Συμπεριφορά κατασκευών υπό ακραίες σεισμικές δράσεις Structural behaviour under exceptional seismic conditions

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολογίας 5 7 Νοεμβρίου, 2008 Άρθρο 1918 Συμπεριφορά κατασκευών υπό ακραίες σεισμικές δράσεις Structural behaviour under exceptional seismic conditions Eυριπίδης ΜΥΣΤΑΚΙΔΗΣ 1 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στόχος της εργασίας είναι η διερεύνηση της συμπεριφοράς κατασκευών κάτω από ακραίες σεισμικές δράσεις. Ενδεικτικά ανέρονται οι περιπτώσεις κατασκευών που σχεδιάστηκαν με παλαιότερους κανονισμούς, κατασκευών που βρίσκονται κοντά στο επίκεντρο των σεισμών, περιπτώσεις όπου οι σεισμικές δράσεις αναθεωρούνται λόγω ανακάλυψης νέων ρηγμάτων κλπ. Η μελέτη της συμπεριφοράς των κατασκευών γίνεται εντός ενός θεωρητικού πλαισίου που μπορεί να λάβει υπόψη τις αβεβαιότητες που προκύπτουν στα πλαίσια του αντισεισμικού ελέγχου των κατασκευών (αβεβαιότητα της σεισμικής δράσης, αβεβαιότητα για τις χαρακτηριστικές τιμές των ιδιοτήτων των υλικών κλπ.). ABSTRACT : The paper investigates the structural behavior under exceptional seismic conditions. The term exceptional includes structures designed with older codes, structures near the epicenters or cases where the magnitude of the seismic forces is reviewed after the discovery of new faults, etc. For the study of the structural behavior, the mathematical framework of fuzzy sets is adopted that is capable to describe in a formal manner all the uncertainties that are present in the design process (uncertainty of the seismic action, uncertainty in the characteristic values of the material properties, etc.). Η ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ο σχεδιασμός μιας νέας κατασκευής είναι μια διαδικασία όπου ο μελετητής μηχανικός προσπαθεί να λάβει υπόψη του, εκτός των δομικών χαρακτηριστικών, και όλα τα πιθανά φορτία που θα επιβληθούν στο φορέα στη διάρκεια της ζωής του. Παρόλα αυτά, είναι γενικώς αποδεκτό ότι η ακριβής τιμή της αντοχής μιας κατασκευής κατά μήκος ενός διανύσματος φόρτισης δεν μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια λόγω διαφόρων αβεβαιοτήτων. Στη συνέχεια συνοψίζονται μερικές από αυτές. Το δομικό σύστημα είναι πιο σύνθετό από το εξιδανικευμένο προσομοίωμα που λαμβάνει υπόψη του ο μελετητής. Οι ιδιότητες των υλικών δεν είναι γνωστές με ακρίβεια. Οι διάφορες φορτίσεις (χιόνι, άνεμος, σεισμικά φορτία) μπορεί να αποκτήσουν απρόβλεπτες μελλοντικές τιμές. Έτσι μπορεί εύκολα να γίνει δεκτή η πρόταση ότι τόσο η φόρτιση όσο και η αντοχή μιας κατασκευής μπορούν να εκτιμηθούν μόνον με κάποια αβεβαιότητα. Για πολλά χρόνια τα κλασικά μαθηματικά δεν μπορούσαν να χειριστούν αβέβαιες ή ασαφείς διατυπώσεις για ποσότητες όπως η φόρτιση, η αντοχή κλπ. Παραδοσιακά, οι μηχανικοί λάμβανουν υπόψη τις 1 Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών,Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, email: emistaki@uth.gr

αβεβαιότητες που υπάρχουν στο σχεδιασμό μέσω των συντελεστών ασφαλείας, π.χ. μειώνοντας την αντοχή ενός στοιχείου ή αυξάνοντας τις χαρακτηριστικές τιμές των φορτίων. Για πολλές δεκαετίες η έρευνα στην περιοχή επικεντρώθηκε σε προσπάθειες εξορθολογισμού της διαδικασίας σχεδιασμού που όλες τους χρησιμοποιούσαν στατιστικές ή πιθανοτικές μεθόδους (Mayer, 1926), (Freudenthal, 1947), (Pugsley, 1951). Οι μέθοδοι αυτές έχουν την εγγενή δυσκολία ότι απαιτούν για την εφαρμογή τους πληθώρα στατιστικών δεδομένων που συνήθως δεν είναι διαθέσιμα. Στη συνέχεια αναπτύχθηκαν πιθανοτικές μέθοδοι που χρησιμοποιούσαν μόνον τις μέσες τιμές και τις τυπικές αποκλίσεις τυχαίων μεταβλητών. Τέλος, τα τελευταία χρόνια σημαντική πρόοδος έχει επιτευχθεί στην ανάπτυξη μεθόδων που επιτρέπουν την εκτίμηση της αξιοπιστίας μιας κατασκευής ως συνόλου. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μια νέα προσέγγιση στο θέμα της εκτίμησης της απόκρισης συστημάτων με αβέβαια ή ασαφή χαρακτηριστικά που βασίζεται στη μαθηματική θεωρία των ασαφών συνόλων (Wood, 1989), (Otto, 1993a), (Otto, 1993b), (Zimmermann, 1985). Η μέθοδος αυτή δίνει τη δυνατότητα στους μελετητές μηχανικούς να λάβουν υπόψη τους μεταβλητές που εμφανίζουν ασάφεια στη διατύπωσή τους. Οι μεταβλητές αυτές μπορεί να αφορούν αυτή καθ αυτή την κατασκευή, όπως για παράδειγμα ιδιότητες υλικών, διαστάσεις μελών κλπ, αλλά μπορεί επίσης να αφορούν και τη φόρτιση, όπως π.χ. τη μέγιστη επιτάχυνση της σεισμικής δράσης, τη κατανομή των σεισμικών φορτίων κλπ. Στη συγκεκριμένη εργασία η προσοχή μας θα επικεντρωθεί, από πλευράς φορτίων, στη σεισμική δράση, με στόχο να επισημανθούν και να αντιμετωπιστούν περιπτώσεις όπου οι κατασκευές θα βρεθούν αντιμέτωπες με ακραίες σεισμικές καταπονήσεις. Ως ακραίες νοούνται στην παρούσα εργασία είτε δράσεις που δεν λήφθηκαν υπόψη στον αρχικό σχεδιασμό της κατασκευής είτε δράσεις που ενώ λήφθηκαν υπόψη στο σχεδιασμό μπορούν να οδηγήσουν σε αστοχίες λόγω κακής κατασκευής, ατελούς αριθμητικού προσομοιώματος κλπ. Οι σεισμικές δυνάμεις αποτελούν μια χαρακτηριστική περίπτωση όπου η δράση μπορεί εν δυνάμει να γίνει ακραία. Παρόλο που η κατάσταση αυτή πρέπει κατά το δυνατόν να αποφεύγεται, στην πραγματικότητα είναι πολλές οι περιπτώσεις όπου οι κατασκευές καλούνται να ανταποκριθούν σε σεισμικές καταπονήσεις μεγαλύτερες από αυτές για τις οποίες σχεδιάστηκαν. Έτσι, στο πρώτο τμήμα της εργασίας εξετάζονται διεξοδικά οι λόγοι που μπορούν εν δυνάμει να οδηγήσουν σε αυξημένες σεισμικές καταπονήσεις. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται ένα μαθηματικό πλαίσιο που επιτρέπει τη περιγραφή ασαφών ποσοτήτων και δίνεται η μεθοδολογία που επιτρέπει τον υπολογισμό μεγεθών απόκρισης. Τέλος, δίνεται παράδειγμα εφαρμογής της μεθολογίας στον αντισεισμικό σχεδιασμό. ΑΚΡΑΙΕΣ ΣΕΙΣΜΙΚΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Είναι γενικά αποδεκτό σήμερα, ότι υπάρχει σημαντική πιθανότητα να υποβληθεί η κατασκευή κατά τη διάρκεια της ζωής της σε σεισμικές δυνάμεις μεγαλύτερες από αυτές που λήφθηκαν υπόψη στο σχεδιασμό. Το γεγονός αυτό συνδέεται με την εγγενή αβεβαιότητα της σεισμικής δράσης, αλλά και με την ανεπαρκή γνώση της σεισμικής συμπεριφοράς των κατασκευών 2

που υπήρχε σε προηγούμενες χρονικές περιόδους. Στη συνέχεια, αναπτύσονται διάφοροι λόγοι για τους οποίους η σεισμική δράση μπορεί να καταστεί ακραία. Ενας μεγάλος αριθμός κατασκευών σχεδιάστηκαν με πλέγμα κανονισμών που σήμερα θεωρείται ανεπαρκές. Για παράδειγμα οι σεισμικές δυνάμεις που προδιαγράφονται στη χώρα μας από τους νέους κανονισμούς είναι σημαντικά μεγαλύτερες από αυτές που προδιαγράφονταν από τους παλαιότερους (π.χ. προ του 1985). Φυσικά αυτό συμβαίνει διότι στο μεταξύ σημαντικές επιστημονικές γνώσεις ενσωματώθηκαν στους νέους κανονισμούς. Οι επιστημονικές αυτές εξελίξεις σχετίζονται τόσο με το γνωστικό πεδίο της σεισμολογίας αλλά επίσης και με τις εξελίξεις στον τομέα της κατανόησης της στατικής και δυναμικής συμπεριφοράς των κατασκευών και στον τομέα της μηχανικής συμπεριφοράς των υλικών. Την τελευταία 20ετία έχει εκτελεσθεί μεγάλος αριθμός πειραματικών δοκιμών σε μέλη από χάλυβα, σκυροδεμα, σύνθετα υλικά αλουμίνιο ξύλο, σε σύμμικτα μέλη κλπ. Τα αποτελέσματα των δοκιμών αυτών οδήγησαν σε δόκιμες μεθόδους υπολογισμού της αντοχής και της ικανότητας παραμόρφωσης των διάφορων δομικών στοιχείων. Επίσης, λόγω της εκρηκτικής εξέλιξης των υπολογιστών και του λογισμικού την τελευταία 20ετία, δόθηκε η δυνατότητα στην κοινότητα των μηχανικών για την εκτέλεση πολύπλοκων αντισεισμικών υπολογισμών. Το γεγονός αυτό είχε αντίκτυπο στο κανονιστικό πλαίσιο, που απελευθέρωσε τους μηχανικούς από την απαίτηση εκτέλεσης υπολογισμών εντός του πλαισίου της γραμμικής ελαστικότητας. Από την πλευρά της σεισμολογίας είναι ννωστό ότι είναι δύσκολη η εκτίμηση ακριβών τιμών για τα διάφορα μεγέθη που σχετίζονται με τις σεισμικές δράσεις. Πρόσφατα αναγνωρίσθηκαν διάφοροι λόγοι για τους οποίους οι σεισμικές δυνάμεις είναι δυνατό να μεγεθυνθούν σε συγκεκριμένες περιπτώσεις. Για παράδειγμα, την τελευταία 20ετία η μελέτη μεγάλου αριθμού καταγραφών ισχυρών σεισμικών κινήσεων, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα χαρακτηριστικά των εδαφικών κινήσεων διαφέρουν σημαντικά από σταθμό σε σταθμό. Το συμπέρασμα αυτό μεγενθύνεται σε σταθμούς που βρίσκονται κοντά στο εκάστοτε επίκεντρο. Ως αποτέλεσμα, μπορούν να διακριθούν δύο ζώνες όπου οι εδαφικές κινήσεις διαθέτουν σημαντικά διαφοροποιημένα χαρακτηριστικά. Η ζώνη σε απόσταση λίγων χιλιομέτρων είτε από την επιφανειακή διάρρηξη είτε από την προβολή στο έδαφος της διαρρηξης του ρήγματος (near-source region) H απομακρυσμένη ζώνη ή η ζώνη σε απόσταση μέχρι και μερικών εκατοντάδων χιλιομέτρων από το ρήγμα (far-source region). Δυστυχώς, τα χαρακτηριστικά των φασμάτων απόκρισης και οι μέθοδοι σχεδιασμού που έχουν υιοθετηθεί από τη συντριπτική πλειοψηφία των σύγχρονων κανονισμών έχουν βασιστεί σε καταγραφες εντός της απομακρυσμένης ζώνης. Συνεπώς δεν έχουν τη δυνατότητα να περιγράψουν τις σεισμικές καταπονήσεις σε δομήματα που βρίσκονται κοντά στο επίκεντρο. Τελευταία έχει καταβληθεί προσπάθεια από τις ομάδες σύνταξης σύγχρονων κανονισμών (ATC-40, 1996), (SEAOC, 1999) να αντιμετωπισθεί η ενίσχυση των σεισμικών δυνάμεων που συμβαίνει σε δομήματα κοντά στο επίκεντρο, μέσω της εισαγωγής ενός πρόσθετου συντελεστή ειδικά για το σκοπό αυτό (near-source factor). Επίσης, η κατακόρυφη συνιστώσα της σεισμικής δράσης σε περιοχές που βρίσκονται κοντά στο επίκεντρο μπορεί να είναι μεγαλύτερη ακόμα και από τις οριζόντιες συνιστώσες. 3

Σημειώνεται ότι μέχρι πρόσφατα η κατακόρυφη συνιστώσα μόνο σε ειδικές περιπτώσεις λαμβάνονταν υπόψη κατά το σχεδιασμό των κτιρίων. Επίσης σε περιοχές κοντά στο επίκεντρο, λόγω των χαμηλών περιόδων που εμφανίζουν οι σεισμικές δονήσεις αλλά και λόγω του χαρακτήρα πλήγματος που έχουν αυτές, αυξάνεται το ποσοστό συμμετοχής των ανώτερων ιδιομορφών. Τέλος στις περιοχές αυτές αυξάνοναι οι απαιτήσεις πλαστιμότητας λόγω του χαρακτήρα πλήγματος που εμφανίζουν οι δονήσεις του εδάφους, σε συνδυασμό με τις υψηλές ταχύτητες και την έλλειψη δυνάμεων επαναφοράς. Όλα τα παραπάνω επιβεβαιώθηκαν με δραματικό τρόπο μετά τους σεισμούς του Kobe. Οι παρατηρήσεις μετά το σεισμό αυτό, τόσο σε επίπεδο καταγραφών, όσο και σε επίπεδο ζημιών στις κατασκευές, έδειξαν ότι κατασκευές σε περιοχές κοντά στο επίκεντρο είναι δυνατό να υποβληθούν σε καταπονήσεις σημαντικότερες απ αυτές που προδιαγράφονταν από παλαιότερους κανονισμούς. Μιά άλλη συνιστώσα του αντισεισμικού σχεδιασμού, της οποίας η σπουδαιότητα έχει αναγνωριστεί μόλις τις τελευταίες δεκαετίες, συνδέεται με τις εδαφικές συνθήκες. Είναι γνωστό ότι οι ιδιότητες του εδάφους επηρεάζουν την ένταση των δονήσεων που αναμένονται στις κατασκευές. Οι παράμετροι που επηρεάζουν την ενίσχυση ή απόσβεση των σεισμικών δονήσεων είναι το πάχος των μαλακών ή σκληρών εδαφικών στρώσεων, οι ταχύτητες των διατμητικών κυμάτων στις βραχώδεις και εδαφικές στρώσεις, κλπ. Επίσης διάφορα άλλα φαινόμενα όπως οι κατολισθήσεις, η ρευστοποίηση και η επιφανειακή διάρρηξη έχουν οδηγήσει σε καταστροφικά αποτελέσματα κατά τη διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών και η σπουδαιότητά τους μόνον τελευταία έχει αναγνωριστεί και ποσοτικοποιηθεί σε διάφορους αντισεισμικούς κανονισμούς (ATC-40, 1996). Μια άλλη αιτία που μορεί να οδηγήσει σε εμφάνιση μεγάλων επιταχύνσεων σε κατασκευές (μεγαλύτερων απ αυτές που είχαν ληφθεί υπόψη κατά το σχεδιασμό) είναι η μεγέθυνση της σεισμικής δράσης που εμφανίζεται σε κάποιες περιπτώσεις στην περιοχή των χαμηλών περιόδων. Το φαινόμενο αυτό παρατηρήθηκε και στο σεισμό που έπληξε την Αθήνα το 1999, που, αν και μέτριας έντασης, οδήγησε σε καταρεύσεις και θανάτους σε μια μεγάλη περιοχή. Οι καταγραφές των επιταχύνσεων σε διάφορα γειτονικά σημεία έδωσαν ένα φάσμα επιταχύνσεων που εμφανίζει αιχμές στην περιοχή των χαμηλών περιόδων. Η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης εμφανίστηκε για περίοδο 0.25sec και η τιμή της ήταν 2-3 φορές μεγαλύτερη από την επιτάχυνση σχεδιασμού για τη συγκεκριμένη περιοχή. Ως αποτέλεσμα, μεγάλος αριθμός δύσκαμπτων και περιορισμένης πλαστιμότητας κτιρίων εμφάνισε σημαντικές βλάβες. Αντίθετα, τα υψηλότερα κτίρια με περίοδο μεγαλύτερη των 0.4sec εμφάνισαν γενικά καλή συμπεριφορά και μέτριες ή καθόλου βλάβες. Η διάκριση μεταξύ των ζωνών σεισμικής επικινδυνότητας που υπάρχουν στους διάφορους κανονισμούς, βασίζεται σε ιστορικά στοιχεία για τους σεισμούς των διαφόρων περιοχών. Παρ όλα αυτά, ο εντοπισμός των ρηγμάτων που έδωσαν σημαντικούς σεισμούς στη διάρκεια των αιώνων συνοδεύεται και από πολλές δυσκολίες. Η σημαντικότερη από αυτές έχει να κάνει με το ότι μεγάλα τμήματα σεισμικά ενεργών περιοχών είναι καλυμένα από θάλασσα. Στα τμήματα αυτά δεν είναι δυνατή η εξερεύνηση των ρηγμάτων με τις συνήθεις μεθόδους. Μια άλλη δυσκολία οφείλεται στο γεγονός ότι στην Ευρώπη οι εντάσεις των σεισμών σπάνα ξεπερνάνε τους 7 βαθμούς της κλίμακας Richter και ως αποτέλεσμα, οι επιφανειακές 4

εκδηλώσεις των ρηγμάτων είναι μικρές και δύσκολα εντοπίσιμες. Έτσι, κάποια ρήγματα εντοπίζονται μόνον αφού δώσουν σημαντικούς σεισμούς. Επίσης πολλές φορές υποεκτιμάται η δυναμική κάποιων αναγνωρισμένων ρηγμάτων για γένεση σημαντικών σεισμών. Τέτοια περίπτωση ήταν ο σεισμός της Κοζάνης-Γρεβενών το 1995 (6.6 βαθμοί της κλίμακας Richter) που έγινε σε περιοχή μικρής σεισμικής επικινδυνότητας. Μετά το σεισμό η σεισμική επικινδυνότητα όλης της περιοχής αναβαθμίστηκε. Κατά συνέπεια, όλα τα δομήματα που κατασκευάστηκαν στην περιοχή πριν το 1995 είναι πιθανό να υποβληθούν σε σεισμικές δυνάμεις μεγαλύτερες από αυτές για τις οποίες σχεδιάστηκαν, ή σε πιθανοτική βάση, η περίοδος επαναφοράς του σεισμού σχεδιασμού είναι πολύ μικρότερη απ αυτή για την οποία σχεδιάστηκαν. Επίσης πρέπει να αναγνωρισθεί ότι η φιλοσοφία του αντισεισμικού σχεδιασμού έχει αλλάξει δραματικά τα τελευταία χρόνια. Οι περισσότεροι αντισεισμικοί κανονισμοί πρακτικά έχουν υιοθετήσει τη λογική του επιπέδου επιτελεστικότητας της προστασίας ζωής για τους μεγάλους και σπάνιους σεισμούς, ενώ παράλληλα αναγνωρίζουν την πιθανότητα εμφάνισης σημαντικών βλαβών σε δομικά και μη δομικά στοιχεία. Όμως υπάρχουν αυξανόμενα στοιχεία (π.χ. μετά τους σεισμούς του Northridge και του Kobe) ότι αυτές οι μη ελεγχόμενες βλάβες δεν είναι πλέον αποδεκτές από την κοινωνία. Απαιτείται συνεπώς, η εισαγωγή νέων επιπέδων επιτελεστικότητας που να απαιτούν λειτουργικές κατασκευές για αρκετά μεγάλους σεισμούς και να επιβάλουν νέες αντισεισμικές απαιτήσεις που ποτέ μέχρι τώρα δεν έχουν ληφθεί υπόψη στο σχεδιασμό των κατασκευών. Εκτός από τους παραπάνω λόγους που συνδέονται πιο πολύ με αυτό καθ αυτό το φαινόμενο του σεισμού, υπάρχουν και λόγοι που συνδέονται στενότερα με τη συμπεριφορά των κατασκευών και είναι πιθανό να οδηγήσουν σε ακραία σεισμική καταπόνηση. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι μετά από σεισμικές δονήσεις μέτριας έντασης εμφανίζονται μικρής κλίμακας βλάβες στα δομικά στοιχεία. Εάν οι βλάβες αυτές γίνουν σημαντικές, συνήθως επιδιορθώνονται μετά από κατάλληλη μελέτη. Εάν όμως οι βλάβες υποεκτιμηθούν ή δεν γίνουν αντιληπτές (π.χ. επειδή τα δομικά στοιχεία είναι κρυμένα από αρχιτεκτονικές επικαλύψεις), η κατασκευή παραμένει με την αντοχή της μειωμένη. Έτσι η επόμενη σεισμική δόνηση θα βρει την κατασκευή υπό συνθήκες που δεν έχουν ληφθεί υπόψη στον αρχικό σχεδιασμό. Διάφορες μελέτες που έχουν διεξαχθεί για το θέμα αυτό (FEMA307, 1998) έχουν οδηγήσει στο συμπέρασμα ότι το βασικό αποτέλεσμα των συσσωρευμένων πρότερων βλαβών από μέτριας έντασης σεισμούς είναι η αύξηση των μετατοπίσεων, και κατά συνέπεια η αύξηση της απαιτούμενης πλαστιμότητας. Τέλος, η αυθαίρετη αλλαγή χρήσης ενός χώρου πρέπει να θεωρηθεί ως ένας λόγος που μπορεί να οδηγήσει σε ακραίες σεισμικές καταπονήσεις. Για παράδειγμα, εάν ένα κτίριο που σχεδιάσθηκε για χρήση κατοικίας μετατραπεί σε νοσοκομείο ή κλινική, είναι πολύ πιθανό να μην εκπληρώνει τις αυξημένες απαιτήσεις επιτελεστικότητας για την κατηγορία αυτή. Επίσης η αυθαίρετη μετατροπή σε ένα κτίριο κάποιων χώρων σε αποθήκες με σημαντικό ωφέλιμο φορτίο, μπορεί να οδηγήσει σε σεισμικές καταπονήσεις που δεν έχουν ληφθεί υπόψη στον αρχικό σχεδιασμό. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ 5

Έτσι, προκειμένου να ποσοτικοποιηθούν οι αβεβαιότητες και να αποτιμηθούν τα αποτελέσματά τους στην ανάλυση των κατασκευών, απαιτείται ένα κατάλληλο μαθηματικό πλαίσιο. Το πλαίσιο αυτό προσφέρει η θεωρία των ασαφών συνόλων. Ένα ασαφές σύνολο, είναι ένα σύνολο αντικειμένων χωρίς διακριτά όρια ή χωρίς αυστηρά καθορισμένα χαρακτηριστικά. Σε αντίθεση με τα συνήθη σύνολα, όπου μπορεί μονοσήμαντα να καθοριστεί το κατά πόσο ένα αντικείμενο ανήκει ή δεν ανήκει σε ένα σύνολο, στα ασαφή σύνολα είναι δυνατή η μερική συμμετοχή. Μαθηματικά ένα ασαφές σύνολο ορίζεται ως εξής: Εάν X είναι ένα σύνολο, τότε το σύνολο A καλείται ασαφές σύνολο του X εάν το A είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών: A= {( x, μ ( x)) : x X a nd μ ( x) [0,1]}, (1) A όπου μ A( x ) είναι ο βαθμός συμμετοχής του x στο A. Η συνάρτηση μ A( x ) καλείται συνάρτηση συμμετοχής του A. Μιά από τις σημαντικότερες έννοιες των ασαφών συνόλων είναι αυτή των a τομών. Για ένα δεδομένο ασαφές σύνολα A του X για για κάθε αριθμό a [0,1], η a τομή, συμβολιζόμενη ως a A είναι το σύνολο: a A A ={ x X : μ ( x) a}. (2) A Δηλαδή, η a τομή ενός ασαφούς συνόλου A του X είναι το σύνολο a A που περιέχει όλα τα στοιχεία του X, των οποίων οι βαθμοί συμμετοχής στο A είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι προς τη δεδομένη τιμή a. Ένα ασαφές σύνολο A του συνόλου των πραγματικών αριθμών R καλείται ασαφής αριθμός εάν υπάρχει τουλάχιστον ένα x R τέτοιο ώστε μ A( x )=1 (κανονικότητα) και για κάθε πραγματικούς αριθμού x, ywτέτοιους, ώστε x < w< y να ισχύει η σχέση μ ( w) min{ μ ( x), μ ( y)}. (3) A A A Η τελευταία ιδιότητα είναι γνωστή και ως παραδοχή κυρτότητας. Ένας τριγωνικός ασαφής αριθμός A=( a1, a2, a 3) T, με a1 a2 a3 έχει συνάρτηση συμμετοχής που είναι γενικώς της μορφής: μ ( x)=0, x a x aa a, a < x a a xa a, a < x a 0, x a. (4) A 1 1 2 1 1 2 3 3 2 2 3 3 Έστω X i, i = 1,2,..., n υποσύνλα του συνόλου των πραγματικών αριθμων R, Y ένα υποσύνολο του R και A i, i = 1,2,..., n ασαφή σύνολα του X i, i = 1,2,..., n. Υποτίθεται ότι τα ασαφή αυτά σύνολα είναι κανονικοποιμένα και κυρτά (δηλ. είναι ασαφείς αριθμοί). Επίσης, έστω f μια συνάρτηση του συνόλου X1 X2... Xn στο υποσύνολο Y του R, δηλαδή: f : X X... X Y. 1 2 n (5) Για κάθε xi X i, i = 1,2,..., n, y = f( x1, x2,..., x n) είναι η τιμή της παραμέτρου επιτελεστικότητας ή απόκρισης y που αντιστοιχεί στις τιμές x 1, x 2,..., x n. 6

Ο αλγόριθμος μέσω του οποίου μπορεί να καθοριστεί ένα ασαφές σύνολο A στο Y από τα ασαφή σύνολα A i, i = 1,2,..., n διαμέσου της συνάρτησης f ακολουθεί τα παρακάτω βήματα (Wood, 1989), (Otto, 1993a), (Otto, 1993b): 1. Επιλέγονται κατάλληλες τιμές a, j =1, K, m στο διάστημα (0,1]. Έστω j =1. j a j i ij ij (1) (2) 2. Για κάθε a j, καθορίζονται τα κλειστά διαστήματα A =[ b, b ] του X i που αντιπροσωπεύουν τις a -τομές των ασαφών συνόλων, A, i = 1,2,..., n. j 3. Παράγονται όλοι οι συνδυασμοί των τιμών των άκρων των κλειστών διαστημάτων a j (1) (2) A = [ b, b ], i = 1, 2,..., n,. Είναι προφανές ότι κάθε συνδιασμός είναι μια n -άδα, ( b, i b,..., ij b ) ij (1) (2), όπου b { b, b } και i = 1,2,..., n. 1 2 n i ij ij 4. Για κάθε n -άδα ( b1, b2,..., b n) που καθορίστηκαν στο βήμα 3, υπολογίζονται οι τιμές: n y = f( b, b,..., b ), l = 1, 2,3,..., 2. l 1 2 n i 5. Υπολογίζουμε ως a j -τομή του ασαφούς συνόλου A του Y το παρακάτων κλειστό διάστημα 6. a j n A= [min{ y : l = 1, 2,3,..., 2 }, max{ y : l = 1, 2,3,..., n }]. l l 7. Εάν j < m, αυξάνεται το j κατά 1 και ο αλγόριθμος επιστρέφει στο Βήμα 2, διαφορετικά τερματίζεται. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΜΕ ΑΣΑΦΗ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Θεωρούμε το πλαίσιο του Σχήματος 1 που αντιστοιχεί σε μια υφιστάμενη κατασκευή. Τα μέλη έχουν τα παρακάτω χαρακτηριστικά: Διαστάσεις υποστυλωμάτων 45/45cm Διαστάσεις δοκών 20/50cm Ποσότητα άνω (αντίστοιχ. κάτω) οπλισμού στήριξης 8.0cm 2 (αντίστοιχ. 4.0cm 2 ). Ο οπλισμός των κατακορύφων στοιχείων είναι 8Φ20. Θεωρούμε ότι οι μετρήσεις που έγινα για τα υλικά του φορέα έδωσαν τους ασαφείς αριθμούς που φαίνονται στα Σχήματα 2,3 για το χάλυβα και το σκυρόδεμα αντίστοιχα. Η ερμηνεία για παράδειγμα του Σχήματος 2 είναι η εξής: Η τάση διαρροής του χάλυβα είναι βέβαιο ότι θα είναι 400MPa, αλλά πιθανές είναι και άλλες τιμές μεταξύ 375 και 450 ΜPa. Tιμές μικρότερες από 375 και μεγαλύτερες από 450 MPa είναι απίθανο να εμφανιστούν. Η βεβαιότητα εμφάνισης τιμών μεταξύ 375 και 400 MPa μεταβάλλεται γραμμικά από 0 (απίθανο) σε 1 (βεβαιότητα). Αντίστοιχη πρόταση ισχύει και για τη βεβαιότητα εμφάνισης τιμών μεταξύ 400 και 450 MPa. 7

Οι δοκοί του συστήματος φορτίζονται με μόνιμο φορτίο 30.0 kn/m και ωφέλιμο φορτίο 15.0 kn/m. Επίσης θεωρούμε ότι η κατασκευή βρίσκεται σε χώρο όπου Αντισεισμικός Κανονισμός (ΕΑΚ, 2000) οδηγεί στις παρακάτω τιμές των διαφόρων παραμέτρων: Κατηγορία εδάφους: B Απόσβεση: 5% Συντελεστής σπουδαιότητας: 1.00 Συντελεστής θεμελίωσης: 1.00 Συντελεστής συνδυασμού δράσεων ψ = 0.3 2 3.50 3.00 3.00 3.00 0.500 0.450 2 A s = 8.0 cm 2 A s = 4.0 cm 0.250 Φ20 Φ20 Φ20 Φ20 Φ20 Φ20 Φ20 Φ20 0.450 5.00 5.00 Σχήμα 1: Το θεωρούμενο υφιστάμενο πλαίσιο, και οι διαστάσεις και οπλισμοί δοκών και στύλων. 5.00 Σχήμα 2: Ο ασαφής αριθμός που εκφράζει την τάση διαρροής του χάλυβα 8

Σχήμα 3: Ο ασαφής αριθμός που εκφράζει τη θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος Για τη τιμή της φασματική επιτάχυνσης που πιθανόν να δεχτεί ο φορέας, θεωρούμε ότι υφίσταται αβεβαιότητα στον καθορισμό της, λόγω ύπαρξης ενός ή περισσοτέρων από τους παράγοντες που αναφέρθηκαν παραπάνω. Στο Σχήμα 4 εμφανίζεται ένα σενάριο ποσοτικοποίησης της αβεβαιότητας αυτής. Η κατάστρωση των σεναρίων αβεβαιότητας μπορεί να προκύψει από την αξιολόγηση όλων των διαθέσιμων στοιχείων για τη σεισμικότητα της περιοχής και την εκτίμηση της γενικότερης κατάστασης της κατασκευής από το μελετητή. Στο παράδειγμα που θα μελετηθεί εδώ, είναι βέβαιο ότι η επιτάχυνση θα εμφανίζει την τιμή 0.16g, αλλά είναι πιθανή η εμφάνιση μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών (0.14g~0.20g). Σχήμα 4: Ο ασαφής αριθμός που εκφράζει τη φασματική επιτάχυνση που πιθανόν θα δεχτεί ο φορέας. Στόχος της μελέτης είναι ο προσδιορισμός της απόκρισης του φορέα που εκφράζεται από την καμπύλη συμπεριφοράς και την τιμή της μετακίνησης της οροφής. Αναμένεται ότι η αβεβαιότητα στις ιδιότητες των υλικών και στη τιμή της φασματικής επιτάχυνσης θα έχει επιπτώσεις και στη συμπεριφορά του φορέα. 9

Για τον οπλισμό διάτμησης, γίνεται απλοποιητικά η παραδοχή ότι τα μέλη διαθέτουν τον απαιτούμενο οπλισμό διάτμησης ωστε να εμφανιστούν μόνον πλάστιμες μορφές αστοχίας. Οι στατικοί υπολογισμοί εκτελούνται με πρόγραμμα ανελαστικής ανάλυσης σύμφωνα με τις προδιαγραφές των κειμένων της FEMA (FEMA273, 1997), (FEMA274, 1997). Για την εφαρμογή του αλγορίθμου της προηγούμενης ενότητας, θεωρούνται οι συνδυασμοί του Πίνακα 1, που αποτελούν τις απαιτούμενες n -άδες για το βήμα 4 του αλγορίθμου. H επίλυση των παραπάνω συνδυασμών δίνει τις αντίστοιχες μέγιστες μετακινήσεις της οροφής του φορέα. Η επεξεργασία των αποτελεσμάτων δίνει τον ασαφή αριθμό που αντιστοιχεί στη μέγιστη μετακίνηση της οροφής που φαίνεται στο Σχήμα 5. Σύμφωνα με το σχήμα, η τιμή μετακίνησης 0.079m είναι βέβαιο ότι θα εμφανιστεί, είναι όμως πιθανό να εμφανιστούν μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές, από 0.056 έως 0.106m. Προφανώς ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η πιθανότητα να εμφανιστούν μεγαλύτερες τιμές και το γεγονός αυτό πρέπει να ληφθεί υπόψη στο σχεδιασμό, π.χ. με την αποδοχή της μέγιστης εμφανιζόμενης τιμής ή με τον καθορισμό ενός ανεκτού επιπέδου βεβαιότητας και καθορισμού της αντίστοιχης τιμής της μετακίνησης. Για παράδειγμα, εάν θεωρήσει κανείς ως αποδεκτό επίπεδο βεβαιότητας το 0.25, η μέγιστη τιμή της μετακίνησης που αντιστοιχεί στο επίπεδο αυτό προκύπτει από το διάγραμμα του Σχήματος 5 ίση με 0.10m. Πίνακας 1: Οι απαιτούμενες n -άδες ( n = 3 ) για την εφαρμογή του αλγορίθμου α/α Βεβαιότητα f y (MPa) f c (MPa) a(g) 1 0 375 12 0.14 2 0 375 18 0.14 3 0 450 12 0.14 4 0 450 18 0.14 5 0 375 12 0.2 6 0 375 18 0.2 7 0 450 12 0.2 8 0 450 18 0.2 9 0.5 387.5 13 0.15 10 0.5 387.5 17 0.15 11 0.5 425 13 0.15 12 0.5 425 17 0.15 13 0.5 387.5 13 0.18 14 0.5 387.5 17 0.18 15 0.5 425 13 0.18 16 0.5 425 17 0.18 17 1 400 16 0.16 10

Σχήμα 5: Ο ασαφής αριθμός που εκφράζει την παράμετρο απόκρισης «Μέγιστη μετακίνηση οροφής». Mε τρόπο όμοιο με αυτόν που παρουσιάστηκε παραπάνω είναι δυνατή η ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας για όλες τις παραμέτρους απόκρισης, όπως π.χ. για τις πλαστικές στροφές των άκρων των μελών ή των χορδών των μελών, προκειμένου να εκτελεσθούν οι έλεγχοι επάρκειας, ανάλογα με το επίπεδο επιτελεστικότητας που έχει καθοριστεί ως στόχος για το σχεδιασμό. Το Σχήμα 6 δίνει τη περιβάλλουσα των καμπυλών συμπεριφοράς που ορίζουν την «ασαφή» καμπυλη συμπεριφοράς για τον υπόψη φορέα. Επίσης δίνεται η περιβάλλουσα των φασμάτων απαίτησης που ορίζει το «ασαφές» φάσμα απαίτησης. Πάνω στο σχήμα δίνονται επίσης τα σημεία ακραία σημεία που υπολογίστηκαν για τη μέγιστη μετακίνησης οροφής.ο όρος ασαφής χρησιμοποιείται εδώ εντός εισαγωγικών γιατί δεν είναι εφικτός ο μαθηματικός ορισμός των αντίστοιχων μεγεθών, όμως από μηχανικής απόψεως ο όρος «ασαφής» αποδίδει πλήρως το περιεχόμενο των μεγεθών αυτών. 11

Σχήμα 6: Η «ασαφής» καμπύλη συμπεριφοράς του φορέα και το «ασαφές» φάσμα απαίτησης. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ATC-40 (1996), Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings, prepared by the Applied Technology Council (Report No. ATC-40), Redwood City, California for the California Seismic Safety Commission (Report No. SSC 96-01). EAK2000, (2001), Eλληνικός Αντισεισμικός Κανονισμός, ΟΑΣΠ, Αθήνα. FEMA273( 1997), NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, prepared by the Building Seismic Safety Council for the Federal Emergency Management Agency, Washington, D.C. FEMA274, (1997), NEHRP Commentary on the Guidelines for Seismic Rehabilitation of Buildings, prepared by the Building Seismic Safety Council for the Federal Emergency Management Agency, Washington, D.C. FEMA307, (1998), Evaluation of Earthquake-Damaged Concrete and Masonry Wall Buildings Technical Resources, prepared by the Applied Technology Council (ATC-43 Project), for the Federal Emergency Management Agency, Washington, D.C. Freudenthal, A. (1947), The safety of structures, Transactions of ASCE 112 (1947) pp. 125--180. Mayer, M. (1926), Safety of Structures, Springer, Berlin. Otto, K. and Antonsson, E. (1993), Extensions to the Taguchi method of product design, ASME J. of Mechanical Design 115(1) pp. 5--13. Otto, K. and Antonsson, E., Tuning parameters in engineering design, ASME J. of Mechanical Design 115(1) pp. 14--19. Pugsley, A. (1995), Concepts of safety in structural engineering, Journal of the Institution of Civil Engineers 35(5). SEAOC (1999), Recommended Lateral Force Requirements and Commentary, Sixth Edition, Structural Engineers Association of California, Sacramento, California. 12

Wood, K. and Antonsson, E. (1989), Computations with imprecise parameters in engineering design: Background and theory, ASME J. of Mechanisms, Transmissions and Automation in Design 111(4) pp. 616--625. Zimmermann, H. (1985), Fuzzy Set Theory and Its Applications, Kluwer, Boston. 13