ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ. Αντοχή Υλικού

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Αντοχή Υλικού Ερρίκος Μουρατίδης (BSc, MSc) Σεπτέμβριος 015

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το έργο αυτό αδειοδοτείται από την Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές Άδεια. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής, επισκεφτείτε Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Κεντρικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 Τ.Ε.Ι. ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΞΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΗ (Εφελκυσμός θλίψη) Ορθή τάση: σ = N F ( Pa ) N: Αξονική δύναμη (Ν) F: Εμβαδόν διατομής (m ) ΚΑΘΑΡΗ ΚΑΜΨΗ Ορθή τάση: σ = M I y M (Μ z ): ροπή κάμψης (Nm) y: απόσταση από ουδέτερο άξονα (m) I (I z ) : Ροπή αδρανείας (m 4 ) Ροπές αδρανείας Α. Ορθογωνική διατομή (bxh): Ι = bh 3 / 1 B. Κυκλική διατομή ακτίνας R: I = πr 4 / 4 C. Τυχαία διατομή Εφαρμογή θεωρήματος Steiner. Ροπή αδρανείας I ως προς άξονα παράλληλο προς τον κεντροβαρικό σε απόσταση α: Ι = Ι + α F Μέγιστη εφελκυστική τάση (max σ) Περίπτωση θετικής ροπής κάμψης max σ = σ u = M Μ maxy u = ( Pa ) I Wu I όπου W u = maxy (ροπή αντίστασης), maxy u: απόσταση κέντρου βάρους από το κάτω όριο u Μέγιστη θλιπτική τάση (min σ) Περίπτωση θετικής ροπής κάμψης min σ = σ ο = - M Μ maxy o = - I W ( Pa ) o I όπου W o = maxy (ροπή αντίστασης), maxy o: απόσταση κέντρου βάρους από το άνω όριο o Σε περίπτωση ορθογωνικής διατομής W u = W o = W = bh / 6 (m 3 ) Σε περίπτωση κυκλικής διατομής W u = W o = W = πr 3 / 4 (m 3 ) 3

4 ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΟΡΘΗ ΔΥΝΑΜΗ σ = Μ y+ N I F ( Pa ) Σε περίπτωση θετικής ροπής: Μ N max σ = maxy u + I F = Μ Wu N + F ( Pa ) Μ N min σ = - maxy o + I F = - Μ N + Wo F ( Pa ) ΔΙΠΛΗ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΟΡΘΗ ΔΥΝΑΜΗ σ = Μ Μ N I I F z y y ± z + ( Pa ) z y ΗΛΟΙ ΚΟΧΛΙΕΣ P Διατμητική τάση τ = nmπr (Pa) Ορθή τάση σύνθλιψης άντυγας της οπής : σ L = n : αριθμός ήλων ή κοχλιών m : αριθμός επιφανειών διάτμησης R : ακτίνα ήλων κοχλιών d : διάμετρος ήλων κοχλιών t min : πάχος λεπτότερου ελάσματος P ndt min ΔΙΑΤΜΗΣΗ ΛΟΓΩ ΚΑΜΨΗΣ Διατμητική τάση τ = VS ( Pa ) I b V (Q y ) : τέμνουσα δύναμη (Ν) S (S z ) : Στατική ροπή αποκοπτόμενης επιφάνειας (m 3 ) I (I z ) : Ροπή αδρανείας (m 4 ) b : πλάτος διατομής (m) Μέγιστη διατμητική τάση από τέμνουσα σε ορθογωνική διατομή: 3V maxτ ( Pa ) F 4

5 ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ - ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΙΣ Ορθή (ανηγμένη) παραμόρφωση ε = ΔL / L ΔL : μεταβολή μήκους (m) L : αρχικό μήκος (m) Διατμητική παραμόρφωση γ = Δα / α (rad) Δα : ολίσθηση απέναντι πλευράς (m) α : μήκος προσκείμενης πλευράς (m) Σχέση ορθής τάσης ορθής παραμόρφωσης: σ = Ε ε Ε : μέτρο ελαστικότητας Young (Pa) (νόμος Hooke) Σχέση διατμητικής τάσης διατμητικής παραμόρφωσης: τ = G γ (νόμος Hooke) E G = (Pa) (Μέτρο ολίσθησης ή τέμνον μέτρο ελαστικότητας) (1+μ) μ : συντελεστής εγκάρσιας παραμόρφωσης ή λόγος Poisson Γενικευμένος νόμος Hooke: ε x = [σ x μ (σ y + σ z )] / E ε y = [σ y μ (σ x + σ z )] / E ε z = [σ z μ (σ x + σ y )] / E Αξονική μετατόπιση σε περίπτωση αξονικής καταπόνησης : ΔL = L P dx (m) Αν P,E,A σταθερά: ΔL = PL EF EF (m) 0 5

6 ΚΥΡΙΟΙ ΑΞΟΝΕΣ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ Κύριες τάσεις: σ +σ σ -σ σ 1,= ± +τ x y x y 1 τ Γωνία κυρίων αξόνων : θ 0= arctan σx-σ σx-σ y Μέγιστη διατμητική τάση : max τ = +τ 1 σx-σ Γωνία μέγιστης διατμητικής τάσης : θ 1= arctan τ y y (θ 0 = θ 1 45 ο ) Κύκλος Mohr max τ τ τ θ1 σ σx θ0 (σx+σy)/ σy σ1 σ min τ 6

7 ΣΤΡΕΨΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΔΙΑΤΟΜΗ L Mt ML Γωνία στροφής λόγω στρέψης φ = dx t (rad) Αν M t,g, Ι p σταθερά: φ = GI GI Ανηγμένη γωνία στροφής θ = φ / L M t : ροπή στρέψης (Nm) Ι p = r df πολική ροπή αδράνειας (m 4 ) F 0 Πολική ροπή αδρανείας κυκλικής διατομής ακτίνας R: Ι p = πr 4 / (m 4 ) Πολική ροπή αδρανείας κυκλικού δακτυλίου: I p = π(r 4 r 4 )/ (m 4 ) R : εξωτερική ακτίνα r : εσωτερική ακτίνα p p Διατμητική τάση λόγω στρέψης: τ = M t r p (Pa) r : απόσταση από το κέντρο του κύκλου ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΗ ΔΙΑΤΟΜΗ Γωνία στροφής λόγω στρέψης ορθογωνικής διατομής bxh όπου h η μεγάλη πλευρά : ML t φ = βgb 3 h (rad) Διατμητικές τάσεις λόγω στρέψης ορθογωνικής διατομής : M t maxτ = αb h (Pa) στο μέσο της μεγάλης πλευράς τ μ = maxτ b / h (Pa) στο μέσο της μικρής πλευράς h / b α ,31 0,39 0,46 0,58 0,67 0,8 0,99 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0,196 0,14 0,9 0,49 0,63 0,81 0,99 0,307 0,313 0,333 7

8 ΛΥΓΙΣΜΟΣ Περιπτώσεις λυγισμού i ii iii iv Κρίσιμο φορτίο λυγισμού (Euler) : P κρ = I min : ελάχιστη ροπή αδράνειας π ΕΙ min LK Ρ (Ν) Μήκος λυγισμού L K i ii iii iv L K L L 0.5L 0.7L Ελάχιστη ακτίνα αδρανείας i min = Imin F (m) Κρίσιμη τάση λυγισμού : σ κρ = Ρ κρ / F = π Ε / λ (Pa) Λυγηρότητα: λ = L K / i min 8

9 ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ y(x) Διαφορική εξίσωση: d y(x) dx M(x) = EI Οριακές συνθήκες 1. Πάκτωση: Κατακόρυφη μετατόπιση y = 0 Οριζόντια μετατόπιση u = 0 Στροφή φ = dy dx = 0. Άρθρωση Κατακόρυφη μετατόπιση y = 0 Οριζόντια μετατόπιση u = 0 Στροφή φ = dy dx 0 3. Κύλιση Κατακόρυφη μετατόπιση y = 0 Οριζόντια μετατόπιση u 0 Στροφή φ = dy dx 0 Εξισώσεις συνέχειας σε κάθε σημείο: Συνέχεια μετατοπίσεων : y αριστερά = y δεξιά Συνέχεια στροφών : φ αριστερά = φ δεξιά dy dx αριστερά = dy dx δεξιά 9

10 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΝΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 1.ΟΛΚΙΜΑ ΥΛΙΚΑ 1α. ΚΡΙΤΗΡΙΟ TRESCA σ Αν σ 1 σ > 0 : Υπάρχει αστοχία όταν σ 1 > σ Δ ή σ > σ Δ Αν σ 1 σ < 0 : Υπάρχει αστοχία όταν σ ισ = σ 1 -σ > σ Δ σ 1, σ : κύριες τάσεις με σ 1 > σ Mises σ Δ Tresca 14% σ Δ : τάση αστοχίας - σ Δ 0 σ Δ σ 1 1β. ΚΡΙΤΗΡΙΟ VON MISES - σ Δ Υπάρχει αστοχία αν σ ισ = σ 1 +σ-σ1σ > σ Δ.ΨΑΘΥΡΑ ΥΛΙΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΜΟΗR Υπάρχει αστοχία όταν ο κύκλος Mohr μιας εντατικής κατάστασης δεν βρίσκεται στο εσωτερικό της περιβάλλουσας Mohr. Πρώτος κύκλος σ 1 = σ ε, σ Δ = 0, όπου σ ε Δ : τάση αστοχίας σε εφελκυσμό Δεύτερος κύκλος σ 1 = 0, σ = σ θ, όπου σ θ Δ Δ : τάση αστοχίας σε θλίψη Τρίτος κύκλος τ Δ : σ 1 = -σ = τ Δ όπου τ Δ τάση αστοχίας σε καθαρή διάτμηση τ τ Δ Θ σ Δ σ Δ ε σ περιβαλλουσα Mohr 10