THE ROLE OF IMPLICIT MODELS IN SOLVING VERBAL PROBLEMS IN MULTIPLICATION AND DIVISION E F R A I M F I S C H B E I N, T E L - A V I V U N I V E R S I T Y M A R I A D E R I, U N I V E R S I T Y O F P I S A M A R I A S A I N A T I N E L L O, U N I V E R S I T Y O F P I S A M A R I A S C I O L I S M A R I N O, U N I V E R S I T Y O F P I S A ΒΑΛΙΑΔΗ ΜΑΡΙΑ Δ201521 ΜΑΡΚΟΥ ΑΝΝΑ Δ201505
ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 Αφορά τις δυσκολίες των παιδιών πάνω στα λεκτικά προβλήματα του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Bell, Swan, Taylor (1981): όταν στα παιδιά παρουσιάζονται μια σειρά προβλημάτων, μπορούν να αλλάξουν την σκέψη τους σχετικά με τον τρόπο που θα το διαχειριστούν για την επίλυση του. 1 γαλόνι βενζίνης κοστίζει 1,20.Πόσο κοστίζουν τα 0,22 γαλ.? 1,20:0,22 1 γαλόνι βενζίνης κοστίζει 2.Πόσο κοστίζουν τα 5 γαλ.? 5*2 Hart (1980) :οι μαθητές απέφευγαν συστηματικά να πολλαπλασιάζουν με κλάσματα. Ένα χέλι 15cm χρειάζεται 9cm φαγητά. Πόσο φαγητό χρειάζεται ένα χέλι 25cm?
Θεωρητικό Πλαίσιο-Άδηλα Μοντέλα προβλημάτων 3 Κάθε θεμελιώδη εγχείρημα της αριθμητικής γενικά παραμένει συνδεδεμένο σε ένα άδηλο, ασυνείδητο, και πρωτόγονο διαισθητικό μοντέλο, όπου επιβάλλει τους δικούς του περιορισμούς σχετικά με τη διαδικασία αναζήτησης. Διαχείριση 2 αριθμητικών δεδομένων ενδιάμεσο/έμμεσο στάδιο ένα άδηλο μοντέλο Οι μαθητές: Είτε θα καταφύγει σε έμμεσους τρόπους να λύσει το πρόβλημα, όπως π.χ. χρησιμοποιώντας μια αναλογία ή κάνοντας μια υπόθεση βασισμένη σε μια παγκόσμια εντύπωση, ή απλά δεν θα ανταποκριθεί. Δυσκολεύονται να διεισδύσουν στο πρόβλημα και στην κατανόηση της απαιτούμενης λειτουργίας. Ο τρόπος επίλυσης μπλοκάρεται από την δυσαρμονία αριθμητικών δεδομένων με συγκεκριμένους περιορισμούς άδηλων μοντέλων.
Παράγοντες που επηρεάζουν την δυσκολία ενός προβλήματος Η εξοικείωση του περιεχομένου και το είδος των ποσοτήτων που συμμετέχουν όπως επίσης το μέγεθος και το είδος των αριθμών που χρησιμοποιούνται. 4 Είναι πιο δύσκολο να ερμηνευτούν καταστάσεις του πολλαπλασιασμού παρά της επαναλαμβανόμενης πρόσθεσης. Οι μαθητές έχουν δυσκολία λόγω ορισμένων αποτελεσμάτων τα οποία άκομψα σχετίζονται σε συγκεκριμένους χειρισμούς. π.χ. Πολλαπλασιασμός μεγαλύτερο Διαίρεση μικρότερο
Τα δεκαδικά ψηφία. Άλλοι παράγοντες Λεκτικές νύξεις (η προκατάληψη της διαδικασίας επίλυσης). Συγκεκριμένο περιεχόμενο μπορεί να διευκολύνει την εξεύρεση λύσης. Οι μαθητές εξακολουθούν να δεσμεύονται με ένα συγκεκριμένο νόημα αρχικά συνδεδεμένο με έναν χειρισμό. Οι περισσότεροι έφηβοι δεν φθάνουν στο στάδιο της τυπικών χειρισμών. 5 Η δυσκολία που προκαλείται από ένα άγνωστο κείμενο, το οποίο από μόνο του μπορεί να οδηγήσει σε σημαντική σύγχυση και λάθος.
Η φύση του άδηλου μοντέλου Η προσπάθεια για ανακάλυψη ενός διαισθητικού μοντέλου το οποίο ένα άτομο συνδέει άδηλα με έναν συγκεκριμένο χειρισμό(πράξη). 6 Piaget: Κάθε νοηματική διεργασία περιλαμβανομένων των εργασιών της αριθμητικής είναι σταδιακά ριζωμένη σε πρακτικές καταστάσεις. Vs Το ενεργό πρωτότυπο ενός αριθμητικού χειρισμού παραμένει σταθερά προσαρμοσμένο στην αντίληψη, ακόμα και καιρό μετά την απόκτηση επίσημου χαρακτήρα της αντίληψης.
Μοντέλα συνδεδεμένα με αριθμητικές πράξεις Το διαισθητικό μοντέλο τα οποία συνδέεται με την: 7 Πρόσθεση: να θέτεις δύο (ή περισσότερα) ασύνδετα αντικείμενα προκειμένου να αποκτήσει ένα νέο σύνολο, την ένωση τους. Αφαίρεση: - το να πάρεις - το να χτίζεις
Μοντέλα συνδεδεμένα με αριθμητικές πράξεις Πολλαπλασιασμός : ως πρωταρχικό μοντέλο το οποίο έχει συνδεθεί με την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση. 3 x 5 σημαίνει 5 + 5 + 5 ή 3 + 3 + 3 + 3 + 3. 0,63 φορές ή 3/7 φορές δεν ανταποκρίνεται στα άδηλα μοντέλα των μαθητών, ενώ η πράξη 3x0.63 = 0.63 + 0.63 + 0.63 ανταποκρίνεται. Διαίρεση: Η δομή του προβλήματος καθορίζει ποιο μοντέλο θα ενεργοποιηθεί. Δύο μοντέλα: 8 Η μερική διαίρεση(συλλογή-διαμερισμός): Δ>δ (δ ακέραιος) και π< Δ. Ποσοστιαία Διαίρεση(μέτρησης): πόσες φορές μια δεδομένη ποσότητα περιέχεται σε μια μεγαλύτερη ποσότητα. Πρέπει Δ>δ,π (είναι ακέραιος). Δ19 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ-ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΣΗΣ
Η Έρευνα Πραγματοποιήθηκε σε: 628 μαθητές 13 διαφορετικά σχολεία στην Πίζα της Ιταλίας. - 228 άτομα στην τάξη 5 (10 ή 11 ετών), - 202 στην τάξη 7 (12 ή 13 ετών), - 198 στην τάξη 9 (14 ή 15 ετών) Εργαλεία Τεστ 42-κομματιών περιέχοντας: - 12 προβλήματα πολλαπλασιασμού - 14 προβλήματα διαίρεσης και - 16 προβλήματα με πρόσθεση ή αφαίρεση(απλή αναφορά) Το τεστ χωρίστηκε σε δύο τμήματα, το μέρος Α και το μέρος Β, περιέχοντας το καθένα 21 ασκήσεις. 9
Η διαδικασία Τα είδη των προβλημάτων μοιράστηκαν τυχαία στην τάξη. 10 Ζητήθηκε από τους μαθητές: - Να διαβάζουν προσεκτικά το πρόβλημα πριν καταγράψουν την απάντηση τους. - Να μην εκτελούν τον υπολογισμό να διατυπώνουν την σκέψη τους για την επίλυση του προβλήματος.
ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Η δομή των παρακάτω διαφανειών είναι η εξής: 1. Ερωτήματα Α και Β ομάδας 2. Στατιστικά αποτελέσματα για το κάθε ερώτημα 3. Συμπεράσματα για τα αποτελέσματα Ορισμοί : 1. Operator: χειριστής ο αριθμός των ισοδύναμων συλλογών 2. Operand: τελεστής το μέγεθος της κάθε συλλογής 11 Σημείωση: Επαλήθευση εικασιών για τις απόψεις των μαθητών πάνω στα άδηλα μοντέλα, ανά 2 ή 3 ερωτήσεις με βάση τα στατιστικά αποτελέσματα.
Operator και operand είναι φυσικοί αριθμοί και δεν παρουσιάζεται πρόβλημα 12
Operator στο 3 είναι φυσικός, ενώ στα 4 και 5 δεκαδικός(τρόπος διαχείρισης του χειριστή). Άγνωστη λέξη στο 5. 13
Operator στο 6 είναι φυσικός αριθμός και δεν έχει σημασία ο operand. Επίσης, λιγότερο οικείος ο αριθμός 0,65 από τον 0,75. 14
Ίδια νούμερα, θεωρητικά και ο ίδιος βαθμός δυσκολίας,αλλά στο πρόβλημα 9 έχουμε τα μισά ποσοστά επιτυχίας. Διαφορετικός ρόλος στα νούμερα. 15
Αν ο δεκαδικός αριθμός είναι στο σύνολό του μεγάλος αριθμός όπως εδώ το 3,25 οι μαθητές τον θεωρούν ως operator και κάνουν διαίρεση ανεξάρτητα με τον operand που είναι φυσικός. 16
Συμπεράσματα: Ο ρόλος του δεκαδικού στην δομή ενός προβλήματος πολλαπλασιασμού είναι καθοριστικός για την ανάκτηση της σωστής πράξης. Ένα πρόβλημα πολλαπλασιασμού γίνεται πιο δύσκολο όταν ο operator είναι ένας δεκαδικός(παραβιάζεται η σύνδεση με την πρόσθεση). Εάν ολόκληρο το μέρος του δεκαδικού είναι αρκετά μεγάλο σε σχέση με το δεκαδικό μέρος, ωστόσο, φαίνεται να συμβαίνει ένα αποτέλεσμα απορρόφησης της υποδιαστολής, το οποίο μειώνει την ισχύ του ως operator. 17
ΔΙΑΙΡΕΣΗ Η δομή των παρακάτω διαφανειών είναι η εξής: 1. Ερωτήματα Α και Β ομάδας 18 2. Στατιστικά αποτελέσματα για το κάθε ερώτημα 3. Συμπεράσματα για τα αποτελέσματα
Παρουσιάζεται πρόβλημα περισσότερο με τους μαθητές της 5 ης τάξης, κυρίως λόγο των μονάδων μέτρησης. 19
Εδώ παρουσιάζεται δυσκολία, διότι ο διαιρετέος είναι μικρότερος του διαιρέτη, ως νούμερα. Μεγάλη πτώση των ποσοστών. Οι μαθητές πραγματοποιούν τη σωστή πράξη, αλλά αλλάζουν τη σειρά των αριθμών. 20
Αλλάζοντας το είδος της διαίρεσης(όχι μερική) και μεγαλώνοντας τους αριθμούς, παρουσιάστηκε μη αναμενόμενη δυσκολία, παρόλο που υπήρχαν πάλι φυσικοί αριθμοί. 21
Παρουσιάζεται πάλι η παραβίαση: ο διαιρετέος μικρότερος του διαιρέτη και παράλληλα έχουμε και δεκαδικό αριθμό. Παραδόξως, οι μαθητές δεν αλλάζουν τη σειρά(λιγότερη δυσκολία από τα προβλήματα 16 και 17). 22
Ο operator εμφανίζεται σε δεκαδική μορφή, οπότε παραβιάζεται η διαδικασία του διαμερισμού. 23
Αλλαγή ρόλων στους αριθμούς πτώση των ποσοστών Ο διαιρέτης δεν μπορεί να είναι δεκαδικός. Αλλαγή στη πράξη και αλλαγή της σειράς. 24
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 25 Τα αποτελέσματα για τη διαίρεση μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η υπόθεση μας για τα δύο βασικά διαισθητικά μοντέλα χρειάζονται κάποια τροποποίηση. Η υπόθεση επιβεβαιώθηκε με τους μαθητές της 9 ης τάξης αλλά όχι με της 5 ης. Οδηγηθήκαμε στην εικασία ότι, αρχικά υπάρχει μόνο ένα έξυπνο πρωτόγονο μοντέλο για τα προβλήματα διαίρεσης-το μερικό μοντέλο. Μέσω της διδασκαλίας, οι μαθητές αποκτούν ένα δεύτερο διαισθητικό μοντέλο- το quotative(ποσοστιαίο) μοντέλο. Στην 9 η τάξη, το μοντέλο αυτό έχει γίνει σταθερό και ασκεί μεγάλη επιρροή, αλλά οι μαθητές της 7 ης τάξης βρίσκονται ακόμα σε μεταβατικό στάδιο όσον αφορά τα δύο μοντέλα.
ΣΥΖΗΤΗΣΗ 26 Πρωτόγονα διαισθητικά μοντέλα, για τα οποία δεν έχουν γνώση οι μαθητές και τα οποία εμποδίζουν τις μαθηματικές διαδικασίες. Σημαντικός ο ρόλος των αριθμών που δίνονται. Δύσκολο το έργο των ερευνητών ως προς την ερμηνεία αυτών των μοντέλων(τυπική και μη τυπική αντιμετώπιση των μαθηματικών από τους μαθητές). Πήγες των μοντέλων: 1. Διδασκαλία των μαθηματικών στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού(αρχικές μέθοδοι από τους εκπαιδευτικούς για να βοηθήσουν τους μαθητές με τις πράξεις). 2. Η φύση του ανθρώπου να αλλάζει, να ερμηνεύει και να ελίσσεται.
ΣΥΖΗΤΗΣΗ 27 Οι συγγραφείς αναφέρουν ότι αν η ερμηνεία τους είναι σωστή, θέτει ένα δίλημμα στους εκπαιδευτικούς, αν θα πρέπει δηλαδή να συνεχίσουν ή όχι με τις αρχικές διαδικασίες με τις οποίες διδάσκουν μαθηματικά(κυρίως στον πολ/σμο και τη διαίρεση). Τα αρχικά διδακτικά μοντέλα φαίνεται να έχουν γίνει τόσο βαθιά ριζωμένα στο μυαλό του μαθητή που συνεχίζουν να ασκούν ένα ασυνείδητο έλεγχο της νοερής του συμπεριφοράς, ακόμη και αφού ο εκπαιδευόμενος έχει αποκτήσει επίσημη πρόσβαση στις μαθηματικές έννοιες που είναι στέρεες και σωστές. Δ19 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ-ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΣΗΣ
ΠΡΟΤΑΣΗ 28 Το επόμενο βήμα σε αυτή τη γραμμή της έρευνας θα είναι να προσπαθήσει να παρέχει στους εκπαιδευόμενους αποτελεσματικές νοητικές στρατηγικές που θα του επιτρέψουν στη συνέχεια να μπορεί να έχει τον έλεγχο των επιπτώσεων αυτών των πρωτόγονων μοντέλων. Δ19 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ-ΨΥΧΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΣΗΣ
ΣΑΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΟΥΜΕ ΠΟΛΥ! 29