ΟΚΑ από Ευστάθεια σε Κατασκευές από Σκυρόδεμα Φαινόμενα 2 ης Τάξης (Λυγισμός) ΟΚΑ από Ευστάθεια παρουσιάζεται σε κατασκευές οι οποίες περιλαμβάνουν δομικά στοιχεία μεγάλης λυγηρότητας με σημαντικές θλιπτικές δυνάμεις Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΟΚΑ από Ευστάθεια Λυγισμός = αστοχία από απώλεια της ευστάθειας ενός ΔΣυ ή ΔΣτ που υπόκειται σε κεντρική αξονική θλίψη. Σε πραγματικές οικοδομικές ΚΩΣ σπάνια υφίσταται καθαρός Λυγισμός αφού δεν υπάρχουν στοιχεία με μόνο κεντρική αξονική θλίψη. Υπάρχει πάντα το ενδεχόμενο ύπαρξης εκκεντρότητας (μικρής) από κατασκευαστικές ατέλειες ή ανομοιόμορφη συστολή ξήρανσης, ερπυσμό, στροφή θεμελίων κ.λπ. Σε ειδικές κατασκευές (π.χ. γεφυροποιία) η ευστάθεια αποτελεί σύνηθες πρόβλημα και πρέπει να αντιμετωπίζεται. Η εξασφάλιση της αντοχής επιβάλλει τον έλεγχο στην ΟΚΑ από ευστάθεια τόσο για το σύνολο της κατασκευής όσο και για τα επιμέρους θλιβόμενα στοιχεία Το πρόβλημα της ευστάθειας γίνεται εντονότερο τα τελευταία έτη όπου αφ' ενός λόγω της χρήσης καλύτερης ποιότητας υλικών αφ' ετέρου λόγω των υψηλοτέρων απαιτήσεων σχεδιασμού μειώνονται οι διαστάσεις των χρησιμοποιουμένων διατομών ή/και αυξάνονται τα αξονικά φορτία 1
Κοιλαδογέφυρες Κοιλαδογέφυρες 2
ΟΚΑ από Ευστάθεια Πάσαλλοι θεμελίωσης (σπάνια) Η εμφανιζόμενη αστάθεια στις κατασκευές αυτές οφείλεται στην πρόσθετη ένταση (ροπή κάμψης) η οποία αναπτύσσεται λόγω των παραμορφώσεων του δομικού συστήματος. Είδη αστάθειας Τοπική αστάθεια Αστάθεια πλαισίου με σταθερούς κόμβους σταθερά άκρα Κινητά άκρα Αστάθεια γραμμικών στοιχείων με έκκεντρη θλίψη Αστάθεια πλαισίου με κινητούς κόμβους 3
Γενική αστάθεια ομοιογενούς ελαστικής ράβδου Πλευρική αστάθεια (λόγω κάμψεως) αστάθεια επιφανειακών φορέων αστάθεια επιφανειακών φορέων Η λυγηρότητα (γεωμετρική) ενός γραμμικού δομικού στοιχείου λ ισούται με : λ= l 0 /i όπου: l 0 = Είναι το μήκος λυγισμού όπως υπολογίζεται με την θεωρία ελαστικότητας, i = (J c /A c ) = η ακτίνα αδρανείας του στοιχείου κατά την εξεταζόμενη διεύθυνση. Εξίσωση Euler Ιδιομορφές λυγισμού ράβδων Το μήκος λυγισμού l 0 μιας θλιβόμενης ομοιογενούς ελαστικής ράβδου ισούται με την απόσταση δύο συνεχόμενων σημείων καμπής της ράβδου (οιονεί σημεία στήριξης ) και εξαρτάται από τις συνθήκες στηρίξεως. Ισχύει: l 0 = k.l όπου: k = συντελεστής μήκους λυγισμού l = μήκος ράβδου 4
Ιδιομορφές λυγισμού ράβδων Ιδιομορφές λυγισμού ράβδων Ροπές σε λυγηρό πρόβολο με θλιπτικό αξονικό φορτίο αρχική εκκεντρότητα e 0 e 0 = e k + e 1 Μ 1 = Ν. e ο e k = κατασκευαστική εκκεντρότητα e 1 = εκκεντρότητα από ροπές 1 ης τάξης (απαραμόρφωτος φορέας εκκεντρότητα από παραμορφώσεις του φορέα (β τάξης) e 2 Συνολική εκκεντρότητα e tot e 2 = (χ) Μ 2 = Ν. e 2 e tot = e o + e 2 Μ tot = Ν. e tot 5
Ροπές σε λυγηρό πρόβολο με θλιπτικό αξονικό φορτίο αρχική εκκεντρότητα Οι παραμορφώσεις e 0 e 2 μπορεί να είναι αποτέλεσμα άμεσων δράσεων αλλά και χρόνιων e 0 = (ερπυσμός) e k + e 1 Μ 1 = Ν. e ο e k = κατασκευαστική εκκεντρότητα e 1 = εκκεντρότητα από ροπές 1 ης τάξης (απαραμόρφωτος φορέας εκκεντρότητα από παραμορφώσεις του φορέα (β τάξης) e 2 Συνολική εκκεντρότητα e tot e 2 = (χ) Μ 2 = Ν. e 2 Μικρή επιρροή των φαινομένων β τάξεως έχουμε όταν η δευτερογενής ροπή Μ 2 = Ν. e 2 < Μ sd M 1 Αυτό συνήθως μπορεί να συμβεί όταν το αξονικό φορτίο είναι μικρό ή/και οι παραμορφώσεις του ΔΣυ/ΔΣτ. είναι μικρές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, είναι επιτρεπτό οι εσωτερικές δυνάμεις να υπολογίζονται στο απαραμόρφωτο σύστημα (θεωρία 1ης τάξης ). Η επιρροή των φαινομένων 2ας τάξεως αγνοείται εάν η σχετική αύξηση των καμπτικών ροπών 1ης τάξεως λόγω των παραμορφώσεων δεν είναι μεγαλύτερη του 10%. e tot = e o + e 2 Μ tot = Ν. e tot Μικρή επιρροή των φαινομένων β τάξεως έχουμε όταν η δευτερογενής ροπή Μ 2 = Ν. e 2 < Μ sd M 1 Αυτό συνήθως μπορεί να συμβεί όταν το αξονικό φορτίο είναι μικρό ή/και οι παραμορφώσεις του ΔΣυ/ΔΣτ. είναι μικρές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, είναι Η συνθήκη επιτρεπτό αυτή ικανοποιείται οι εσωτερικές συνήθως δυνάμεις σε περιπτώσεις να υπολογίζονται αμετάθετων στο πλαισίων απαραμόρφωτο σύστημα (θεωρία 1ης τάξης ). Η επιρροή των φαινομένων 2ας τάξεως αγνοείται εάν η σχετική αύξηση των καμπτικών ροπών 1ης τάξεως λόγω των παραμορφώσεων δεν είναι μεγαλύτερη του 10%. Σε έκκεντρα φορτιζόμενα δομικά στοιχεία με σημαντικό αξονικό φορτίο η ροπή κάμψης λόγω της παραμόρφωσης του φορέα αυξάνει κατά Μ = P.[e+Δ(x)] όπου Δ(x) η εγκάρσια παραμόρφωση. Στην περίπτωση αυτή οι εσωτερικές δυνάμεις θα πρέπει να υπολογίζονται στο παραμορφωμένο δομικό σύστημα (θεωρία 2ης τάξης). Μ=P.[e+Δ] 6
e tot = e o + e 2 Μ tot = Ν. e tot 1/e 1/e tot Μ = P.[e+Δ(x)] e tot Μ tot = Ν. e tot Διαγράμματα αλληλεπίδρασης λυγηρών υποστυλωμάτων 7
Διάγραμμα ροπών σε λυγηρή ράβδο με θλιπτικό φορτίο Διάγραμμα αλληλεπίδρασης Διάγραμμα τελικών ροπών σε λυγηρή ράβδο με θλιπτικό φορτίο και διαφορετικές ροπές άκρων Ισοδύναμα διαγράμματα ροπών σε λυγηρή ράβδο με θλιπτικό φορτίο και διαφορετικές ροπές άκρων Επιρροή του είδους της παραμόρφωσης στοιχείου (λόγος των ροπών των άκρων) στην διαμόρφωση του διαγράμματος αλληλεπίδρασης σε λυγηρή ράβδο από ΩΣ 8
Επιρροή του είδους της παραμόρφωσης στοιχείου (λόγος των ροπών των άκρων) στην διαμόρφωση του διαγράμματος αλληλεπίδρασης σε λυγηρή ράβδο από ΩΣ e 2 = F(1/r) Για ημιτονοειδή καμπύλη κάμψεως e 2 = [l 2 o/π 2 ].1/r [l 2 o/10].1/r 9
ιαγράμματα ροπών Καμπυλοτήτων ιάγραμμα Μ-1/r υποοπλισμένης διατομής σκυροδέματος σε μη λυγηρό.στ. ιάγραμμα Μ-1/r υποοπλισμένης διατομής σκυροδέματος σε λυγηρό.στ. 10
ΕΚΩΣ 2000 Η εξασφάλιση της αντοχής και της ευστάθειας των κατασκευών επιβάλλει την εξέταση της επιρροής των παραμορφώσεων στην εντατική κατάσταση (θεωρία 2 ας τάξης). Η φέρουσα ικανότητα ευλύγιστων κατασκευών ή ευλύγιστων μελών υπό θλίψη ενδέχεται να μειώνεται σημαντικά λόγω των φαινομένων 2 ας τάξης Η επιρροή των φαινομένων 2ας τάξεως αγνοείται εάν η σχετική αύξηση των καμπτικών ροπών 1ης τάξεως λόγω των παραμορφώσεων δεν είναι μεγαλύτερη του 10%. Η εφαρμογή των παρακάτω περιορίζεται σε μέλη από ωπλισμένο σκυρόδεμα υπό τη δράση αξονικού θλιπτικού φορτίου, με ή χωρίς κάμψη, όπου οι επιρροές της στρέψης είναι αμελητέες ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ κατά ΕΚΩΣ 2000 Ο έλεγχος έναντι φαινομένων 2ας τάξεως πρέπει να εξασφαλίζει ότι, για τους πιο δυσμενείς συνδυασμούς των δράσεων στην οριακή κατάσταση αστοχίας, δεν θα υπάρξει υπέρβαση της αντοχής μεμονωμένων διατομών υπό τη δράση κάμψεως και αξονικής θλιπτικής δύναμης και αφετέρου δεν θα υπάρξει απώλεια ευστάθειας (τοπική ή στο σύνολο της κατασκευής). Ο έλεγχος γίνεται προς κάθε διεύθυνση στην οποία ενδέχεται να υπάρξει αστοχία λόγω των φαινομένων της 2ας τάξεως. επιτρέπεται έλεγχος μεμονωμένων υποστυλωμάτων και πλαισίων με προσεγγιστικές μεθόδους, ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Α. προσεγγιστική μεθοδολογία ελέγχου μεμονωμένων υποστυλωμάτων έναντι φαινομένων 2ας τάξεως Προσδιορισμός εάν το υποστύλωμα είναι ευλύγιστο ή μη. Μόνο τα ευλύγιστα υποστυλώματα χρειάζεται να ελεγχθούν έναντι των φαινομένων 2ας τάξεως, Επιλογή μεθοδολογίας ελέγχου των ευλύγιστων υποστυλωμάτων Λόγω των φαινομένων 2 ας τάξεως θεωρείται ότι η αύξηση ροπών που δημιουργείται είναι πάνω από το 10% για τα ευλύγιστα υποστυλώματα και κάτω από το 10% για τα μη-ευλύγιστα 11
δp δy Mρ My Pu δy 29/5/2013 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Β. προσεγγιστική μεθοδολογία ελέγχου πλαισίων έναντι φαινομένων 2ας τάξεως Προσδιορισμός εάν το πλαίσιο είναι αμετάθετο ή μεταθετό. Ο σχεδιασμός κτιρίων με μεταθετά πλαίσια πρέπει να αποφεύγεται για λόγους αντισεισμικής συμπεριφοράς. Τα αμετάθετα πλαίσια επιτρέπεται να αναλύονται με στατική 1 ης τάξεως, δηλ. αγνοώντας τα φαινόμενα 2 ας τάξεως στην ανάλυση, αλλά εν συνεχεία επιβάλλεται κάθε υποστύλωμα να ελέγχεται μεμονωμένα, με τα εντατικά μεγέθη που προέκυψαν από την ανάλυση, έναντι των φαινομένων 2ας τάξεως. ΑΜΕΤΑΘΕΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Αμετάθετα είναι τα πλαίσια των οποίων οι κόμβοι παρουσιάζουν πολύ μικρές μετατοπίσεις υπό τις δράσεις σχεδιασμού Στα πλαίσια αυτά η σχετική αύξηση των καμπτικών ροπών λόγω των παραμορφώσεων δεν είναι μεγαλύτερη από 10%. Θεωρείται ότι ο έλεγχος αυτός εξασφαλίζεται μέσω των πρακτικών κριτηρίων αμεταθετότητας που δίνονται παρακάτω. Για λόγους αντισεισμικής συμπεριφοράς συνιστάται γενικά ο σχεδιασμός αμετάθετων πλαισίων. ΑΜΕΤΑΘΕΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΑΜΕΤΑΘΕΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Τα πλαίσια μπορούν να θεωρηθούν ως αμετάθετα όταν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις α) Γενικώς εάν σε κάθε όροφο ικανοποιείται η σχέση Δείκτης μετελαστικής συμπεριφοράς q P δ δ δu P y δ u M x Φ e (x) E CI e φy Φp φ y Φ u 12
ΑΜΕΤΑΘΕΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ β) Για συνήθη οικοδομικά έργα, εάν τα κατακόρυφα στοιχεία ακαμψίας είναι επαρκώς ομοιόμορφα κατανεμημένα μέσα στο κτίριο και στη βάση του κτιρίου ικανοποιείται η ακόλουθη σχέση ΑΜΕΤΑΘΕΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ - Πρόσθετη κλίση Για κάλυψη διαφόρων επιρροών, πρέπει στον υπολογισμό των αμεταθέτων πλαισίων να λαμβάνεται υπόψη μια πρόσθετη κλίση «α» όλων των κατακόρυφων στοιχείων (υποστυλώματα, τοιχώματα κλπ.) ως προς την κατακόρυφο με τιμή Τέτοιες επιρροές είναι αποκλίσεις των διαστάσεων του συστήματος κατά την κατασκευή, αθέλητες εκκεντρότητες των φορτίων κλπ. Η πρόσθετη κλίση μπορεί να αντικατασταθεί με ισοδύναμες οριζόντιες δυνάμεις Σε αυτήν την πρόσθετη κλίση δεν περιλαμβάνονται διαφορικές καθιζήσεις και στροφές θεμελίων λόγω εδάφους. Αυτές πρέπει να λαμβάνονται επιπροσθέτως υπόψη στον υπολογισμό για ορισμένες περιπτώσεις ειδικών κατασκευών και δυσμενών εδαφικών συνθηκών επιτρέπεται για την περίπτωση κτιρίων με υποστυλώματα, που σε όλους τους ορόφους συντρέχουν σε κόμβους με δοκούς, ώστε να μορφώνεται πλαίσιο στη δεδομένη διεύθυνση, να πολλαπλασιάζεται η παραπάνω τιμή του α επί τον μειωτικό συντελεστή n ο αριθμός των στηλών υποστυλωμάτων 13
ΜΕΤΑΘΕΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕΤΑΘΕΤΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Ακριβής έλεγχος των φαινομένων 2ας τάξεως Ανάλυση της κατασκευής με στατική 2ας τάξεως έλεγχο έναντι μεγεθών ορθής εντάσεως των κρίσιμων διατομών των μελών της κατασκευής. Θα λαμβάνεται υπόψη η γεωμετρική μη-γραμμικότητας και η μη-γραμμικότητα των καταστατικών νόμων των υλικών (σκυροδέματος και χάλυβα ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΑ ΘΛΙΒΟΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ μπορεί να είναι 14
ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΜΗΚΟΣ ΛΥΓΙΣΜΟΥ Για συνήθη κτίρια l o =β.l col l col l o =β.l col l o =β.l col lo =β.l col α = 1.00 για απέναντι άκρο ελαστικά ή πλήρως πακτωμένο, α = 0.50 για απέναντι άκρο ελευθέρως στρεπτό, α = 0 για δοκό πρόβολο β=1 β=0.5 0.5<β<1 l o =β.l col l col l o =β.l col lo =β.l col l o =β.l col α = 1.00 για απέναντι άκρο ελαστικά ή πλήρως πακτωμένο, α = 0.50 για απέναντι άκρο ελευθέρως στρεπτό, α = 0 για δοκό πρόβολο β=2 β=1 1<β< l o =β.l col 1<β< 15
Πρόσθετη εκκεντρότητα Για την κάλυψη ατελειών και αβεβαιοτήτων που δεν λαμβάνονται υπόψη στον υπολογισμό, πρέπει να λαμβάνεται υπόψη μια πρόσθετη εκκεντρότητα, e a, του σημείου εφαρμογής της συνισταμένης των εξωτερικών αξονικών δυνάμεων κατά την περισσότερο δυσμενή διεύθυνση, που δίνεται από τη σχέση Τέτοιες ατέλειες και αβεβαιότητες σχετίζονται με: την αβεβαιότητα ως προς το σημείο εφαρμογής και την διεύθυνση της αξονικής δύναμης (εκτιμώμενης σε 20mm), τις αποκλίσεις του ελαστοπλαστικού κέντρου βάρους της διατομής, τον προσεγγιστικό τρόπο υπολογισμού του ερπυσμού, τις κατασκευαστικές ατέλειες. Εκκεντρότητες υπολογισμού Η ολική εκκεντρότητα που πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τον υπολογισμό υποστυλώματος σταθερής διατομής (σκυροδέματος και οπλισμού) στην πλέον εντεινόμενη διατομή (κρίσιμη διατομή) είναι Στα υποστυλώματα σταθερής διατομής (σκυροδέματος και οπλισμού) που καταπονούνται με ροπές των οποίων το διάγραμμα μεταβάλλεται γραμμικά και οι εκκεντρότητες τους στα άκρα έχουν διαφορετικές τιμές ή / και πρόσημα (βλ. Σχήμα 14.3), λαμβάνεται ως e 0 στην κρίσιμη διατομή η μεγαλύτερη από τις ακόλουθες 16
Επιρροή ερπυσμού Η επιρροή του ερπυσμού πρέπει εν γένει να λαμβάνεται υπόψη εάν οδηγεί σε σημαντική αύξηση των φαινομένων 2ας τάξεως Ως σημαντική αύξηση θεωρείται σύμφωνα με την παρ. η αύξηση των ροπών πέραν του 10%. Για συνήθη οικοδομικά έργα (κτίρια) η επιρροή του ερπυσμού δεν είναι σημαντική και επομένως επιτρέπεται να μην λαμβάνεται υπόψη Στα αμετάθετα πλαίσια οι ερπυστικές παραμορφώσεις επιτρέπεται να παραλείπονται όταν τα λυγηρά θλιβομενα στοιχεία συνδέονται μονολιθικά στα άκρα τους με πλάκες, δοκούς ή θεμέλια Ελεγχος Λυγηρότητας Η λυγηρότητα (γεωμετρική) ενός γραμμικού δομικού στοιχείου λ ισούται με : λ= l 0 /i όπου: l 0 = μήκος λυγισμού, (ισοδύναμο μήκος) i = (J c /A c ) = η ακτίνα αδρανείας του στοιχείου κατά την εξεταζόμενη διεύθυνση. Ελεγχος Λυγηρότητας Ένα μεμονωμένο υποστύλωμα θεωρείται ευλύγιστο εάν : Έλεγχος Λυγηρότητας Υποστυλώματα σε αμετάθετα συστήματα χωρίς εγκάρσια φορτία μεταξύ των ακρών των δεν απαιτείται να υπολογιστούν κατά την θεωρία 2ας τάξεως και όταν ακόμη δεν ικανοποιούν τη προηγούμενη συνθήκη (λ<max ) εφόσον η λυγηρότητα τους είναι μικρότερη ή ίση με την τιμή όπου v d ανηγμένη αξονική δύναμη σχεδιασμού υπό το βασικό συνδυασμό οριακής κατάστασης αστοχίας Τα άκρα του υποστυλώματος πρέπει να διαστασιολογηθούν για τα ακόλουθα εντατικά μεγέθη σχεδιασμού αντοχής 17
Έλεγχος μεμονωμένων θλιβόμενων στοιχείων Μέθοδος πρότυπου υποστυλώματος - εφαρμόζεται όταν : σε ορθογωνικές ή κυκλικές διατομές όταν λ 140 στις οποίες η εκκεντρότητα 1 ης τάξης είναι e o 0.10h (h το ύψος της διατομής στο επίπεδο ελέγχου ) h Για λυγηρότητες λ>140 πρέπει να εφαρμόζονται ακριβέστερες μέθοδοι Δεν επιτρέπονται λυγηρότητες λ> 200 Μέθοδος πρότυπου υποστυλώματος «Πρότυπο» υποστύλωμα είναι ένα κατακόρυφο στοιχείο που: είναι πακτωμένο στη βάση και ελεύθερο στην κορυφή κάμπτεται με απλή καμπυλότητα λόγω φορτίων (αξονικών ή συγκεντρωμένων / κατανεμημένων οριζόντιων) ή / και ροπής στην κορυφή, έχει πρακτικώς σταθερές διαστάσεις διατομής και σταθερούς οπλισμούς καθ'ύψος. το μέγιστο βέλος e 2 (εκκεντρότητα 2ας τάξεως) και η καμπυλότητα, 1/r, στη βάση του υποστυλώματος μπορεί να θεωρηθεί ότι συνδέονται μέσω της προσεγγιστικής σχέσης. Μέθοδος πρότυπου υποστυλώματος Μέθοδος πρότυπου υποστυλώματος 18
Διαξονική Κάμψη Για τον έλεγχο υποστυλωμάτων σε διαξονική κάμψη με αξονική θλιπτική δύναμη έναντι φαινομένων 2ας τάξεως πρέπει γενικά να χρησιμοποιούνται κατάλληλες ακριβείς μέθοδοι Σε υποστυλώματα ορθογωνικής διατομής, επιτρέπεται χάριν απλοποιήσεως να γίνουν χωριστοί έλεγχοι έναντι φαινομένων 2ας τάξεως στα δύο κύρια επίπεδα y και z (δηλ. δύο έλεγχοι μονοαξονικής κάμψεως και θλιπτικής δύναμης) με την προϋπόθεση ότι οι λόγοι των αντίστοιχων εκκεντρότητων e y /b και e z /h ικανοποιούν μία από τις παρακάτω συνθήκες: Διαξονική Κάμψη Οι εκκεντρότητες e y και e z είναι οι εκκεντρότητες 1ης τάξεως στην κατεύθυνση yz των διαστάσεων b και h της διατομής αντιστοίχως. Οι γεωμετρικές ατέλειες της παρ. 14.4.3 θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη στα επίπεδα των δύο χωριστών ελέγχων. Εάν e z > 0.20h, στους παραπάνω χωριστούς ελέγχους πρέπει ο έλεγχος για κάμψη περί τον δευτερεύοντα άξονα της διατομής (ζ στο παραπάνω σχήμα) να βασίζεται στο μειωμένο πλάτος h' όπως δίνεται στο σχήμα. Διαξονική Κάμψη Η τιμή του h μπορεί να προσδιοριστεί με την παραδοχή της γραμμικής κατανομής των τάσεων, δηλ. από τη σχέση 19