Γεώργιος Παπαγιαννόπουλος 1, ηµήτριος Μπέσκος 2

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισµολογίας 5 7 Νοεµβρίου, 2008 Ιδιοµορφικοί συντελεστές συµπεριφοράς για τον αντισεισµικό σχεδιασµό µεταλλικών κατασκευών Modal strength reduction factors for the seismic design of steel structures Γεώργιος Παπαγιαννόπουλος 1, ηµήτριος Μπέσκος 2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιείται η µέθοδος προσδιορισµού των ιδιοµορφικών αποσβέσεων, που έχει αναπτυχθεί από τους συγγραφείς, για τον υπολογισµό ιδιοµορφικών συντελεστών συµπεριφοράς. Αρχικά κατασκευάζονται καµπύλες που παρέχουν τους εξαρτώµενους από την παραµόρφωση ιδιοµορφικούς συντελεστές απόσβεσης ως συνάρτηση της ιδιοπεριόδου για τις πρώτες σηµαντικές ιδιοµορφές της κατασκευής. Οι ιδιοµορφικοί συντελεστές συµπεριφοράς προκύπτουν διαιρώντας την ελαστική ιδιοµορφική τέµνουσα βάσης µε την ιδιοµορφική τέµνουσα βάσης στη διαρροή, η οποία βρίσκεται µε τη µέθοδο επαλληλίας ιδιοµορφών και χρήση των ανωτέρω ιδιοµορφικών τιµών απόσβεσης. Με τον τρόπο αυτό κατασκευάζονται καµπύλες που παρέχουν ιδιοµορφικούς συντελεστές συµπεριφοράς εξαρτώµενους από την παραµόρφωση συναρτήσει της ιδιοπεριόδου για τις πρώτες σηµαντικές ιδιοµορφές της κατασκευής. Οι καµπύλες αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν µε ένα φάσµα σχεδιασµού για τον αντισεισµικό σχεδιασµό της κατασκευής. Η προτεινόµενη µέθοδος εφαρµόζεται στο σχεδιασµό µιας µεταλλικής κατασκευής. Συµπεραίνεται ότι, αντίθετα µε την συνήθη µέθοδο χρήσης µιας χονδροειδούς τιµής του συντελεστή συµπεριφοράς για όλες τις ιδιοµορφές, η παρούσα µέθοδος µε την χρήση ιδιοµορφικών συντελεστών συµπεριφοράς οδηγεί κατά ορθολογικό τρόπο σε ακριβέστερα αποτελέσµατα. ABSTRACT : The idea of equivalent modal damping, recently developed by the authors is employed here in order to define and compute modal strength reduction or behavior factors. Design curves providing deformation dependent equivalent damping ratios as functions of period for the first few significant modes are constructed. Modal strength reduction factors are then obtained by dividing the modal elastic base shear to the modal yield base shear found by considering deformation dependent equivalent modal damping. Thus, design curves providing deformation dependent modal force reduction factors as a function of period can be easily constructed. These curves can be used in conjunction with a design spectrum for the seismic design of the structure. The proposed procedure is illustrated by performing the seismic design of a steel moment resisting framed structure. It is concluded that unlie the usual code based approach of a single strength reduction factor for all modes, the proposed approach employing modal strength reduction factors leads to more accurate results in a more rational way. 1 Υποψήφιος ιδάκτωρ, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Πατρών, email: gpapagia@upatras.gr 2 Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Πατρών, email: d.e.besos@upatras.gr

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η δυναµική ανελαστική ανάλυση µιας κατασκευής µέσω της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων σε συνδυασµό µε βηµατική χρονική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησής της είναι η ακριβέστερη µέθοδος υπολογισµού της σεισµικής απόκρισής της. Όµως ο σεισµικός σχεδιασµός της µε αυτήν την µέθοδο δεν είναι πρακτικός γιατί απαιτεί ακριβή προσοµοίωση της κατασκευής και χρήση πολλών σεισµικών κινήσεων. Για να αποφευχθεί η ανάγκη εκτέλεσης πολλών δυναµικών ανελαστικών αναλύσεων, ο σεισµικός σχεδιασµός µιας κατασκευής γίνεται µέσω έµµεσων µεθόδων (Papagiannopoulos and Besos, 2007) που ποικίλουν ως προς την απλότητα και ακρίβεια τους. Οι περισσότερες από αυτές τις µεθόδους χρησιµοποιούν το ελαστικό φάσµα απόκρισης. Κατά τους Papagiannopoulos and Besos (2007), η εύρεση της σεισµικής απόκρισης µιας ανελαστικής πολυβάθµιας κατασκευής µπορεί να προσεγγιστεί µέσω µιας ισοδύναµης ελαστικής πολυβάθµιας. Η ισοδύναµη αυτή κατασκευή διατηρεί τη µάζα και τη δυσκαµψία της ανελαστικής κατασκευής και ενσωµατώνει κάθε είδους µη-γραµµικότητες (υλικού ή/και γεωµετρίας) υπό την µορφή ιδιοµορφικών λόγων απόσβεσης που βρίσκονται µέσω µιας επαναληπτικής διαδικασίας κατασκευής µιας συνάρτησης µεταφοράς, η οποία πρέπει να ικανοποιεί συγκεκριµένα κριτήρια µονοτονίας. Οι ιδιοµορφικές αποσβέσεις, οι οποίες µπορούν να υπολογιστούν συναρτήσει της παραµόρφωσης, καλούνται να παίξουν τον ρόλο του συντελεστή συµπεριφοράς των διαφόρων αντισεισµικών κανονισµών. Χρησιµοποιώντας τον ορισµό του συντελεστή συµπεριφοράς για κάθε ιδιοµορφή, επιτυγχάνεται η αναγωγή των ισοδυνάµων ιδιοµορφικών λόγων απόσβεσης σε ιδιοµορφικούς συντελεστές συµπεριφοράς. Μετά από εκτέλεση εκτεταµένων παραµετρικών αναλύσεων που αναφέρονται σε επίπεδα µεταλλικά πλαίσια υπό την επίδραση διαφόρων σεισµικών κινήσεων, κατασκευάζονται καµπύλες που παρέχουν τους εξαρτώµενους από την παραµόρφωση ιδιοµορφικούς συντελεστές απόσβεσης συναρτήσει της ιδιοπεριόδου για τις πρώτες σηµαντικές ιδιοµορφές της κατασκευής καθώς και καµπύλες που παρέχουν τους αντίστοιχους ιδιοµορφικούς συντελεστές συµπεριφοράς. Οι καµπύλες αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τον αντισεισµικό σχεδιασµό της κατασκευής κάνοντας χρήση φασµατικής ανάλυσης και επαλληλίας ιδιοµορφών. Η προτεινόµενη µέθοδος εφαρµόζεται στο σχεδιασµό µιας µεταλλικής κατασκευής. Συµπεραίνεται ότι αντίθετα µε την συνήθη µέθοδο χρήσης µιας χονδροειδούς τιµής του συντελεστή συµπεριφοράς για όλες τις ιδιοµορφές, η παρούσα µέθοδος µε την χρήση ιδιοµορφικών συντελεστών συµπεριφοράς οδηγεί κατά ορθολογικό τρόπο σε ακριβέστερα αποτελέσµατα. Ορισµός και υπολογισµός ΙΣΟ ΥΝΑΜΗ Ι ΙΟΜΟΡΦΙΚΗ ΑΠΟΣΒΕΣΗ Όπως έχει δειχθεί από τους Papagiannopoulos and Besos (2007), αν η απόσβεση είναι κλασικού τύπου, τότε η συνάρτηση µεταφοράς οροφής προς βάση R ( ω) µιας ελαστικής κατασκευής υποκείµενης σε οριζόντια σεισµική διέγερση µπορεί να γραφτεί στο πεδίο των συχνοτήτων ως 2

ɺɺ r 2 w ( ω) ω Γ R( ω) = = 1+ φ ɺɺ g r 2 2 u ( ω) ( ω ω ) + i(2 ξ ω ω) (1) όπου ɺɺ g u ( ω) ο µετασχηµατισµός Fourier της σεισµικής κίνησης, ɺɺ r w ( ω) ο µετασχηµατισµός Fourier της απόλυτης επιτάχυνσης οροφής της κατασκευής, φ r η συνιστώσα του - στού ιδιοδιανύσµατος που αντιστοιχεί στην οροφή και Γ, ω, ξ οι συντελεστής συµµετοχής, συχνότητα και απόσβεση, αντίστοιχα, για κάθε ιδιοµορφή. Το µέτρο R ( ω) γράφεται ως 2 R( ω ) = 1+ 2 Re( z ) + z z (2) όπου 2 2 2 ( ) 2 ( ω ω ) φ Γ ω ω ω ξ ω ω 2 i z = 2 2 2 + (2 ξ ω ω) (3) και z ο συζυγής µιγαδικός του z. Αν οι ποσότητες Γ, φ r, R ( ω) θεωρηθούν γνωστές για κάθε ιδιοµορφή, τότε η Εξίσωση 2 αποτελεί ένα σύστηµα µη-γραµµικών αλγεβρικών εξισώσεων η λύση του οποίου δίνει τις ιδιοµορφικές αποσβέσεις ξ όλων των ιδιοµορφών που εµφανίζονται στην συνάρτηση µεταφοράς. Η καµπύλη της συνάρτησης µεταφοράς µιας ελαστικής κατασκευής είναι οµαλή µε ορατές κορυφές. Η αντίστοιχη καµπύλη µιας ανελαστικής κατασκευής είναι ανώµαλή λόγω των διαφόρων µη-γραµµικοτήτων. Με την χρήση κατάλληλων λόγων ιξώδους απόσβεσης στην ελαστική περιοχή είναι δυνατό το έργο της απόσβεσης να εξισορροπήσει πλήρως το έργο των µη-γραµµικοτήτων και να προκύψει µια οµαλή καµπύλη συνάρτησης µεταφοράς. Από την προκύπτουσα καµπύλη συνάρτησης µεταφοράς που αντιστοιχεί τώρα σε ελαστική κατασκευή, µπορεί κανείς να προσδιορίσει τους ισοδύναµους ιδιοµορφικούς λόγους απόσβεσης µε τη βοήθεια της Εξίσωσης 2. Η εύρεση των ιδιοµορφικών λόγων απόσβεσης σχετίζεται µε την οµαλότητα της συνάρτησης µεταφοράς η οποία κατασκευάζεται επαναληπτικά για διάφορες αποσβέσεις µέχρις ότου να ικανοποιήσει συγκεκριµένα κριτήρια που σχετίζονται µε την µονοτονία της. Είναι δυνατό τα κριτήρια αυτά να ικανοποιούνται σε διαφορετικά βήµατα της επαναληπτικής διαδικασίας, οπότε η επίλυση της Εξίσωσης 2 γίνεται µε χρήση στοιχείων διαφόρων κύκλων της διαδικασίας. Περισσότερα αναφέρονται στην εργασία των Papagiannopoulos and Besos (2007). Καµπύλες ιδιοµοφικών λόγων απόσβεσης Οι ισοδύναµες ιδιοµορφικές αποσβέσεις που βρίσκονται µέσω της προαναφερθείσας διαδικασίας λαµβάνουν υπόψη τους όλων των ειδών τις µη-γραµµικότητες. Συνεπώς όλες οι δυνάµεις και παραµορφώσεις της κατασκευής αντιστοιχούν σε τιµές ακριβώς πριν τη διαρροή της. Παίζουν δηλαδή το ρόλο του συντελεστή συµπεριφοράς στο σεισµικό σχεδιασµό αφού ποσοτικοποιούν επακριβώς τις µη-γραµµικές σεισµικές απαιτήσεις της κατασκευής. Σε αντίθεση µε τον χονδροειδή και προσεγγιστικό υπολογισµό του συντελεστή 3

συµπεριφοράς, οι ιδιοµορφικές αποσβέσεις υπολογίζονται ακριβέστερα και δίνονται για κάθε σηµαντική ιδιοµορφή που συµµετέχει στην απόκριση της κατασκευής. Συνεπώς µε χρήση φασµατικής ανάλυσης και επαλληλίας ιδιοµορφών επιτυγχάνεται η εύρεση της τέµνουσας βάσης σχεδιασµού της κατασκευής. Για να καλυφθούν οι απαιτήσεις παραµορφώσεων της κατασκευής, οι ιδιοµορφικοί λόγοι απόσβεσης δίνονται ως συνάρτηση της σχετικής µετακίνησης ορόφου η οποία, δεν πρέπει να ξεπερνά µια συγκεκριµένη τιµή. Οι ιδιοµορφικοί λόγοι απόσβεσης βρίσκονται για ένα µεγάλο αριθµό επίπεδων µεταλλικών πλαισίων µε άκαµπτες συνδέσεις των οποίων η ιδιοπερίοδος µεταβάλλεται από 0.5 έως 2.5sec (Papagiannopoulos and Besos, 2008). Τα πλαίσια υπόκεινται σε σεισµική διέγερση µε επιταχυνσιογραφήµατα καταγεγραµµένα κοντά στο ρήγµα και αντίστοιχα καταγεγραµµένα µακριά από αυτό τα οποία χαρακτηρίζονται από µεγάλη χρονική διάρκεια. Η σχετική µετακίνηση ορόφου θεωρήθηκε να µην ξεπερνάει τις τιµές 0.6, 1.5, 2.5, 4.0% του ύψους του ορόφου. Τα Σχήµατα 1-3 παρουσιάζουν την µεταβολή των τιµών σχεδιασµού της ισοδύναµης απόσβεσης µε την ιδιοπερίοδο για τις 4 διαφορετικές τιµές σχετικής µετακίνησης ορόφου που προαναφέρθηκαν και για τις 3 πρώτες ιδιοµορφές. Η 2 η και 3 η ιδιοµορφή δεν εµφανίζονται στις περιπτώσεις 4.0% και 2.5% και 4.0% της σχετικής µετακίνησης και θεωρούνται ότι έχουν υπερκρίσιµη απόσβεση. Εντούτοις πρέπει να λαµβάνονται υπόψη στο σχεδιασµό όταν γίνεται χρήση των Σχηµάτων 1-3. Να σηµειωθεί ότι από τις παραµετρικές αναλύσεις που εκτελέστηκαν, ιδιοµορφικές αποσβέσεις για σχετική µετακίνηση ορόφου µεγαλύτερη του 2.0% πρέπει να ελέγχονται, καθώς παρατηρήθηκε συγκέντρωση βλάβης και αστάθεια κρισίµων µελών. Σχήµα 1. Καµπύλη σχεδιασµού 1 ης ιδιοµορφής. Για το σχεδιασµό µιας κατασκευής µε βάση τις παραπάνω καµπύλες εκτελείται αρχικά κλασική ιδιοµορφική ανάλυση για την εύρεση των ιδιοπεριόδων της. Ακολούθως για τις πρώτες σηµαντικές ιδιοµορφές παρέχονται οι ισοδύναµες αποσβέσεις µέσω των 4

γραφηµάτων 1-3 για το επιθυµητό επίπεδο σχετικής µετακίνησης ορόφου. Χρησιµοποιείται επίσης ένα φάσµα σχεδιασµού το οποίο τροποποιείται για µεγάλες αποσβέσεις, όπως, π.χ., στο Σχήµα 4. Το φάσµα αυτό έχει προέλθει από τα επιµέρους φάσµατα των σεισµικών κινήσεων που χρησιµοποιήθηκαν στις παραµετρικές αναλύσεις για την εξαγωγή ισοδυνάµων αποσβέσεων των Σχηµάτων 1-3. Με ιδιοµορφική σύνθεση στην οποία περιλαµβάνονται όσες ιδιοµορφές χρειάζεται για να συµπληρωθεί 95% συµµετοχή ιδιοµορφικής µάζας βρίσκεται η τέµνουσα βάσης σχεδιασµού της κατασκευής. Υπενθυµίζεται ότι θεωρείται απόσβεση 100% για τις ιδιοµορφές εκείνες για τις οποίες δεν ορίζεται ισοδύναµη απόσβεση για κάποιο επίπεδο σχετικής µετακίνησης από τα Σχήµατα 1-3. Σχήµα 2. Καµπύλη σχεδιασµού 2 ης ιδιοµορφής. Σχήµα 3. Καµπύλη σχεδιασµού 3 ης ιδιοµορφής. 5

Σχήµα 4. Φάσµα σχεδιασµού. Ορισµός και υπολογισµός Ι ΙΟΜΟΡΦΙΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Με την χρήση του συντελεστή συµπεριφοράς q σε ένα ελαστικό φάσµα σχεδιασµού επιδιώκεται η ποσοτικοποίηση µε µια αντιπροσωπευτική τιµή του καταναλισκόµενου έργου των στοιχείων µιας κατασκευής όπως και της υπεραντοχής αυτής. Εντούτοις, η παρεχόµενη από τους σεισµικούς κανονισµούς τιµή του συντελεστή συµπεριφοράς είναι χονδροειδής και δεν λαµβάνει υπ όψιν της τα δυναµικά χαρακτηριστικά της κατασκευής και των σεισµικών διεγέρσεων. Επίσης φαίνεται ότι θα ήταν λογικότερο να δινόταν συντελεστής συµπεριφοράς για κάθε ιδιοµορφή της κατασκευής. εδοµένου ότι οι ισοδύναµες ιδιοµορφικές αποσβέσεις ξ eq οδηγούν στην τέµνουσα βάσης διαρροής, µπορεί να οριστεί ο ιδιοµορφικός συντελεστής συµπεριφοράς q ως ο λόγος της el ελαστικής ιδιοµορφικής τέµνουσας βάσης σχεδιασµού της κατασκευής V προς την αντίστοιχη ιδιοµορφική τέµνουσα βάσης διαρροής. Πιο συγκεκριµένα y V q el * el el el V M A A ( T, ξ ) = = = * V M A A ( T, ξ ) y y y eq (4) * el el όπου M η ενεργός ιδιοµορφική µάζα της ιδιοµορφής και A ( T, ξ ), A y y ( T, ξ ) είναι οι αντίστοιχες φασµατικές τεταγµένες επιτάχυνσης υπολογισµένες για ιδιοπερίοδο T και απόσβεση ξ el eq και ξ αντίστοιχα. Οι δυνάµεις απόσβεσης που αντιστοιχούν σε λόγους ισοδυνάµων ιδιοµορφικών αποσβέσεων ξ eq δεν είναι µικρές όπως στην περίπτωση της κλασικής φασµατικής ανάλυσης γιατί προέρχονται από το ανελαστικό έργο που παράγεται στην κατασκευή. Συνεπώς, οι σχέσεις µεταξύ των φασµατικών αποκρίσεων δεν ισχύουν και για τον υπολογισµό της ιδιοµορφικής τέµνουσας βάσης διαρροής χρειάζεται η αδρανειακή δύναµη που υπολογίζεται από τη απόλυτη επιτάχυνση και όχι την ψευδοεπιτάχυνση. Η 6

ελαστική τέµνουσα βάσης διαρροής υπολογίζεται για µια µικρή απόσβεση ξ el, π.χ. 2%, που είναι µια αντιπροσωπευτική τιµή για µεταλλικές κατασκευές. Καµπύλες ιδιοµορφικών συντελεστών συµπεριφοράς Χρησιµοποιώντας τις ισοδύναµες αποσβέσεις που βρέθηκαν από τις προαναφερθείσες παραµετρικές αναλύσεις, κατασκευάζονται οι καµπύλες των Σχηµάτων 5-7 οι οποίες φανερώνουν την µεταβολή του ιδιοµορφικού συντελεστή συµπεριφοράς για τις τρεις πρώτες ιδιοµορφές µε την ιδιοπερίοδο για διάφορες τιµές σχετικής µετακίνησης ορόφου. Για τον σχεδιασµό της κατασκευής εκτελείται µια κλασική ιδιοµορφική ανάλυση για την εύρεση των ιδιοπεριόδων και ακολούθως προσδιορίζονται οι ιδιοµορφικοί συντελεστές συµπεριφοράς µέσω των Σχηµάτων 5-7 για το επιθυµητό επίπεδο σχετικής µετακίνησης ορόφου. Έτσι η απόκριση (τέµνουσα βάσης) της κατασκευής υπολογίζεται µε χρήση ενός φάσµατος σχεδιασµού µε 2% απόσβεση το οποίο έχει προέλθει από τα επιµέρους φάσµατα των σεισµικών κινήσεων που χρησιµοποιήθηκαν στις παραµετρικές αναλύσεις για την εξαγωγή των Σχηµάτων 1-3 και 5-7. Στην ιδιοµορφική σύνθεση περιλαµβάνονται όσες ιδιοµορφές χρειάζεται για να συµπληρωθεί 95% συµµετοχή ιδιοµορφικής µάζας. Υπενθυµίζεται ότι θεωρείται απόσβεση 100% για τον υπολογισµό του συντελεστή συµπεριφοράς για τις ιδιοµορφές εκείνες για τις οποίες δεν ορίζεται ισοδύναµη απόσβεση για κάποιο επίπεδο σχετικής µετακίνησης από τα Σχήµατα 1-3. Να σηµειωθεί ότι από τις παραµετρικές αναλύσεις που εκτελέστηκαν, ιδιοµορφικοί συντελεστές συµπεριφοράς για σχετική µετακίνηση ορόφου µεγαλύτερη του 2.0% πρέπει να ελέγχονται, καθώς παρατηρήθηκε συγκέντρωση βλάβης και αστάθεια κρισίµων µελών. Από τα Σχήµατα 5-7 συµπεραίνεται ότι, σε αντίθεση µε τον ισχύοντα τρόπο αντισεισµικού σχεδιασµού, η τιµή του συντελεστή συµπεριφοράς δεν είναι ίδια για όλες τις ιδιοµορφές. Επιπλέον είναι εµφανώς µικρότερη από τις τιµές των διαφόρων αντισεισµικών κανονισµών γιατί δίνεται σαν συνάρτηση της παραµόρφωσης (σχετική µετακίνηση ορόφου) και έχει υπολογιστεί για τις ισχυρότερες διαθέσιµες καταγεγραµµένες σεισµικές κινήσεις (κοντά στο ρήγµα, µεγάλης χρονικής διάρκειας). Οι απαιτήσεις σε όρους αντοχής της κατασκευής για τους σεισµούς αυτούς είναι εντελώς διαφορετικές από αυτές που βρίσκονται για συµβατικούς σεισµούς µακριά από το ρήγµα. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ένα επίπεδο µεταλλικό πλαίσιο 9 ορόφων και 3 ανοιγµάτων µε άκαµπτες συνδέσεις σχεδιάζεται µε χρήση των Σχηµάτων 5-7. Κάθε όροφος έχει 3.00m ύψος και κάθε άνοιγµα 4.00m πλάτος. Όλοι οι δοκοί έχουν διατοµή ΙΡΕ 400 ενώ οι διατοµές των στύλων αλλάζουν ανά τρεις ορόφους και είναι ΗΕΒ 400, ΗΕΒ 360 και ΗΕΒ 340 από κάτω προς τα πάνω. Το φορτίο στις δοκούς είναι 30N/m και η σχετική µετακίνηση ορόφου δεν επιτρέπεται να ξεπεράσει το 1.5% του ύψους του ορόφου. Η κατασκευή σχεδιάζεται µε ισχυρούς στύλους και ασθενείς δοκούς για το σεισµικό φάσµα µε 2% απόσβεση του Σχήµατος 8. 7

Σχήµα 5. Συντελεστής συµπεριφοράς 1 ης ιδιοµορφής. Σχήµα 6. Συντελεστής συµπεριφοράς 2 ης ιδιοµορφής. Σχήµα 7. Συντελεστής συµπεριφοράς 3 ης ιδιοµορφής. 8

Με ιδιοµορφική ανάλυση βρίσκονται οι ιδιοπερίοδοι της κατασκευής. Για συµµετοχή 95% της ιδιοµορφικής µάζας χρειάζονται να ληφθούν υπ όψη 3 ιδιοµορφές. Ο Πίνακας 1 δίνει τις τιµές του συντελεστή συµπεριφοράς και την επιτάχυνση σχεδιασµού των 3 πρώτων ιδιοµορφών. Χρησιµοποιώντας επαλληλία ιδιοµορφών η τέµνουσα βάσης σχεδιασµού βρίσκεται ίση µε 896N. Οι σεισµικές κινήσεις που χρησιµοποιήθηκαν στην εξαγωγή των Σχηµάτων 5-7 χρησιµοποιούνται για λόγους επαλήθευσης στην εύρεση της µέγιστης τέµνουσας βάσης και της µέγιστης σχετικής µετακίνησης ορόφου σε όρους µέσης τιµής και µιας τυπικής απόκλισης, οι οποίες προκύπτουν 872± 36N και 1.53± 0.12% αντίστοιχα. Παρατηρείται λοιπόν ότι η προτεινόµενη µέθοδος δίνει όχι µόνον την επιθυµητή τιµή της σχετικής µετακίνησης 1.5% αλλά και τιµή της τέµνουσας βάσης λίγο µεγαλύτερη (και άρα ασφαλή) από την ακριβή. Τέλος χρησιµοποιώντας 3 διαφορετικές (αλλά τις ίδιες για όλες τις ιδιοµορφές κάθε φορά) τιµές του συντελεστή συµπεριφοράς, δηλαδή, q = 2,3,4, οι αντίστοιχες τέµνουσες βάσεις και µέγιστες σχετικές µετακινήσεις ορόφων προκύπτουν 773± 19 N, 691± 22 N, 581± 29 N και 1.65 ± 0.10%, 1.93 ± 0.27%, 2.35 ± 0.13%, αντίστοιχα, οδηγώντας σε τιµές τέµνουσας σηµαντικά µικρότερες της ακριβούς και άρα ανασφαλείς και σχετικές µετακινήσεις ορόφων µεγαλύτερες του επιθυµητού ορίου του 1.5%. Σχήµα 8. Φάσµα σχεδιασµού για απόσβεση 2%. Πίνακας 1. Ιδιοµορφικοί συντελεστές συµπεριφοράς και επιταχύνσεις σχεδιασµού. Ιδιοµορφή Ιδιοπερίοδος (sec) Συντελεστής Επιτάχυνση σχεδιασµού συµπεριφοράς (m/sec 2 ) 1 1.238 1.30 7.87 2 0.402 1.20 29.17 3 0.226 1.25 28.00 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Με βάση την ισοδύναµη ιδιοµορφική απόσβεση ορίστηκε ο ιδιοµορφικός συντελεστής συµπεριφοράς. Κατασκευάστηκαν καµπύλες σχεδιασµού που παρέχουν την µεταβολή του ιδιοµορφικού συντελεστή συµπεριφοράς µε την ιδιοπερίοδο και την 9

σχετική µετακίνηση ορόφου. Οι καµπύλες αυτές µπορούν να χρησιµοποιηθούν σε συνδυασµό µε φασµατική ανάλυση και ιδιοµορφική επαλληλία Η προτεινόµενη µέθοδος χρησιµοποιήθηκε στον αντισεισµικό σχεδιασµό µιας µεταλλικής κατασκευής και διαπιστώθηκε ότι η χρήση ιδιοµορφικών συντελεστών συµπεριφοράς είναι ακριβέστερη σε σχέση µε την χρήση ενός κοινού συντελεστή συµπεριφοράς για όλες τις ιδιοµορφές. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Οι συγγραφείς ευχαριστούν την βοήθεια που τους παρείχε το ερευνητικό πρόγραµµα Πυθαγόρας Ι του Υπουργείου Εθνικής Παιδείας και Θρησκευµάτων µέσω του Operational Program for Educational and Vocational Training I (ΕΠΕΑΕΚ I) του European Social Fund (ESF). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Papagiannopoulos G.A., and Besos D.E., (2007), The equivalent modal damping concept and its use in seismic design of building structures, Proceedings of COMPDYN 07: Computational methods in Structural Dynamics and Earthquae Engineering, 13-16 June, Rethimno, Greece. Papagiannopoulos G.A., and Besos D.E., (2008), Modal strength reduction factors for the seismic design of steel moment resisting frames, Eurosteel 2008, 3-5 September, Graz, Austria. 10