Διακύμανη πληθυμού: μ 1 1 ( μ) 1 6

7 Παράδειγμα: Έτω ότι ένας πληθυμός αποτελείται από τους αριθμούς, και 4. α/α μ ( μ) = 1 1 ( μ) Αριθμητικός μέος πληθυμού: Διακύμανη πληθυμού: μ 1 ( μ) Παράδειγμα: Έτω ότι ένας πληθυμός αποτελείται από τους αριθμούς, και 4. α/α μ ( μ) = ( μ) 1 Τυπική απόκλιη πληθυμού: 1 Αριθμητικός μέος πληθυμού: μ ( μ) ( μ) 1 Διακύμανη πληθυμού:

8 Δείγμα (,) Χ (,) (,4) (,4) (,) (,) ) (4,) (4,) (4,4) Χ 7 s 6.0 s 1 s 1 Χ 1 7 μέη τιμή των δειγματικών μέων: 1 s Δείγμα (,) Χ (,) (,4) (,4) (,) (,) ) (4,) (4,) (4,4) Χ 7 s 6.0 s 1 s 1 Χ 1 7 μέη τιμή των δειγματικών μέων: 1 s 5.66 s μέη τιμή των διακυμάνεων των δειγμάτων: 1 6 s

9 Δείγμα (,) Χ (,) (,4) (,4) (,) (,) ) (4,) (4,) (4,4) Χ 7 s 6.0 s 1 s 1 Χ 1 7 μέη τιμή των δειγματικών μέων: 1 s 5.66 s μέη τιμή των διακυμάνεων των δειγμάτων: 1 6 s 0.66 s μέη τιμή των τυπικών αποκλίεων των δειγμάτων: s Αριθμητικός μέος πληθυμού: 1 μ μέη τιμή των δειγματικών μέων: 1 Χ 7 ο δειγματικός μέος είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής του μέου όρου του πληθυμού ένας υγκεκριμένος δειγματικός μέος ΔΕΝ υμπίπτει υποχρεωτικά με τον αριθμητικό μέο του πληθυμού Όμως αν επαναλάβουμε τη δειγματοληψία πολλές φορές (με τις ίδιες υνθήκες) η αναμενόμενη τιμή του μέου όρου των δειγματικών μέων θα υμπίπτει με τον αριθμητικό μέο του πληθυμού 18

10 Διακύμανη πληθυμού: μέη τιμή των διακυμάνεων των δειγμάτων: ( μ) s 1 s η δειγματική διακύμανη είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής της διακύμανης του πληθυμού αν επαναλάβουμε τη δειγματοληψία πολλές φορές (με τις ίδιες υνθήκες) η αναμενόμενη τιμή του μέου όρου των διακυμάνεων των δειγμάτων θα υμπίπτει με τη διακύμανη του πληθυμού 1 Τυπική απόκλιη πληθυμού: 1 ( μ) μέη τιμή των τυπικών αποκλίεων των δειγμάτων: s s Η δειγματική τυπική απόκλιη είναι ένας μερόληπτος εκτιμητής της τυπικής απόκλιης του πληθυμού 0 10

11 Δειγματική κατανομή του δειγματικού μέου Σ ότι αφορά τη δυνατότητα εκτίμηης του αριθμητικού μέου ενός πληθυμού από τον αριθμητικό μέο ενός δείγματος, που προέρχεται από τον υγκεκριμένο πληθυμό, υπάρχει την θεωρία της Στατιτικής ένα πολύ ημαντικό θεώρημα, το «Κεντρικό Οριακό Θεώρημα». 1 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Αν ένας πληθυμός ακολουθεί την κανονική κατανομή, τότε οι δειγματικοί αριθμητικοί μέοι τυχαίων δειγμάτων, ίου μεγέθους, ακολουθούν και αυτοί την κανονική κατανομή γύρω από τον αριθμητικό μέο του πληθυμού, ανεξάρτητα από το μέγεθος των δειγμάτων. 11

12 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Αν ένας πληθυμός ΔΕΝ ακολουθεί την κανονική κατανομή, αλλά το μέγεθος των δειγμάτων είναι μεγάλο (Ν>0), τότε οι δειγματικοί αριθμητικοί μέοι τυχαίων δειγμάτων, ίου μεγέθους, ακολουθούν και αυτοί την κανονική κατανομή γύρω από τον αριθμητικό μέο του πληθυμού. Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Ο αριθμητικός μέος των δειγματικών μέων, δηλαδή ο αριθμητικός μέος των μέων όρων των επιμέρους δειγμάτων, θα είναι ίος με τον αριθμητικόμέοτουπληθυμού. 4 1

13 Σύμφωνα με το Κ.Ο.Θ. αν επιλέξουμε ένα δείγμα (μεγέθους Ν) από κάποιον πληθυμό, ο αριθμητικός μέος του δείγματος (δειγματικός μέος) θα είναι μια ματιμή από τη δειγματική (θεωρητική) κατανομή α (δηλ. την κατανομή των μέων όρων των τυχαία επιλεγμένων δειγμάτων) 5 είναι απίθανο η (υγκεκριμένη) μέη τιμή του δείγματος να υμπίπτει με τη μέη τιμή του πληθυμού Πάντα θα υπάρχει κάποια "απόκλιη" (φάλμα δειγματοληψίας) 6 1

14 φάλμα δειγματοληψίας = τυπικό φάλμα του μέου όρου= "πόο απέχει ο μέος όρος του δείγματος από τον πραγματικό μέο όρο του πληθυμού" μ ; εκφράζεται από την τυπική απόκλιη της κατανομής των δειγματικών μέων Χ Ν Χ = τυπική απόκλιη δειγματικού μέου = τυπική απόκλιη πληθυμού = μέγεθος δείγματος 7 Χ 1. αν η διαπορά των τιμών του πληθυμού είναι μεγάλη, αν δηλαδή είναι μεγάλη η τυπική απόκλιη του πληθυμού, τότε αναμένονται μεγάλες αποκλίεις των δειγματικών μέων από την μέη τιμή του πληθυμού.. όο πιο μεγάλο είναι το μέγεθος του δείγματος (Ν), τόο πιο μικρή θα είναι και η διαπορά των δειγματικών μέων, δηλαδή τόο πιο κοντά την μέη τιμή του πληθυμού θα βρίκονται οι δειγματικοί αριθμητικοί μέοι. 8 14

15 Εφαρμογές Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) Σύμφωνα με το «Κεντρικό Οριακό Θεώρημα» όταν ένας πληθυμός ακολουθεί την κανονική κατανομή, οι δειγματικοί μέοι όροι ακολουθούν επίης την κανονική κατανομή. Κάθε κανονική κατανομή μπορεί να μεταχηματιτεί ε τυπική κανονική κατανομή z μ Η δειγματική κατανομή, που είναι μια κανονική κατανομή, μπορεί να μεταχηματιτεί ε z τυπική κατανομή, μεταχηματίζοντας τις τιμές Χ ε z τιμές. όπου: z μ z μ Χ μ = η μέη τιμή του δείγματος = η μέη τιμή του πληθυμού = η τυπική απόκλιη του δειγματικού μέου (τυπικό φάλμα) = η τυπική απόκλιη του πληθυμού Ν = το μέγεθος του δείγματος. 0 15

16 Σύμφωνα λοιπόν με το «κεντρικό οριακό θεώρημα» και τη δυνατότητα μεταχηματιμού της δειγματικής κατανομής ε z τυπική κατανομή, μπορεί να υπολογιτεί πόη είναι η πιθανότητα η μέη τιμή ενός δείγματος να βρίκεται μεταξύ υγκεκριμένων ορίων, βάει της μέης τιμής του πληθυμού και της τυπικής απόκλιης του πληθυμού. 1 Παράδειγμα: Ένας προπονητής γνωρίζει ότι ο χρόνος αντίδραης ολόκληρου του πληθυμού ακολουθεί την κανονική κατανομή η μέη τιμή ολόκληρου του πληθυμού είναι μ= 100 msec και η τυπική απόκλιη του πληθυμού είναι = 0 msec. Ο υγκεκριμένος προπονητής προπονεί μια ομάδα η οποία αποτελεί ένα δείγμα 16 (= Ν) ατόμων, τι πιθανότητα υπάρχει η μέη τιμή του χρόνου αντίδραης του υγκεκριμένου δείγματος να είναι μεταξύ 0 και 110 msec (0 < <110) 16

17 Εφόον ο πληθυμός ακολουθεί την κανονική κατανομή, τότε και η δειγματική κατανομή θα ακολουθεί επίης την κανονική κατανομή. Συνεπώς, η δειγματική κατανομή μπορεί να μετατραπεί ε z τυπική κατανομή μ z μ= 100 msec = 0 msec Ν = 16 άτομα μεταξύ 0 και 110 msec μ = 0: z z z z

18 μ= 100 msec = 0 msec Ν = 16 άτομα μεταξύ 0 και 110 msec μ = 0: z z z z μ = 110: z110 z110 z110 z μ= 100 msec = 0 msec Ν = 16 άτομα μεταξύ 0 και 110 msec μ = 0: z z z z μ = 110: z110 z110 z110 z

19 μ= 100 msec = 0 msec Ν = 16 άτομα μεταξύ 0 και 110 msec μ = 0: z z z z μ = 110: z110 z110 z110 z z 0 = - z 110 = 47.7% Άρα η πιθανότητα το δείγμα να έχει μέη αντίδραη μεταξύ 0 και 110 msec είναι = 5.44% 8 1

20 Στη z τυπική κατανομή o μέος όρος είναι μ= 0 η τυπική απόκλιη είναι =1 οι τιμές τον άξονα των x (z τιμές) ) εκφράζονται ε μονάδες τυπικής απόκλιης (). Διατήματα εμπιτούνης Στη δειγματική κατανομή η τυπική απόκλιη εκφράζεται από το τυπικό φάλμα Χ Συνεπώς, αν γνωρίζουμε την τυπική απόκλιη της δειγματικής κατανομής, Χ μπορούμε να προβλέψουμε «πόο μακριά από τη μέη τιμή του πληθυμού βρίκεται η μέη τιμή του δείγματος» μ ; 40 0

21 1 z μ z μ μ z x x 41 z μ z μ μ z x x 4

22 z μ μ z x x μ z Άρα, η μέη τιμή του δείγματος απέχει από τη μέη τιμή του πληθυμού με πιθανότητα α %. z 4 Παράδειγμα: Ένας προπονητής καταγράφει τις βολές ενός ρίπτη ακοντίου όλη τη διάρκεια του έτους κάτω από υνθήκες αγώνων και γνωρίζει ότι το ύνολο των επιδόεων του αθλητή του, δηλαδή ολόκληρος ο πληθυμός των βολών του, ακολουθούν την κανονική κατανομή, με μέη τιμή μ= 50 m και τυπική απόκλιη = 6 m. Ο προπονητής ενδιαφέρεται να μάθει μεταξύ ποιών τιμών (ορίων) θα βρίκεται η μέη τιμή των βολών του ρίπτη, με πιθανότητα 5%, ε έναν αγώνα όπου ο αθλητής του θα εκτελέει 6 (= Ν) βολές. 44

23 Έχουμε πληθυμός βολών που ακολουθεί την κανονική κατανομή μ= 50 m = 6 m πιθανότητα 5% Ψάχνουμε πληροφορίες για το δείγμα (Ν= 6 βολές) 45 Εφόον ο πληθυμός των βολών ακολουθεί την κανονική κατανομή, τότε ύμφωναμετοκεντρικόοριακόθεώρημα και η δειγματική κατανομή θα ακολουθεί επίης την κανονική κατανομή. Συνεπώς η δειγματική κατανομή μπορεί να μετατραπεί ε z τυπική κατανομή. 46

24 5% 0.5/ = Άρα το 5% του πληθυμού βρίκεται μεταξύ των τιμών -1.6 και Η τυπική απόκλιη του δειγματικού μέου Χ με τυπική απόκλιη του πληθυμού = 6 m και μέγεθος δείγματος Ν = 6 βολές, θα είναι Χ

25 Άρα, η μέη τιμή των επιδόεων του αθλητή ε έναν αγώνα όπου θα εκτελέει 6 βολές (μέγεθος δείγματος Ν= 6), υπάρχει πιθανότητα 5 % να κυμαίνεται μεταξύ Εφόον μ z η μέη τιμή του πληθυμού είναι μ= 50 m η z τιμή που αντιτοιχεί την πιθανότητα 5% είναι z = 1.6 και η τυπική απόκλιη του δειγματικού μέου είναι Χ.45 μ z Άρα η μέη τιμή του δείγματος των βολών ε έναν αγώνα όπου εκτελούνται Ν= 6βολές, υπάρχει πιθανότητα 5% να κυμαίνεται από m έως m:

26 51 6