5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε τετραγώνου είναι ίσες. Σ Λ β) Τα ύψη ενός ρόμβου είναι ίσα. Σ Λ γ) Κάθε παραλληλόγραμμο με κάθετες διαγωνίους είναι ρόμβος. Σ Λ δ) Κάθε τετράπλευρο με ίσες διαγωνίους είναι ορθογώνιο. Σ Λ 2. Αν δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ έχουν κοινό μέσο, τι μπορείτε να συμπεράνετε για το τετράπλευρο ΑΓΒΔ ; 3. Να δικαιολογήσετε την πρόταση : «παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα». Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση και να εξετάσετε αν ισχύει. 4. Υπάρχει τετράπλευρο που είναι συγχρόνως ορθογώνιο και ρόμβος ; 5. Ένα τετράγωνο είναι ρόμβος ; 6. Ποιο παραλληλόγραμμο έχει ίσες διαγωνίους ; Τι συμβαίνει σε ένα ρόμβο με ίσες διαγωνίους ; 7. Υπάρχει ρόμβος με όλες τις γωνίες του ίσες ; 8. Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την ΑΒ προς το Β και παίρνουμε σημείο Ε και την ΒΓ προς το Γ και παίρνουμε σημείο Ζ με ΒΕ =ΓΖ. Η ΕΓ τέμνει τη ΔΖ στο Η. Να συμπληρώσετε τις επόμενες προτάσεις : α) Τα τρίγωνα ΒΕΓ και... είναι ίσα. β) Η γωνία Β Γˆ Ε είναι ίση με τη γωνία... αλλά ίση και με τη γωνία... γ) Οι ευθείες ΕΓ και ΔΖ σχηματίζουν... γωνία. 9. *Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και από τις κορυφές Α και Γ φέρουμε καθέτους ΑΕ και ΓΖ στη διαγώνιο ΒΔ. α) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΓΒΖ είναι ίσα. β) Να δείξετε το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. 1

10. *Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και έστω ΑΜ η διάμεσός του. Από τις κορυφές Β και Γ του τριγώνου φέρνουμε τις κάθετες ΒΕ και ΓΖ προς την ευθεία της διαμέσου ΑΜ. Να δείξετε ότι : α) ΒΕ = ΓΖ β) Το τετράπλευρο ΒΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο. 11. * Σε κάθε παραλληλόγραμμο να αποδείξετε ότι : α) Οι διχοτόμοι δύο απέναντι εξωτερικών γωνιών του είναι παράλληλες. β) Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών εξωτερικών γωνιών του είναι κάθετες. 12. *Έστω Ε το μέσο της πλευράς ΑΒ ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, για το οποίο ισχύει ΑΒ=2ΒΓ. Να αποδείξετε ότι : α) Η διχοτόμος της γωνίας Βˆ διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα ΓΕ και την πλευρά ΓΔ. β) Οι διχοτόμοι των γωνιών Â και Βˆ τέμνονται σε σημείο της ΓΔ. 13. **Από σημείο Μ εκτός κύκλου κέντρου Ο φέρουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ και ΜΒ αυτού. Η διάμετρος του κύκλου, που είναι κάθετη στην ΟΜ, τέμνει τις ευθείες ΜΑ και ΜΒ στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Η ευθεία ΑΟ τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι ευθεία ΔΕ είναι εφαπτομένη του κύκλου. 14. *Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΒ ΓΔ. Αν Κ, Λ, Μ, Ν είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα, τότε : α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο. β) Αν επιπλέον είναι ΑΓ = ΒΔ, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο. 15. *Αν μέσα σ ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάσουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΔΕ είναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του. 16. *Έξω από ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, ΓΔΗ και ΔΑΘ. Να αποδείξετε ότι και το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο. 17. *Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στην προέκταση της ΑΒ προς το Β και της ΒΓ προς το Γ θεωρούμε τα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΕ=ΓΖ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. 18. **Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â =90 ) φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ και την προεκτείνουμε κατά ίσο ευθύγραμμο τμήμα ΜΔ. Η κάθετη από το Δ προς τη ΒΓ τέμνει τις διχοτόμους των γωνιών Βˆ και Γˆ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΖ=ΑΒ και ΔΕ=ΑΓ. 2

8 η διδακτική ενότητα : Εφαρμογές των παραλληλογράμμων 19. Ποιο είναι το ορθόκεντρο ορθογώνιου τριγώνου ; 20. Ποιο είναι το περίκεντρο ορθογώνιου τριγώνου ; 21. Σε τρίγωνο ΑΒΓ η διάμεσος ΑΔ έχει μήκος 12 cm και Κ σημείο της διαμέσου με ΑΚ= 8cm. Οι διάμεσοι από τις κορυφές Β και Γ θα περάσουν από το Κ ; 22. Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ οι διαγώνιοι τέμνονται στο Ο και έστω Ε το μέσο της πλευράς ΑΒ. Η ΓΕ τέμνει τη ΒΟ στο Ζ. Τότε α) Η ΒΟ είναι... του ΑΒΓ. β) Το σημείο Ζ είναι το... του ΑΒΓ. γ) ΓΖ =...ΓΕ (να συμπληρώσετε τον κατάλληλο αριθμό) δ) ΟΖ =...ΒΖ (να συμπληρώσετε τον κατάλληλο αριθμό) 23. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με = 90 Â και Βˆ = 30 φέρουμε τη διάμεσο ΑΜ. Να βρείτε το είδος των τριγώνων στα οποία χωρίζεται το ΑΒΓ. 24. Αν Ε, Ζ είναι αντίστοιχα τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ και Μ σημείο της ΒΓ, να βρείτε το μέσο του ΑΜ. 25. *Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και = 40 ΒΓ και Ε το μέσο της ΑΓ, να υπολογίσετε τη γωνία Βˆ ΔΕΓ.. Αν Δ είναι το μέσο της 26. * Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την πλευρά του ΔΑ κατά τμήμα ΑΗ = ΑΔ. Φέρνουμε τη διχοτόμο της γωνίας Δˆ, που τέμνει την ΑΒ στο Ζ. Να δείξετε ότι : α) το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές. β) η γωνία Δ ẐH είναι ορθή. 27. * Να αποδείξετε ότι : α) τα μέσα των πλευρών ενός ορθογωνίου είναι κορυφές ρόμβου β) τα μέσα των πλευρών ενός ρόμβου είναι κορυφές ορθογωνίου 3

28. * Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι κορυφές τετραγώνου, αν και μόνο αν το ΑΒΓΔ έχει ίσες και κάθετες διαγώνιες. 29. *Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η διχοτόμος της ορθής γωνίας διχοτομεί και τη γωνία του ύψους και της διαμέσου που αντιστοιχούν στην υποτείνουσα. 30. *Έστω Ο το κέντρο παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και Ε το μέσο της πλευράς ΓΔ. Αν η ΑΕ τέμνει τη ΒΔ στο Ζ, να αποδείξετε ότι ΑΖ=2ΕΖ και ΟΔ=3ΟΖ. 31. **Να αποδείξετε ότι : α) Η ευθεία που διέρχται από τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ διχοτομεί τη διάμεσο ΑΔ. β) Το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα των πλευρών τριγώνου ΑΒΓ έχει το ίδιο βαρύκεντρο με το ΑΒΓ. 32. **Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α παίρνουμε α αντίστοιχα τα σημεία Δ, Ε και Ζ, ώστε να είναι ΑΔ = ΒΕ = ΓΖ =. Να 3 αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο με πλευρές μία προς μία κάθετες προς τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ. 33. **Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒΓ (Α=90 ο ) φέρουμε τις ΑΔ ΒΓ, ΔΕ ΑΒ και ΔΖ ΑΓ (Δ,Ε,Ζ σημεία των ΒΓ, ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα). Αν η διάμεσος ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ τέμνει τη ΔΖ στο σημείο Η, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΕΖΗ είναι παραλληλόγραμμο. (Υπόδειξη : Να συγκρίνετε τα τρίγωνα ΑΖΗ και ΔΕΒ) 34. **Σε ένα μη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη ΒΔ και ΓΕ τέμνονται στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των ΒΓ και ΑΖ είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΔΕ. 35. **Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Â = 45. Αν ΒΔ, ΓΕ είναι ύψη του τριγώνου και Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΜΔΕ είναι : α) ισοσκελές β) ορθογώνιο 4

9 η διδακτική ενότητα : Τραπέζια 36. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών και των διαγωνίων τραπεζίου είναι συνευθειακά σημεία. Σ Λ β) Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και ΓΔ=3ΑΒ. ΑΝ Ε και Ζ τα μέσα των διαγωνίων του τότε : i) Η ευθεία ΕΖ διέρχεται από τα μέσα των ΑΔ και ΒΓ. Σ Λ 1 ii) Ισχύει ΕΖ= ΓΔ. Σ Λ 2 iii) Το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ορθογώνιο. Σ Λ iv) Οι ευθείες ΑΕ και ΒΖ είναι κάθετες στη ΒΓ. Σ Λ 37. Υπάρχει τραπέζιο στο οποίο οι διαγώνιες διχοτομούνται ; 38. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ=α και ΓΔ=β, α<β. Έστω Μ το μέσο της ΑΔ και Ν το μέσο της ΒΓ. Η ΜΝ τέμνει την ΑΓ στο Ζ και τη ΒΔ στο Ε. Να υπολογίσετε τα μήκη των ΜΕ, ΕΖ και ΖΝ. 39. * Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) έχουμε Â = Δˆ = 90 και Βˆ = 60. Αν ΓΔ=2 και ΒΓ=8, τότε : α) Να υπολογίσετε την ΑΒ. β) Αν Ε είναι το μέσο της ΑΔ και Ζ το μέσο της ΒΓ, να υπολογίσετε τη διάμεσο ΕΖ του τραπεζίου. 40. *Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΑΒ=ΑΓ=ΒΔ=α και ΓΔ=2α. Να υπολογίσετε τις γωνίες του. 41. *Σε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) θεωρούμε το μέσο Ε της ΒΓ και την ΕΖ//ΑΔ που τέμνει την πλευρά ΓΔ στο Ζ. Αν Η το μέσο της ΑΔ, να αποδείξετε ότι : α) Το τετράπλευρο ΗΕΖΔ είναι παραλληλόγραμμο β) ΒΖ ΓΔ 42. **Δίνεται ένα ημικύκλιο κέντρου Ο και διαμέτρου ΑΒ. Στην ΑΒ θεωρούμε δύο σημεία Γ και Δ με ΑΓ = ΒΔ και απ αυτά φέρουμε δύο παράλληλες που τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η ΕΖ είναι κάθετη στις ΕΓ και ΖΔ. 5