η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες."

Ἀβραάμ Παπανικολάου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου λέγεται το τµήµα που ενώνει τα µέσα των µη παραλλήλων πλευρών του.. η ιδιότητα της διαµέσου Είναι παράλληλη προς τις βάσεις και ίση µε το ηµιάθροισµά τους. 3. η ιδιότητα της διαµέσου Το τµήµα που ενώνει τα µέσα των διαγωνίων ανήκει στη διάµεσο και είναι ίσο µε την ηµιδιαφορά των βάσεων. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5. Ιδιότητες ισοσκελούς τραπεζίου i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε µια βάση είναι ίσες ii) Οι διαγώνιες είναι ίσες 6. Κριτήρια για να είναι ένα τραπέζιο ισοσκελές i) Οι γωνίες που πρόσκεινται σε µια βάση να είναι ίσες ii) Οι διαγώνιες να είναι ίσες

η ιδιότητα της διαµέσου Το τµήµα που ενώνει τα µέσα των διαγωνίων ανήκει στη διάµεσο και είναι ίσο µε την ηµιδιαφορά των βάσεων. 4.

2 ΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε ότι, ένα τραπέζιο είναι ισοσκελές αν και µόνο αν τα µέσα των πλευρών του είναι κορυφές ρόµβου. Ευθύ : Έστω ότι το τραπέζιο είναι Κ Ισοσκελές. Τότε = Επειδή το ΡΚ ενώνει τα µέσα των, Ρ, θα είναι ΡΚ= Μ Λ και οµοίως ΚΛ=, άρα ΡΚ = ΚΛ. Στο παραλληλόγραµµο ΚΛΜΡ έχουµε δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα αυτό είναι ρόµβος ντίστροφα : Έστω ότι ΚΛΜΡ είναι ρόµβος. Τότε ΚΡ = ΚΛ λλά ΚΛ = και ΡΚ =. Άρα = Εποµένως το τραπέζιο είναι ισοσκελές δεδοµένου ότι οι διαγώνιες του είναι ίσες

Τότε = Επειδή το ΡΚ ενώνει τα µέσα των, Ρ, θα είναι ΡΚ= Μ Λ και οµοίως ΚΛ=, άρα ΡΚ = ΚΛ.

3 3. Σε τετράπλευρο φέρνουµε τις αποστάσεις των κορυφών και από την πλευρά. ν Κ είναι το σηµείο τοµής των τµηµάτων που διέρχονται από τα µέσα των απέναντι πλευρών του τετραπλεύρου και ΚΚ η απόσταση του Κ από την, δείξτε ότι + = 4ΚΚ Έστω Ε, Ζ, Η, Θ τα µέσα των πλευρών του τετραπλεύρου. Ως γνωστόν, το ΕΖΗΘ είναι παρ/µµο, οπότε οι διαγώνιες του διχοτοµούνται. Συνεπώς το Κ είναι µέσο του ΕΗ. Φέρουµε ΕΡ, οπότε ΕΡ //ΚΚ. Θ Ε Κ ΡΚ Η ΕΡ Στο τρίγωνο ΕΗΡ, το Κ είναι µέσο του ΕΗ και ΚΚ // ΕΡ, άρα ΚΚ = () Το τετράπλευρο Ά είναι τραπέζιο, και επειδή Ε µέσο του και ΕΡ δηλαδή ΕΡ // //, το ΕΡ είναι η διάµεσος του τραπεζίου. + Άρα ΕΡ = Η () λόγω της () γίνεται () ΚΚ = + Ζ + = 4ΚΚ

Η, Θ τα µέσα των πλευρών του τετραπλεύρου. Ως γνωστόν, το ΕΖΗΘ είναι παρ/µµο, οπότε οι διαγώνιες του διχοτοµούνται. Συνεπώς το Κ είναι µέσο του ΕΗ.

4 4 3. Σ ένα τραπέζιο, η βάση είναι ίση µε το άθροισµα των µη παραλλήλων πλευρών και. Να δείξετε ότι οι διχοτόµοι των γωνιών και τέµνονται πάνω στην. A Κ B Έστω ότι = + και Κ η διχοτόµος της γωνίας. Θα αποδείξουµε ότι η Κ είναι διχοτόµος της ɵ. Είναι = και = Κ = Κ = Κ () Η υπόθεση γράφεται = + Κ + Κ = + και λόγω της () Κ = Άρα Κ = ɵ, και επειδή Κ = ɵ, θα είναι ɵ = ɵ, άρα Κ διχοτόµος της ɵ

A Κ B Έστω ότι = + και Κ η διχοτόµος της γωνίας. Θα αποδείξουµε ότι η Κ είναι διχοτόµος της ɵ.

5 5 4. Σ ένα τραπέζιο µε βάσεις και, έχουµε = και = = 90 ο. Φέρνουµε το τµήµα Η, το οποίο τέµνει την διαγώνιο στο Ρ και το τµήµα Η που τέµνει την διαγώνιο στο Ν. Να δείξετε ότι i) Το Ρ είναι µέσο της Η ii) ΝΡ = 4 i) = = Η ορθογώνιο = Η =. Η ηλαδή Η µέσο του, οπότε = Η και επειδή είναι // Η, το Η είναι παρ/µµο. Συνεπώς οι διαγώνιοι του διχοτοµούνται δηλαδή Ρ µέσο του Η. ii) Η ορθογώνιο οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται, οπότε Ν µέσο του Η Στο τρίγωνο Η, το ΝΡ ενώνει τα µέσα των Η και, άρα ΝΡ = Η = = 4 Ν Ρ 5. Σ ένα τραπέζιο µε βάσεις και, οι διχοτόµοι των γωνιών και τέµνονται στο Η και οι διχοτόµοι των γωνιών και τέµνονται στο Κ. Να δείξτε ότι η ΗΚ είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου. + = +. Όµως + =80 ο Άρα + = 90 ο Οπότε Η ύψος στο τρίγωνο Ε. φού λοιπόν το Η είναι διχοτόµος και ύψος στο τρίγωνο Ε, το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές και το Η θα είναι το µέσο του Ε. Οµοίως Κ µέσο του Ζ Εποµένως στο τραπέζιο ΕΖ η ΗΚ είναι διάµεσος και εποµένως ΗΚ // // Η Ε Κ Ζ

Συνεπώς οι διαγώνιοι του διχοτοµούνται δηλαδή Ρ µέσο του Η. ii) Η ορθογώνιο οι διαγώνιοί του διχοτοµούνται, οπότε Ν µέσο του Η Στο τρίγωνο Η, το ΝΡ ενώνει τα µέσα των Η και, άρα ΝΡ = Η = = 4 Ν Ρ 5.

6 6 6. ίνεται παραλληλόγραµµο, και έστω το συµµετρικό του ως προς την. Να δείξετε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο. φού το είναι το συµµετρικό του ως προς Ο τη, το Κ είναι µεσοκάθετος του, Κ άρα =. Και επειδή = θα είναι και = ν Ο είναι το κέντρο του παραλληλογράµµου, τότε στο τρίγωνο το ΟΚ ενώνει τα µέσα των και, άρα ΟΚ //. Εποµένως το τετράπλευρο είναι τραπέζιο και επειδή = το τραπέζιο είναι ισοσκελές 7. ίνεται παραλληλόγραµµο και µία ευθεία (ε) που διέρχεται από την κορυφή και έχει προς το ίδιο µέρος της τις κορυφές,,. Να δείξετε ότι η απόσταση της κορυφής από την (ε) είναι ίση µε το άθροισµα των αποστάσεων των κορυφών και από την (ε). Ο Έστω,, οι αποστάσεις (ε) των κορυφών,, από την (ε) ν Ο το κέντρο του παρ/µµου Ο και ΟΟ η απόσταση του Ο από την (ε), τότε // // ΟΟ //. Επειδή Ο µέσο του και ΟΟ // //, το ΟΟ είναι διάµεσος στο τραπέζιο, + άρα ΟΟ = () Στο τρίγωνο, το Ο είναι µέσο του και ΟΟ //, άρα ΟΟ = () πό τις () και () έχουµε = +

Εποµένως το τετράπλευρο είναι τραπέζιο και επειδή = το τραπέζιο είναι ισοσκελές 7. ίνεται παραλληλόγραµµο και µία ευθεία (ε) που διέρχεται από την κορυφή και έχει προς το ίδιο µέρος της τις κορυφές,,.

7 7 8. ο Σε τραπέζιο είναι = = 90, = και Ε. Να αποδείξετε ότι i) Οι Ε και διχοτοµούνται ii) Ε Ν = 3. Φέρνουµε την iii) ν Μ και Ν είναι τα µέσα των και αντίστοιχα, να δείξτε ότι ΜΝ = // 4 i) = = και επειδή το Ε είναι ορθογώνιο, θα έχουµε οπότε Ε = = Ε,, δηλαδή Ε µέσο του οπότε = Ε. λλά // Ε, άρα το Ε είναι παραλληλόγραµµο, συνεπώς οι διαγώνιοί του και Ε διχοτοµούνται. ii) Επειδή = 3 και + 3 = 80 ο, θα είναι = 45 ο. Άρα, λόγω του ορθογωνίου Ε, θα είναι = 45 ο. Εποµένως Ε = Ε =, οπότε το ορθογώνιο Ε είναι τετράγωνο και εποµένως οι διαγώνιοί του τέµνονται κάθετα, δηλαδή Ε iii) Προφανώς το Μ είναι το µέσο της και το Ν το µέσο της Ε Στο τρίγωνο Ε, το ΝΜ ενώνει τα µέσα των Ε και, άρα ΝΜ = // Ε =// =// 4 45ο Ε Μ 45ο

Ε. λλά // Ε, άρα το Ε είναι παραλληλόγραµµο, συνεπώς οι διαγώνιοί του και Ε διχοτοµούνται. ii) Επειδή = 3 και + 3 = 80 ο, θα είναι = 45 ο.

8 8 9. Σε τετράπλευρο δίνεται ότι = και =. Επίσης οι γωνίες του δεν είναι όλες ίσες, είξτε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. Τα τρίγωνα και είναι ίσα διότι =, = και κοινή. Άρα = ɵ. Οµοίως από τα τρίγωνα και προκύπτει ότι =. Όµως ɵ = 360 ο () Οπότε + = 360 ο + = 80 ο // () Η () επίσης δίνει + ɵ = 360 ο + ɵ = 80 ο. Και επειδή οι γωνίες του τετράπλευρου δεν είναι ίσες, θα έχουµε ɵ, οπότε αποκλείεται το να είναι παραλληλόγραµµο, εποµένως λόγω της () αυτό είναι τραπέζιο. Και επειδή = ɵ, το τραπέζιο είναι ισοσκελές. 0. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( = 90 ο ) και, Ε τα µέσα των πλευρών και αντίστοιχα. πό το µέσο Ζ του φέρνουµε παράλληλη προς την που τέµνει την στο Η. ν ΖΗ = 3 8, δείξτε ότι = 30 ο. φού το Ε ενώνει τα µέσα των και, () θα είναι Ε //= οπότε το Ε είναι τραπέζιο. Επειδή Ζ µέσο του και ΖΗ //, το ΖΗ είναι διάµεσος του τραπεζίου, + Ε+ άρα ΖΗ = () = = 3 4 Ζ Ε Η πό την υπόθεση όµως είναι και ΖΗ = 3, 8 οπότε 3 3 = = 4 8 Συνεπώς στο ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι = 30 ο

Και επειδή οι γωνίες του τετράπλευρου δεν είναι ίσες, θα έχουµε ɵ, οπότε αποκλείεται το να είναι παραλληλόγραµµο, εποµένως λόγω της () αυτό είναι τραπέζιο. Και επειδή = ɵ, το τραπέζιο είναι ισοσκελές.

Σχετικά έγγραφα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.