υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 22.

Transcript

1 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. -

2 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Cprigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 0. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All righs reserved. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσης εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για πάσης φύσεως εµπορικό ή επαγγελµατικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. -. -

3 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Εκπαιδευτική Ενότητα η Εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής Lagrange σε µονοβάθµια και διβάθµια συστήµατα m- Γενικά Στην παρούσα Εκπαιδευτική Ενότητα θα παρουσιασθεί η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής Lagrange σε πέντε τυπικές περιπτώσεις µονοβάθµιων συστηµάτων m. Στις τρεις πρώτες περιπτώσεις, η παραµόρφωση των ελατηρίων και η κίνηση της µάζας λαµβάνει χώρα επί του ιδίου φορέα, στην τρίτη περίπτωση, η µάζα κινείται κάθετα στον φορέα των ελατηρίων, ενώ στην τελευταία περίπτωση η µάζα κινείται επί επιπέδου. Εφαρµογή # ίδεται το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος, για το οποίο θεωρούνται γνωστές οι σταθερές, των ελατηρίων και η µάζα m. Ζητούνται: Α) Η εξίσωση κίνησης του συστήµατος Β) Η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος Γ) Η χρονική απόκριση του συστήµατος για µηδενική αρχική ταχύτητα. Λύση Σχήµα : Εξεταζόµενο µονοβάθµιο σύστηµα m Το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος διαθέτει δύο γραµµικά ελατήρια (µε σταθερές ελατηρίου και ) τοποθετηµένα επί του αυτού φορέα (οριζόντια). Η µάζα m κινείται επί του εν λόγω φορέα, δηλαδή και αυτή κινείται οριζόντια. Για το Ερώτηµα (Α) Η εξίσωση κίνησης του συστήµατος θα βρεθεί χρησιµοποιώντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange, η µαθηµατική έκφραση της οποίας είναι (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 7/Εξ.()): L L Pc P + = q () όπου q είναι η ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή (Βαθµός Ελευθερίας) του συστήµατος, ως P C συµβολίζεται η ισχύς του συστήµατος, η οποία διαχέεται λόγω απόσβεσης, ως συµβολίζεται η ισχύς που προσφέρεται στο σύστηµα από τις εξωτερικές δυνάµεις, ενώ ως L συµβολίζεται η αποκαλούµενη ενεργειακή µεταβλητή Lagrange. Εξ ορισµού, ισχύει: L= T U () P -.3 -

4 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 όπου ως T συµβολίζεται η κινητική ενέργεια του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στη µάζα του συστήµατος, ενώ ως U συµβολίζεται η δυναµική ενέργεια, η οποία συσσωρεύεται στα ελατήρια του συστήµατος. Στο εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα, εµφανίζεται µόνον µία ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή (Βαθµός Ελευθερίας): η οριζόντια µετατόπιση. Συνεπώς, η Εξ.() θα εφαρµοσθεί µόνον µία φορά και για q=. Για την εφαρµογή της Εξ.() απαιτείται ο υπολογισµός των ποσοτήτων T, U, P C, αντίστοιχους ορισµούς (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 0), προκύπτει ότι: P και L. Με βάση τους Η κινητική ενέργεια T του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στη µάζα m ισούται µε: T mυ T m = = & (3) Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στα ελατήρια σταθεράς = και =, ισούται µε: U U U = + = + = + (4) Το σύστηµα δεν διαθέτει στοιχεία διάχυσης ενέργειας (αποσβεστήρες), συνεπώς ισχύει: Στο σύστηµα δεν ασκείται εξωτερική δύναµη, συνεπώς ισχύει: P = 0 (5) C P = 0 (6) Η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, από το συνδυασµό των Εξ.(,3,4), προκύπτει ίση µε: Με βάση τα ανωτέρω, ισχύουν τα ακόλουθα: L= T U = m ( + ) & (7) L L = = m & & L = ( m & ) = m&& & L L = = ( + ) q (8) (9) (0) & () -.4 -

5 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 P P & () Εισάγοντας τις Εξ.(9,0,,) στην Εξ.(), προκύπτει: && (3) m + + = 0 Η Εξ.(3) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του εξεταζοµένου συστήµατος. Για το ερώτηµα (Β): Σε ένα πολυβάθµιο δυναµικό σύστηµα, η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης βρίσκεται από την µικρότερη ιδιοτιµή του χαρακτηριστικού πολυωνύµου: ( ω M K) de + = 0 (4) όπου M είναι το µητρώο µάζας και K είναι το µητρώο δυσκαµψίας του συστήµατος. Σε ένα µονοβάθµιο σύστηµα, τα µητρώα M και K εκφυλίζονται σε πίνακες-στοιχεία και ισχύει: ( ω [ ] [ ]) + = ω + = (5) de m 0 m 0 Επιλύοντας την Εξ.(5) ως προς ω, προκύπτει: K: θετικάορισµ ένο ω = ω=± ω= m m m (6) όπου ω είναι η ιδιοσυχνότητα του εξεταζοµένου συστήµατος. ιευκρινίζεται ότι στην Εξ.(6) έχει διατηρηθεί η θετική τιµή ω διότι το µητρώο δυσκαµψίας K είναι θετικά ορισµένο. Όπως προκύπτει από την Εξ.(3), το εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα χαρακτηρίζεται από ισοδύναµη σταθερά ελατηρίου ίση µε: = + (7) Από το συνδυασµό των Εξ.(5,6,7), προκύπτει ότι, τελικά, η ιδιοσυχνότητα του εξεταζοµένου συστήµατος ισούται µε: ω ( + ) = (8) m Για το ερώτηµα (Γ): Η χρονική απόκριση του συστήµατος θα βρεθεί χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό Laplace για την επίλυση της Εξ.(3). Ειδικότερα, ισχύει: { } { } { } { } { } { } { } { } L m&& + + = L 0 L m&& L + + = L 0 ml && + + L = L 0 ( ) m s X s & + + X = (9)

6 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Για τη διαµόρφωση της Εξ.(9) χρησιµοποιήθηκε η ιδιότητα της γραµµικότητας και η έκφραση της δευτέρας παραγώγου (βλ. Τυπολόγιο Χρήσιµοι Μετασχηµατισµοί Laplace). Σύµφωνα µε την εκφώνηση, η αρχική ταχύτητα είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει: Ο συνδυασµός των Εξ.(8,9,0) δίδει: ( ) ( ) & = 0 (0) ( + ) ( ) ω= + m m s X s + + X = 0 s X s + X = 0 m s X s + ω X = 0 X( s + ω ) = s X = s ( s + ω ) () Η Εξ.() είναι εκφρασµένη στο πεδίο συχνοτήτων. Για τον υπολογισµό της ζητούµενης χρονικής απόκρισης ( ) από την Εξ.(), απαιτείται η µετάβαση από το πεδίο συχνοτήτων στο πεδίο του χρόνου. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη βοήθεια του αντίστροφου µετασχηµατισµού Laplace, σύµφωνα µε τον οποίο ισχύει: s s L { X} = L ( ) = L () ( s + ω ) ( s + ω ) Από τυπολόγιο (βλ. Τυπολόγιο Χρήσιµοι Μετασχηµατισµοί Laplace έκφραση Νο. (4)), ισχύει: Ο συνδυασµός των Εξ.(8,,3) δίδει: s = ( s + ω ) ( ω) L cs (3) cs( ω ) ( + ) = = cs m (4) Η Εξ.(4) αποτελεί τη χρονική απόκριση του εξεταζοµένου συστήµατος. Παρατήρηση Εάν, επιπροσθέτως, τα δύο ελατήρια έχουν την ίδια σταθερά, δηλαδή ισχύει = =, τότε η ιδιοσυχνότητα του εξεταζοµένου συστήµατος καθίσταται ίση µε απόκριση αυτού του συστήµατος λαµβάνει τη µορφή ω=, ενώ η χρονική m cs =. m -.6 -

7 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Εφαρµογή # ίδεται το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος, για το οποίο θεωρούνται γνωστές οι σταθερές,, 3, 4 των ελατηρίων και η µάζα m. Ζητούνται: Α) Η εξίσωση κίνησης του συστήµατος Β) Η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος Γ) Η χρονική απόκριση του συστήµατος για µηδενική αρχική ταχύτητα. Λύση Σχήµα : Εξεταζόµενο µονοβάθµιο σύστηµα m Το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος διαθέτει τέσσερα γραµµικά ελατήρια (µε σταθερές ελατηρίου,, 3, 4 ) τοποθετηµένα επί του αυτού φορέα (οριζόντια). Η µάζα m κινείται επί του εν λόγω φορέα, δηλαδή και αυτή κινείται οριζόντια. Επίσης, αναγνωρίζεται ότι τα ελατήρια µε σταθερές και είναι συνδεδεµένα σε σειρά. Συνεπώς, σε αντικατάσταση των ελατηρίων µε σταθερές και, είναι δυνατόν να ορισθεί ένα ισοδύναµο ελατήριο µε σταθερά: = + (5) Οµοίως, τα ελατήρια µε σταθερές 3 και 4 είναι συνδεδεµένα σε σειρά, οπότε και αυτά είναι δυνατόν να αντικατασταθούν µε ένα ισοδύναµο ελατήριο σταθεράς ίσης µε: 34 = (6) Με βάση τις Εξ.(5,6), το δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος είναι δυνατόν να αντικατασταθεί µε το ισοδύναµο δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος 3. Σχήµα 3: Ισοδύναµο µονοβάθµιο σύστηµα m Ωστόσο, αναγνωρίζεται ότι το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος 3 είναι όµοιο µε αυτό της προηγούµενης Εφαρµογής (Εφαρµογή #). Συνεπώς, ισχύει: Προσαρµόζοντας κατάλληλα την Εξ.(3), η εξίσωση κίνησης του συστήµατος είναι: && (7) m + + =

8 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Προσαρµόζοντας κατάλληλα την Εξ.(8), η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος καθίσταται ίση προς: ω ( + ) 34 = (8) Τέλος, προσαρµόζοντας κατάλληλα την Εξ.(4), η χρονική απόκριση του συστήµατος, για µηδενική αρχική ταχύτητα, καθίσταται ίση µε: m cs ( + ) 34 = m (9) Παρατήρηση Εάν, επιπροσθέτως, τα τέσσερα ελατήρια έχουν την ίδια σταθερά, δηλαδή ισχύει = = 3 = 4 =, τότε οι ισοδύναµες σταθερές και καθίστανται ίσες µε: = = + = = (30) Σε αυτήν την περίπτωση, ισχύουν τα ακόλουθα: Εξίσωση κίνησης συστήµατος: m&& + ( + 34) = 0 m&& + + = 0 m&& + = 0 (3) Ιδιοσυχνότητα συστήµατος: ( + + ) 34 ω= = ω= (3) m m m Χρονική απόκριση του συστήµατος: ( ) = cs = cs ( ) = cs m m m ( ) (33) Εφαρµογή #3 ίδεται το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος 4, για το οποίο θεωρούνται γνωστές οι σταθερές,, 3, 4, 5, 6 των ελατηρίων και η µάζα m. Ζητούνται: Α) Η εξίσωση κίνησης του συστήµατος Β) Η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος Γ) Η χρονική απόκριση του συστήµατος για µηδενική αρχική ταχύτητα

9 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: m () 6 Σχήµα 4: Εξεταζόµενο µονοβάθµιο σύστηµα m Το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος 4 διαθέτει έξι γραµµικά ελατήρια, µε σταθερές ελατηρίου,, 3, 4, 5 και 6, αντίστοιχα, ενώ η µάζα m κινείται οριζόντια. Επίσης, αναγνωρίζεται η ακόλουθη συνδεσµολογία ελατηρίων: Τα ελατήρια µε σταθερές και είναι συνδεδεµένα παράλληλα, άρα είναι δυνατή η αντικατάστασή τους από ένα ισοδύναµο ελατήριο µε σταθερά: = + (34) Τα ελατήρια µε σταθερές και 3 είναι συνδεδεµένα σε σειρά, άρα είναι δυνατή η αντικατάστασή τους από ένα ισοδύναµο ελατήριο µε σταθερά: 3 = + 3 (35) Τα ελατήρια µε σταθερές 5 και 6 είναι συνδεδεµένα παράλληλα, άρα είναι δυνατή η αντικατάστασή τους από ένα ισοδύναµο ελατήριο µε σταθερά: 56 = 5+ 6 (36) Τα ελατήρια µε σταθερές 56 και 4 είναι συνδεδεµένα σε σειρά, άρα είναι δυνατή η αντικατάστασή τους από ένα ισοδύναµο ελατήριο µε σταθερά: 456 = (37) Με βάση τις Εξ.(34,35,36,37), το δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος 4 είναι δυνατόν να αντικατασταθεί µε το ισοδύναµο δυναµικό σύστηµα του Σχήµατος 5. Σχήµα 5: Ισοδύναµο µονοβάθµιο σύστηµα m Ωστόσο, αναγνωρίζεται ότι το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος 5 είναι όµοιο µε αυτό της Εφαρµογής # (βλ. ανωτέρω). Συνεπώς, προσαρµόζοντας κατάλληλα τις Εξ.(3,8,4), προκύπτουν τα ζητούµενα µεγέθη. Ειδικότερα: Η εξίσωση κίνησης του συστήµατος, µε κατάλληλη προσαρµογή της Εξ.(3), είναι: -.9 -

10 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 && (38) m + + = Η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του συστήµατος, µε κατάλληλη προσαρµογή της Εξ.(8), είναι: ω ( + ) = (39) Τέλος, η χρονική απόκριση του συστήµατος, για µηδενική αρχική ταχύτητα και κατάλληλη προσαρµογή της Εξ.(4), είναι: m cs ( + ) = m (40) Παρατήρηση Εάν, επιπροσθέτως, τα έξι ελατήρια έχουν την ίδια σταθερά, δηλαδή ισχύει = = 3= 4= 5= 6=, τότε η ισοδύναµη σταθερά καθίσταται ίση µε: = + = + = + = + = + = = 3 (4) Κατ αντιστοιχία, ισχύει: 456 = 3 (4) Συνεπώς, ισχύουν τα ακόλουθα: Εξίσωση κίνησης συστήµατος: 4 m && + ( ) = 0 m && + + = 0 m + = && 3 (43) Ιδιοσυχνότητα συστήµατος: ω ( + + ) ω m m 3m = = = (44) Χρονική απόκριση του συστήµατος: ( ) = cs = cs ( ) = cs m m 3m ( ) (45) -.0 -

11 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Εφαρµογή #4 ίδεται το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος 6, για το οποίο θεωρούνται γνωστές η σταθερά των ελατηρίων και η µάζα m. Επίσης, έστω ότι αµφότερα τα ελατήρια έχουν αρχικό µήκος L. Η µάζα m εκτρέπεται κατά από τη θέση ισορροπίας της και κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Ζητείται η εξίσωση κίνησης του συστήµατος (να αµεληθεί η επίδραση της βαρύτητας). Σχήµα 6: Εξεταζόµενο µονοβάθµιο σύστηµα m Λύση Το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος 6 διαθέτει δύο ίδια γραµµικά ελατήρια (µε σταθερά ελατηρίου και αρχικού µήκους L ) τοποθετηµένα επί του αυτού φορέα (οριζόντια). Επίσης, δίδεται ότι η µάζα m εκτρέπεται από τη θέση ισορροπίας της κατά και κατά την κατακόρυφη διεύθυνση (δηλαδή κάθετα ως προς τον προαναφερθέντα φορέα). Παρατηρούµε ότι η διάταξη του Σχήµατος 6 εµφανίζει γεωµετρική συµµετρία ως προς το κατακόρυφο επίπεδο (τα ελατήρια είναι του ιδίου αρχικού µήκους), τα ελατήρια είναι της ίδιας σταθεράς (συµµετρική δυσκαµψία του συστήµατος ως προς το κατακόρυφο επίπεδο) και η αρχική εκτροπή επιβάλλεται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Ως αποτέλεσµα του συνδυασµού αυτών των τριών δεδοµένων, η µάζα θα εκτελέσει κατακόρυφη ταλάντωση (στο Σχήµα 6, µε διακεκοµµένη γραµµή, απεικονίζεται µία τυχαία θέση της µάζας m ). Η εξίσωση κίνησης του συστήµατος θα βρεθεί χρησιµοποιώντας την Ενεργειακή Αρχή Lagrange, η µαθηµατική έκφραση της οποίας είναι (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 7/Εξ.()): L L Pc P + = q (46) Τα σύµβολα q, P C, P καθώς και η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L ερµηνεύονται στην Εφαρµογή # της παρούσης Εκπαιδευτικής Ενότητας. Στο εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα, εµφανίζεται µόνον µία ανεξάρτητη κινηµατική µεταβλητή (Βαθµός Ελευθερίας): η κατακόρυφη µετατόπιση. Συνεπώς, η Εξ.(46) θα εφαρµοσθεί µόνον µία φορά και για q=. Κατά τα γνωστά, για την εφαρµογή της Εξ.(46) απαιτείται ο υπολογισµός των ποσοτήτων T, U, P C, P και L. Με βάση τους αντίστοιχους ορισµούς (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 0), προκύπτει ότι: -. -

12 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Η κινητική ενέργεια T του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στη µάζα m ισούται µε: T mυ T m = = & (47) Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στα ελατήρια σταθεράς, ισούται µε (αµελώντας την επίδραση της βαρύτητας): U = ( l) + ( l) = ( l) + ( l) U = ( l) + ( l) (48) Για τον υπολογισµό της δυναµικής δυναµική ενέργεια U απαιτείται ο υπολογισµός των µεταβολών µήκους ( l) και ( l ) των ελατηρίων. Εξ ορισµού, η µεταβολή µήκους ενός ελατηρίου ισούται µε το τρέχον µήκος του L τρεχ µείον το αρχικό µήκος του δηλαδή ισχύει: L, l= Lτρεχ L (49) Όπως αιτιολογήθηκε στην προηγούµενη παράγραφο, η µάζα θα κινηθεί κατακόρυφα. Αυτή η κίνηση, σε συνδυασµό µε τη συµµετρία δυσκαµψίας της κατασκευής ως προς το κατακόρυφο επίπεδο, έχει ως αποτέλεσµα την ίση παραµόρφωση των δύο ελατηρίων του συστήµατος, άρα ισχύει: ( τρεχ ) l = l = L L l = l = L L = L + L (50) τρεχ Με βάση την Εξ.(50), ισχύει η ακόλουθη παραγώγιση ως προς την ελεύθερη κινηµατική µεταβλητή : ( l ) = + = + + ( l ) ( L ) = + + ( ) + L ( ) = ( ) = l l L + + Ο συνδυασµός των Εξ.(48,49,50) δίδει: U = (( l) + ( l) ) = ( ) ( ) (5) U = L + L (5) Το σύστηµα δεν διαθέτει στοιχεία διάχυσης ενέργειας (αποσβεστήρες), συνεπώς ισχύει: P = 0 (53) C -. -

13 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Στο σύστηµα δεν ασκείται εξωτερική δύναµη, συνεπώς ισχύει: P = 0 (54) Η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, από το συνδυασµό των Εξ.(47,48,5), προκύπτει ίση µε: & (55) L= T U = m L + L Με βάση τα ανωτέρω, ισχύουν τα ακόλουθα: L L = = m & & L = ( m & ) = m&& & L L T U ( T U) 0 ( L ) = = = + = + + q L = L + L q (56) (57) (58) Ο συνδυασµός των Εξ.(5,58) δίδει: L = q L + (59) Επίσης, ισχύουν τα εξής: P & P & (60) (6) Εισάγοντας τις Εξ.(57,59,60,6) στην Εξ.(46), προκύπτει: L m + = 0 + && (6) Η Εξ.(6) αποτελεί την εξίσωση κίνησης του εξεταζοµένου συστήµατος. Ισοδύναµα, η Εξ.(6) γράφεται και ως εξής: m&& + = ό ό γραµµικ ς ρος µη γραµµικός όρος (63) -.3 -

14 τρ,4 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Καθίσταται φανερό ότι η Εξ.(63) διαθέτει έναν γραµµικό όρο αλλά και έναν µη-γραµµικό όρο. Συνεπώς, η Εξ.(63) είναι µία µη-γραµµική διαφορική εξίσωση, περιγράφει ένα µηγραµµικό δυναµικό σύστηµα και η αντιµετώπισή της εµπίπτει στο πεδίο της µη-γραµµικής δυναµικής ανάλυσης (αντικείµενο το οποίο εκφεύγει από τους σκοπούς του µαθήµατος υναµική Μηχανών Ι ). Εφαρµογή #5 ίδεται το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος 7, για το οποίο θεωρούνται γνωστές οι σταθερές των ελατηρίων V, έχουν αρχικό µήκος H καθώς και η µάζα m. Επίσης, έστω ότι όλα τα ελατήρια L. Η µάζα m εκτρέπεται κατά από τη θέση ισορροπίας της και κατά τυχαία διεύθυνση εντός του επιπέδου. Ζητείται η εξίσωση κίνησης του συστήµατος, αµελώντας την επίδραση της βαρύτητας, όταν: (Α) θεωρείται ότι η εκτροπή είναι πολύ µικρή και (Β) θεωρείται ότι η εκτροπή δεν είναι πολύ µικρή. Σχήµα 7: Εξεταζόµενο µονοβάθµιο σύστηµα m Λύση Το µονοβάθµιο σύστηµα m του Σχήµατος 7 διαθέτει τέσσερα γραµµικά ελατήρια, ίδιου αρχικού µήκος L (στο Σχήµα 7, για λόγους ευκρίνειας, απεικονίζεται το αρχικό µήκος µόνον ενός ελατηρίου). Τα οριζόντια ελατήρια έχουν την ίδια σταθερά ελατηρίου H, ενώ τα κατακόρυφα ελατήρια έχουν την ίδια σταθερά ελατηρίου V. Αρχικά, η µάζα εκτρέπεται r =, (τυχαίο διάνυσµα επί του επιπέδου). Για την εύρεση της εξίσωση κατά κίνησης του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος, θα χρησιµοποιηθεί η Ενεργειακή Αρχή Lagrange

15 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Για το Ερώτηµα (Α) r Η έκφραση θεωρείται ότι η εκτροπή είναι πολύ µικρή σηµαίνει ότι η παραµόρφωση κάθε ελατηρίου είναι δυνατόν να θεωρηθεί (παραδοχή) ότι λαµβάνει χώρα µόνον κατά την αρχική διεύθυνση του φορέα του. Υπό αυτήν την παραδοχή, για την παραµόρφωση των οριζοντίων ελατηρίων λαµβάνεται υπόψη µόνον η -µετατόπισης της µάζας, ενώ για την παραµόρφωση των κατακορύφων ελατηρίων λαµβάνεται υπόψη µόνον η -µετατόπισης της µάζας. Συνεπώς, υπό την ανωτέρω παραδοχή, η Ενεργειακή Αρχής Lagrange εφαρµόζεται ως εξής: Κατά τα γνωστά (βλ. Εκπαιδευτική Ενότητα 7/Εξ.()), η µαθηµατική έκφραση της Ενεργειακής Αρχής Lagrange είναι: L L Pc P + = q (64) Τα σύµβολα q, P C, P καθώς και η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L ερµηνεύονται στην Εφαρµογή # της παρούσης Εκπαιδευτικής Ενότητας. Για το εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα, οι ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (Βαθµοί Ελευθερίας) είναι δύο: η οριζόντια µετατόπιση ( µετατόπιση) της µάζας και η κατακόρυφη µετατόπιση ( µετατόπιση) της µάζας. Συνεπώς, η Εξ.(64) πρέπει να εφαρµοσθεί µία φορά για q = και µία φορά για q=. Η κινητική ενέργεια T του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στη µάζα m ισούται µε: T = mυ = mυ + mυ T = m & + m & (65) ιευκρινίζεται ότι η µάζα είναι δυνατόν να κινείται στο επίπεδο, συνεπώς η ταχύτητά της εµφανίζει δύο συνιστώσες: την οριζόντια συνιστώσα κατακόρυφη συνιστώσα υ. υ και την Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στα ελατήρια σταθεράς H και V, ισούται µε: U = H( ) + H( ) + V ( ) + V ( ) H H V V δύοοριζόντιαελατ ήρια δύοκατακόρυϕαελατήρια H U = + (66) H Βάσει της παραδοχής περί πολύ µικρής εκτροπής, όπως αναπτύχθηκε στην αρχή της παραγράφου, ισχύει: Ο συνδυασµός των Εξ.(66,67) δίδει: ( ) = και ( ) H V H V V V = (67) U = + (68) -.5 -

16 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Το σύστηµα δεν διαθέτει στοιχεία διάχυσης ενέργειας (αποσβεστήρες), συνεπώς ισχύει: Στο σύστηµα δεν ασκείται εξωτερική δύναµη, συνεπώς ισχύει: P = 0 (69) C P = 0 (70) Η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, από το συνδυασµό των Εξ.(65,68), προκύπτει ίση µε: L T U = = m + m + ( H V ) & & (7) Με βάση τα ανωτέρω, η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής Lagrange για q = δίδει: L L = = m & & L = ( m & ) = m&& & L L = = q H (7) (73) (74) P & P & (75) (76) Εισάγοντας τις Εξ.(7,74,75,76) στην Εξ.(64), προκύπτει: && (77) m + = 0 Επίσης, η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής Lagrange για q H = δίδει: L L = = m & & L = ( m & ) = m&& & L L = = q V (78) (79) (80) & (8) -.6 -

17 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 P P & (8) Εισάγοντας τις Εξ.(79,80,8,8) στην Εξ.(64), προκύπτει: && (83) m + = 0 Οι Εξ.(77,83) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του εξεταζοµένου συστήµατος, υπό την r παραδοχή της πολύ µικρής αρχικής εκτροπής. Σε µητρωϊκή µορφή, το ανωτέρω σύστηµα των εξισώσεων γράφεται ως εξής: V m 0 && H m + = 0 V 0 && (84) Για το Ερώτηµα (Β) r Η έκφραση θεωρείται ότι η εκτροπή δεν είναι πολύ µικρή σηµαίνει ότι για την παραµόρφωση κάθε ελατηρίου λαµβάνεται υπόψη και η οριζόντια κίνηση αλλά και η κατακόρυφη κίνηση της µάζας m. Συνεπώς, η µεταβολή του µήκους κάθε ελατηρίου πρέπει να αντιµετωπισθεί µε τον τρόπο που περιγράφηκε στην Εφαρµογή #4 της παρούσης Εκπαιδευτικής Ενότητας, δηλαδή: όπου ως l = L L (85) i τρ, i li συµβολίζεται η µεταβολή του µήκους του i ελατηρίου, ως L τρ,i συµβολίζεται το τρέχον µήκος του i ελατηρίου, ενώ ως L συµβολίζεται το αρχικό µήκος του i ελατηρίου (σύµφωνα µε την εκφώνηση, θεωρείται ότι όλα τα ελατήρια έχουν το ίδιο αρχικό µήκος L ). Το τρέχον µήκος L τρ,i του i ελατηρίου υπολογίζεται βάσει του Πυθαγορείου θεωρήµατος. Σύµφωνα µε το Σχήµα 7, ισχύει: Για το ελατήριο #: Για το ελατήριο #: Για το ελατήριο #3: Για το ελατήριο #4: l = L L = L + + L (86) τρ, l = L L = + L + L (87) τρ, l = L L = L + L (88) 3 τρ,3 l = L L = + L L (89) 4 τρ,

18 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 Η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής Lagrange, κατά τα γνωστά, δίδει: Η κινητική ενέργεια T του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στη µάζα m ισούται µε: T = mυ = mυ + mυ T = m & + m & (90) Η δυναµική ενέργεια U του συστήµατος, η οποία συσσωρεύεται στα ελατήρια σταθεράς H και V, ισούται µε: U = H( l) + V ( l) + H( l3) + V ( l4) (( ) ( 3) ) V ( 4) U = H l + l + l + l (9) Το σύστηµα δεν διαθέτει στοιχεία διάχυσης ενέργειας (αποσβεστήρες), συνεπώς ισχύει: Στο σύστηµα δεν ασκείται εξωτερική δύναµη, συνεπώς ισχύει: P = 0 (9) C P = 0 (93) Η ενεργειακή µεταβλητή Lagrange L του συστήµατος, από το συνδυασµό των Εξ.(90,9), προκύπτει ίση µε: (( ) ( 3) ) V ( 4) L= T U = m + m H l + l + l + l & & (94) εδοµένου ότι το εξεταζόµενο δυναµικό σύστηµα έχει δύο ανεξάρτητες κινηµατικές µεταβλητές (Βαθµοί Ελευθερίας), θα εφαρµοσθεί η Ενεργειακή Αρχή Lagrange δύο φορές, δηλαδή για q= και q=. Εφαρµογή Ενεργειακής Αρχής Lagrange για q= Η πρώτη παράγωγος της µεταβλητής Lagrange L ως προς την ελεύθερη µεταβλητή q= ισούται µε: (( ) ( 3) ) V ( 4) L = H l + l + l + l L = H (( l) + ( l3) ) V (( l) + ( l4) ) L = H ( l) ( l) + ( l3) ( l3) V ( l) ( l) + ( l4) ( l4) L = H( l) ( l) + ( l3) ( l3) V ( l) ( l) + ( l4) ( l4) (95) Στην Εξ.(95), οι επί µέρους µερικές παράγωγοι ισούνται µε: -.8 -

19 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ( ) ( l) = ( ) L + + = ( + ) + = ( l) = L + + (96) ( ) ( l) = ( ) L + + = + ( + ) = + + ( l ) = + + (97) ( ) ( ) ( l3) = ( ) L + = ( ) + = + ( ) ( l3) = L + ( ) ( l4) = ( ) L + = + ( ) = + (98) ( l ) = + 4 (99) Ο συνδυασµός των Εξ.(95,96,97,98,99) δίδει: ( ) ( ) L L L = H + ( + ) + ( ) + ( ) L ( ) L V + + ( + ) + ( ) L = H ( + ) ( L ) ( + ) + ( ) + V + + ( + ) + ( ) (00) Με βάση τα ανωτέρω, η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής Lagrange για q = δίδει: -.9 -

20 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 L L = = m & & L = ( m & ) = m&& & L L H ( ) ( L ) = = + q ( + ) + ( ) + + V + + ( + ) + ( ) (0) (0) (03) P & P & (04) (05) Εισάγοντας τις Εξ.(0,03,04,05) στην Εξ.(64), προκύπτει: m&& + H ( + ) ( L ) ( + ) + ( ) + + V + = 0 + ( + ) + ( ) (06) Εφαρµογή Ενεργειακής Αρχής Lagrange για q= Η πρώτη παράγωγος της µεταβλητής Lagrange L ως προς την ελεύθερη µεταβλητή q= ισούται µε: (( ) ( 3) ) V ( 4) L = H l + l + l + l L = H (( l) + ( l3) ) V (( l) + ( l4) ) L = H ( l) ( l) + ( l3) ( l3) V ( l) ( l) + ( l4) ( l4) L H ( l) ( l) ( l3) ( l3) = + V ( l) ( l) + ( l4) ( l4) (07) Στην Εξ.(0), οι επί µέρους µερικές παράγωγοι ισούνται µε: -.0 -

21 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 ( ) ( l) = ( ) L + + = ( + ) + = + + ( l) = L + + (08) ( ) ( l) = ( ) L + + = + ( + ) = ( + ) ( l ) = + + ( ) ( l3) = ( ) L + = ( ) + = + (09) ( l3) = L + (0) ( ) ( ) ( l4) = ( ) L + = + ( ) = + ( ) ( l ) = + 4 () Ο συνδυασµός των Εξ.(07,08,09,0,) δίδει: L = H ( ) L ( L ) L ( + ) + ( ) + ( + ) ( ) V + ( + ) L + + ( L ) L + ( + ) + ( ) L = H + ( + ) + ( ) + V ( + ) ( L ) + ( + ) + ( ) () Με βάση τα ανωτέρω, η εφαρµογή της Ενεργειακής Αρχής Lagrange για q = δίδει: -. -

22 υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 0-0 L L = = m & & L = ( m & ) = m&& & L L H = = + q ( + ) + ( ) + V ( + ) ( L ) + ( + ) + ( ) (3) (4) (5) P & P & (6) (7) Εισάγοντας τις Εξ.(4,5,6,7) στην Εξ.(64), προκύπτει: m&& + H + ( + ) + ( ) + + V ( + ) ( L ) 0 = + ( + ) + ( ) (8) Οι Εξ.(06,8) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης του εξεταζοµένου δυναµικού συστήµατος, οι οποίες, προφανώς, είναι µη-γραµµικές. -. -