Επαναληπτικές ασκήσεις

Επαναληπτικές ασκήσεις Οµογενής ράβδος ΟΑ, µάζας Μ= g και µηκους l =0,4 m είναι κατακόρυφη και µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο ά- ξονα, κάθετο στον άξονά της, που διέρχεται α- πό την άκρη της Ο Μικρό βλήµα, µε µάζα m=00 g, κινείται οριζόντια µε ταχύτητα µέτρου υ ο = 40 3 m/s και τη χρονική στιγµή t o =0 3 διαπερνά ακαριαία τη ράβδο στο κάτω άκρο της Α και βγαίνει µε ταχύτητα µέτρου υ=υ ο / Στη συνέχεια το βλήµα (σχεδόν ακαριαία) σφηνώνεται σε σώµα, µάζας m =,8 g, το οποίο είναι στερεωµένο στο οριζόντιο ελατήριο του σχήµατος, σταθεράς =600 /m Να βρεθούν: α) Μέχρι ποιου σηµείου θα ανυψωθεί η ράβδος; ίνεται: Icm( ρ ά βδου ) = M l β) Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος (m-m ); [ Απ α) θα γίνει οριζόντια, β) Α= 5 m ] Στη διάταξη του σχήµατος η οµογενής ράβδος Α, µήκους l= m και µάζας M= g, µπο- /////// ρεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από τον οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά m από το σηµείο Ο Ο άξονας αυτός χωρίζει τη h ράβδο σε δύο τµήµατα µε µήκη l = 0, m και l = 0, 8 m Η άκρη Α της ράβδου είναι στερεωµένη σε κατακόρυφο νήµα Στην άλλη άκρη της ράβδου ακουµπά σώµα, µάζας O m m = g, το οποίο συνδέεται µε ελατήριο, l l σταθερής =00 /m Η άλλη άκρη του ελα- Mg τηρίου συνδέεται µε νήµα, που περνά από ///// αβαρή τροχαλία, µε σώµα µάζας m = g α) Αν δεχτούµε ότι η όλη διάταξη ισορροπεί στη θέση που φαίνεται στο σχήµα, µε τη ράβδο οριζόντια, να υπολογίσετε την τάση του νήµατος στην άκρη Α της ράβδου ίνεται g=0 m/s β) Στη συνέχεια ένα µικρό σώµα, µάζας m=0, g, αφήνεται ελεύθερο από ύψος h=0,9 m πάνω από το σώµα m και συσσωµατώνεται µε αυτό Να βρεθούν: (i) το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωµάτωµα (m +m), (ii) οι τιµές της τάσης του νήµατος, στην άκρη Α της ράβδου, τις στιγµές που το συσσωµάτω- µα (m +m) θα περνά από τις ακραίες θέσεις της ταλάντωσής του m M,l υ ο O υ m m

[ Απ α) Τ=70 Ν, β) (i) 0,08 m, (ii) T =30, T =94 ] ή (ii) αν το όριο θραύσης του νήµατος, στην άκρη Α της ράβδου, είναι Τ θρ =80 Ν υπάρχει περίπτωση να σπάσει το νήµα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης που κάνει το συσσωµάτωµα (m +m); [ Απ ναι, όταν κινείται προς τα πάνω ] 3 Στη διάταξη του σχήµατος το σύστη- µα ισορροπεί Το σώµα Σ έχει µάζα m =0 g, το σώµα Σ έχει µάζα m =6 g και το σώµα Σ 3 έχει µάζα m 3 =0 g Η τροχαλία έχει ακτίνα r=0, m και µάζα M= g Τα σώ- µατα Σ και Σ ενώνονται µε αβαρές νήµα, που περνά από την τροχαλία Επίσης τα σώµατα Σ και Σ 3 ενώνονται µε αβαρές νήµα Α) Να βρεθεί η αρχική παραµόρφωση του ελατηρίου Β) Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα που συνδέει τα σώµατα Σ και Σ 3 Να βρεθούν: (i) η περίοδος και το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώµα Σ 3, (ii) η επιτάχυνση α cm των σωµάτων Σ και Σ, (iii) η στροφορµή της τροχαλίας, τη στιγµή που τα σώµατα Σ και Σ έχουν αποκτήσει ταχύτητα υ=0 m/s Σ (M,r) Σ o 30 Σ 3 π [ Απ Α) 0, m, B) (i) T= 0 5 sec, =0,7 m, (ii) α cm =5 m/s, (iii) g m / s ] 4 Στη διάταξη του σχήµατος, µία οµογενής δοκός βάρους B=00 και µήκους l =4 m, ισορροπεί οριζόντια µε τη βοήθεια άρθρωσης στο άκρο Α και κατακόρυφου νήµατος στο άκρο Το όριο θραύσης του νήµατος στο είναι Τ θρ =69 Ν Πάνω στο νήµα, B κοντά στο άκρο υπάρχει µία µικρή B µπανάνα Κατά µήκος της δοκού κινείται ένας σκίουρος, µάζας m= g, ο οποίος προσπαθεί να φτάσει τη µπανάνα ίνεται g=0 m/s α) Να βρεθεί αν ο σκίουρος θα καταφέρει να φτάσει τη µπανάνα χωρίς να σπάσει το νήµα Ο σκίουρος θεωρείται υλικό σηµείο β) Αν σπάσει το νήµα, πριν ο σκίουρος φτάσει στο άκρο, να βρεθεί ποια θα είναι η ταχύτητα του σκίουρου τη στιγµή που η δοκός, µε το σκίουρο πάνω της στο σηµείο που κόπηκε το νήµα, διέρχεται από την κατακόρυφη θέση \\\\\\\\\ ////////

ίνεται: I cm( ρ ά βδου ) = M l [ Απ α) όχι, το νήµα θα κοπεί όταν =0, m, β) υ=6,965 m/s ] 5 Ο τροχός του σχήµατος έχει µάζα m=4 g και ακτίνα R= m και στρέφεται ελεύθερα µε γωνιακή ταχύτητα ω ο =00 r/s Με τη βοήθεια µιας αβαρούς ράβδου Α, µήκους l, η οποία εφάπτεται στον τροχό στο σηµείο, προσπαθού- µε να τον σταµατήσουµε ι αυτό ασκούµε στο άκρο της ράβδου \\\\\\\\\\\ ω F κατακόρυφη δύναµη F=40 Η απόσταση = l, η ροπή αδράνειας του τροχού 4 ως προς τον άξονά του είναι I= mr, ο συντελεστής τριβής στην επαφή τρο- 5 χού- ράβδου είναι µ= και g=0 m/s Να βρεθούν: 6 α) Το µέτρο της δύναµης που ασκείται στην άρθρωση Α της ράβδου β) Η ροπή που επιβραδύνει τον τροχό γ) Ο χρόνος µέσα στον οποίο θα σταµατήσει ο τροχός δ) Ο αριθµός των στροφών, που κάνει ο τροχός µέχρι να σταµατήσει ε) Η θερµότητα που αναπτύσσεται λόγω τριβής στ) Η ισχύς που πρέπει να προσφέρεται στον τροχό, µέσω του έργου µιας εξωτερικής ροπής, ώστε παρά την επίδραση της δύναµης F στη ράβδο η γωνιακή ταχύτητά του να παραµείνει ίση µε ω ο =00 r/s ζ) Η στροφορµή του τροχού, µετά από χρόνο t =5 sec, από τη στιγµή που άρχισε να ασκείται η δύναµη F [ Απ α) F =30, β) τ=00 m, γ) t=8 sec, δ) ε) Q=40000 J, στ) P=0000 W, ζ) L=400 00 = π στροφές, g m / s ] 3

6 Η τροχαλία του σχήµατος είναι οµογενής µε µάζα m=4 g και ακτίνα R=0 cm Τα σώµατα Σ και Σ έχουν µάζες m =4 g και m = g ενώ το σχοινί που τα συγκρατεί έχει αµελητέα µάζα Το σώµα Σ είναι κολληµένο µε ένα άλλο σώµα Σ 3, µάζας m 3 = g Το σώµα Σ 3 είναι στερεωµένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς =00 /m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο στο έδαφος Το σύστηµα αρχικά βρίσκεται σε ισορροπία Α) Να υπολογίσετε την τάση του νήµατος και τη δύναµη του ελατηρίου Β) Τη χρονική στιγµή t o =0 τα σώµατα Σ και Σ 3 α- ποκολλώνται i) Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης του σώµατος Σ 3 ii) Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώµα Σ 3 iii) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση α cm των σωµάτων Σ και Σ iv) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγµή που το σώµα Σ 3 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά v) Να υπολογίσετε τη στροφορµή της τροχαλίας και των σωµάτων Σ και Σ τη χρονική στιγµή t= s ίνονται: η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της I= mr και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s Η τριβή ανάµεσα στην τροχαλία και το σχοινί είναι αρκετά µεγάλη, ώστε να µην Παρατηρείται ολίσθηση Τα σώµατα Σ, Σ, Σ 3 είναι µικρών διαστάσεων π π [ Απ Α) Τ=40 Ν, F ελ =0 Ν, Β) i) T= s, ii) y = 0, ηµ 0t 5 +, iii) α cm =,5 m/s, iv) ω=,5π (r/s), v) L τρχ = gm /s, L = gm /s, L = gm /s ] Σ Σ 3 \\\\\\\\\ /////////// Σ 4

7 Ο κύλινδρος του σχήµατος, µάζας Μ και ακτίνας R, µπορεί να κυλίε- ΘΙ ται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζό- (M,R) ντιο επίπεδο Ο άξονας του κυλίν-,l o δρου έχει κατάλληλα συνδεθεί µε το δεξιό άκρο ελατηρίου, σταθεράς Κ και φυσικού µήκους l o Το σύστηµα αρχικά βρίσκεται σ ε θέση ισορροπίας η οποία ταυτίζεται µε τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου Αποµακρύνουµε τον κύλινδρο από τη θέση ισορροπίας προς τα δεξιά και στη συνέχεια τον αφήνουµε ελεύθερο Να α- πόδείξετε ότι ο άξονας του κυλίνδρου θα εκτελέσει απλή αρµονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδό της ίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου, για τον άξονα περιστροφής του: I MR cm = [ Απ 3M T = π ] 8 Σφαιρίδιο, µάζας m = g κρέµεται µέσω αβαρούς νήµατος στην άκρη κυλινδρικής τροχαλίας, ακτίνας R= m και µάζας Μ=0,5 g, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα Η τροχαλία µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της Το σφαιρίδιο βρίσκε- M,R ται σε ύψος h= m πάνω από σώµα, µάζας m =3 g, m το οποίο είναι στερεωµένο στην πάνω άκρη κατακόh ρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς Κ=300 Ν/m Κάποια στιγµή αφήνεται το σώµα m να κινηθεί προς m τα κάτω Στη συνέχεια και αφού το σώµα m έχει κατέβει κατά ύψος h = m το νήµα κόβεται Το σώµα µάζας m συγκρούεται µε το ακίνητο σώµα µάζας m κεντρικά και ελαστικά ίνεται η ροπή αδράνειας της ////////// τροχαλίας Icm = MR και g=0 m/s Να βρεθούν: α) Η επιτάχυνση της µάζας m µέχρι τη στιγµή που κόβεται το νήµα β) Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την στιγµή που κόβεται το νήµα γ) Η ταχύτητα της µάζας m και της µάζας m αµέσως µετά την κρούση δ) Η εξίσωση της αποµάκρυνσης της απλής αρµονικής ταλάντωσης που εκτελεί το σώµα µάζας m µετά την κρούση (να θεωρηθεί t o =0 η χρονική στιγµή που αρχίζει η απλή αρµονική ταλάντωση) [ Απ α) α =8 m/s, β) ω=4 r/s, γ) V = 3 m/s, V = 3 m/s, δ) x = 0, 3 ηµ (0t) ] 5

9 Η λεπτή οµογενής ράβδος Α του σχήµατος έχει µήκος l =8 m µάζα Μ=4,5 g και στηρίζεται σε δύο στηρίγµατα Σ και Σ, τα οποία α- πέχουν από τα άκρα της Α και κατά d = m και d = m αντίστοιχα Στο µέσο της ράβδου βρίσκεται σώµα µάζας m =8,5 g το ο- ποίο είναι σταθερά συνδεδεµένο στο ελεύθερο άκρο αβαρούς ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς =00 /m και µπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στη ράβδο Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωµένο σε κατακόρυφο τοίχο Το ελατήριο παραµένει πάντα οριζόντιο Αρχικά η ράβδος ισορροπεί οριζόντια Τηχ ρονική στιγµή t o =0 ένα βλήµα, µάζας m = 500 g, που κινείται οριζόντια µε ταχύτητα υ ο = 80 m/s, συγκρούεται µετωπικά µε το ακίνητο σώµα µάζας m και σφηνώνεται σ αυτό Στη συνέχεια το σύστηµα ελατήριο-συσσωµάτωµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αµελητέα Να υπολογίσετε: α) Το λόγο της θερµότητας που αναπτύσσεται κατά την κρούση προς την αρχική ενέργεια του βλήµατος β) Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος ελατήριο-συσσωµάτωµα γ) Τις δυνάµεις που ασκούν τα στηρίγµατα στη ράβδο αµέσως µετά την κρούση δ) Τη χρονική στιγµή που η ράβδος αρχίζει να ανατρέπεται ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0 m/s d m υ ο m Mg Σ Σ d [ Απ α) 7 8, β) = 3 m, γ) F =54, F =8, δ) 3π t= s ] 40 0 Στη διάταξη του σχήµατος της άσκησης 8, (i) να βρεθεί πόση ταχύτητα υ ο πρέπει να έχει το βλήµα m, ώστε το πλάτος της απλής αρµονικής ταλάντωσης του συστήµατος ελατήριο-συσσωµάτωµα να είναι τέτοιο, ώστε η ράβδος οριακά να ανατρέπεται, (ii) να εκφράσετε τα µέτρα των αντιδράσεων F και F από τα στηρίγµατα Σ και Σ σε συνάρτηση µε το χρόνο, (iii) να βρεθούν τα µέτρα των αντιδράσεων F και F από τα στηρίγµατα Σ και Σ, τη στιγµή που η ταχύτητα του συσσωµατώµατος (m +m ) είναι V =+ 5 3 m/s 0 0 [ Απ (i) υ ο =80 m/s, (ii) F = 54 ηµ t 3, F = 8 + 54 ηµ t 3, (iii) F =7 Ν F =08 Ν ή F =8 Ν F =54 Ν ] 6

Οµογενής στερεά ράβδος ΟΑ, µήκους l = m και µάζας M=0,3 g µπορεί να περιστρέφεται O ελεύθερα (χωρίς τριβές) στο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται α- Σ υ Σ πό το σταθερό σηµείο Ο Στο άκρο Α της ράβδου στερεώνεται σφαιρίδιο Σ, µάζας m= 0, g, και το σύστηµα ράβδου και σφαιριδίου Σ περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή τα- O χύτητα ω= rad/s Στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο M,l βρίσκεται δεύτερο σφαιρίδιο Σ, ίσης µάζας µε το Σ, προσδεµένο στο άκρο αβαρούς ελατηρί- Σ υ ου, σταθεράς =0 /m Ο άξονας του ελατη- Σ ρίου είναι οριζόντιος και εφάπτεται της κυκλικής τροχιάς του σφαιριδίου Σ (όπως στο σχήµα) Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωµένο ακλόνητα Οι διαστάσεις των σφαιριδίων είναι αµελητέες Όταν η ταχύτητα υ του σφαιριδίου Σ έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, το σφαιρίδιο Σ αποκολλάται από τη ράβδο και κινούµενο ευθύγραµµα συγκρούεται µε το σφαιρίδιο Σ µε το οποίο ενσωµατώνεται Να βρείτε: α) Τη στροφορµή του συστήµατος ράβδου-σφαιριδίου Σ, ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σηµείο Ο β) Το µέτρο υ της ταχύτητας του σφαιριδίου τη στιγµή που αποκολλάται από τη ράβδο γ) Την περίοδο Τ της ταλάντωσης του συστήµατος ελατηρίου-συσσωµατώµατος Σ και Σ δ) Το πλάτος της ταλάντωσης αυτής ίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα που διέρ- χεται από το σηµείο Ο, I(O) = Ml και π=3,4 3 [ Απ α) L=0,8 gm /s, β) υ= m/s, γ) Τ=0,68 s, δ) Α=0, m ] 7

Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται: =300 /m, m =3 g, m = g, h=0,5 m Η σφαίρα (m ) ισορροπεί στο κατακόρυφο ελατήριο (Κ), ενώ δεξιά της είναι στερεωµένη µια αβαρής χορδή µεγάλου µήκους, η οποία παραµένει οριζόντια Μια σφαίρα m εκτοξεύεται κατακόρυφα από το ση- µείο του σχήµατος µε ταχύτητα (υ ο ) Η κρούση των σφαιρών είναι ελαστική και αµέσως µετά η σφαίρα (m ) ε- κτελεί γατ ενώ ταυτόχρονα αρχίζει να διαδίδεται κατά µήκος της χορδής κύµα το οποίο περιγράφεται από την /////// εξίσωση: y = 0, 05 ηµ ( ω t π x) ) Να βρεθούν: α) Η ταχύτητα της σφαίρας (m ) αµέσως µετά την κρούση β) Η ταχύτητα (υ ο ) της σφαίρας (m ) (αρχικά) B) Αν t o =0 η στιγµή αµέσως µετά την κρούση µεταξύ των σφαιρών (m ) και (m ), γ) να βρεθεί η ταχύτητα ενός µορίου της χορδής, το οποίο απέχει από την άκρη της x=,5 m τη χρονική στιγµή t=(π/40) sec δ) να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη στιγµή t =0,75π (sec) h (m ) χορδ ή υ ο (m ) χορδ µεγ ά λου µ ή κους [ Απ α) V =0,5 m/s, β) υ ο = m/s, γ) υ= 0,5 m/s ] 8

3 Στη διάταξη του σχήµατος το σύστηµα (Μ-Κ) ισορροπεί στη θέση φυσικού µη- (M) (m) κους του ελατηρίου Το σύστηµα <<τρίτροχο-σώµα (m)>> κινείται µε ταχύτητα υ υ και κάποια στιγµή (t o =0) συγκρούεται /////////////////////////////////////////////////// ελαστικά µε το σώµα (Μ) Να βρεθούν: α) το πλάτος της γατ που θα κάνει το σύστηµα (Μ-Κ), β) η ταχύτητα του συστήµατος <<τρίτροχο-σώµα (m)>> µετά την κρούση ίνονται: M=4 g, =400 /m, m= gm υ=3 m/s [ π α) Α=0,4 m, β) υ =+4 m/s (;) ] 4 Στη διάταξη του σχήµατος το µικρό σώµα (m) βρίσκεται σε απλή επαφή στο πάνω µέρος του σώµατος (m ) το οποίο είναι δεµένο στο ελατήριο, σταθεράς ( ) Από το επάνω ελατήριο, σταθεράς ( ) κρέµεται σώµα (m ) Το σώµα (m ) πέχει από το (m) κατά h Κατεβάζουµε µε το χέρι µας το σύστηµα (m +m) προς τα κάτω κατά d και το αφήνουµε ελεύθερο Σε κάποιο σηµείο της γατ του (m +m) το σώµα (m) χάνει την επαφή του µε το σώµα (m ) και συνεχίζει µόνο του και συγκρούεται στη συνέχεια, πλαστικά, µε το σώ- µα (m ) Να βρεθούν τα νέα πλάτη των γατ που θα εκτελέσουν τα νέα συστήµατα ίνονται: =00 /m, m =,5 g, m=0,5 g, =60 /m, m =0,6 g, d=0,4 m, h=0,4 m h d m m m ////////////////// 9

5 Το <<βαρούλκο>> του σχήµατος (διπλός κύλινδρος) ισορροπεί στη θέση που φαίνεται Ο µεγάλος κύλινδρος έχει ακτίνα R, ενώ ο µικρός κύλινδρος έχει ακτίνα r Το σώµα (Σ ) έχει µάζα (Μ) και κρέµεται ελεύθερα, ε- νώ το σώµα (Σ ) έχει µάζα (m) και ισορροπεί µε τη βοήθεια ελατηρίου, σταθεράς Α) Να βρεθεί η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου Β) Αν τη στιγµή (t o =0) κόψουµε το νήµα στο σηµείο Α, να βρεθούν: α) το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώµα (Σ ), β) µετά από πόσο χρόνο θα φθάσει το σώµα (Σ ) στο έδαφος, από το οποίο απέχει h, γ) σε ποια θέση της ταλάντωσής του βρίσκεται το σώµα (Σ ), τη στιγµή που το σώµα (Σ ) φθάνει στο έδαφος; ίνονται: M=0,4 g, m= g, R=0,4 m, 9π r=0,4 m, =00 /m, h (m) =, ροπή αδράνειας του <<βαρούλκου>> ως 70 προς τον άξονα περιστροφής I cm =0,6 g m ( Σ) h /////////// i /////////// ( Σ) [ Απ Α) U=0,0 J, B) α) Α=8 cm, β) 3π t = (sec), γ) βρίσκεται στην <<κά- 0 τω>> άκρη της γατ] 6 Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται: M=3 g, m = g, L= m, m= g, =00 /m Η ράβδος µε τη σφαίρα ξεκινά από την οριζόντια θέση και στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος περνά από την άκρη Ο Όταν m (M,L) O φτάνει στην κατακόρυφη θέση, η σφαίρα (m ) συγκρούεται ελαστικά µε το σώµα (m), που m είναι δεµένο στο ελατήριο σταθεράς Κ Να βρεθούν: /////////////////////////// α) Η ταχύτητα (υ) της σφαίρας (m ) όταν η ράβδος γίνεται κατακόρυφη β) Η ταχύτητα (V) του σώµατος (m) µετά την κρούση γ) Τι κάνει η ράβδος µετά την κρούση; ίνεται: Icm( ρ ά βδου ) ML δ) Το πλάτος της γατ που κάνει το σύστηµα (m-) µετά την κρούση [ Απ α) υ=5 m/s, β) V=5 m/s, γ) µένει ακίνητη, δ) Α=0,5 m ] 0

7 Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται: βάρος ράβδου w=30, µάζα <<αρουραίου>> m = g, σταθερά ελατηρίου =00 /m, µάζα σώµατος (Μ) = Κg, όριο θραύσης νήµατος Τ θρ =00 Ν Ο <<αρουραίος>> ξεκινά από το µέσο της ράβδου και κινείται προς την άκρη της Α) Να δείξετε ότι όταν ο <<αρουραίος>> φτάσει στην άκρη της ράβδου τότε κόβεται το νήµα Β) Στη συνέχεια, ακαριαία, ο <<αρου- ραίος>> πιάνεται από το σώµα (Μ), το οποίο είναι ακριβώς δίπλα από το άκρο της ράβδου, και το <<σύστηµά>> τους αρχίζει να εκτελεί γατ, ενώ η ράβδος περιστρέφεται γύρω από την άρθρωση στο σηµείο Α Να βρεθούν: α) το πλάτος της γατ του <<συστήµατος>>, β) η στροφορµή της ράβδου τη στιγµή κατά την οποία αυτή έρχεται στην κατακό- ρυφη θέση, (δίνεται Icm( ρ ά βδου ) = M l γ) ο ρυθµός παραγωγής έργου από το βάρος της ράβδου τη στιγµή που αυτή είναι: (i) οριζόντια, (ii) κατακόρυφη i o 30 (m ) Mouse w Mouse ////////// (M) 8 Στη διάταξη του σχήµατος η ράβδος Α έχει µάζα Μ και µήκος l Στην άκρη της είναι στερεωµένο σφαιρίδιο, µάζας m Στο σηµείο της ράβδου (µε Α =⅝l ) είναι δεµένο µε ////////// Κ νήµα το σύστηµα (m ) έτσι ώστε η ρά- m βδος Α να είναι οριζόντια (M, l) m Α) Να βρεθούν η τάση του νήµατος και η δύναµη από την άρθρωση στο Α ίνονται: M= g, m = g, g=0 m/s Mg Β) Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα (i) να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος (m ) ίνονται: m =0,8 g, m3 =00 /m (ii) να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος m τη στιγµή που περνά από τη θέ- //////////////////// ση φυσικού µήκους του ελατηρίου ( ) ) Μόλις κόψαµε το νήµα η ράβδος µε το σφαιρίδιο m περιστρέφονται ως προς το σηµείο Α Να βρεθεί η ταχύτητα του σφαιριδίου m, τη στιγµή που η ράβδος γίνεται κατακόρυφη ίνονται: l= m και για τη ράβδο I ρ βδου = M l cm( ρά βδου)

) Τη στιγµή που η ράβδος Α γίνεται κατακόρυφη, το σφαιρίδιο m συγκρούεται ελαστικά µε το σώµα µάζας m 3, που είναι στερεωµένο στο οριζόντιο ελατήριο ( ) Αν το πλάτος της ταλάντωσης του m 3, µετά την κρούση είναι Α 3 =0,4 m να βρεθεί προς τα που θα κινηθεί η ράβδος µετά την κρούση και µέχρι που θα φτάσει; ίνονται: m 3 = g, =3600 /m [ Απ Α) Τ=3 Ν, F =, B) (i) = 0,6 m, (ii) υ =,45 m/s, ) υ = 4 3 m/s, ) προς τα πίσω, ] 9 Στη διάταξη του σχήµατος το φυσικό µήκος του ελατηρίου είναι ίσο µε το µισό µήκος της ράβδου (Α) Το κατακόρυφο νήµα έχει µεγάλο όριο θραύσης (αντοχή) Η σφαίρα (m ) ξεκινά από ύψος h πάνω από το σώµα (m), µε το οποίο συσσωµατώνεται και το σύστηµά τους ε- κτελεί γατ κατά µήκος της ράβδου ίνονται: M=4 g, (Α)= m, m= g, =00 /m, m = g, h=,8 m m, φ=30 ο, g=0 m/s φ Να βρεθούν: α) το πλάτος της γατ του συσσωµατώµατος (m+m ), β) το µέτρο της τάσης του νήµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο m h m Mg ///////// T [ Απ α) 3, 5 = (m) = 0,8(m), β) 0 0 3 x = 0,8 ηµ t +φ 3 ο, 5 ηµφ ο = ] 8

0 Στη διάταξη του σχήµατος στο σώµα (m) δίνουµε ταχύτητα (υ) από τη θέση ισορροπίας του Το φυσικό µήκος του ελατηρίου είναι ίσο µε το µισό µήκος της οµογενούς ράβδου Να βρεθεί η σχέση που δίνει το µέτρο της αντίδρασης του τοίχου στο σηµείο πάνω στη ράβδο, σε συνάρτηση µε το χρόνο φ m υ Mg Στη διάταξη του σχήµατος η οµογενής w= 40 ράβδος µπορεί να στρέφεται γύρω από w= 0 οριζόντιο άξονα στο σηµείο Β Το σύ- (B) = l στηµα ισορροπεί στη θέση του σχήµα- 3 Κ i τος Β Το ελατήριο έχει σταθερά =00 /m i α) Να βρεθεί η τάση του νήµατος i w β) Αν το νήµα έχει όριο θραύσης 60 Ν, w να βρεθεί το µέγιστο επιτρεπόµενο πλά- ν ή µα τος ταλάντωσης του σώµατος (w ) ώστε ///////// T = 60 Ν ( ) ; γατ = θρ να µη κόβεται το νήµα γ) Να βρεθεί η τάση του νήµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο της ταλάντωσης του σώµατος (w ), όταν τη στιγµή t o =0 το σώµα (w ) <<περνά>> από τη θέση ισορροπίας και κινείται προς τα κάτω [ Απ α) Τ= 40 Ν, β) Α=0, m, γ) T = 40 + 0 ηµ (0t) ] Στη διάταξη του σχήµατος το παιδί στέκεται στην άκρη Α της ράβδου Α Ο κύλινδρος (w ) κρέµεται µε νήµα από το σηµείο και κάποια στιγµή (t ο =0) αφήνεται ελεύθερος ίνεται για τον κύλινδρο I cm =½ m r Να βρεθούν: α) Η απόσταση x=( ), ώστε η ράβδος να παραµένει οριζόντια β) O ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου µετά από t=0,3 s [ Απ α) x= m, β) 60 (J/s) ] w 7m m Ο Κ i //////// w w= 60 w= 30 w = 65 x = ;( ισορροπ ί α ) g= 0(m/ s ) i w x 3

3 Στη διάταξη του σχήµατος η ράβδος Α είναι κατακόρυφη, έχει µάζα M=,8 g και µήκος L= m Το σώµα, µάζας m= g, είναι στερεωµένο στο οριζόντιο ε- λατήριο, µε σταθερά =00 /m Αρχικά βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, η οποία ταυτίζεται µε το φυσικό του µήκος l o = 0, 5 m (θέση ) Συσπειρώνου- µε το ελατήριο ώστε το µήκος του να γί- νει l = 0, m (θέση Ζ) Στην αρχική θέ- υ ση τοποθετούµε ένα µικρότερο σώµα, µάζας m, το οποίο έχει ένα καρφί στο δεξί του άκρο Τη στιγµή (t o =0) αφήνουµε το σώµα m ελεύθερο, το οποίο φθάνοντας στη θέση συγκρούεται ελαστικά µε το σώµα m Στη συνέχεια το σώµα m σφηνώνεται στο επάνω άκρο της ράβδου Α Να βρεθούν: α) η µάζα του σώµατος m, ώστε το σώµα m στη νέα γατ που θα κάνει να µη ξεπερνά την άκρη του οριζοντίου επιπέδου (δηλ Α =d), β) η ταχύτητα (υ) του σώµατος m όταν η ράβδος Α γίνεται οριζόντια, γ) ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήµατος <<ράβδου-m >> τη στιγµή που η ράβδος σχηµατίζει γωνία θ=60 ο µε την κατακόρυφο ίνεται g=0 m/s και για τη ράβδο I cm = ML l l o Ζ ΘΙ =ΦΜ d m m (M,L) m [ Απ α) m =0, g, β) 465 υ= m/s, γ) ] 4

4 Στη διάταξη του σχήµατος το σύστηµα ισορροπεί στη θέση που φαίνεται ίνονται: ΘΦΜ ΘΙ Μ = g, = 50 /m, m= g, r=0, m, R=0, m, g = 0 m/s ( Μ), I βαρούλκου =0,04 g m i i Κάποια στιγµή (t o = 0) κόβουµε το νήµα στο R (I) σηµείο Να βρεθούν: r α) το πλάτος της γατ που εκτελεί το σύστη- µα <<ελατήριο σώµα (Μ)>>, β) το σώµα (m) αρχίζει και κατεβαίνει ενώ το (m) βαρούλκο περιστρέφεται Να βρεθούν η επιτάχυνση του σώµατος (m), η γωνιακή επιτάχυνση του βαρούλκου και η τάση του νήµατος, γ) ο ρυθµός του παραγόµενου έργου στο βαρούλκο µετά από χρόνο t = (π/5) sec από τη στιγµή που κόψαµε το νήµα, δ) η θέση του σώµατος (Μ) (στη γατ που εκτελεί) τη στιγµή t, ε) πόσο έχει κατέβει από την αρχική του θέση το σώµα (m) µέσα στο χρονικό διά- στηµα που µεσολαβεί από τη στιγµή που κόψαµε το νήµα µέχρι το σώµα (M) να περάσει από τη θέση ισορροπίας του για 3 η φορά [ Απ α) Α = 0,05 m, β) α cm = m/s α γων = 0 rad/s T = 8, γ) 3,π (J/s), δ) στη αριστερή <<άκρη>> της γατ, ε) (π /4) m ] 5

5 Στη διάταξη του σχήµατος µια ηχητική πηγή (S) εκπέµπει συνεχώς ήχο συχνότητας (f S ) και κρέµεται στερεωµένη στο κάτω άκρο του κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς Κ Η η- χητική πηγή έχει µάζα (Μ) και ισορροπεί στη θέση του σχή- µατος Κάτω από την πηγή (S) και στην ίδια ευθεία µε τον άξονα του ελατηρίου βρίσκεται ακίνητος άνθρωπος (Α) Κάποια στιγµή αφήνουµε ένα µικρό κοµµάτι στόκου, µάζας (m), να πέσει από ύψος h πάνω από την πηγή (S) και ενσωµατώνεται µ αυτήν, οπότε το σύστηµά τους αρχίζει να εκτελεί γατ Να βρεθούν: α) το πλάτος της γατ που εκτελεί το σύστηµα, β) η µέγιστη ταχύτητα του συστήµατος, στη γατ που εκτελεί, γ) η µέγιστη και η ελάχιστη συχνότητα των ήχων που ακούει ο άνθρωπος (Α) ίνονται: =0 /m, M=0,9 g, m=0, g, h=,8 m, f S =400 Hz, υ ηχ =340 m/s, g=0 m/s ////////// (m) h (S) (M) () /////////////////////// [ Απ α) Α = 4,6 0 m = 0,44 m, β) υ 46 max = m/s = 0,678 m/s, 0 γ) f max = 400,8 Hz, f min = 399, Hz ] 6