Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο Κ Ρ Ο Υ Σ Ε Ω Ν Φυσική Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού Ορμή Ορμή Ρ ενός σώματος ονομάζουμε το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο το γινόμενο της μάζας m του σώματος επί την ταχύτητά του u, ενώ έχει πάντα την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα του σώματος: (Μονάδα μέτρησης ορμής στοs.i. είναι: 1 kg.m/s) Ορμή συστήματος σωμάτων Αν έχουμε ένα σύστημα σωμάτων m1, m2,, mn με ορμές αντίστοιχα, για να υπολογίσουμε τη συνολική ορμή του συστήματος αρκεί να προσθέσουμε τα διανύσματα των ορμών του συστήματος.
α. Αν τα διανύσματα των ορμών είναι στην ίδια διεύθυνση, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, η πρόσθεση των διανυσμάτων των ορμών του συστήματος γίνεται αλγεβρικά, δηλαδή: β. Αν όμως τα διανύσματα των ορμών έχουν διαφορετική διεύθυνση, τότε προσθέτουμε διανυσματικά. Στην περίπτωση όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα βλέπουμε δύο διανύσματα ορμών και που σχηματίζουν ορθή γωνία μεταξύ τους. Για να υπολογίσουμε το μέτρο της συνολικής ορμής του συστήματος αρκεί να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα: Μεταβολή Ορμής Η μεταβολή της ορμής είναι επίσης μέγεθος διανυσματικό και ορίζεται ως: Παρατήρηση: Στην περίπτωση που τα διανύσματα της αρχική και τελικής ορμής είναι στην ίδια διεύθυνση, η μεταβολή της ορμής υπολογίζεται εύκολα, αρκεί να λάβουμε υπόψη μας τη φορά του κάθε διανύσματος. Αν όμως τα διανύσματα είναι σε διαφορετική διεύθυνση, τότε πάμε αναγκαστικά διανυσματικά (συνήθως καταλήγουμε σε μέθοδο παραλληλογράμμου). 2
Ρυθμός μεταβολής Ορμής Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής Δp/Δt, ορίζεται ως το πηλίκο της µεταβολής της Ορµής Δp σε ένα χρονικό διάστηµα Δt προς το χρονικό αυτό διάστηµα (δηλαδή εκφράζει την ταχύτητα µεταβολής της ορµής) και ισούται µε τη συνισταµένη δύναµη που δέχεται το σώµα στο χρονικό αυτό διάστηµα. Συνήθως αναφερόµαστε σε στιγµιαίο ρυθµό µεταβολής της ορµής dp/dt, σε κάποια χρονική στιγµή, δηλαδή τη µεταβολή της ορµής σε ένα απειροελάχιστο χρονικό διάστηµα. Προφανώς, ο ρυθµός αυτός εκφράζει τη συνισταµένη δύναµη ΣF που ασκείται στο σώµα. Αρχή Διατήρησης της Ορμής Εφαρµόζουµε την Αρχή Διατήρησης της Ορµής όταν διαθέτουµε ένα σύστηµα σωµάτων που δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάµεις ή η συνισταµένη των εξωτερικών δυνάµεων είναι ίση µε µηδέν δηλαδή το σύστηµα να είναι µονωµένο. Οπότε: Αφού σχεδιάσουµε όλες τις εξωτερικές δυνάµεις που ασκούνται στο σύστηµα (αφού η συνισταµένη των εσωτερικών δυνάµεων είναι πάντα ίση µε µηδέν) ελέγχουµε τη συνισταµένη τους, αν ΣFεξ = 0 τότε η ορµή διατηρείται: Μελετάμε μια έκρηξη, διάσπαση, κρούση... Σ αυτές τις περιπτώσεις επιτρέπεται να εφαρµόζουµε την αρχή διατήρησης της ορµής, επειδή οι εσωτερικές δυνάµεις που αναπτύσσονται κατά την διάρκεια των παραπάνω φαινόµενων είναι κατά πολύ ισχυρότερες, των οποιοδήποτε άλλων εξωτερικών, γι αυτό θεωρούµε αυτές αµελητέες για το απειροελάχιστο χρονικό διάστηµα που λαµβάνουν χώρα. Κρούσεις Στο χώρο της µηχανικής, κρούση ονοµάζουµε το φαινόµενο της στιγµιαίας βίαιης επαφής δύο σωµάτων που διαρκεί ελάχιστο χρόνο Δt, ενώ οι δυνάµεις που αναπτύσσονται µεταξύ των σωµάτων είναι πολύ ισχυρές (γι αυτό, κάθε άλλη εξωτερική δύναµη που ασκείται στο σύστηµα των σωµάτων που συγκρούονται θεωρείται αµελητέα). 3
Παρατήρηση: Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η Αρχή Διατήρηση της Ορµής, ισχύει µόνο σε µια διεύθυνση, όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήµα, στο οποίο εφαρµόζουµε την ΑΔΟ µόνο στην οριζόντια διεύθυνση. Ανάλογα µε τη διεύθυνση των ταχυτήτων δύο σωµάτων πριν από την κρούση τους, διακρίνουµε την κρούση σε: Μετωπική ή Κεντρική ονοµάζεται η κρούση όταν τα διανύσµατα των ταχυτήτων των κέντρων µάζας των σωµάτων ελάχιστα πριν από την κρούση τους βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση και µάλιστα στην ευθεία που ενώνει τα κέντρα µάζας τους. υ 1 υ 2 Όταν η κρούση είναι µετωπική ή κεντρική θα ξέρουµε ότι τα διανύσµατα των ταχυτήτων θα βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση και µετά την κρούση. Έκκεντρη ονοµάζεται η κρούση όταν τα διανύσµατα των ταχυτήτων των κέντρων µάζας των σωµάτων ελάχιστα πριν από την κρούση τους βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση (χωρίς να είναι στην ίδια ευθεία). υ 1 υ 2 Πλάγια ονοµάζεται η κρούση όταν τα διανύσµατα των ταχυτήτων των κέντρων µάζας των σωµάτων ελάχιστα πριν από την κρούση τους έχουν τυχαίες µη παράλληλες διευθύνσεις. υ 1 υ 2 Ανάλογα µε το αν διατηρείται ή όχι η µηχανική ενέργεια του συστήµατος, οι κρούσεις διακρίνονται σε: Ελαστική κρούση Είναι µια ιδανική περίπτωση κατά την οποία το σύστηµα δεν έχει απώλειες µηχανικής ενέργειας οπότε διατηρείται η κινητική του ενέργεια. Ισχύει λοιπόν ότι: 4
Ανελαστική κρούση Γενικά λοιπόν (πρακτικά) σε µια κρούση, ένα σύστηµα σωµάτων δεν διατηρεί τη µηχανική του ενέργεια σταθερή αφού στη διάρκεια µιας κρούσης έχουµε απώλειες ενέργειας Εαπωλ που συνήθως εκφράζεται ως θερµότητα που αποδίδεται στο περιβάλλον ή και ως µόνιµη δυναµική ενέργεια παραµόρφωσης. Ισχύει λοιπόν ότι: Πλαστική είναι η περίπτωση της ανελαστικής κρούσης κατά την οποία τα σώµατα που συγκρούονται αποτελούν ένα συσσωµάτωµα µετά την κρούση. Είναι βέβαια κατανοητό ότι στην πλαστική κρούση έχουµε τις µεγαλύτερες απώλειες ενέργειας. Παρατήρηση: Επειδή η διάρκεια µιας κρούσης είναι αµελητέα, αυτό σηµαίνει ότι η δυναµική του ενέργεια (λόγω θέσης ή λόγω κατάστασης) δεν µεταβάλλεται τελικά (γιατί όσο µικρό και να είναι τo Δt της κρούσης κατά τη διάρκειά της η δυναµική ενέργεια του συστήµατος µεταβάλλεται: Μελέτη μετωπικής (κεντρικής) ελαστικής κρούσης Οι δύο σφαίρες µε µάζες m 1 και m 2 κινούνται κατά µήκος οριζόντιου επιπέδου µε ταχύτητες µέτρου v 1 και v 2 αντίστοιχα. Οι σφαίρες συγκρούονται µετωπικά (ή κεντρικά) και ελαστικά και αµέσως µετά την κρούση έχουν ταχύτητες µέτρου V 1 και V 2 αντίστοιχα. Εφαρµόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Ορµής για το σύστηµα και την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής (κινητικής) Ενέργειας, καταλήγουµε στις δύο σχέσεις (1) και (2) που ακολουθούν: (1) (2) Παρατήρηση: Όταν χρησιµοποιούµε τις παραπάνω σχέσεις (1) και (2), πρέπει να αντικαθιστούµε τις ταχύτητες v1, v2, V1 και V2 µε τις αλγεβρικές τους τιµές. Εποµένως, όταν δύο ταχύτητες έχουν αντίθετη φορά θα έχουν και αντίθετα πρόσηµα. 5
Ειδικές περιπτώσεις μετωπικής ελαστικής κρούσης 1. Αν οι µάζες των δύο σφαιρών είναι ίσες, m1 = m2 =m, τότε οι παραπάνω σχέσεις διαµορφώνονται εύκολα στις σχέσεις που ακολουθούν: Εποµένως, όταν οι µάζες τους είναι ίσες οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες. 2. Αν πριν συγκρουστούν κινείται µόνο η µια σφαίρα. Έστω ότι κινείται η σφαίρα µάζας m1 (V 1 0) και η δεύτερη σφαίρα µάζας m2 είναι ακίνητη (v 2 =0) (και έχουν διαφορετικές µάζες m1 m2). Με τη βοήθεια των δύο βασικών σχέσεων που διαθέτουµε, καταλήγουµε στις δύο σχέσεις που φαίνονται δίπλα. (1) (2) Παρατηρήσεις α. Αν ισχύει ότι m1 > m2, τότε η σφαίρα µάζας m1 συνεχίζει και µετά την κρούση της να κινείται προς την ίδια φορά µε αυτήν που είχε πριν την κρούση της. β. Αν m1 < m2, τότε η ταχύτητα της σφαίρας m1, θα έχει φορά αντίθετη από τη φορά κίνησης της ταχύτητας v1 που είχε πριν την κρούση. γ. Αν ισχύει m1 = m2, τότε όπως έχουµε αναφέρει (ανταλλαγή ταχυτήτων) η σφαίρα µάζας m1 ακινητοποιείται µετά την κρούση, µεταφέροντας στην δεύτερη σφαίρα όλη την κινητική της ενέργεια. Υποπεριπτώσεις 1. Αν οι µάζες m1 και m2, διαφέρουν πολύ µεταξύ τους. Για παράδειγµα, µια µπάλα του tennis µάζας m 1 και µια µπάλα του bowling µάζας m 2. Υποθέτουµε ότι η µάζα m1 << m2, και ότι η κινούµενη µάζα πριν από την κρούση είναι η µάζα m 1, ενώ η µπάλα του bowling είναι ακίνητη. Διαπιστώνουµε ότι η µικρής µάζας µπάλα θα κινηθεί µε σχεδόν αντίθετη ταχύτητα µετά την κρούση, ενώ η µεγάλης µάζας δεν αποκτά ταχύτητα. 6
ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. Θα εξετάσουµε την αντίθετη περίπτωση, δηλαδή µια µπάλα του bowling µάζας m1 και µια µπάλα του τένις µάζας m2. Υποθέτουµε ότι η µάζα m1 >> m2, και ότι η κινούµενη µάζα πριν από την κρούση είναι η µάζα m1, ενώ η µπάλα του tennis είναι ακίνητη. Διαπιστώνουµε ότι η µικρής µάζας σφαίρα m2 θα αποκτήσει διπλάσια ταχύτητα της u1 µετά την κρούση, ενώ η µεγάλης µάζας µπάλα του bowling διατηρεί σχεδόν σταθερή την ταχύτητά της. Εκρήξεις, διασπάσεις Το σύστηµα δέχεται πανίσχυρες εσωτερικές δυνάµεις κατά τη διάσπαση, µε αποτέλεσµα ακόµα και αν υπάρχουν εξωτερικές να θεωρούνται αµελητέες. Εφαρµόζοντας την Αρχή Διατήρησης της Ορµής για το σύστηµα καταλήγουµε ότι: Παρατήρηση: Ο λόγος των ταχυτήτων, είναι αντιστρόφως ανάλογος του λόγου των µαζών τους. Κατά τη διάσπαση, απελευθερώνεται ενέργεια (χηµική ενέργεια µετατρέπεται σε κινητική) 7
Ελαστική κρούση σφαίρας με λεία ακλόνητη επιφάνεια Επειδή η κρούση είναι ελαστική, µε βάση την Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας, το µέτρο της ταχύτητας της σφαίρας διατηρείται, σε κάθε περίπτωση ελαστικής κρούσης µε ακλόνητα στερεωµένη επιφάνεια: Διακρίνουμε τις έξης περιπτώσεις: 1. Όταν η σφαίρα συγκρούεται κάθετα στην επιφάνεια, τότε ανακλάται µε την αντίθετη ταχύτητα (δηλαδή ίδιου µέτρου, αντίθετης κατεύθυνσης): 2. Όταν η σφαίρα συγκρούεται πλάγια µε την επιφάνεια, τότε ανακλάται µε την κατά µέτρο ταχύτητα και η γωνία πρόπτωσης φ είναι ίση µε τη γωνία ανάκλασης θ. Προσοχή: Στην περίπτωση αυτή, η ορµή της σφαίρας διατηρείται µόνο στην παράλληλη µε την επιφάνεια διεύθυνση (y), επειδή δεν ασκείται δύναµη, οπότε προκύπτει: Ενώ, στη διεύθυνση (x), κάθετη στην επιφάνεια πρόσκρουσης, το µέτρο της µεταβολής της ορµής της σφαίρας είναι: Κεντρική (μετωπική) κρούση Υποθέτουµε ότι ένα µικρό βλήµα µάζας m, κινούµενο οριζόντια συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά µε ακίνητο σώµα µάζας M. Προφανώς, εφαρµόζουµε την Αρχή Διατήρησης της Ορµής για το σύστηµα: Οι απώλειες κινητικής (ή µηχανικής) ενέργειας λόγω της κρούσης υπολογίζονται από τη σχέση: Το ποσοστό % της κινητικής ενέργειας που χάθηκε λόγω κρούσης υπολογίζεται από τη σχέση: 8
Πλάγια πλαστική κρούση Θεωρούµε ότι δύο σφαίρες µε µάζες m1 και m2 κινούνται αρχικά σε διευθύνσεις κάθετες µεταξύ τους πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε ταχύτητες µέτρου u1 και u2 αντίστοιχα και συγκρούονται πλαστικά. Για να υπολογίσουµε την ταχύτητα V του συσσωµατώµατος, µπορούµε να εργαστούµε µε δύο τρόπους: α. Αφού σχεδιάσουµε τα διανύσµατα των ταχυτήτων, πριν και µετά την κρούση, εφαρµόζουµε σε κάθε διεύθυνση χωριστά την Αρχή Διατήρησης της Ορµής: Οπότε, υπολογίζουµε το µέτρο της ταχύτητας V του συσσωµατώµατος και τη διεύθυνσή της. β. Μπορούµε να εφαρµόσουµε την Αρχή Διατήρησης της Ορµής για το σύστηµα διανυσµατικά, δηλαδή: Σχεδιάζουµε τα διανύσµατα των ορµών p1, p2 και συνθέτουµε µε αποτέλεσµα να δηµιουργηθεί το παραλληλόγραµµο του σχήµατος (ορθογώνιο). Υπολογίζουµε το µέτρο της ορµής του συσσωµατώµατος µε το Πυθαγόρειο Θεώρηµα (γενικότερα µε το νόµο των συνηµιτόνων). Το µέτρο της ταχύτητας του συσσωµατώµατος V, υπολογίζεται από τη σχέση: Η διεύθυνση φ της ταχύτητας V είναι ίδια µε τη διεύθυνση του διανύσµατος της ορµής pσ του συσσωµατώµατος: 9
Μαθηματικά... για τη Φυσική 10
Υπερσύνδεσμοι http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/colsta.html https://phet.colorado.edu/en/simulation/collision-lab http://www.physicsclassroom.com/physics-interactives/momentum-and- Collisions/Collision-Carts/Collision-Carts-Interactive http://www.myphysicslab.com/collidespring.html http://www.mrmont.com/games/carcollision.html http://www.mrwaynesclass.com/teacher/impulse/simfriction/home.html http://www.seilias.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=384&itemid=55 http://photodentro.edu.gr/lor/handle/8521/6023