Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Πολυπλοκότητας. Ενότητα: H κλάση ΝΡ. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Πολυπλοκότητας Ενότητα: H κλάση ΝΡ Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών

Θεςνία Νμιοπιμθόηεηαξ άνεξ Ναπαδόπμοιμξ

Αιγμνηζμηθέξ Πεπκηθέξ θαη Γμπόδηα Αιγμνηζμηθέξ Πεπκηθέξ Ν.π. Άπιεζημ πνόηοπμ O(n log n) πνμκμπνμγναμμαηηζμόξ Δηαίνεη θαη Βαζίιεοε O(n log n) ηαληκόμεζε Δοκαμηθόξ Ννμγναμμαηηζμόξ O(n 2 ) εοζογνάμμηζε αθμιμοζίαξ Ακαγςγέξ Ννμζεγγηζηηθμί αιγόνηζμμη Πμπηθή ακαδήηεζε Ποπαημπμηεμέκμη αιγόνηζμμη Αιγμνηζμηθά εμπόδηα NP-πιενόηεηα. αιγόνηζμμξ O(n k ), απίζακμ. PSPACE-πιενόηεηα αιγόνηζμμξ πηζημπμίεζεξ O(n k ), απίζακμ Δοζεπηιοζημόηεηα. Ηακέκαξ πμι/θμξ αιγόνηζμμξ 2

Δύζθμια Ννμβιήμαηα Οίγμονα δεκ ζέιεηε κα πάηε ζημ αθεκηηθό θαη κα ημο πείηε: Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ, μάιιμκ δεκ είμαη πμιύ έλοπκμξ. 3

Δύζθμια Ννμβιήμαηα Οίγμονα δεκ ζέιεηε κα πάηε ζημ αθεκηηθό θαη κα ημο πείηε: Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ, μάιιμκ δεκ είμαη πμιύ έλοπκμξ. Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ δηόηη δεμ σπάρτει ηέημημξ αιγόνηζμμξ Πόηε γηα κα απμθύγεηε ζμβανέξ επηπηώζεηξ ηεξ ζέζεξ ζαξ ζηεκ εηαηνεία: 4

Δύζθμια Ννμβιήμαηα Οίγμονα δεκ ζέιεηε κα πάηε ζημ αθεκηηθό θαη κα ημο πείηε: Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ, μάιιμκ δεκ είμαη πμιύ έλοπκμξ. Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ δηόηη δεμ σπάρτει ηέημημξ αιγόνηζμμξ Πόηε γηα κα απμθύγεηε ζμβανέξ επηπηώζεηξ ηεξ ζέζεξ ζαξ ζηεκ εηαηνεία: Δοζηοπώξ, ημ κα απμδείλεηε ηεκ με-ύπανλε μπμνεί κα έπεη ηεκ ίδηα δοζθμιία με ηεκ εύνεζε ημο απμηειεζμαηηθμύ αιγμνίζμμο 5

Δύζθμια Ννμβιήμαηα Οίγμονα δεκ ζέιεηε κα πάηε ζημ αθεκηηθό θαη κα ημο πείηε: Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ, μάιιμκ δεκ είμαη πμιύ έλοπκμξ. Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ δηόηη δεμ σπάρτει ηέημημξ αιγόνηζμμξ Πόηε γηα κα απμθύγεηε ζμβανέξ επηπηώζεηξ ηεξ ζέζεξ ζαξ ζηεκ εηαηνεία: Δοζηοπώξ, ημ κα απμδείλεηε ηεκ με-ύπανλε μπμνεί κα έπεη ηεκ ίδηα δοζθμιία με ηεκ εύνεζε ημο απμηειεζμαηηθμύ αιγμνίζμμο Πόηε όμςξ ζθέθηεζηε: Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ, αιιά μύηε όιμη αοημί μη εηδηθμί μπμνμύκ. 6

Δύζθμια Ννμβιήμαηα Οίγμονα δεκ ζέιεηε κα πάηε ζημ αθεκηηθό θαη κα ημο πείηε: Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ, μάιιμκ δεκ είμαη πμιύ έλοπκμξ. Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ δηόηη δεμ σπάρτει ηέημημξ αιγόνηζμμξ Πόηε γηα κα απμθύγεηε ζμβανέξ επηπηώζεηξ ηεξ ζέζεξ ζαξ ζηεκ εηαηνεία: Δοζηοπώξ, ημ κα απμδείλεηε ηεκ με-ύπανλε μπμνεί κα έπεη ηεκ ίδηα δοζθμιία με ηεκ εύνεζε ημο απμηειεζμαηηθμύ αιγμνίζμμο Πόηε όμςξ ζθέθηεζηε: Δεκ μπμνώ κα βνς έκακ απμηειεζμαηηθό αιγόνηζμμ, αιιά μύηε όιμη αοημί μη εηδηθμί μπμνμύκ. Πμοιάπηζημκ ηόηε ημ αθεκηηθό ζαξ ζα θαηαιάβεη όηη: δεμ ωθελεί μα ζας απολύζει και μα προζλάβει κάποιομ άλλο εμπειρογμώμομα ζηοσς αλγορίθμοσς. 7

Αζομπηςηηθόξ νοζμόξ αύλεζεξ Μ( ) Ω( ) Θ( ) μ( )

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ Μ( ) Μ - αζομπηςηηθά άκς όνηα Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη O(f(n)), ακ Ǝ ζηαζενέξ c > 0 θαη n 0 0 ηέημηεξ ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) c f(n) Ννμζμπή ε ζηαζενά c πνέπεη κα ιεηημονγεί γηα όια ηα n, δεκ μπμνεί δειαδή ημ c κα ελανηάηαη από ημ n. 9

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ Μ( ) Μ - αζομπηςηηθά άκς όνηα Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη O(f(n)), ακ Ǝ ζηαζενέξ c > 0 θαη n 0 0 ηέημηεξ ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) c f(n) Οεμεημιμγία Π(n) Μ(f(n)) αιιά γηα απιμύζηεοζε γνάθμομε T(n) = O(f(n)) Νανάδεηγμα: (α) T(n) = 37n 2 + 19n + 72 T(n) = O(n 2 ) θαη Π(n) = O(n 3 ) αιιά T(n) O(n) (b) T(n) = 100n + 2n 2 + 17n log n + n 3 /100 Π(n) = O(n 3 ) - αιιά T(n) O(n 2 ) 10

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ Μ( ) Μ - αζομπηςηηθά άκς όνηα Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη O(f(n)), ακ Ǝ ζηαζενέξ c > 0 θαη n 0 0 ηέημηεξ ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) c f(n) Γηδηθόηενα: Έζης όηη γηα ηηξ ζοκανηήζεηξ T(n) θαη f(n) οπάνπεη ημ όνημ θαη έπεη ηημή c γηα θάπμηα ζηαζενά c. Πόηε T(n) = O(f(n)) 11

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ Ω( ) Ω - αζομπηςηηθά θάης όνηα Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη Ω(f(n)), ακ Ǝ ζηαζενέξ c > 0 θαη n 0 0 ηέημηεξ ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) c f(n) 12

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ Ω( ) Ω - αζομπηςηηθά θάης όνηα Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη Ω(f(n)), ακ Ǝ ζηαζενέξ c > 0 θαη n 0 0 ηέημηεξ ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) c f(n) Οεμεημιμγία Π(n) Ω(f(n)) αιιά γηα απιμύζηεοζε γνάθμομε T(n) = Ω(f(n)) Νανάδεηγμα: (α) T(n) = 37n 2 + 19n + 72 T(n) = Ω(n 2 ) θαη Π(n) = Ω(n) αιιά T(n) Ω(n 3 ) (b) T(n) = 100n + 2n 2 + 17n log n + n 3 /100 Π(n) = Ω(n 3 ) θαη Π(n) = Ω(n 2 ) - αιιά T(n) Ω(n 4 ) 13

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ Ω( ) Ω - αζομπηςηηθά θάης όνηα Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη Ω(f(n)), ακ Ǝ ζηαζενέξ c > 0 θαη n 0 0 ηέημηεξ ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) c f(n) Γηδηθόηενα: Έζης όηη γηα ηηξ ζοκανηήζεηξ T(n) θαη f(n) οπάνπεη ημ όνημ θαη έπεη ηημή c γηα θάπμηα ζηαζενά c. Πόηε T(n) = Ω(f(n)) Ζζπύεη: 14

Αοζηενό Αζομπηςηηθό Όνημ Ακ μπμνμύμε κα δείλμομε πςξ Π(n) = Μ(f(n)) θαη Π(n) = Ω(f(n)) ηόηε έπμομε βνεη ημ ζςζηό όνημ. Θ - αζομπηςηηθά αοζηενά όνηα: Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη Θ(f(n)), ακ Ǝ ζηαζενέξ c 1 > 0, c 2 > 0 θαη n 0 0 ηέημηεξ ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη c 1 f(n) T(n) c 2 f(n) 15

Αοζηενό Αζομπηςηηθό Όνημ Θ( ) Ακ μπμνμύμε κα δείλμομε πςξ Π(n) = Μ(f(n)) θαη Π(n) = Ω(f(n)) ηόηε έπμομε βνεη ημ ζςζηό όνημ. Θ - αζομπηςηηθά αοζηενά όνηα: Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη Θ(f(n)), ακ Ǝ ζηαζενέξ c 1 > 0, c 2 > 0 θαη n 0 0 ηέημηεξ ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη c 1 f(n) T(n) c 2 f(n) Ζζπύεη: θαη 16

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ Θ( ) Θ - αζομπηςηηθά αοζηενά όνηα Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη Θ(f(n)), ακ ε ζοκάνηεζε Π(n) είκαη ηαοηόπνμκα Μ(f(n)) θαη Ω(f(n)) 17

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ Θ( ) Θ - αζομπηςηηθά αοζηενά όνηα Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη Θ(f(n)), ακ ε ζοκάνηεζε Π(n) είκαη ηαοηόπνμκα Μ(f(n)) θαη Ω(f(n)) Οεμεημιμγία Π(n) Θ(f(n)) αιιά γηα απιμύζηεοζε γνάθμομε T(n) = Θ(f(n)) Νανάδεηγμα: (α) T(n) = 37n 2 + 19n + 72 T(n) = Θ(n 2 ) αιιά T(n) Θ(n 3 ) θαη T(n) Θ(n) (b) T(n) = 100n + 2n 2 + 17n log n + n 3 /100 Π(n) = Θ(n 3 ) - αιιά T(n) Θ(n 4 ) θαη T(n) Θ(n 2 ) 18

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ Θ( ) Θ - αζομπηςηηθά αοζηενά όνηα Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη Θ(f(n)), ακ ε ζοκάνηεζε Π(n) είκαη ηαοηόπνμκα Μ(f(n)) θαη Ω(f(n)) Γηδηθόηενα: Έζης όηη γηα ηηξ ζοκανηήζεηξ T(n) θαη f(n) οπάνπμοκ ηα όνηα θαη θαη έπμοκ ηημή c γηα θάπμηα ζηαζενά c. Πόηε T(n) = Θ(f(n)) 19

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ μ( ) μ - αζομπηςηηθά άκς όνηα ηάλεξ μεγέζμοξ Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη μ(f(n)), ακ γηα θάζε ζηαζενά c > 0, Ǝ n 0 0 ηέημηα ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) < c f(n) Οεμεημιμγία Π(n) μ(f(n)) αιιά γηα απιμύζηεοζε γνάθμομε T(n) = μ(f(n)) Νανάδεηγμα: (α) T(n) = 37n 2 + 19n + 72 T(n) = Μ(n 2 ) αιιά T(n) = ο(n 3 ) (b) T(n) = 100n + 2n 2 + 17n log n + n 3 /100 Π(n) = Μ(n 3 ) - αιιά T(n) = ο(n 4 ) 20

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ μ( ) μ - αζομπηςηηθά άκς όνηα ηάλεξ μεγέζμοξ Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη μ(f(n)), ακ γηα θάζε ζηαζενά c > 0, Ǝ n 0 0 ηέημηα ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) < c f(n) Γηδηθόηενα: Έζης όηη γηα ηηξ ζοκανηήζεηξ T(n) θαη f(n) οπάνπεη ημ όνημ θαη έπεη ηημή = 0. Πόηε T(n) = μ(f(n)) 21

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ μ( ) μ - αζομπηςηηθά άκς όνηα ηάλεξ μεγέζμοξ Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη μ(f(n)), ακ γηα θάζε ζηαζενά c > 0, Ǝ n 0 0 ηέημηα ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) < c f(n) Γηδηθόηενα: Έζης όηη γηα ηηξ ζοκανηήζεηξ T(n) θαη f(n) οπάνπεη ημ όνημ θαη έπεη ηημή = 0. Πόηε T(n) = μ(f(n)) Νανάδεηγμα αιιά 22

Αζομπηςηηθόξ Οομβμιηζμόξ μ( ) μ - αζομπηςηηθά άκς όνηα ηάλεξ μεγέζμοξ Ε ζοκάνηεζε T(n) είκαη μ(f(n)), ακ γηα θάζε ζηαζενά c > 0, Ǝ n 0 0 ηέημηα ώζηε γηα θάζε n n 0 κα ηζπύεη T(n) < c f(n) Γηδηθόηενα: Έζης όηη γηα ηηξ ζοκανηήζεηξ T(n) θαη f(n) οπάνπεη ημ όνημ θαη έπεη ηημή = 0. Πόηε T(n) = μ(f(n)) Νανάδεηγμα αιιά δηόηη: 23

Ακαγςγέξ Νμιοςκομηθμύ νόκμο

Ηαηεγμνημπμίεζε πνμβιεμάηςκ ςξ πνμξ ηεκ Ρπμιμγηζημόηεηα Γνώηεμα. Νμηα πνμβιήμαηα ζα είμαζηε ζε ζέζε κα ιύζμομε ζηε πνάλε; Μνηζμόξ-Απάκηεζε. [von Neumann 1953, Godel 1956, Cobham 1964, Edmonds 1965, Rabin 1966] Αοηά πμο ιύκμκηαη ζε πμιοςκομηθό πνόκμ. Καη Οοκημμόηενε δηαδνμμή Παίνηαζμα 2-SAT 4-πνςμαηηζμόξ Γπίπεδα Δημενή θάιομμα θμνοθώκ Ηύθιμξ Euler Νηζακόκ όπη Ιαθνύηενμ μμκμπάηη 3D-matching 3-SAT 3-πνςμαηηζμόξ Γπίπεδα Ηάιομμα Ημνοθώκ Ηύθιμξ Hamilton Έιεγπμξ Ννώηςκ Ναναγμκημπμίεζε 25

Ηαηεγμνημπμίεζε Ννμβιεμάηςκ Γπηζομεηό. Ηαηεγμνημπμίεζε ηα πνμβιήμαηα ςξ πνμξ αοηά πμο ιύκμκηαη ζε πμι/θό πνόκμ θαη ζε αοηά πμο δεκ ιύκμκηαη ζε πμι/θό πνόκμ. Απόδεηλε απαηηεί εθζεηηθμύ πνόκμο Δεδμμέκμο μηαξ Turing μεπακήξ, ζηαμαηάεη μεηά από ημ πμιύ k βήμαηα; Δεδμμέκμο εκόξ ζηηγμημηύπμο ζέζεςκ ζε έκα γεκηθεομέκμ n x n ζθάθη, μπμνεί έκαξ παίθηεξ κα ελαζθαιίζεη όηη θενδίδεη; Δοζάνεζηα κέα. Έκα ηενάζηημ πιήζμξ ζεμειηςδώκ πνμβιεμάηςκ δεκ έπμοκ θαηεγμνημπμηεζεί γηα δεθαεηίεξ. Θα δμύμε. Πα ζεμειηώδεξ αοηά πνμβιήμαηα είκαη «οπμιμγηζηηθά ηζμδύκαμα» θαη θαίκμκηαη κα είκαη δηαθμνεηηθέξ εθθάκζεηξ εκόξ πναγμαηηθά δύζθμιμο πνμβιήμαημξ. 26

Ακαγςγέξ Νμιοςκομηθμύ νόκμο Γπηζομία. Έζης όηη ιύκμομε ημ X ζε πμι/θό πνόκμ. Πη άιιμ μπμνμύμε κα ιύζμομε ζε πμι/θό πνόκμ; μεκ ζογπέμομε με «ακάγεηαη από» Ακαγςγή. Πμ πνόβιεμα X ακάγεηαη πμι/θά ζημ πνόβιεμα Y ακ θάζε ζηηγμηόηοπμ ημο X μπμνεί κα ιοζεί πνεζημμπμηώκηαξ: Νμι/θό πιήζμξ οπμιμγηζηηθώκ βεμάηςκ, ζοκ Νμι/θό πιήζμξ θιήζεςκ ηεξ ηεπκηθήξ πμο ιύκεη ημ πνόβιεμα Y. Οομβμιηζμόξ. X P Y. οπάνπμοκ οπμιμγηζηηθά μμκηέια με εηδηθέξ δηαηάλεηξ ζημ οιηθό πμο επηιύμοκ ζηηγμηόηοπα ημο Y ζε έκα μόκμ βήμα (Cook/Karp) Ναναηενήζεηξ. Νιενώκμομε πνόκμ γηα κα μεηαηνέρμομε ζηηγμηόηοπα πμο ηα ζηέικμομε ζε έκα μαύνμ θμοηί ζηηγμηόηοπα ημο Y πνέπεη κα έπμοκ πμι/θό μέγεζμξ. είζμδμξ γηα ημ Ρ αιγόνηζμμξ γηα ημ Ρ έλμδμξ γηα ημ Ρ 27

Ακαγςγέξ Νμιοςκομηθμύ νόκμο Θόγμξ. Ηαηεγμνημπμίεζε πνμβιεμάηςκ ςξ πνμξ ηεκ ζπεηηθή δοζθμιία. Οπεδίαζε αιγμνίζμςκ. Ακ X P Y θαη ημ Y επηιύεηαη ζε πμι/θό πνόκμ, ηόηε ημ X επίζεξ ιύκεηαη ζε πμι/θό πνόκμ. Ηαζηένςζε δοζεπηιοζημόηεηαξ. Ακ X P Y θαη ημ X δεκ μπμνεί κα ιοζεί ζε πμι/θό πνόκμ, ηόηε μύηε ημ Y μπμνεί κα ιοζεί ζε πμι/θό πνόκμ. Ηαζηένςζε ηζμδοκαμίαξ. Ακ X P Y θαη Y P X, ηα ζομβμιίδμομε X P Y. ςξ πνμξ έκα θόζημξ ακαγςγήξ 28

Ακαγςγή από Απιή Ζζμδοκαμία Οηναηεγηθέξ βαζηθώκ ακαγςγώκ. Ακαγςγή από απιή ηζμδοκαμία. Ακαγςγή από εηδηθή πενίπηςζε ζε γεκηθή πενίπηςζε. Ακαγςγή με μηθνμενγαιεία (gadgets).

Ακελάνηεημ Ούκμιμ (Independent Set) ΑΚΓΛΑΞΠΕΠΜ ΟΡΚΜΘΜ: Δεδμμέκμο εκόξ γναθήμαημξ G = (V, E) θαη εκόξ αθεναίμο k, οπάνπεη έκα οπμζύκμιμ θμνοθώκ S V ηέημημ ώζηε S k, θαη θάζε αθμή κα έπεη ημ πμιύ έκα άθνμ ζημ S; Ν.π. Ρπάνπεη ακελάνηεημ ζύκμιμ μεγέζμοξ 6? Καη. Ν.π. Ρπάνπεη ακελάνηεημ ζύκμιμ μεγέζμοξ 7? Όπη. ακελάνηεημ ζύκμιμ 30

Ηάιομμα Ημνοθώκ (Vertex Cover) ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ: Δεδμμέκμο εκόξ γναθήμαημξ G = (V, E) θαη εκόξ αθεναίμο k, οπάνπεη έκα οπμζύκμιμ θμνοθώκ S V ηέημημ ώζηε S k, θαη θάζε αθμή κα έπεη ημοιάπηζημκ έκα άθνμ ζημ S; Ν.π. Ρπάνπεη θάιομμα θμνοθώκ μεγέζμοξ 4; Καη. Ν.π. Ρπάνπεη θάιομμα θμνοθώκ μεγέζμοξ 3? Όπη. θάιομμα θμνοθώκ 31

Ηάιομμα Ημνοθώκ θαη Ακελάνηεημ Ούκμιμ Ζζπονηζμόξ. ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ P ΑΚΓΛΑΞΠΕΠΜ ΟΡΚΜΘΜ. Απόδεηλε. Δείπκμομε όηη S είκαη ακελάνηεημ ζύκμιμ ακκ V S είκαη θάιομμα θμνοθώκ. ακελάνηεημ ζύκμιμ θάιομμα θμνοθώκ 32

Ηάιομμα Ημνοθώκ θαη Ακελάνηεημ Ούκμιμ Ζζπονηζμόξ. ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ P ΑΚΓΛΑΞΠΕΠΜ ΟΡΚΜΘΜ. Απόδεηλε. Δείπκμομε όηη S είκαη ακελάνηεημ ζύκμιμ ακκ V S είκαη θάιομμα θμνοθώκ. Έζης S ακελάνηεημ ζύκμιμ. Θεςνμύμε μηα ηοπαία αθμή (u, v). S ακελάνηεημ u S ή v S u V S ή v V S. Δειαδή, ημ V S θαιύπηεη ηεκ αθμή (u, v). Έζης V S έκα θάιομμα θμνοθώκ. Θεςνμύμε δύμ θόμβμοξ u S θαη v S. Ναναηενμύμε όηη (u, v) E δηόηη ημ V S είκαη θάιομμα θμνοθώκ. Γπμμέκςξ, δεκ οπάνπμοκ δομ γεηημκηθμί ζημ S S ακελάνηεημ ζύκμιμ. 33

Ακαγςγή από εηδηθή πενίπηςζε ζε γεκηθή πενίπηςζε Οηναηεγηθέξ βαζηθώκ ακαγςγώκ. Ακαγςγή από απιή ηζμδοκαμία. Ακαγςγή από εηδηθή πενίπηςζε ζε γεκηθή πενίπηςζε. Ακαγςγή με μηθνμενγαιεία (gadgets).

Ηάιομμα Οοκόιμο (Set Cover) ΗΑΘΡΙΙΑ ΟΡΚΜΘΜΡ: Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο U με ζημηπεία, μηαξ ζοιιμγήξ S 1, S 2,..., S m από οπμζύκμια ημο U, θαη εκόξ αθεναίμο k, οπάνπεη μηα ζοιιμγή από k οπμζύκμια ηςκ μπμίςκ ε έκςζε είκαη ημ U; Γθανμμγή ζηε δεηγμαημιερία. m δηαζέζημα θμμμάηηα θώδηθα. Πμ U έπεη n θμμμάηηα θώδηθα πμο ζέιμομε κα έπεη ζημ ζύζηεμα. Πμ i-ζημ δηαζέζημμ θμμμάηη θώδηθα είκαη ημ ζύκμιμ S i U. Οηόπμξ: ζοιιμγή n θμμμαηηώκ με ημ ειάπηζημ πιήζμξ δεηγμάηςκ θώδηθα. Ν.π.: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } k = 2 S 1 = {3, 7} S 4 = {2, 4} S 2 = {3, 4, 5, 6} S 5 = {5} S 3 = {1} S 6 = {1, 2, 6, 7} 35

Ηάιομμα Ημνοθώκ Ακάγεηαη ζημ Ηάιομμα Οοκόιμο Ζζπονηζμόξ. ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ P ΗΑΘΡΙΙΑ ΟΡΚΜΘΜΡ. Απόδεηλε. Δεδμμέκμο ζηηγμηόηοπμο ημο ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ G = (V, E), k, θαηαζθεοάδμομε έκα ζηηγμηόηοπμ γηα ημ θάιομμα ζοκόιμο ημο μπμίμο ημ μέγεζμξ είκαη ίζμ με ημ μέγεζμξ ημο ζηηγμηόηοπμ γηα ημ ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ. Ηαηαζθεοή. Δεμημονγία ημο ζηηγμηόηοπμο ΗΑΘΡΙΙΑ ΟΡΚΜΘΜΡ: k = k, U = E, S v = {e E : e πνμζθείμεκε ζημ v } θάιομμα ζοκόιμο μεγέζμοξ k ακ-κ θάιομμα θμνοθώκ μεγέζμοξ k. ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ a b ΗΑΘΡΙΙΑ ΟΡΚΜΘΜΡ f e 7 e 1 e 2 e 3 e 6 e 4 e 5 c U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } k = 2 S a = {3, 7} S b = {2, 4} S c = {3, 4, 5, 6} S d = {5} S e = {1} S f = {1, 2, 6, 7} k = 2 e d 36

Ακαγςγή με μηθνμενγαιεία (gadgets) Οηναηεγηθέξ βαζηθώκ ακαγςγώκ. Ακαγςγή από απιή ηζμδοκαμία. Ακαγςγή από εηδηθή πενίπηςζε ζε γεκηθή πενίπηςζε. Ακαγςγή με μηθνμενγαιεία (gadgets).

Ζθακμπμηεζημόηεηα (SAT) Όνμξ: Ιηα ιμγηθή μεηαβιεηή ή ε άνκεζε. x i or x i Ννόηαζε: Ιηα δηάδεολε από όνμοξ. Οοδεοθηηθή Ηακμκηθή Ιμνθή (CNF): Ιηα πνμηαζηαθή μμνθή πμο απμηειείηαη από ζύδεολε πνμηάζεςκ. C j x 1 x 2 x 3 C 1 C 2 C 3 C 4 SAT: Δεδμμέκεξ μηαξ CNF μμνθήξ, οπάνπεη μηα ακάζεζε αιεζμηημώκ ζημοξ όνμοξ πμο κα ηεκ ηθακμπμημύκ; 3-SAT: SAT όπμο θάζε πνόηαζε πενηέπεη αθνηβώξ 3 όνμοξ. Ν.π.: Καη: x 1 = true, x 2 = true x 3 = false. θάζε έκαξ ακηηζημηπεί ζε δηαθμνεηηθή μεηαβιεηή x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 38

3-SAT Ακάγεηαη ζημ Ακελάνηεημ Ούκμιμ Ζζπονηζμόξ. 3-SAT P ΑΚΓΛΑΞΠΕΠΜ-ΟΡΚΜΘΜ. Απόδεηλε. Δεδμμέκμο εκόξ ζηηγμημηύπμο ημο 3-SAT, θαηαζθεοάδμομε ζηηγμηόηοπμ (G, k) ημο ΑΚΓΛΑΞΠΕΠΜ ΟΡΚΜΘΜ πμο έπεη ακελάνηεημ ζύκμιμ μεγέζμοξ k ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Ηαηαζθεοή. G πενηέπεη 3 θμνοθέξ γηα θάζε πνόηαζε, μηα γηα θάζε όνμ. Γκώκμκηαη μη 3 όνμη ηεξ πνόηαζεξ ζε έκα ηνίγςκμ. Γκώκεηαη θάζε όνμξ με ηεκ άνκεζή ημο. x 1 x 2 x 1 G k = 3 x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 4 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 39

3-SAT Ακάγεηαη ζημ Ακελάνηεημ Ούκμιμ Ζζπονηζμόξ. G έπεη ακελ. ζύκμιμ μεγέζμοξ k = ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Απόδεηλε. Έζης S ακελάνηεημ ζύκμιμ μεγέζμοξ k. S πενηέπεη μηα θμνοθή από θάζε ηνίγςκμ. Αοημί μη όνμη γίκμκηαη true. θαη θάζε άιιε μεηαβιεηή με ζοκεπή ηνόπμ Ακάζεζε αιεζμηημώκ είκαη ζοκεπήξ θαη όιεξ μη πνμηάζεηξ ηθακμπμημύκηαη. Απόδεηλε. Οηεκ ακάζεζε αιεζμηημώκ, επέιελε έκα όνμ true από θάζε ηνίγςκμ. Αοηό ζα είκαη ακελάνηεημ ζύκμιμ μεγέζμοξ k. x 1 x 2 x 1 G x 2 x 3 x x 1 x 2 x 3 4 k = 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 40

Ακαγςγέξ Οηναηεγηθέξ βαζηθώκ ακαγςγώκ Απιή ηζμδοκαμία: INDEPENDENT-SET P VERTEX-COVER. Γηδηθή πενίπηςζε ζε γεκηθή: VERTEX-COVER P SET-COVER. Ακαγςγή με «μηθνμενγαιεία»: 3-SAT P INDEPENDENT-SET. Ιεηαβαηηθόηεηα. Ακ X P Y θαη Y P Z, ηόηε X P Z. Ζδέα απόδεηλεξ. Ούκζεζε ημοξ δομ αιγμνίζμμοξ. Ν.π.: 3-SAT P INDEPENDENT-SET P VERTEX-COVER P SET-COVER. 41

Αοηό-ακαγςγή (self-reducibility) Ννόβιεμα απόθαζεξ. Ρπάνπεη έκα θάιομμα θμνοθώκ μεγέζμοξ k; Ννόβιεμα ακαδήηεζεξ. Γύνεζε ημο ειάπηζημο θαιύμμαημξ θμνοθώκ. Αοημ-ακαγςγή. Ννόβιεμα ακαδήηεζεξ P εθδμπή απόθαζεξ. Γθανμόδεηαη ζε όια ηα (NP-πιήνε) πνμβιήμαηα πμο μειεηάμε. Δηθαημιμγεί ηεκ εζηίαζε ζε πνμβιήμαηα απόθαζεξ. Ν.π.: εύνεζε ειάπηζημο θαιύμμαημξ θμνοθώκ. (Δοαδηθή) ακαδήηεζε γηα πιεζηθόηεηα k* ημο ειάπηζημο. Βνεξ έκακ θόμβμ v: G { v } κα έπεη θάιομμα θμνοθώκ μεγέζμοξ k* - 1. θάζε θόμβμξ ημο ειάπηζημο θαιύμμαημξ θμνοθώκ έπεη αοηή ηεκ ηδηόηεηα Ννόζζεζε ημ v ζημ θάιομμα θμνοθώκ. Ακαδνμμηθή εύνεζε ημο ειάπηζημο ζοκόιμο θμνοθώκ ζημ G { v }. δηαγναθή ημο v θαη ηςκ αθμώκ πμο αθμομπάεη 42

Μνηζμόξ ημο NP Μνηζμόξ ηεξ θιάζεξ πνμβιεμάηςκ NP

Ννμβιήμαηα Απόθαζεξ Ννόβιεμα Απόθαζεξ X : έκα ζύκμιμ από ζομβμιμζεηνέξ Οηηγμηόηοπμ: ε ζομβμιμζεηνά s. Μ αιγόνηζμμξ A επηιύεη ημ πνόβιεμα X: A(s) = yes ακκ s X. Νμι/θόξ πνόκμξ. Μ αιγόνηζμμξ A ηνέπεη ζε πμι/θό πνόκμ ακ γηα θάζε ζομβμιμζεηνά s, μ A(s) ηενμαηίδεη ζε p( s ) ημ πμιύ «βήμαηα», όπμο p( ) είκαη θάπμηα πμι/θή ζοκάνηεζε. ημ μήθμξ ημο s Ν.π., ΝΞΩΠΜΖ: X = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37,. } Αιγόνηζμμξ. [Agrawal-Kayal-Saxena, 2002] p( s ) = s 8. 44

Μνηζμόξ ημο P P. Ννμβιήμαηα απόθαζεξ γηα ηα μπμία οπάνπεη πμι/θόξ αιγόνηζμμξ. Ννόβιεμα Νενηγναθή Αιγόνηζμμξ Yes No MULTIPLE Γίκαη μ x πμιιαπιάζημ ημο y; Αθέναηα δηαίνεζε (ζπμιείμ) 51, 17 51, 16 RELPRIME Γίκαη μη x θαη y ζπεηηθμί πνώημη; Γοθιείδεξ ΙΗΔ(x,y)=1 34, 39 34, 51 PRIMES Γίκαη μ x πνώημξ; AKS (2002) 53 51 EDIT- DISTANCE Γίκαη ε εοζογνάμμηζε ηςκ ζομβμιμζεηνώκ x θαη y μηθνόηενε από 5; Δοκαμηθόξ πνμγναμμαηηζμόξ niether neither acgggt ttttta LSOLVE Ρπάνπεη έκα δηάκοζμα x πμο ηθακμπμηεί Ax = b; Gauss-Edmonds απαιμηθή 0 1 1 2 4 2, 0 3 15 4 2 36 1 0 0 1 1 1, 0 1 1 1 1 1 45

NP Δηαίζζεζε αιγμνίζμμο πηζημπμίεζεξ Μ πηζημπμηεηήξ θμηηάδεη ηα πνάγμαηα από «ρειά». Μ πηζημπμηεηήξ δεκ θαζμνίδεη από μόκμξ ημο ακ ημ s X ακη αοημύ, ειέγπεη ζε μηα πνμηεηκόμεκε ιύζε t όηη ημ s X. Μνηζμόξ. Μ αιγόνηζμμξ C(s, t) είκαη έκαξ πηζημπμηεηήξ γηα ημ πνόβιεμα X ακ γηα θάζε s, ημ s X ακκ οπάνπεη έκα t ηέημημ ώζηε C(s, t) = yes. «πηζημπμηεηηθό» NP. Πα πνμβιήμαηα απόθαζεξ γηα ηα μπμία οπάνπεη πμι/θόξ πηζημπμηεηήξ. C(s, t) είκαη πμι/θόξ αιγόνηζμμξ θαη t p( s ) γηα θάπμηα πμι/θή ζοκάνηεζε p( ). Οεμείςζε. NP ζεμαζημιμγηθά: nondeterministic polynomial-time. 46

Νηζημπμηεηέξ θαη Νηζημπμηεηηθά: Ούκζεημξ ανηζμόξ COMPOSITES. Δεδμμέκμο εκόξ αθεναίμο s, είκαη μ s ζύκζεημξ αθέναημξ; ακ οπάνπεη ημοιάπηζημκ έκαξ δηαηνέηεξ εθηόξ από ημκ εαοηό ημο θαη ημ 1 Νηζημπμηεηηθό. Έκαξ με-ηεηνημμέκμξ πανάγμκηαξ t ημο s. Πέημημ πηζημπμηεηηθό οπάνπεη ακκ μ s είκαη ζύκζεημξ. Γπίζεξ 1 < t < s. Νηζημπμηεηήξ. boolean C(s, t) { if (t 1 or t s) return false else if (s είναι πολ/σιο του t) return true else return false } Οηηγμηόηοπμ. s = 437.669 Νηζημπμηεηηθό. t = 541 ή 809. 437,669 = 541 809 Οομπέναζμα. Πμ πνόβιεμα COMPOSITES ακήθεη ζημ NP. 47

Νηζημπμηεηέξ θαη Νηζημπμηεηηθά: 3-Ζθακμπμηεζημόηεηα SAT. Δεδμμέκμο μηαξ CNF μμνθήξ, οπάνπεη μηα ακάζεζε αιεζμηημώκ; Νηζημπμηεηηθό. Ιηα ακάζεζε αιεζμηημώκ ζηηξ n ιμγηθέξ μεηαβιεηέξ. Νηζημπμηεηήξ. Έιεγλε ακ θάζε πνόηαζε ηεξ έπεη 1 όνμ πμο είκαη true. Νόζμ πνόκμ ζέιεη; Ν.π. x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 4 x 1 x 3 x 4 ζηηγμηόηοπμ s x 1 1, x 2 1, x 3 0, x 4 1 πηζημπμηεηηθό t Οομπέναζμα. Πμ πνόβιεμα SAT ακήθεη ζημ NP. 48

Νηζημπμηεηέξ θαη Νηζημπμηεηηθά: Hamiltonian Ηύθιμη HAM-CYCLE. Δεδμμέκμο εκόξ με-θαηεοζοκόμεκμο γναθήμαημξ G = (V, E), οπάνπεη έκαξ απιόξ θύθιμξ C πμο πενκάεη από θάζε θμνοθή; Νηζημπμηεηηθό. Ιηα μεηάζεζε ηςκ n θμνοθώκ. Νηζημπμηεηήξ. Έιεγλε ακ ε μεηάζεζε πενηέπεη θάζε θόμβμ ημο V αθνηβώξ μηα θμνά (εθηόξ από έκακ), θαη έιεγλε ακ οπάνπεη αθμή μεηαλύ δηαδμπηθώκ θόμβςκ ζηε μεηάζεζε. Οομπέναζμα. Πμ πνόβιεμα HAM-CYCLE ακήθεη ζημ NP. ζηηγμηόηοπμ s πηζημπμηεηηθό t 49

P, NP, EXP P. Ννμβιήμαηα απόθαζεξ γηα ηα μπμία οπάνπεη πμι/θόξ αιγόνηζμμξ. EXP. Ννμβιήμαηα απόθαζεξ γηα ηα μπμία οπάνπεη εθζεηηθόξ αιγόνηζμμξ. NP. Ννμβιήμαηα απόθαζεξ γηα ηα μπμία οπάνπεη πμι/θόξ πηζημπμηεηήξ. Ζζπονηζμόξ. P NP. Απόδεηλε. Έζης έκα πνόβιεμα X ημο P. Από μνηζμό, οπάνπεη πμι/θόξ αιγόνηζμμξ A(s) πμο επηιύεη ημ X. Νηζημπμηεηηθό: t = (θεκό), πηζημπμηεηήξ C(s, t) = A(s). Ζζπονηζμόξ. NP EXP. Απόδεηλε. Έζης έκα πνόβιεμα X ημο NP. Από μνηζμό, οπάνπεη πμι/θόξ πηζημπμηεηήξ C(s, t) γηα ημ X. Γηα κα ιύζμομε με είζμδμ s, εθηειμύμε C(s, t) ζε ΌΘΑ ηα t με t p( s ). Γπηζηνέθμομε yes, ακ C(s, t) επηζηνέθεη yes γηα θάπμημ από αοηά. 50

Πμ Βαζηθό Γνώηεμα: P Versus NP Ζζπύεη P = NP; [Cook 1971, Edmonds, Levin, Yablonski, Gödel] Γίκαη ημ πνόβιεμα απόθαζεξ ηόζμ εύθμιμ όζμ ημ πηζημπμίεζεξ; Clay $1 million βναβείμ. Clay Mathematics Institute EXP P NP EXP P = NP Ακ P NP Ακ P = NP ζα «ζπάζεη» ημ RSA ζύζηεμα θνοπημγναθίαξ (θαη εκ δοκάμεη ζα θαηαννεύζεη ε μηθμκμμία) Ακ καη: Απμηειεζμαηηθμί αιγόνηζμμη γηα 3-COLOR, TSP, FACTOR, SAT, Ακ όπη: Δεκ οπάνπμοκ απμηειεζμαηηθμί αιγόνηζμμη γηα 3-COLOR, TSP, SAT, Οοκαηκεηηθή άπμρε γηα ημ P = NP; Νηζακόκ δεκ ηζπύεη. 51

www.travellingsalesmanmovie.com 52

NP-πιενόηεηα

Νμιοςκομηθέξ ακαγςγέξ θαη μεηαζπεμαηηζμμί Μνηζμόξ. Πμ πνόβιεμα X ακάγεηαη πμι/θά ζημ πνόβιεμα Y ακ θάζε ζηηγμηόηοπμ ημο X μπμνεί κα ιοζεί πνεζημμπμηώκηαξ: Νμι/θό πιήζμξ οπμιμγηζηηθώκ βεμάηςκ, ζοκ Νμι/θό πιήζμξ θιήζεςκ ηεξ ηεπκηθήξ πμο ιύκεη ημ πνόβιεμα Y. Ζζμδύκαμα. X P Y. Πμ πνόβιεμα Ρ είκαη ημοιάπηζημκ ηόζμ δύζθμιμ όζμ ημ. Πη πιενώκμομε; X P Y. Πμ πνόκμ πμο πνεηάδεηαη γηα κα θαηαζθεοάζμομε ηεκ είζμδμ γηα ημ μαύνμ θμοηί πμο επηιύεη ημ Ρ + ημ πνόκμ γηα κα δηαβάζμομε ηεκ έλμδμ. Ζζμδύκαμα. X P Y. Ακ ημ πνόβιεμα Ρ επηιύεηαη ζε πμι/θό πνόκμ ηόηε θαη ημ επηιύεηαη ζε πμι/θό πνόκμ. είζμδμξ γηα ημ Ρ αιγόνηζμμξ γηα ημ Ρ έλμδμξ γηα ημ Ρ 54

NP-πιήνε πνμβιήμαηα NP-πιήνεξ. Έκα πνόβιεμα Y ημο NP με ηεκ ηδηόηεηα όηη γηα θάζε πνόβιεμα X ημο NP, X p Y. Θεώνεμα. Έζης Y έκα NP-πιήνεξ πνόβιεμα. Πόηε ημ Y ιύκεηαη ζε πμι/θό πνόκμ ακ θαη μόκμ ακ P = NP. Απόδεηλε. Ακ P = NP ηόηε ημ Y ιύκεηαη ζε πμι/θό πνόκμ θαζώξ Y NP Απόδεηλε. Έζης όηη ημ Y ιύκεηαη ζε πμι/θό πνόκμ. Έζης X έκα μπμημδήπμηε πνόβιεμα ημο NP. Γπεηδή X p Y, μπμνμύμε κα ιύζμομε ημ X ζε πμι/θό πνόκμ. Αοηό ζεμαίκεη όηη NP P. Ήδε γκςνίδμομε όηη P NP. Γπμμέκςξ P = NP. ηζπύεη θαη ε άνκεζε ηεξ πνόηαζεξ Θεμειηώδεξ Γνώηεμα. Ρπάνπμοκ «θοζηθά» NP-πιήνε πνμβιήμαηα; Γηαηί κα μεκ οπάνπμοκ πνμβιήμαηα πμο δεκ είκαη ζογθνίζημα; Δειαδή κα μεκ ηζπύεη p Y μύηε Ρ p 55

Ζθακμπμηεζημόηεηα Ηοθιώμαημξ CIRCUIT-SAT. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκδοαζηηθμύ θοθιώμαημξ με πύιεξ AND, OR, θαη NOT, οπάνπεη ηνόπμξ κα ζέζμομε ηηξ εηζόδμοξ ημο έηζη ώζηε ε έλμδμξ κα είκαη 1; έλμδμξ καη: 1 0 1 1 0??? είζμδμη οιηθμύ πμο έπμοκ πνμθαζμνηζμέκεξ ηημέξ είζμδμη 56

Πμ «πνώημ» NP-πιήνεξ Ννόβιεμα Θεώνεμα. CIRCUIT-SAT είκαη NP-πιήνεξ. [Cook 1971, Levin 1973] Απόδεηλε. (ζθηαγνάθεζε) Ηάζε αιγόνηζμμξ πμο παίνκεη ςξ είζμδμ έκα πνμθαζμνηζμέκμ πιήζμξ από n bits θαη πανάγεη έκα καη/όπη απμηέιεζμα μπμνεί κα ακαπαναζηαζεί από ηέημημ θύθιςμα. Γπίζεξ, ακ μ αιγόνηζμμξ παίνκεη πμι/θό πνόκμ, ηόηε ημ θύθιςμα είκαη πμι/θμύ πώνμο. Ιόκμ ζθηαγνάθεζε ηεξ ηδέαξ. Μ πνμθαζμνηζμόξ ημο πιήζμοξ ηςκ bits είκαη ζεμακηηθό θαη ακαπανηζηά βαζηθή δηαθμνά μεηαλύ αιγμνίζμςκ θαη θοθιςμάηςκ. Έζης θάπμημ πνόβιεμα X ημο NP. Έπεη πμι/θό πηζημπμηεηή C(s, t). Γηα κα θαζμνίζεη ακ s ακήθεη ζημ X, πνεηάδεηαη κα γκςνίδεη ακ οπάνπεη πηζημπμηεηηθό t μήθμοξ p( s ) ηέημημ ώζηε C(s, t) = yes. Βιέπμομε ημ C(s, t) ζακ αιγόνηζμμ ζε s + p( s ) bits (είζμδμξ s, πηζημπμηεηηθό t) θαη ημ μεηαηνέπμομε ζε πμι/θμύ πώνμο θύθιςμα K. ηα πνώηα s bits είκαη πνμθαζμνηζμέκα με ημ s ηα οπόιμηπα p( s ) bits ακαπανηζημύκ ηα bits ημο t Πμ θύθιςμα K ηθακμπμηείηαη ακκ μ πηζημπμηεηήξ C(s, t) = yes. 57

Νανάδεηγμα Ν.π. Ε αθόιμοζε θαηαζθεοή θηηάπκεη έκα θύθιςμα K με ηέημηα είζμδμ ώζηε ημ K κα πανάγεη true ακκ ημ γνάθεμα G έπεη ακελάνηεημ ζύκμιμ 2. ακελάνηεημ ζύκμιμ 2; είκαη ακελάνηεημ ζύκμιμ; έπεηξ επηιέλεη θαη ηα δομ άθνα θάπμηαξ αθμήξ; ζύκμιμ μεγέζμοξ 2; u v w G = (V, E), n = 3 u-v u-w v-w u v w 1 0 1??? n 2 πνμθαζμνηζμέκε είζμδμξ (πενηγναθή γναθήμαημξ) n είζμδμη (θμνοθέξ ζε ακελάνηεημ ζύκμιμ) 58

Θεζπίδμκηαξ ηεκ NP-πιενόηεηα Ναναηήνεζε. Ηαζώξ ζεζπίζαμε ημ πνώημ «θοζηθό» NP-πιήνεξ πνόβιεμα, ηα οπόιμηπα πνμβιήμαηα ζεζπίδμκηαη ζακ κηόμηκμ. Ε ζοκηαγή γηα ημκ θαζμνηζμό ηεξ ΚΞ-πιενόηεηαξ εκόξ πνμβιήμαημξ Ρ. Βήμα 1. Δείπκμομε όηη Y ακήθεη ζημ NP. Βήμα 2. Γπηιέγμομε θάπμημ NP-πιήνεξ πνόβιεμα X. Βήμα 3. Απμδεηθκύμομε όηη X p Y. Δηθαημιόγεζε. Ακ ημ X είκαη NP-πιήνεξ, θαη ημ Y ακήθεη ζημ NP με ηεκ ηδηόηεηα όηη X P Y ηόηε ημ Y είκαη NP-πιήνεξ. Απόδεηλε. Έζης W NP. Πόηε W P X P Y. Ιεηαβαηηθόηεηα: W P Y. Γπμμέκςξ Y είκαη NP-πιήνεξ. από μνηζμό ηεξ NP-πιενόηεηαξ από οπόζεζε 59

3-SAT είκαη NP-πιήνεξ Θεώνεμα. 3-SAT είκαη NP-πιήνεξ. Απόδεηλε. Ανθεί κ.δ.μ. CIRCUIT-SAT P 3-SAT θαζώξ ήδε 3-SAT NP. Έζης K έκα μπμημδήπμηε θύθιςμα. Ηαηαζθεοάδμομε μηα 3-SAT μεηαβιεηή x i γηα θάζε ζημηπείμ θοθιώμαημξ i. Φηηάπκμομε ημ θύθιςμα κα οπμιμγίδεη ζςζηέξ ηημέξ ζε θάζε θόμβμ: x 2 = x 3 + 2 πνμηάζεηξ: x 2 x 3, x 2 x 3 x 1 = x 4 x 5 + 3 πνμηάζεηξ: x 0 = x 1 x 2 + 3 πνμηάζεηξ: x 1 x 4, x 1 x 5, x 1 x 4 x 5 x 0 x 1, x 0 x 2, x 0 x 1 x 2 Μη πνμθαζμνηζμέκεξ ηημέξ εηζόδμο θαη ε έλμδμξ: x 5 = 0 + 1 πνόηαζε: x 0 = 1 + 1 πνόηαζε: x 5 x 0 έλμδμξ x 0 Πειηθό βήμα: μεηαηνμπή θάζε πνόηαζεξ με < 3 μεηαβιεηέξ ζε πνμηάζεηξ με αθνηβώξ 3. x 5 x 1 x 2 x 4 x 3 0?? 60

NP-πιενόηεηα Ναναηήνεζε. Όια ηα αθόιμοζα πνμβιήμαηα είκαη NP-πιήνε θαη όια ακάγμκηαη πμι/θά μεηαλύ ημοξ! CIRCUIT-SAT από μνηζμό ηεξ NP-πιενόηεηαξ 3-SAT INDEPENDENT SET DIR-HAM-CYCLE GRAPH 3-COLOR SUBSET-SUM VERTEX COVER HAM-CYCLE PLANAR 3-COLOR SCHEDULING SET COVER TSP 61

Μνηζμέκα NP-πιήνε Ννμβιήμαηα Έλη βαζηθέξ θαηεγμνίεξ NP-πιήνε πνμβιεμάηςκ θαη ακηηπνμζςπεοηηθά παναδείγμαηα. Ννμβιήμαηα ζοζθεοαζίαξ: SET-PACKING, INDEPENDENT SET. Ννμβιήμαηα θάιορεξ: SET-COVER, VERTEX-COVER. Ννμβιήμαηα ηθακμπμίεζεξ πενημνηζμώκ: SAT, 3-SAT. Ννμβιήμαηα θαζμνηζμμύ αθμιμοζίαξ: HAMILTONIAN-CYCLE, TSP. Ννμβιήμαηα δηαμένηζεξ: 3D-MATCHING 3-COLOR. Ανηζμεηηθά πνμβιήμαηα: SUBSET-SUM, KNAPSACK. Οηε πνάλε. Πα πενηζζόηενα NP πνμβιήμαηα είκαη γκςζηό ζε πμηα θιάζε πνμβιεμάηςκ (P ή NP-πιήνε) ακήθμοκ. Αλημζεμείςηεξ ελαηνέζεηξ. Ναναγμκημπμίεζε αθεναίςκ, ηζμμμνθηζμόξ γναθεμάηςκ, ηζμννμπία Nash (equilibrium) ιύζεθε (ΚΞ-πιήνεξ)!! [Daskalakis & Papadimitriou, 2008] ζύκζεζε αθεναίμο ζε δηαηνέηεξ πμο ημ γηκόμεκό ημοξ ηζμύηαη με ημκ ανπηθό αθέναημ 62

Γπέθηαζε θαη Γπηννμή ηεξ ΚΞ-πιενόηεηαξ Γπέθηαζε NP-πιενόηεηαξ. [Papadimitriou 1995] Ννςημγεκή μοζηαζηηθή επηννμή ηεξ πιενμθμνηθήξ ζε άιια γκςζηηθά ακηηθείμεκα. 6,000 ακαθμνέξ/έημξ (ηίηιμ, πενίιερε, ιέλεηξ-θιεηδηά). είκαη θάηη παναπάκς από έκα απιό «μεηαθναζηή», «ιεηημονγηθό ζύζηεμα», «βάζε δεδμμέκςκ», Γονύηεηα εθανμμγώκ θαη ενγαιείμ ηαληκόμεζεξ. "Captures vast domains of computational, scientific, mathematical endeavors, and seems to roughly delimit what mathematicians and scientists had been aspiring to compute feasibly." 63

Γπηπιέμκ Δύζθμια Ρπμιμγηζηηθά Ννμβιήμαηα Aerospace engineering: optimal mesh partitioning for finite elements. Biology: protein folding. Chemical engineering: heat exchanger network synthesis. Civil engineering: equilibrium of urban traffic flow. Economics: computation of arbitrage in financial markets with friction. Electrical engineering: VLSI layout. Environmental engineering: optimal placement of contaminant sensors. Financial engineering: find minimum risk portfolio of given return. Game theory: find Nash equilibrium that maximizes social welfare. Genomics: phylogeny reconstruction. Mechanical engineering: structure of turbulence in sheared flows. Medicine: reconstructing 3-D shape from biplane angiocardiogram. Operations research: optimal resource allocation. Physics: partition function of 3-D Ising model in statistical mechanics. Politics: Shapley-Shubik voting power. Pop culture: Minesweeper consistency. Statistics: optimal experimental design. 64

Ννμβιήμαηα θαζμνηζμμύ αθμιμοζίαξ (μεηάζεζεξ) Βαζηθέξ θαηεγμνίεξ. Ννμβιήμαηα ζοζθεοαζίαξ: SET-PACKING, INDEPENDENT SET. Ννμβιήμαηα θάιορεξ: SET-COVER, VERTEX-COVER. Ννμβιήμαηα ηθακμπμίεζεξ πενημνηζμώκ: SAT, 3-SAT. Ννμβιήμαηα θαζμνηζμμύ αθμιμοζίαξ: HAMILTONIAN-CYCLE, TSP. Ννμβιήμαηα δηαμένηζεξ: 3D-MATCHING 3-COLOR. Ανηζμεηηθά πνμβιήμαηα: SUBSET-SUM, KNAPSACK.

Hamiltonian Ηύθιμξ HAM-CYCLE: δεδμμέκμο εκόξ με-θαηεοζοκόμεκμο γναθήμαημξ G = (V, E), οπάνπεη έκαξ απιόξ θύθιμξ C πμο πενηέπεη θάζε θόμβμ ημο V; ΚΑΖ: θόμβμη θαη πιεονέξ εκόξ δςδεθάεδνμο. 66

Hamiltonian Ηύθιμξ HAM-CYCLE: δεδμμέκμο εκόξ με-θαηεοζοκόμεκμο γναθήμαημξ G = (V, E), οπάνπεη έκαξ απιόξ θύθιμξ C πμο πενηέπεη θάζε θόμβμ ημο V; 1 1' 2 2' 3 3' 4 4' 5 ΜΖ: δημενέξ γνάθεμα με πενηηηό πιήζμξ θόμβςκ. 67

Ηαηεοζοκόμεκμξ Hamiltonian Ηύθιμξ DIR-HAM-CYCLE: δεδμμέκμο εκόξ θαηεοζοκόμεκμο γναθήμαημξ G = (V, E), οπάνπεη απιόξ θαηεοζοκόμεκμξ θύθιμξ C πμο πενηέπεη θάζε θόμβμ ημο V; Ζζπονηζμόξ. DIR-HAM-CYCLE P HAM-CYCLE. Απόδεηλε. Από ημ θαηεοζοκόμεκμ γνάθεμα G = (V, E), θαηαζθεύαζε έκα με-θαηεοζοκόμεκμ G' με 3n θόμβμοξ. a d a out d in b c v e b out v in v v out e in G c out G' 68

Ηαηεοζοκόμεκμξ Hamiltonian Ηύθιμξ Ζζπονηζμόξ. G έπεη Hamiltonian θύθιμ ακκ ημ G' έπεη. Απόδεηλε. Έζης όηη ημ G έπεη θαηεοζοκόμεκμ Hamiltonian θύθιμ C. Πόηε θαη ημ G' έπεη με- θαηεοζοκόμεκμ Hamiltonian θύθιμ (δηαηενώκηαξ ηεκ ίδηα δηάηαλε). Απόδεηλε. Έζης όηη ημ G' έπεη με-θαηεοζοκόμεκμ Hamiltonian θύθιμ C. C' επηζθεπηόμαζηε θόμβμοξ ημο G' με μηα από ηηξ αθόιμοζεξ δηαηάλεηξ:, Ι, Ν, Η, Ι, Ν, Η, Ι, Ν, Η, Ι,, Ι, Η, Ν, Ι, Η, Ν, Ι, Η, Ν, Ι, Μη μπιε θόμβμη ημο C' δεμημονγμύκ έκακ Hamiltonian θύθιμ C ζημ G. 69

Πμ 3-SAT ακάγεηαη ζημ Ηαηεοζοκόμεκμ Hamiltonian Ηύθιμ Ζζπονηζμόξ. 3-SAT P DIR-HAM-CYCLE. Απόδεηλε. Δεδμμέκμο εκόξ ζηηγμηόηοπμο ημο 3-SAT, θαηαζθεοάδμομε έκα ζηηγμηόηοπμ ημο DIR-HAM-CYCLE πμο έπεη Hamiltonian θύθιμ ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Ηαηαζθεοή. Ννώηα, δεμημονγμύμε έκα γνάθεμα πμο έπεη 2 n Hamiltonian θύθιμοξ πμο ακηηζημηπμύκ με θοζηθό ηνόπμ ζηηξ 2 n δοκαηέξ ακαζέζεηξ αιεζμηημώκ. 70

Πμ 3-SAT ακάγεηαη ζημ Ηαηεοζοκόμεκμ Hamiltonian Ηύθιμ Ηαηαζθεοή. Δεδμμέκμο εκόξ 3-SAT με n μεηαβιεηέξ x i θαη k πνμηάζεηξ Ηαηαζθεύαζε ημ G κα έπεη 2 n Hamiltonian θύθιμοξ. Δηαηζζεηηθά: δηέζπηζε ημ μμκμπάηη i από ανηζηενά πνμξ ηα δεληά ζέζε ηε μεηαβιεηή x i = true. s x 1 x 2 x 3 t 3k + 3 71

Πμ 3-SAT ακάγεηαη ζημ Ηαηεοζοκόμεκμ Hamiltonian Ηύθιμ Ηαηαζθεοή. Δεδμμέκμο εκόξ 3-SAT με n μεηαβιεηέξ x i θαη k πνμηάζεηξ Γηα θάζε πνόηαζε: πνόζζεζε έκακ θόμβμ θαη 6 αθμέξ. C1 x1 V x2 V x3 θόμβμξ πνόηαζεξ θόμβμξ πνόηαζεξ C2 x1 V x2 V x3 s x 1 x 2 x 3 t 72

Πμ 3-SAT ακάγεηαη ζημ Ηαηεοζοκόμεκμ Hamiltonian Ηύθιμ Ζζπονηζμόξ. ηθακμπμηείηαη ακκ G έπεη Hamiltonian θύθιμ. Απόδεηλε. Έζης ημ 3-SAT ζηηγμηόηοπμ κα έπεη ακάζεζε αιεζμηημώκ x*. Πόηε, μνίδμομε ημκ Hamiltonian θύθιμ ζημ G ςξ ελήξ: ακ x* i = true, δηέζπηζε ηε γναμμή i από ανηζηενά πνμξ ηα δεληά ακ x* i = false, δηέζπηζε ηε γναμμή i από δεληά πνμξ ηα ανηζηενά γηα θάζε πνόηαζε C j, ζα οπάνπεη ημοιάπηζημκ μηα γναμμή i ζηεκ μπμία ηαληδεύμομε ζηε «ζςζηή» θαηεύζοκζε έηζη ώζηε κα μεηαηνέρμομε ημκ θόμβμ C j ζε θιεηζηή δηαδνμμή 73

Πμ 3-SAT ακάγεηαη ζημ Ηαηεοζοκόμεκμ Hamiltonian Ηύθιμ Ζζπονηζμόξ. ηθακμπμηείηαη ακκ G έπεη Hamiltonian θύθιμ. Απόδεηλε. Έζης όηη ημ G έπεη Hamiltonian θύθιμ Γ. Ακ ημ Γ εηζένπεηαη ζημκ θόμβμ πνόηαζεξ C j, πνέπεη κα ημκ αθήκεη ζηεκ ακηίζημηπε αθμή ηεξ. έηζη, μη θόμβμη αθνηβώξ πνηκ θαη μεηά ημκ θόμβμ C j εκώκμκηαη με αθμή e ζημ γνάθεμα G δηαγνάθμκηαξ ημκ C j από ημκ θύθιμ, θαη ακηηθαζηζηώκηαξ με ηεκ αθμή e έπμομε έκακ Hamiltonian θύθιμ ζημ γνάθεμα G - { C j } Οοκεπίδμκηαξ με ημκ ηνόπμ αοηόκ, παίνκμομε Hamiltonian θύθιμ Γ ζημ G - { C 1, C 2,..., C k }. Θέημομε x* i = true aκκ ζημ Γ μεηαθηκμύμαζηε ζηε γναμμή i από ανηζηενά πνμξ ηα δεληά. Οημ θύθιμ Γ επηζθεπηόμαζηε θάζε θόμβμ πνόηαζεξ C j, άνα ζε 1 μμκμπάηη μεηαθηκμύμαζηε πνμξ ηα δεληά θαη θάζε πνόηαζε ηθακμπμηείηαη. 74

Ιαθνύηενμ Ιμκμπάηη SHORTEST-PATH. Δεδμμέκμο εκόξ θαηεοζοκόμεκμο γναθήμαημξ G, οπάνπεη απιό μμκμπάηη με ημ πμιύ ( ) k αθμέξ; LONGEST-PATH. Δεδμμέκμο εκόξ θαηεοζοκόμεκμο γναθήμαημξ G, οπάνπεη απιό μμκμπάηη με ημοιάπηζημκ ( ) k αθμέξ; Ζζπονηζμόξ. 3-SAT P LONGEST-PATH. 1 ε Απόδεηλε. Γθηειμύμε πάιη ηεκ απόδεηλε γηα ημ DIR-HAM-CYCLE, αγκμώκηαξ ηηξ πίζς-αθμέξ από ημ t πνμξ ημ s. 2 ε Απόδεηλε. Δείπκμομε HAM-CYCLE P LONGEST-PATH. 75

Ννόβιεμα Νενημδεύμκημξ Νςιεηή (Traveling Salesman Problem) TSP. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο από n πόιεηξ θαη μηαξ ζοκ/ζεξ απόζηαζεξ d(u, v), οπάνπεη πενημδεία ηςκ πόιεςκ μήθμοξ D; All 13,509 cities in US with a population of at least 500 Reference: http://www.tsp.gatech.edu 76

Ννόβιεμα Νενημδεύμκημξ Νςιεηή (Traveling Salesman Problem) TSP. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο από n πόιεηξ θαη μηαξ ζοκ/ζεξ απόζηαζεξ d(u, v), οπάνπεη πενημδεία ηςκ πόιεςκ μήθμοξ D; Optimal TSP tour Reference: http://www.tsp.gatech.edu 77

Ννόβιεμα Νενημδεύμκημξ Νςιεηή (Traveling Salesman Problem) TSP. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο από n πόιεηξ θαη μηαξ ζοκ/ζεξ απόζηαζεξ d(u, v), οπάνπεη πενημδεία ηςκ πόιεςκ μήθμοξ D; 11,849 holes to drill in a programmed logic array Reference: http://www.tsp.gatech.edu 78

Ννόβιεμα Νενημδεύμκημξ Νςιεηή (Traveling Salesman Problem) TSP. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο από n πόιεηξ θαη μηαξ ζοκ/ζεξ απόζηαζεξ d(u, v), οπάνπεη πενημδεία ηςκ πόιεςκ μήθμοξ D; Optimal TSP tour Reference: http://www.tsp.gatech.edu 79

Ννόβιεμα Νενημδεύμκημξ Νςιεηή (Traveling Salesman Problem) TSP. Δεδμμέκμο εκόξ ζοκόιμο από n πόιεηξ θαη μηαξ ζοκ/ζεξ απόζηαζεξ d(u, v), οπάνπεη πενημδεία ηςκ πόιεςκ μήθμοξ D; HAM-CYCLE: Δεδμμέκμο εκόξ γναθήμαημξ G = (V, E), οπάνπεη απιόξ θύθιμξ πμο πενηέπεη θάζε θόμβμ ημο V? Ζζπονηζμόξ. HAM-CYCLE P TSP. Απόδεηλε. Από ημ ζηηγμηόηοπμ G = (V, E) ημο HAM-CYCLE, θηηάπκμομε n πόιεηξ με ζοκ/ζε απόζηαζεξ 1 if (u, v) E d(u, v) 2 if (u, v) E TSP ζηηγμηόηοπμ έπεη μήθμξ n ακκ ημ G είκαη Hamiltonian. Οεμείςζε. TSP ζηηγμηόηοπμ ζηεκ ακαγςγή ηθακμπμηεί ηεκ -ακηζόηεηα. 80

www.travellingsalesmanmovie.com 81

Ννμβιήμαηα δηαμένηζεξ Βαζηθέξ θαηεγμνίεξ. Ννμβιήμαηα ζοζθεοαζίαξ: SET-PACKING, INDEPENDENT SET. Ννμβιήμαηα θάιορεξ: SET-COVER, VERTEX-COVER. Ννμβιήμαηα ηθακμπμίεζεξ πενημνηζμώκ: SAT, 3-SAT. Ννμβιήμαηα θαζμνηζμμύ αθμιμοζίαξ: HAMILTONIAN-CYCLE, TSP. Ννμβιήμαηα δηαμένηζεξ: 3D-MATCHING 3-COLOR. Ανηζμεηηθά πνμβιήμαηα: SUBSET-SUM, KNAPSACK.

Πνηζδηάζηαημ Παίνηαζμα 3D-MATCHING. Δεδμμέκςκ n θαζεγεηώκ, n μαζεμάηςκ, θαη n πνμκηθώκ πενηόδςκ, θαη μηα ιίζηα από δοκαηά μαζήμαηα θαη πνμκηθέξ πενηόδμοξ όπμο μ θάζε θαζεγεηήξ πνμηίζεηαη κα δηδάλεη, είκαη δοκαηή μηα ακάζεζε ηέημηα ώζηε όια ηα μαζήμαηα κα δηδάζθμκηαη ζε δηαθμνεηηθέξ πνμκηθέξ πενηόδμοξ; Ηαζεγεηήξ Ιάζεμα νμκηθή Νεν. Γιοκόξ 443 Δε 11-12:20 Γιοκόξ 443 Tν 11-12:20 Γιοκόξ 246 Tν 11-12:20 Γιοκόξ 146 Tν 11-12:20 Ιπαιηδήξ 146 Νε 3-4:20 Ιπαιηδήξ 443 Tν 11-12:20 Ιπαιηδήξ 443 Νε 3-4:20 Ναπαδόπμοιμξ 246 Νε 3-4:20 Ναπαδόπμοιμξ 246 Δε 11-12:20 Ναπαδόπμοιμξ 443 Δε 11-12:20 83

Πνηζδηάζηαημ Παίνηαζμα 3D-MATCHING. Ακ δμζμύκ λέκα ζύκμια X, Y, Z, ημ θαζέκα με μέγεζμξ n θαη έκα ζύκμιμ T X Y Z ηνηάδςκ, οπάνπεη ζημ Π ζύκμιμ με n ηνηάδεξ ηέημημ ώζηε θάζε ζημηπείμ ημο X Y Z κα πενηέπεηαη μόκμ μηα θμνά ζε αοηέξ ηηξ ηνηάδεξ; Ζζπονηζμόξ. 3-SAT P 3D-MATCHING. Απόδεηλε. Δεδμμέκμο εκόξ ζηηγμηόηοπμο ημο 3-SAT, θαηαζθεοάδμομε έκα ζηηγμηόηοπμ ημο 3D-matching πμο έπεη έκα ηέιεημ ηαίνηαζμα ακκ ε ηθακμπμηείηαη. 84

Πνηζδηάζηαημ Παίνηαζμα Ηαηαζθεοή. (1 μ μένμξ) πιήζμξ πνμηάζεςκ Φηηάλε μηθνμενγαιείμ γηα θάζε μεηαβιεηή x i με πονήκα θαη άθνα 2k ζημηπεία. Ηαμία άιιε ηνηάδα δεκ πνεζημμπμηεί ζημηπεία ημο πονήκα. Οημ μηθνμενγαιείμ i, ημ 3D-matching πνέπεη κα πνεζημμπμηεί είηε θαη ηηξ δομ γθνη ηνηάδεξ είηε θαη ηηξ δύμ μπιε ηνηάδεξ. ζέζε x i = true ζέζε x i = false false άθνα πονήκαξ true k = 2 πνμηάζεηξ n = 3 μεηαβιεηέξ x 1 x 2 x 3 85

Πνηζδηάζηαημ Παίνηαζμα Ηαηαζθεοή. (2 μ μένμξ) Γηα θάζε πνόηαζε C j θηηάλε δομ ζημηπεία θαη ηνεηξ ηνηάδεξ. Αθνηβώξ μηα από αοηέξ ηηξ ηνηάδεξ ζα πνεζημμπμηείηαη ζημ 3D-matching. Γλαζθαιίδμομε όηη όια ηα 3D-matching πνεζημμπμημύκ είηε (i) γθνη πονήκεξ ημο x 1 είηε (ii) μπιε πονήκεξ ημο x 2 είηε (iii) γθνη πονήκεξ ημο x 3. θάζε πνόηαζε ακαζέηεη ηα δηθά ηεξ 2 γεηημκηθά άθνα 1 μηθνμενγαιείμ πνόηαζεξ C j x 1 x 2 x 3 άθνα false πονήκαξ true x 1 x 2 x 3 86

Πνηζδηάζηαημ Παίνηαζμα Ηαηαζθεοή. (3 μ μένμξ) Γηα θάζε άθνμ πμο δεκ ακήθεη ζε θάπμημ μηθνμενγαιείμ πνόηαζεξ, πνμζζέημομε έκα μηθνμενγαιείμ θαζανηζμμύ. 1 μηθνμενγαιείμ πνόηαζεξ false μηθνμενγαιείμ θαζανηζμμύ άθνα πονήκαξ true x 1 x 2 x 3 87

Πνηζδηάζηαημ Παίνηαζμα Ζζπονηζμόξ. Πμ ζηηγμηόηοπμ έπεη 3D-matching ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Θεπημμένεηα. Νμύ αθνηβώξ είκαη ηα ζύκμια X, Y, θαη Z; Ηάζε ηνηάδα πενηέπεη έκα ζημηπείμ από θάζε X, Y, Z; 1 μηθνμενγαιείμ πνόηαζεξ άθνα false πονήκαξ μηθνμενγαιείμ θαζανηζμμύ true x 1 x 2 x 3 88

Πνηζδηάζηαημ Παίνηαζμα Ζζπονηζμόξ. Πμ ζηηγμηόηοπμ έπεη 3D-matching ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Θεπημμένεηα. Νμύ αθνηβώξ είκαη ηα ζύκμια X, Y, θαη Z; Ηάζε ηνηάδα πενηέπεη έκα ζημηπείμ από θάζε X, Y, Z; 1 μηθνμενγαιείμ πνόηαζεξ μηθνμενγαιείμ θαζανηζμμύ άθνα πονήκαξ x 1 x 2 x 3 89

νςμαηηζμόξ Γναθεμάηςκ Βαζηθέξ θαηεγμνίεξ. Ννμβιήμαηα ζοζθεοαζίαξ: SET-PACKING, INDEPENDENT SET. Ννμβιήμαηα θάιορεξ: SET-COVER, VERTEX-COVER. Ννμβιήμαηα ηθακμπμίεζεξ πενημνηζμώκ: SAT, 3-SAT. Ννμβιήμαηα θαζμνηζμμύ αθμιμοζίαξ: HAMILTONIAN-CYCLE, TSP. Ννμβιήμαηα δηαμένηζεξ: 3D-MATCHING 3-COLOR. Ανηζμεηηθά πνμβιήμαηα: SUBSET-SUM, KNAPSACK.

3-νςμαηηζμόξ 3-COLOR: Δεδμμέκμο εκόξ με-θαηεοζοκόμεκμο γναθήμαημξ G, οπάνπεη ηνόπμξ κα πνςμαηηζημύκ μη θόμβμη θόθθηκμη, πνάζηκμη, μπιε έηζη ώζηε δομ γεηημκηθμί θόμβμη κα μεκ έπμοκ ημ ίδημ πνώμα; yes ζηηγμηόηοπμ 91

3-νςμαηηζμόξ Ζζπονηζμόξ. 3-SAT P 3-COLOR. Απόδεηλε. Δεδμμέκμο εκόξ ζηηγμηόηοπμο 3-SAT, θαηαζθεοάδμομε έκα ζηηγμηόηοπμ ημο 3-COLOR πμο είκαη 3-πνςμαηίζημμ ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Ηαηαζθεοή. i. Γηα θάζε όνμ πνόηαζεξ, θηηάπκμομε έκακ θόμβμ. ii. Φηηάπκμομε 3 κέμοξ θόμβμοξ T, F, B πμο ημοξ εκώκμομε ζε ηνίγςκμ θαη εκώκμομε θάζε όνμ πνόηαζεξ με ημ B. iii. Γκώκμομε θάζε όνμ πνόηαζεξ με ηεκ άνκεζή ημο. iv. Γηα θάζε πνόηαζε, πνμζζέημομε μηθνμενγαιείμ από 6 θόμβμοξ θαη 13 αθμέξ. ζα ελεγήζμομε ζηε ζοκέπεηα 92

3-νςμαηηζμόξ Ζζπονηζμόξ. Πμ γνάθεμα είκαη 3-πνςμαηίζημμ ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Απόδεηλε. Έζης όηη ημ γνάθεμα είκαη 3-πνςμαηίζημμ. Έζης μηα ακάζεζε πμο ζέηεη όιμοξ ημοξ T όνμοξ ζε true. (ii) ελαζθαιίδμομε όηη θάζε όνμξ είκαη T ή F. (iii) ελαζθαιίδμομε όηη θάζε όνμξ θαη ε άνκεζή ημο έπμοκ πνώμα. true T false F B βάζε x 1 x x 1 2 x 2 x 3 x 3 x n x n 93

3-νςμαηηζμόξ Ζζπονηζμόξ. Πμ γνάθεμα είκαη 3-πνςμαηίζημμ ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Απόδεηλε. Έζης όηη ημ γνάθεμα είκαη 3-πνςμαηίζημμ. Έζης μηα ακάζεζε πμο ζέηεη όιμοξ ημοξ T όνμοξ ζε true. (ii) ελαζθαιίδμομε όηη θάζε όνμξ είκαη T ή F. (iii) ελαζθαιίδμομε όηη θάζε όνμξ θαη ε άνκεζή ημο έπμοκ πνώμα. (iv) ελαζθαιίδμομε όηη ημοιάπηζημκ έκαξ όνμξ ζε θάζε πνόηαζε είκαη T. B x 1 x 2 x 3 C i x 1 V x 2 V x 3 6-node gadget true T F false 94

3-νςμαηηζμόξ Ζζπονηζμόξ. Πμ γνάθεμα είκαη 3-πνςμαηίζημμ ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Απόδεηλε. Έζης όηη ημ γνάθεμα είκαη 3-πνςμαηίζημμ. Έζης μηα ακάζεζε πμο ζέηεη όιμοξ ημοξ T όνμοξ ζε true. (ii) ελαζθαιίδμομε όηη θάζε όνμξ είκαη T ή F. (iii) ελαζθαιίδμομε όηη θάζε όνμξ θαη ε άνκεζή ημο έπμοκ πνώμα. (iv) ελαζθαιίδμομε όηη ημοιάπηζημκ έκαξ όνμξ ζε θάζε πνόηαζε είκαη T. B δεκ είκαη 3-πνςμαηίζημμ ακ όια είκαη θόθθηκα x 1 x 2 x 3 C i x 1 V x 2 V x 3 άημπμ true T F false 95

3-νςμαηηζμόξ Ζζπονηζμόξ. Πμ γνάθεμα είκαη 3-πνςμαηίζημμ ακκ ε ηθακμπμηείηαη. Απόδεηλε. Έζης όηη ε 3-SAT ηθακμπμηείηαη. νςμαηίδμομε όιμοξ ημοξ true όνμοξ T. νςμαηίδμομε ημκ θόμβμ θάης από ημκ πνάζηκμ F, θαη ημκ παναθάης B. νςμαηίδμομε ημοξ οπόιμηπμοξ θόμβμοξ ηεξ μεζαίαξ γναμμήξ B. νςμαηίδμομε ημοξ οπόιμηπμοξ θάης θόμβμοξ T ή F όπςξ απαηηείηαη. B έκαξ όνμξ πμο έπεη ακαηεζεί true ζε μηα ακάζεζε 3-SAT x 1 x 2 x 3 C i x 1 V x 2 V x 3 true T F false 96

k-νςμαηηζμόξ k-color: Δεδμμέκμο εκόξ με-θαηεοζοκόμεκμο γναθήμαημξ G, οπάνπεη ηνόπμξ κα πνςμαηηζημύκ k πνώμαηα έηζη ώζηε δομ γεηημκηθμί θόμβμη κα μεκ έπμοκ ημ ίδημ πνώμα; Ζζπονηζμόξ. 3-COLOR P k-color. 97

k-νςμαηηζμόξ k-color: Δεδμμέκμο εκόξ με-θαηεοζοκόμεκμο γναθήμαημξ G, οπάνπεη ηνόπμξ κα πνςμαηηζημύκ k πνώμαηα έηζη ώζηε δομ γεηημκηθμί θόμβμη κα μεκ έπμοκ ημ ίδημ πνώμα; Ζζπονηζμόξ. 3-COLOR P k-color. Απόδεηλε. Δεδμμέκμο εκόξ ζηηγμηόηοπμο 3-COLOR G, θαηαζθεοάδμομε έκα ζηηγμηόηοπμ ημο k-color G*: G 3-πνςμαηίζημμ ακκ G* k-πνςμαηίζημμ. Ηαηαζθεοή. i. Ννμζζέημομε (k-3) κέμοξ θόμβμοξ ζημ G. ii. Γκώκμομε όιμοξ ημοξ κέμοξ θόμβμοξ μεηαλύ ημοξ θαη με ημοξ n θόμβμοξ ημο G. G*: n+k-3 θμνοθέξ, θαη θάζε κέμξ θόμβμξ (k-3) παίνκεη κέμ πνώμα. 98

Ανηζμεηηθά Ννμβιήμαηα Βαζηθέξ θαηεγμνίεξ. Ννμβιήμαηα ζοζθεοαζίαξ: SET-PACKING, INDEPENDENT SET. Ννμβιήμαηα θάιορεξ: SET-COVER, VERTEX-COVER. Ννμβιήμαηα ηθακμπμίεζεξ πενημνηζμώκ: SAT, 3-SAT. Ννμβιήμαηα θαζμνηζμμύ αθμιμοζίαξ: HAMILTONIAN-CYCLE, TSP. Ννμβιήμαηα δηαμένηζεξ: 3D-MATCHING 3-COLOR. Ανηζμεηηθά πνμβιήμαηα: SUBSET-SUM, KNAPSACK.

Άζνμηζμα Ρπμζοκόιμο SUBSET-SUM. Δεδμμέκςκ θοζηθώκ ανηζμώκ w 1,, w n θαη εκόξ αθεναίμο W, οπάνπεη οπμζύκμιμ ηςκ ανηζμώκ πμο αζνμίδεη αθνηβώξ ζημ W; Ν.π.: { 1, 4, 16, 64, 256, 1040, 1041, 1093, 1284, 1344 }, W = 3754. Yes. 1 + 16 + 64 + 256 + 1040 + 1093 + 1284 = 3754. Οεμείςζε. Ιε ανηζμεηηθά πνμβιήμαηα, μη αθέναημη εηζόδμο θςδηθμπμημύκηαη ζε δοαδηθή μμνθή. Μη πμι/θέξ ακαγςγέξ πνέπεη κα είκαη πμι/θεξ ςξ πνμξ ηεκ δοαδηθή θςδηθμπμίεζε. Ζζπονηζμόξ. 3-SAT P SUBSET-SUM. Απόδεηλε. Δεδμμέκμο εκόξ ζηηγμημηύπμο ημο 3-SAT, θαηαζθεοάδμομε έκα ζηηγμηόηοπμ ημο SUBSET-SUM πμο έπεη ιύζε ακκ ε ηθακμπμηείηαη. 100

Άζνμηζμα Ρπμζοκόιμο Ηαηαζθεοή. Δεδμμέκμο εκόξ 3-SAT ζηηγμημηύπμο με n μεηαβιεηέξ θαη k πνμηάζεηξ, θηηάλε 2n + 2k δεθαδηθμύξ αθεναίμοξ, θαζέκαξ από n+k ρεθία: Ζζπονηζμόξ. ηθακμπμηείηαη ακκ οπάνπεη οπμζύκμιμ πμο αζνμίδεη ζημ W. Απόδεηλε. No carries possible. x y z C 1 C 2 C 3 C 1 x y z C 2 x y z x x y y z 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 100,010 100,101 10,100 10,011 1,110 C 3 x y z επηπιέμκ γναμμέξ γηα κα πάνμομε ηηξ πνμηάζεηξ ζηειώκ κα αζνμίδμοκ ζημ 4 z W 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 1 1 4 4 4 1,001 100 200 10 20 1 2 111,444 101

Άζνμηζμα Ρπμζοκόιμο Ηαηαζθεοή. Δεδμμέκμο εκόξ 3-SAT ζηηγμημηύπμο με n μεηαβιεηέξ θαη k πνμηάζεηξ, θηηάλε 2n + 2k δεθαδηθμύξ αθεναίμοξ, θαζέκαξ από n+k ρεθία: Ζζπονηζμόξ. ηθακμπμηείηαη ακκ οπάνπεη οπμζύκμιμ πμο αζνμίδεη ζημ W. Απόδεηλε. No carries possible. C 1 x y z C 2 x y z x = true y = true z = false x x y y z x y z C 1 C 2 C 3 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 100,010 100,101 10,100 10,011 1,110 C 3 x y z επηπιέμκ γναμμέξ γηα κα πάνμομε ηηξ πνμηάζεηξ ζηειώκ κα αζνμίδμοκ ζημ 4 z W 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 1 1 4 4 4 1,001 100 200 10 20 1 2 111,444 102

My Hobby Randall Munro http://xkcd.com/c287.html 103

Ιηα μενηθή δηάηαλε Δύζθμιςκ Ννμβιεμάηςκ

Ακαγςγέξ Νμιοςκομηθμύ νόκμο constraint satisfaction 3-SAT Dick Karp (1972) 1985 Turing Award INDEPENDENT SET DIR-HAM-CYCLE GRAPH 3-COLOR SUBSET-SUM VERTEX COVER HAM-CYCLE PLANAR 3-COLOR SCHEDULING SET COVER TSP ζοζθεοαζίαξ θαη θάιορεξ αθμιμοζίαξ δηαμένηζεξ ανηζμεηηθά 105

Extra Slides

Subset Sum (proof from book) Construction. Let X Y Z be a instance of 3D-MATCHING with triplet set T. Let n = X = Y = Z and m = T. Let X = { x 1, x 2, x 3 x 4 }, Y = { y 1, y 2, y 3, y 4 }, Z = { z 1, z 2, z 3, z 4 } For each triplet t= (x i, y j, z k ) T, create an integer w t with 3n digits that has a 1 in positions i, n+j, and 2n+k. Claim. 3D-matching iff some subset sums to W = 111,, 111. use base m+1 Triplet t i x 1 y 2 z 3 x 2 y 4 z 2 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 4 x 4 y 3 z 4 x 3 y 1 z 2 x 3 y 1 z 3 x 3 y 1 z 1 x 4 y 4 z 4 x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 z 1 z 2 z 3 z 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 w i 100,001,000,010 10,000,010,100 100,010,001,000 10,001,000,001 100,100,001 1,010,000,100 1,010,000,010 1,010,001,000 100,010,001 111,111,111,111 107

Partition SUBSET-SUM. Given natural numbers w 1,, w n and an integer W, is there a subset that adds up to exactly W? PARTITION. Given natural numbers v 1,, v m, can they be partitioned into two subsets that add up to the same value? ½ i v i Claim. SUBSET-SUM P PARTITION. Pf. Let W, w 1,, w n be an instance of SUBSET-SUM. Create instance of PARTITION with m = n+2 elements. v 1 = w 1, v 2 = w 2,, v n = w n, v n+1 = 2 i w i - W, v n+2 = i w i + W There exists a subset that sums to W iff there exists a partition since two new elements cannot be in the same partition. v n+1 = 2 i w i - W W subset A v n+2 = i w i + W i w i - W subset B 108

4 Color Theorem

Planar 3-Colorability PLANAR-3-COLOR. Given a planar map, can it be colored using 3 colors so that no adjacent regions have the same color? YES instance. 110

Planar 3-Colorability PLANAR-3-COLOR. Given a planar map, can it be colored using 3 colors so that no adjacent regions have the same color? NO instance. 111

Planarity Def. A graph is planar if it can be embedded in the plane in such a way that no two edges cross. Applications: VLSI circuit design, computer graphics. planar K 5 : non-planar K 3,3 : non-planar Kuratowski's Theorem. An undirected graph G is non-planar iff it contains a subgraph homeomorphic to K 5 or K 3,3. homeomorphic to K 3,3 112

Planarity Testing Planarity testing. [Hopcroft-Tarjan 1974] O(n). simple planar graph can have at most 3n edges Remark. Many intractable graph problems can be solved in poly-time if the graph is planar; many tractable graph problems can be solved faster if the graph is planar. 113

Planar Graph 3-Colorability Q. Is this planar graph 3-colorable? 114

Planar 3-Colorability and Graph 3-Colorability Claim. PLANAR-3-COLOR P PLANAR-GRAPH-3-COLOR. Pf sketch. Create a vertex for each region, and an edge between regions that share a nontrivial border. 115

Planar Graph 3-Colorability Claim. W is a planar graph such that: In any 3-coloring of W, opposite corners have the same color. Any assignment of colors to the corners in which opposite corners have the same color extends to a 3-coloring of W. Pf. Only 3-colorings of W are shown below (or by permuting colors). 116

Planar Graph 3-Colorability Claim. 3-COLOR P PLANAR-GRAPH-3-COLOR. Pf. Given instance of 3-COLOR, draw graph in plane, letting edges cross. Replace each edge crossing with planar gadget W. In any 3-coloring of W, a a' and b b'. If a a' and b b' then can extend to a 3-coloring of W. b b a a' a a' b' a crossing gadget W b' 117

Planar Graph 3-Colorability Claim. 3-COLOR P PLANAR-GRAPH-3-COLOR. Pf. Given instance of 3-COLOR, draw graph in plane, letting edges cross. Replace each edge crossing with planar gadget W. In any 3-coloring of W, a a' and b b'. If a a' and b b' then can extend to a 3-coloring of W. a a' a W W W a' multiple crossings gadget W 118

Planar k-colorability PLANAR-2-COLOR. Solvable in linear time. PLANAR-3-COLOR. NP-complete. PLANAR-4-COLOR. Solvable in O(1) time. Theorem. [Appel-Haken, 1976] Every planar map is 4-colorable. Resolved century-old open problem. Used 50 days of computer time to deal with many special cases. First major theorem to be proved using computer. False intuition. If PLANAR-3-COLOR is hard, then so is PLANAR-4-COLOR and PLANAR-5-COLOR. 119

Polynomial-Time Detour Graph minor theorem. [Robertson-Seymour 1980s] Corollary. There exist an O(n 3 ) algorithm to determine if a graph can be embedded in the torus in such a way that no two edges cross. Pf of theorem. Tour de force. 120

Polynomial-Time Detour Graph minor theorem. [Robertson-Seymour 1980s] Corollary. There exist an O(n 3 ) algorithm to determine if a graph can be embedded in the torus in such a way that no two edges cross. Mind boggling fact 1. The proof is highly non-constructive! Mind boggling fact 2. The constant of proportionality is enormous! Unfortunately, for any instance G = (V, E) that one could fit into the known universe, one would easily prefer n 70 to even constant time, if that constant had to be one of Robertson and Seymour's. - David Johnson Theorem. There exists an explicit O(n) algorithm. Practice. LEDA implementation guarantees O(n 3 ). 121

Μνηζμέκεξ Ννμεηδμπμηήζεηξ

Γηδηθή πενίπηςζε: Άζνμηζμα Ρπμζοκόιμο SUBSET-SUM. Given natural numbers w 1,, w n and an integer W, is there a subset that adds up to exactly W? Ακ ημ W είκαη πμι/θε ζοκάνηεζε ημο n; Δεκ είκαη ΚΞ-πιήνεξ: μπμνεί κα ιοζεί με δοκαμηθό πνμγναμμαηηζμό (πανόμμηα με ημ Knapsack) ζε πνόκμ O(nW) Οοπκά ζογπέμκηαη όηη ηέημηα πνμβιήμαηα είκαη NP-πιήνε (εκώ δεκ είκαη). Έκα άιιμ πανάδεηγμα: ΜΙΑΔΜΝΜΖΕΟΕ ΟΡΚΖΟΠΩΟΩΚ. Δμζέκημξ εκόξ γναθήμαημξ πμο δεκ είκαη ζοκεθηηθό θαη έκακ αθέναημ k, οπάνπεη οπμζύκμιμ ζοκηζηςζώκ πμο ημ μέγεζμξ ηεξ έκςζήξ ημοξ = k; 123

Μμαδμπμίεζε Οοκηζηςζώκ Θάζμξ Ζζπονηζμόξ: ΜΙΑΔΜΝΜΖΕΟΕ ΟΡΚΖΟΠΩΟΩΚ είκαη NP-πιήνεξ. Θάζμξ Απόδεηλε: ΜΙΑΔΜΝΜΖΕΟΕ ΟΡΚΖΟΠΩΟΩΚ ΚΞ SUBSET-SUM P ΜΙΑΔΜΝΜΖΕΟΕ ΟΡΚΖΟΠΩΟΩΚ : Από ημ ζηηγμηόηοπμ: w 1,, w n θαη W θαηαζθεοάδμομε G ςξ ελήξ: Γηα θάζε i : θηηάπκμομε μηα δηαδνμμή P i με P i = w i G = P 1 P n k = W G έπεη οπμζύκμιμ ζ.ζ. μεγέζμοξ k ακκ έκα οπμζύκμιμ w 1,, w n αζνμίδεη W Νμύ είκαη ημ ιάζμξ; 124

Μμαδμπμίεζε Οοκηζηςζώκ Θάζμξ Ζζπονηζμόξ: ΜΙΑΔΜΝΜΖΕΟΕ ΟΡΚΖΟΠΩΟΩΚ είκαη NP-πιήνεξ. Θάζμξ Απόδεηλε: ΜΙΑΔΜΝΜΖΕΟΕ ΟΡΚΖΟΠΩΟΩΚ ΚΞ SUBSET-SUM P ΜΙΑΔΜΝΜΖΕΟΕ ΟΡΚΖΟΠΩΟΩΚ : Από ημ ζηηγμηόηοπμ: w 1,, w n θαη W θαηαζθεοάδμομε G ςξ ελήξ: Γηα θάζε i : θηηάπκμομε μηα δηαδνμμή P i με P i = w i G = P 1 P n k = W G έπεη οπμζύκμιμ ζ.ζ. μεγέζμοξ k ακκ έκα οπμζύκμιμ w 1,, w n αζνμίδεη W Νμύ είκαη ημ ιάζμξ; Ε θαηαζθεοή δεκ απαηηεί πμι/θό πνόκμ: Πμ μέγεζμξ ημο G δεκ θνάζζεηαη από p(n) (γηα θάζε w i -> w i θμνοθέξ). 125

Μμαδμπμίεζε Οοκηζηςζώκ Ε ΜΙΑΔΜΝΜΖΕΟΕ ΟΡΚΖΟΠΩΟΩΚ ιύκεηαη ζε πμι/θό πνόκμ.. Απόδεηλε: ΜΙΑΔΜΝΜΖΕΟΕ ΟΡΚΖΟΠΩΟΩΚ ΚΞ Έζης n 1,, n c ηα μεγέζε ηςκ ζ.ζ. ημο G. Θέιμομε κα βνμύμε έκα οπμζύκμιμ ηςκ {n i } πμο ημ άζνμηζμά ημοξ = k νεζημμπμημύμε ημκ αιγόνηζμμ δοκαμηθμύ πνμγναμμαηηζμμύ γηα ημ SUBSET-SUM Μ(c k) Γκςνίδμομε όηη c n θαη k n θαζώξ #ζ.ζ. n θαη Οn i = n Γπμμέκςξ μ ζοκμιηθόξ πνόκμξ ζα είκαη O(n 2 ). 126

8.9 co-np and the Asymmetry of NP

Asymmetry of NP Asymmetry of NP. We only need to have short proofs of yes instances. Ex 1. SAT vs. TAUTOLOGY. Can prove a CNF formula is satisfiable by giving such an assignment. How could we prove that a formula is not satisfiable? Ex 2. HAM-CYCLE vs. NO-HAM-CYCLE. Can prove a graph is Hamiltonian by giving such a Hamiltonian cycle. How could we prove that a graph is not Hamiltonian? Remark. SAT is NP-complete and SAT P TAUTOLOGY, but how do we classify TAUTOLOGY? not even known to be in NP 128

NP and co-np NP. Decision problems for which there is a poly-time certifier. Ex. SAT, HAM-CYCLE, COMPOSITES. Def. Given a decision problem X, its complement X is the same problem with the yes and no answers reverse. Ex. X = { 0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, } Ex. X = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, } co-np. Complements of decision problems in NP. Ex. TAUTOLOGY, NO-HAM-CYCLE, PRIMES. 129

NP = co-np? Fundamental question. Does NP = co-np? Do yes instances have succinct certificates iff no instances do? Consensus opinion: no. Theorem. If NP co-np, then P NP. Pf idea. P is closed under complementation. If P = NP, then NP is closed under complementation. In other words, NP = co-np. This is the contrapositive of the theorem. 130

Good Characterizations Good characterization. [Edmonds 1965] NP co-np. If problem X is in both NP and co-np, then: for yes instance, there is a succinct certificate for no instance, there is a succinct disqualifier Provides conceptual leverage for reasoning about a problem. Ex. Given a bipartite graph, is there a perfect matching. If yes, can exhibit a perfect matching. If no, can exhibit a set of nodes S such that N(S) < S. 131

Good Characterizations Observation. P NP co-np. Proof of max-flow min-cut theorem led to stronger result that maxflow and min-cut are in P. Sometimes finding a good characterization seems easier than finding an efficient algorithm. Fundamental open question. Does P = NP co-np? Mixed opinions. Many examples where problem found to have a non-trivial good characterization, but only years later discovered to be in P. linear programming [Khachiyan, 1979] primality testing [Agrawal-Kayal-Saxena, 2002] Fact. Factoring is in NP co-np, but not known to be in P. if poly-time algorithm for factoring, can break RSA cryptosystem 132

PRIMES is in NP co-np Theorem. PRIMES is in NP co-np. Pf. We already know that PRIMES is in co-np, so it suffices to prove that PRIMES is in NP. Pratt's Theorem. An odd integer s is prime iff there exists an integer 1 < t < s s.t. t s 1 1 (mod s) t (s 1)/ p 1 (mod s) for all prime divisors p of s-1 Input. s = 437,677 Certificate. t = 17, 2 2 3 36,473 prime factorization of s-1 also need a recursive certificate to assert that 3 and 36,473 are prime Certifier. - Check s-1 = 2 2 3 36,473. - Check 17 s-1 = 1 (mod s). - Check 17 (s-1)/2 437,676 (mod s). - Check 17 (s-1)/3 329,415 (mod s). - Check 17 (s-1)/36,473 305,452 (mod s). use repeated squaring 133

FACTOR is in NP co-np FACTORIZE. Given an integer x, find its prime factorization. FACTOR. Given two integers x and y, does x have a nontrivial factor less than y? Theorem. FACTOR P FACTORIZE. Theorem. FACTOR is in NP co-np. Pf. Certificate: a factor p of x that is less than y. Disqualifier: the prime factorization of x (where each prime factor is less than y), along with a certificate that each factor is prime. 134

Primality Testing and Factoring We established: PRIMES P COMPOSITES P FACTOR. Natural question: Does FACTOR P PRIMES? Consensus opinion. No. State-of-the-art. PRIMES is in P. proved in 2002 FACTOR not believed to be in P. RSA cryptosystem. Based on dichotomy between complexity of two problems. To use RSA, must generate large primes efficiently. To break RSA, suffixes to find efficient factoring algorithm. 135

Νανάδεηγμα 1: Ύπμπηε Οομμαπία Ηαηαγναθή Ννμζπέιαζεξ I(u,m). Δεδμμέκμο θάπμημο πνήζηε u ζε θάπμημ ιεπηό m, 1 m t, θαηαγνάθμομε ζε πμημ μεπάκεμα ζοκδέζεθε: Ζ(u,m) = IP πμο πνμζπέιαζε μ πνήζηεξ ή Ζ(u,m) = null Οομμαπία: Έκα οπμζύκμιμ S από πνήζηεξ πμο γηα θάζε m, οπάνπεη έκα πνήζηεξ u S: Ζ(u,m) null. ΡΝΜΝΠΕ ΟΡΙΙΑΖΑ. Ιε δεδμμέκε ηε ζοιιμγή Ζ(u,m) θαη έκακ ανηζμό k, οπάνπεη ζομμαπία με μέγεζμξ (πιήζμξ πνεζηώκ) ημ πμιύ k; 136

Νανάδεηγμα 1: Ύπμπηε Οομμαπία Ηαηαγναθή Ννμζπέιαζεξ I(u,m). Δεδμμέκμο θάπμημο πνήζηε u ζε θάπμημ ιεπηό m, 1 m t, θαηαγνάθμομε ζε πμημ μεπάκεμα ζοκδέζεθε: Ζ(u,m) = IP πμο πνμζπέιαζε μ πνήζηεξ ή Ζ(u,m) = null Οομμαπία: Έκα οπμζύκμιμ S από πνήζηεξ πμο γηα θάζε m, οπάνπεη έκα πνήζηεξ u S: Ζ(u,m) null. ΡΝΜΝΠΕ ΟΡΙΙΑΖΑ. Ιε δεδμμέκε ηε ζοιιμγή Ζ(u,m) θαη έκακ ανηζμό k, οπάνπεη ζομμαπία με μέγεζμξ (πιήζμξ πνεζηώκ) ημ πμιύ k; Δεημύμεκμ: Ε ΡΝΜΝΠΕ ΟΡΙΙΑΖΑ είκαη NP-πιήνεξ. Οεμείςζε. ΡΝΜΝΠΕ ΟΡΙΙΑΖΑ NP Ιε δεδμμέκμ έκα S, ειέγπμομε ακ S k, θαη ακ γηα θάζε m =1,..,t οπάνπεη πνήζηεξ u S: Ζ(u,m) null. 137

Νανάδεηγμα 1: Ύπμπηε Οομμαπία Ζζπονηζμόξ. ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ P ΡΝΜΝΠΕ ΟΡΙΙΑΖΑ. Απόδεηλε. Από ημ ζηηγμηόηοπμ G = (V, E) ημο ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ: θηηάπκμομε n πνήζηεξ πμο ακηηζημηπμύκ ζημοξ θόμβμοξ. ζε θάζε αθμή e = (v,w) έκα ιεπηό (πνμκηθή ζηηγμή) Οοκμιηθά n πνήζηεξ (θόμβμοξ) m ιεπηά (αθμέξ). Οε θάζε ιεπηό m (όηακ δειαδή έπμομε αθμή e = (v,w) ), μη πνήζηεξ v,w έπμοκ Ζ(v,m) null θαη Ζ(w,m) null 138

Νανάδεηγμα 1: Ύπμπηε Οομμαπία Ζζπονηζμόξ. ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ P ΡΝΜΝΠΕ ΟΡΙΙΑΖΑ. Απόδεηλε. Από ημ ζηηγμηόηοπμ G = (V, E) ημο ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ: θηηάπκμομε n πνήζηεξ πμο ακηηζημηπμύκ ζημοξ θόμβμοξ. ζε θάζε αθμή e = (v,w) έκα ιεπηό (πνμκηθή ζηηγμή) Οοκμιηθά n πνήζηεξ (θόμβμοξ) m ιεπηά (αθμέξ). Οε θάζε ιεπηό m (όηακ δειαδή έπμομε αθμή e = (v,w) ), μη πνήζηεξ v,w έπμοκ Ζ(v,m) null θαη Ζ(w,m) null Οεμείςζε. Ρπάνπεη ΡΝΜΝΠΕ ΟΡΙΙΑΖΑ S με S k οπάνπεη ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ C με C k. S = C Ιε δεδμμέκμ ημ C θάζε πνήζηεξ ημο S πνμζπέιαζε θάπμηα Ζ(,) θαζώξ είκαη άθνμ ηεξ αθμήξ πμο αθμομπάεη ζημ C. Άνα γηα θάζε m οπάνπεη θάπμημ I(,). Γηα θάζε m ημοιάπηζημκ έκαξ πνήζηεξ έπεη I(,), άνα θαη μ ακηίζημηπμξ θόμβμξ είκαη άθνμ ηεξ αθμήξ. 139

Νανάδεηγμα 2: Οπεδηαζμόξ Δηαιέλεςκ Δηαιέλεηξ: Ννώηα πναγμαημπμημύκηαη δηαιέλεηξ από ελςηενηθό θαη μεηά πανμοζηάζεηξ ένγςκ από θμηηεηέξ. Γλςηενηθέξ Δηαιέλεηξ: Γλςηενηθμί μμηιεηέξ Q δίκμοκ q μμηιίεξ πμο ακηηζημηπμύκ ζε θάζε εβδμμάδα 1,..., q. Ιόκμ έκα οπμζύκμιμ Q i μπμνεί κα δώζεη μμηιία ηεκ i-ζηή εβδμμάδα. Νανμοζηάζεηξ Φμηηεηώκ: Γηα κα μιμθιενώζμοκ ηεκ πανμοζίαζε ζα πνέπεη γηα θάζε ένγμ j (1,..., p) κα έπμοκ παναθμιμοζήζεη έκακ ημοιάπηζημκ μμηιεηή από έκα οπμζύκμιμ μμηιηηώκ P j. 140

Νανάδεηγμα 2: Οπεδηαζμόξ Δηαιέλεςκ Δηαιέλεηξ: Ννώηα πναγμαημπμημύκηαη δηαιέλεηξ από ελςηενηθό θαη μεηά πανμοζηάζεηξ ένγςκ από θμηηεηέξ. Γλςηενηθέξ Δηαιέλεηξ: Γλςηενηθμί μμηιεηέξ Q δίκμοκ q μμηιίεξ πμο ακηηζημηπμύκ ζε θάζε εβδμμάδα 1,..., q. Ιόκμ έκα οπμζύκμιμ Q i μπμνεί κα δώζεη μμηιία ηεκ i-ζηή εβδμμάδα. Νανμοζηάζεηξ Φμηηεηώκ: Γηα κα μιμθιενώζμοκ ηεκ πανμοζίαζε ζα πνέπεη γηα θάζε ένγμ j (1,..., p) κα έπμοκ παναθμιμοζήζεη έκακ ημοιάπηζημκ μμηιεηή από έκα οπμζύκμιμ μμηιηηώκ P j. ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ. Ιπμνμύμε κα δηαιέλμομε έκακ μόκμ μμηιεηή γηα ηηξ q πνώηεξ εβδμμάδεξ από θάζε Q i έηζη ώζηε γηα θάζε ένγμ j μη θμηηεηέξ κα έπμοκ παναθμιμοζήζεη 1 μμηιεηή από ημ Pj; Νανάδεηγμα: Q = {A,B,C,D}, q=2 Q 1 = {A,B,C} Q 2 = {A,D} p=3 P 1 = {B,C}, P 2 = {A,B,D} P 3 = {C,D} 141

Νανάδεηγμα 2: Οπεδηαζμόξ Δηαιέλεςκ Ζζπονηζμόξ: ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ είκαη NP-πιήνεξ. ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ NP Ακ μαξ δμζεί μηα αθμιμοζία μμηιεηώκ S ειέγπμομε: όιμη μη μμηιεηέξ ημο S είκαη δηαζέζημμη ηηξ q εβδμμάδεξ γηα θάζε P j οπάνπεη 1 ημο S. Νανάδεηγμα: Q = {A,B,C,D}, q=2 Q 1 = {A,B,C} Q 2 = {A,D} p=3 P 1 = {B,C}, P 2 = {A,B,D} P 3 = {C,D} 142

Νανάδεηγμα 2: Οπεδηαζμόξ Δηαιέλεςκ Ζζπονηζμόξ: ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ είκαη NP-πιήνεξ. ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ NP Ακ μαξ δμζεί μηα αθμιμοζία μμηιεηώκ S ειέγπμομε: όιμη μη μμηιεηέξ ημο S είκαη δηαζέζημμη ηηξ q εβδμμάδεξ γηα θάζε P j οπάνπεη 1 ημο S. Νμηό πνόβιεμα είκαη οπμρήθημ: X P ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ ; Δηαιέγμομε θάπμηεξ επηιμγέξ, απμθιείμκηαξ θάπμηεξ άιιεξ (Q i ) Γιέγπμομε ακ μη επηιμγέξ είκαη έγθονεξ (P j ) Νανάδεηγμα: Q = {A,B,C,D}, q=2 Q 1 = {A,B,C} Q 2 = {A,D} p=3 P 1 = {B,C}, P 2 = {A,B,D} P 3 = {C,D} 143

Νανάδεηγμα 2: Οπεδηαζμόξ Δηαιέλεςκ Ζζπονηζμόξ: ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ είκαη NP-πιήνεξ. ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ NP Ακ μαξ δμζεί μηα αθμιμοζία μμηιεηώκ S ειέγπμομε: όιμη μη μμηιεηέξ ημο S είκαη δηαζέζημμη ηηξ q εβδμμάδεξ γηα θάζε P j οπάνπεη 1 ημο S. Νμηό πνόβιεμα είκαη οπμρήθημ: X P ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ ; Δηαιέγμομε θάπμηεξ επηιμγέξ, απμθιείμκηαξ θάπμηεξ άιιεξ (Q i ) Γιέγπμομε ακ μη επηιμγέξ είκαη έγθονεξ (P j ) 3-SAT, ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ,... Νανάδεηγμα: Q = {A,B,C,D}, q=2 Q 1 = {A,B,C} Q 2 = {A,D} p=3 P 1 = {B,C}, P 2 = {A,B,D} P 3 = {C,D} 144

Νανάδεηγμα 2: Οπεδηαζμόξ Δηαιέλεςκ Ζζπονηζμόξ: 3-SAT P ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ. Ηαηαζθεοή. i. Ιε δεδμμέκμ έκα ζηηγμηόηοπμ Φ ημο 3-SAT, C j x 1 x 2 x 3 ii. Γηα θάζε x i 2 μμηιεηέξ a i, b i (ακηηζημηπμύκ ζηε x i θαη ζηε x' i ) iii. Q: Ηάζε εβδμμάδα i έπμομε μόκμ δηαζέζημμοξ μόκμ ημοξ 2 μμηιεηέξ. iv. Ξ: Ηάζε ένγμ απμηειείηαη από ηηξ 3 μεηαβιεηέξ (μμηιεηέξ) ηεξ πνόηαζεξ C j. Φ ηθακμπμηείηαη επηιμγή γηα ΟΓΔΖΑΟΙΜ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ Γηα θάζε εβδμμάδα επηιέγμομε ημκ μμηιεηή a ή b ακάιμγα με ηεκ ηημή ηεξ μεηαβιεηήξ. Άνα 1 μμηιεηήξ από θάζε P j. Ακαζέημομε ηημή ζηηξ μεηαβιεηέξ: x i = Π ακ επηιέλμομε a, x i = F γηα b. Άνα θάζε πνόηαζε C j ζα έπεη 1 μεηαβιεηή με ηημή Π. Νανάδεηγμα: Q = {A,B,C,D}, q=2 Q 1 = {A,B,C} Q 2 = {A,D} p=3 P 1 = {B,C}, P 2 = {A,B,D} P 3 = {C,D} 145

Νανάδεηγμα 2: Οπεδηαζμόξ Δηαιέλεςκ Ζζπονηζμόξ: ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ P ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ. Νανάδεηγμα: Q = {A,B,C,D}, q=2 Q 1 = {A,B,C} Q 2 = {A,D} p=3 P 1 = {B,C}, P 2 = {A,B,D} P 3 = {C,D} 146

Νανάδεηγμα 2: Οπεδηαζμόξ Δηαιέλεςκ Ζζπονηζμόξ: ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ P ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ. Ηαηαζθεοή. i. Γηα θάζε θόμβμ v, δεμημονγμύμε έκακ μμηιεηή z v ii. Γηα ηηξ q=k εβδμμάδεξ, ζέημομε Q 1 =... = Q q = V(G) (όιμη δηαζέζημμη) iii. Γηα ηα ένγα P j : ακ οπάνπεη αθμή (u,v) ζέημομε Pj = {z u, z v } Νανάδεηγμα: Q = {A,B,C,D}, q=2 Q 1 = {A,B,C} Q 2 = {A,D} p=3 P 1 = {B,C}, P 2 = {A,B,D} P 3 = {C,D} 147

Νανάδεηγμα 2: Οπεδηαζμόξ Δηαιέλεςκ Ζζπονηζμόξ: ΗΑΘΡΙΙΑ ΗΜΞΡΦΩΚ P ΟΓΔΖΑΟΙΜΟ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ. Ηαηαζθεοή. i. Γηα θάζε θόμβμ v, δεμημονγμύμε έκακ μμηιεηή z v ii. Γηα ηηξ q=k εβδμμάδεξ, ζέημομε Q 1 =... = Q q = V(G) (όιμη δηαζέζημμη) iii. Γηα ηα ένγα P j : ακ οπάνπεη αθμή (u,v) ζέημομε Pj = {z u, z v } S k θάιομμα θμνοθώκ επηιμγή γηα ΟΓΔΖΑΟΙΜ ΔΖΑΘΓΛΓΩΚ Δηαιέγμομε ημ ακηίζημηπμ Z S γηα ημοξ μμηιεηέξ. Γηα θάζε ένγμ {z u, z v } έκαξ ημοιάπηζημκ έκαξ ζημ Z S. Άνα 1 μμηιεηήξ από θάζε P j θαη όιεξ μη δηαιέλεηξ Z S πναγμαημπμημύκηαη ζηηξ k εβδμμάδεξ. Έζης Π ημ ζύκμιμ μμηιεηώκ γηα ηηξ k εβδμμάδεξ. Οε αοημύξ ακηηζημηπμύκ θάπμηεξ θμνοθέξ X T. Γηα θάζε ένγμ {z u, z v }, z u Π ή z v Π. Άνα έκα άθνμ ηεξ αθμήξ {z u, z v } οπάνπεη ζημ X T. Νανάδεηγμα: Q = {A,B,C,D}, q=2 Q 1 = {A,B,C} Q 2 = {A,D} p=3 P 1 = {B,C}, P 2 = {A,B,D} P 3 = {C,D} 148

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Λέκτορας Χάρης Παπαδόπουλος «Θεωρία Πολυπλοκότητας». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1297. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.