Διάρκεια μιας Ομολογίας (Duration) Ανοσοποίηση (Immunization)
Προσδιορισμός της Τιμής όταν η Ομολογία Αγοράζεται μεταξύ δύο Τοκοφόρων Περιόδων Για να υπολογίσουμε την τιμή της ομολογίας πρέπει: Υπολογίζουμε τον αριθμό των ημερών που υπάρχουν από την ημερομηνία συναλλαγής έως την επόμενη τοκοφόρο περίοδο. Βρίσκουμε την ΠΑ των ταμειακών εισροών της ομολογίας. P = T/(1+k a ) Z + T/(1+k a ) 1+Z + T/(1+k a ) 2+Z +...+ T/(1+k a ) N-1+Z + TE/(1+k a ) N-1+Z Ζ = αριθμός ημερών από ημερομηνία συναλλαγής έως επόμενη περίοδο/αριθμός ημερών τοκοφόρου περιόδου Υπολογίζουμε τους δεδουλευμένους τόκους. Προσδιορίζουμε την καθαρή τιμή της ομολογίας.
Cum-Interest και Ex-Interest Διαπραγμάτευση Όταν ο αγοραστής λαμβάνει το τοκομερίδιο της επόμενης περιόδου η ομολογία λέγεται ότι διαπραγματεύεται Cum-Interest. Όταν ο αγοραστής δεν λαμβάνει το τοκομερίδιο της επόμενης περιόδου η ομολογία λέγεται ότι διαπραγματεύεται Ex-Interest.
Υπολογισμός του Επιτοκίου Αγοράς ή Απόδοσης στη Λήξη (yield to maturity) Το επιτόκιο αγοράς υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Εσωτερικού Βαθμού απόδοσης (ΕΒΑ)
Διάρκεια μιας Ομολογίας (Duration) Ορισμός: Διάρκεια είναι ο σταθμικός μέσος αριθμός των ετών ο οποίος απαιτείται για να εισπράξει ο κάτοχος μιας ομολογίας την ονομαστική της αξία και τα τοκομερίδια της. Υπολογισμός της διάρκειας: Βρίσκουμε την ΠΑ των ταμειακών εισροών που παρέχει μια ομολογία στον κάτοχό της κάθε έτος. Εκφράζουμε τις ανωτέρω ΠΑ κάθε έτους ως ποσοστό της συνολικής ΠΑ της ομολογίας. Πολλαπλασιάζουμε τα ανωτέρω ποσοστά κάθε έτους με τον αριθμό του έτους όπου πραγματοποιείται η κάθε πληρωμή και αθροίζουμε.
Χρησιμότητα της Διάρκειας Η διάρκεια μετρά πόσα χρόνια πρέπει να περιμένουμε για την είσπραξη των ΚΤΡ της ομολογίας. Η διάρκεια χρησιμοποιείται για την αξιολόγηση και ιδιαίτερα για τη διαδικασία επιλογής ομολογιών. Η διάρκεια είναι ένας δείκτης ευαισθησίας των τιμών των ομολογιών σε μεταβολές των επιτοκίων.
Χαρακτηριστικά της Διάρκειας Αντίστροφη σχέση μεταξύ διάρκειας και ύψους τοκομεριδίου. Αντίστροφη σχέση μεταξύ διάρκειας και απόδοσης στη λήξη. Η διάρκεια αυξάνεται καθώς αυξάνεται ο χρόνος λήξης μιας ομολογίας, αλλά με φθίνοντα ρυθμό. Η διάρκεια μιας ομολογίας χωρίς τοκομερίδια ισούται πάντα με τον χρόνο λήξης της. Η διάρκεια μιας ομολογίας με τοκομερίδια είναι πάντα μικρότερη από τον χρόνο λήξης της.
Τροποποιημένη Διάρκεια (Modified Duration) Η Τροποποιημένη διάρκεια μας παρέχει τη δυνατότητα να εκτιμήσουμε τη μεταβολή της τιμής μιας ομολογίας στην αγορά που οφείλεται σε μεταβολή των επιτοκίων. Η σχέση όμως αυτή είναι ακριβής για πολύ μικρές μεταβολές των επιτοκίων. D m = D/ 1+i Η ποσοστιαία μεταβολή της τιμής μιας ομολογίας είναι κατά προσέγγιση ίση με το γινόμενο της τροποποιημένης διάρκειας (με αρνητικό πρόσημο) επί τη μεταβολή των επιτοκίων σε δεκαδική μορφή ΔP/P 0 -D/(1+i) x Δi x 100
Η Κυρτότητα μιας Ομολογίας (Bond s Convexity) Στην D m η ικανότητα ακριβούς εκτίμησης υποβαθμίζεται όσο μεγαλύτερη είναι η μεταβολή των επιτοκίων. Αυτό οφείλεται στο ότι η εξίσωση της D m παράγει συμμετρικές ποσοστιαίες μεταβολές. Στην πραγματικότητα η σχέση μεταξύ τιμής ομολογίας και απόδοσης στη λήξη δεν είναι γραμμική αλλά κυρτή.
Ανοσοποίηση (Immunization) Immunization is accomplished simply by calculating the duration of the promised out-flows and then investing in a portfolio of bonds that has an identical duration The duration on the portfolio with N bonds: D p = w 1 D 1 +w 2 D 2 + +W n D n
Example A portfolio manager has one and only one cash outflow to make from a portfolio 1,000,000, which is to be paid in 2 years. Its duration is simply 2 years. Now the bond portfolio manager is considering investing in two different bond issues. The first issue Maturity 3 years, amount of cash flow: 80, 80 and 1080, D=2.78, currently selling for 950.25 The second issue Maturity 1 year, single payment of 1070, currently selling for 972.73, YTM = 10%
Example Consider the choices available to the portfolio manager: All of the portfolio s funds could be invested in the one-year bonds (If interest rates declined during the next year, the portfolio manager faces reinvestment-rate risk). All of the portfolio s funds could be invested in the three-year issue (If interest rates rise, the portfolio manager faces interest-rate risk). One proposed solution is to invest part of the portfolio s funds in the one-year bonds and the rest in the three-year bonds. How much should be placed in each issue?
Example If immunization is used: W 1 + W 3 = 1 (W 1 x 1) + (W 3 x 2.78) = 2 W 1 = 1- W 3 [(1- W 3 ) x 1] + (W 3 x 2.78) = 2 W 3 = 0.5618 W 1 = 0.4382 In order to purchase bonds that would create a fully immunized portfolio, the portfolio manager would need: 1,000,000/(1.10) 2 =826,446 0,4382 x 826,446 = 362,149 one year bond 0,5618 x 826,446 = 464,297 three year bonds 362,149/972.73 = 372.3 one year bond 464,297/950.25 = 488.6 three year bonds
Example What does immunization accomplish? If yields rise: The portfolio s losses caused by the selling of the three-year bonds at a discount after two years. Will be exactly offset by: The gains from reinvesting the maturing one-year bonds at the higher rate. If yields fall: The loss from being able to reinvest the maturing one-year bonds at a lower rate. Will be exactly offset by: Being able to sell the three-year bonds after two years at a premium.
Example Value at t=2 from reinvesting one-year bond proceeds [1,070 x 372.3 x (1+y)] Value at t=2 from reinvesting coupons received at t=1 on three-year bonds [80 x 488.6 x (1+y)]= Coupons received at t=2 [80 x 488.6]= Selling price at t=2 [1,080 x 488.6/(1+y)]= Yield to Maturity at the end of one year 9% 10% 11% 434,213 438,197 442,181 42,606 42,997 43,388 39,088 39,088 39,088 484,117 479,716 475,395 Aggregate portfolio value at t=2 1,000,024 999,998 1,000,052