5.-5. Σύνθετα θέματα (version 4--06) Σ. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΔ και τα σημεία Ε, Ζ, Η και Κ των πλευρών ΑΒ, Β, Δ και ΑΔ αντίστοιχα ώστε ΑΕ Η και ΔΚ ΒΖ. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο ΕΖΗΚ είναι παραλληλόγραμμο, ii) οι Α, ΒΔ, ΕΗ και ΚΖ συντρέχουν. νωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες οπότε ΑΔΒ και αφού μας δίνεται ότι ΔΚΒΖ με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: Α Κ Β ΒΖ ΑΚ Ζ Τα τρίγωνα ΑΕΚ και ΗΖ έχουν: ΑΕ Η από δεδομένα Αως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου ΠΠ είναι ίσα οπότε θα έχουν και ΕΚΗ () ΑΚ Ζ όπως δείξαμε πιο πάνω νωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες οπότε ΑΒΔ και αφού μας δίνεται ότι ΑΕΗ με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: ΑΒ ΑΕ Η ΕΒ Η Τα τρίγωνα ΕΒΖ και ΗΔΚ έχουν: Κ ΒΖ από δεδομένα Β ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου ΠΠ είναι ίσα οπότε θα έχουν και ΕΖΚΗ () ΕΒ Η όπως δείξαμε πιο πάνω Από () και () το τετράπλευρο ΕΖΗΚ έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο ίσες, οπότε από γνωστό κριτήριο (το (i) συγκεκριμένα) είναι παραλληλόγραμμο. ii) Αφού ΑΒΔ παραλληλόγραμμο η ΒΔ διέρχεται απο το μέσο της διαγωνίου Α Αφού όπως δείξαμε ΕΖΗΚ είναι παραλληλόγραμμο, η ΚΖ διέρχεται από το μέσο της ΕΗ. Αν μπορέσουμε να δείξουμε ότι οι διαγώνιες Α και ΕΗ έχουν κοινό μέσο τότε θα έχουμε δείξει ότι και οι 4 ευθείες διέρχονται από το σημείο αυτό δηλαδή συντρέχουν. Πράγματι το ΑΕΗ είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει ΑΕ//Η οπότε οι διαγώνιοί του Α και ΕΖ διχοτομούνται δηλαδή έχουν κοινό μέσο έστω Ο. Αρα οι Α, ΒΔ, ΕΗ και ΚΖ συντρέχουν στο Ο. 5.-5. ΣΥΝΘΕΤΑ ΛΥΣΕΙΣ.docx Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Σ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ παραλληλογράμμου ΑΒΔ κατά τμήμα ΒΕ Β και επί της ημιευθείας ΔΑ θεωρούμε σημείο Ζ, ώστε ΔΖ Δ. Να αποδείξετε ότι ΖΕ 90. Η γωνία Β είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΒΕ οπότε: Η γωνία Β είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΒΕ οπότε: ( ) Β +Ε Β + Β Β Β Ζ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΔ και Β Ομως το τρίγωνο ΔΖ είναι ισοσκελές οπότε Ζ 3 οπότε 3. Πλέον Β Β+ 80 + + 90 (Οι Β και είναι παραπληρωματικές ως εντός και επι τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ και Δ που τέμνονται από την Β). 5.-5. ΣΥΝΘΕΤΑ ΛΥΣΕΙΣ.docx Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Σ3. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΔ. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ Β και την ΑΔ κατά τμήμα ΔΖ Δ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ζ, και Ε είναι συνευθειακά. Φέρνω το τμήμα Ζ και το Ε.Αρκεί να δείξω ότι η γωνία ΕΖ είναι ευθεία. ++ 80 Στο τρίγωνο ΒΕ: Επειδή ΒΕΒ είναι Ε () Η γωνία Β είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΒΕ οπότε: ( ) Β +Ε Β + Β Β Β Στο τρίγωνο ΔΖ: Επειδή ΔΖΔ είναι Ζ () Η γωνία Β είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΒΕ οπότε: ( ) +Ζ Β + Ομως Β ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου επομένως Β Αρα: Β Β ++ ++ Β+ 80 (οι Β και είναι παραπληρωματικές ωι εντός και επί τα αυτά των παραλλήλων ΑΒ και ΔΕ που τέμνονται από την Β). 5.-5. ΣΥΝΘΕΤΑ ΛΥΣΕΙΣ.docx Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3
Σ4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ Α) και σημείο Δ της Α. Προεκτείνουμε την ΑΒ κατά τμήμα ΒΕ Δ. Να αποδείξετε ότι η Β διχοτομεί τη ΔΕ. Σκέψη: Το ότι η Β διχοτομεί την ΔΕ σημαίνει ότι διέρχεται από το μέσο της. Φυσικά είναι το ίδιο αν δείξουμε ότι κάποιο τμήμα της Β διχοτομεί την ΔΕ. νωρίζουμε ότιι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται.αρα θα προσπαθήσουμε να κατασκευάσουμε παραλληλόγραμμο με μια διαγώνιο ΔΕ και ως άλλη διαγώνιο τμήμα της ευθείας Β. Φέρνουμε ΔΖ//ΑΒ.Τότε Ζ Β ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Aφού ΑΒΑ θα είναι και Β, οπότε Ζ Β.Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι ΔΖΔ και επειδή ΒΕΔ θα είναι και ΔΖΒΕ. Είναι λοιπόν ΔΖ//ΒΕ οπότε ΒΔΖΕ παραλληλόγραμμο οπότε οι διαγώνιοί του ΒΖ και ΔΕ διχοτομούνται. Σημείωση: Θα μπορούσαμε να φέρνουμε και παράλληλη από το Ε προς την Α. Ζ ως εντός εναλλάξ και Επειδή και Β θα είναι Ζ Β κλπ ΒΒ ως κατακορυφήν. 5.-5. ΣΥΝΘΕΤΑ ΛΥΣΕΙΣ.docx Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4
Σ5. Ένα ποταμός, του οποίου οι όχθες είναι ευθύγραμμες, διέρχεται μεταξύ δύο χωριών Α και Β που απέχουν άνισες αποστάσεις από τις όχθες του. Σε ποια θέση πρέπει να κατασκευασθεί μια γέφυρα κάθετη προς τον ποταμό, ώστε τα δύο χωριά να βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από τις αντίστοιχες εισόδους της γέφυρας; «Yποθέτουμε ότι το πρόβλημα είναι λυμένο και έστω Δ η θέση της γέφυρας και ΑΒΔ όπου Α και Β τα δύο χωριά.εάν φέρουμε μια βοηθητική ευθεία ΒΕ, παράλληλη και ίση προς την Δ, παρατηρούμε ότι το σημείο προσδιορίζεται από την κάθετη Μ στο μέσο Μ της ΑΕ (μεσοκάθετος).πράγματι το ΔΒΕ είναι παραλληλόγραμμο (Δ//ΒΕ) και επομένως ΒΔΕΑ» Σχόλιο:Αυτά γράφει το λυστάρι του βιβλίου.θα έλεγα ότι δεν είναι και τόσο πειστικά.νομίζω η ιδέα είναι να προσπαθήσω να φέρω τα ίσα απομακρυσμένα τμήματα ΒΔ και Α κοντά και κατά προτίμηση με κοινό άκρο το.το παραλληλόγραμμο είναι ένας τρόπος να μετακινώ ένα τμήμα.οχι βέβαια το ίδιο αλλά να κατασκευάζω ένα ίσο με αυτό. H κατασκευή σε βήματα: ο βήμα: Φέρνω από το Β κάθετη ευθεία προς τις όχθες του ποταμού και παίρνω πάνω σε αυτή σημείο Ε ώστε ΒΕΖΗ (πλάτος ποταμού) ο βήμα Ενώνω το Ε με το Α 3ο βήμα Φέρνω την μεσοκάθετη του τμήματος ΕΑ που τέμνει την μια όχθη στο. 4ο βήμα Φέρνω το τμήμα Δ κάθετο στις όχθες του ποταμού. Το Δ παριστάνει την θέση της γέφυρας με τα ζητούμενα χαρακτηριστικά. 5.-5. ΣΥΝΘΕΤΑ ΛΥΣΕΙΣ.docx Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5