Theoetical Competition: July Question Page of. Ένα πρόβλημα τριών σωμάτων και το LISA μ M O m EIKONA Ομοεπίπεδες τροχιές των τριών σωμάτων. Δύο μάζες Μ και m κινούνται σε κυκλικές τροχιές με ακτίνες και, αντίστοιχα, γύρω από το κέντρο μάζας τους. Βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα ω της ευθείας που ενώνει την Μ και την m σε όρους των,,m,m και της σταθεράς της παγκόσμιας έλξης G. [.5 μόρια]. Ένα τρίτο σώμα αμελητέας μάζας μ τοποθετείται σε ομοεπίπεδη κυκλική τροχιά γύρω από το ίδιο κέντρο μάζας έτσι ώστε η μάζα μ να παραμένει συνεχώς σταθερή σε σχέση και με την Μ και με την m όπως φαίνεται στην εικόνα. Βρείτε τις τιμές των ακόλουθων παραμέτρων σε σχέση με τα και. [.5 μόρια].. απόσταση μεταξύ μ και M... απόσταση μεταξύ μ και m... απόσταση μεταξύ μ και του κέντρου μάζας. Θεωρείστε την περίπτωση όπου Μ=m. Αν η μ υποστεί μια μικρή ακτινική μετατόπιση (κατά μήκος του άξονα Ομ), ποια είναι η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης της μ γύρω από τη θέση της πριν τη μετατόπιση σε σχέση με την ω ; Υποθέστε ότι η στροφορμή της μ διατηρείται. [. μόρια] H LISA (Lase Inefeomety Space Antenna) είναι ένα σύνολο από τρία ίδια διαστημικά σκάφη με σκοπό την ανίχνευση χαμηλής συχνότητας βαρυτικών κυμάτων. Καθένα από τα σκάφη είναι
Theoetical Competition: July Question Page of τοποθετημένο στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου όπως φαίνεται στην εικόνα και στην εικόνα. Οι πλευρές είναι γύρω στα 5. εκατομμύρια χιλιόμετρα. To σύστημα LISA είναι σε τροχιά γύρω από τον Ήλιο όπως η Γή ακολουθώντας την ώστε οι επιβατικές ακτίνες τους να σχηματίζουν συνεχώς γωνία. Το σύστημα και η Γη περιφέρονται γύρω από τον Ήλιο ακολουθώντας ανεξάρτητες ελαφρώς επικλινείς τροχιές γύρω από τον Ήλιο. Τελικά, τα τρία σκάφη εκτελούν μια πλήρη περιστροφή γύρω από το κέντρο μάζας τους σε κάθε έτος. Αυτά συνεχώς εκπέμπουν και λαμβάνουν σήματα με lase μεταξύ τους. Γενικά, ανιχνεύουν τα βαρυτικά κύματα μετρώντας μικρές αλλαγές στο μήκος των πλευρών του τριγώνου. Μια κρούση αντικειμένων με μεγάλη μάζα, όπως οι μαύρες τρύπες σε γαλαξίες είναι ένα παράδειγμα πηγής βαρυτικών κυμάτων. Eath ΕΙΚΟΝΑ : Η τροχιά του LISA. Τα τρία σκάφη περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας με περίοδο έτος. Ακολουθεί τη Γή κατα γωνία. (Pictue fom D.A. Shaddock, An Oeiew of the Lase Intefeomete Space Antenna, Publications of the Astonomical Society of Austalia, 9, 6, pp.8-.). Eath C B ΕΙΚΟΝΑ Τα τρία σκάφη σε μεγένθυνση ακολουθώντας τη Γη. A, B and C είναι τα σκάφη στις κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου..4 Στο επίπεδο που περιέχει τα τρία σκάφη, ποια είναι η σχετική ταχύτητα του ενός σκάφους όπως παρατηρείται από το άλλο; [.8 μόρια A
Theoetical Competition: Solution Question Page of 7 I. Solution M O m. Let O be thei cente of mass. Hence M m () m M GMm GMm () G M m Fom Eq. (), o using educed mass, Hence, G( M m) GM Gm ( ) ( ) ( ). ()
Theoetical Competition: Solution Question Page of 7. Since is infinitesimal, it has no gaitational influences on the motion of neithe M no m. Fo to emain stationay elatie to both M and m we must hae: GM Gm G M m cos cos GM Substituting (4) GM Gm sin sin (5) fom Eq. (5) into Eq. (4), and using the identity sin cos cos sin sin( ), we get sin( ) M m m sin (6) The distances and, the angles and ae elated by two Sine ule equations Substitute (7) into (6) sin sin sin sin (7) M m 4 m () m Since,Eq. () gies M m () Gm By substituting fom Eq. (5) into Eq. (4), and epeat a simila pocedue, we get () Altenatiely, sin 8 and sin sin m sin M sin sin Combining with Eq. (5) gies
Theoetical Competition: Solution Question Page of 7 Hence, it is an equilateal tiangle with 6 6 The distance is calculated fom the Cosine ule. ( ) ( )cos6 Altenatie Solution to. () (4) Since is infinitesimal, it has no gaitational influences on the motion of neithe M no m.fo to emain stationay elatie to both M and m we must hae: Note that GM Gm G M m cos cos (4) GM Gm sin sin (5) sin 8 sin (see figue) sin sin sin m (6) sin M Equations (5) and (6): (7) sin m (8) sin M (9) The equation (4) then becomes: M m M cos mcos Equations (8) and (): sin Note that fom figue, M m sin M sin () () () sin
Theoetical Competition: Solution Question Page 4 of 7 Equations () and (): sin Also fom figue, M m M sin cos cos () (4) sin sin (5) cos 8 8 (see figue) cos, 6, 6 Equations () and (4): Hence M and m fom an equilateal tiangle of sides Distance to M is Distance to m is Distance to O is. The enegy of the mass is gien by E GM Gm d (( ) )..(5) Since the petubation is in the adial diection, angula momentum is conseed ( and m M ), 4 GM d E ( ) Since the enegy is conseed, de 4 de GM d d d d (7)..(6) d d d d.(8) d 4 de GM d d d d.(9) O 6 o 4
Theoetical Competition: Solution Question Page 5 of 7 d Since, we hae 4 GM d o d GM 4 The petubation fom and gies. () and. Then 4 d d GM ( ) () n Using binomial expansion ( ) n, d GM..() Using, d GM..() GM Since, d d 4 d 4 Fom the figue, coso, 4.(4).(5).(6) d 9 7 4.. (7) 4 4 5
Theoetical Competition: Solution Question Page 6 of 7 7 Angula fequency of oscillation is. Altenatie solution: M m gies and G( M M ) GM. The unpetubed adial distance of is ( ) 4, so the petubed adial distance can be epesented by whee as shown in the following figue. Using Newton s nd GM d law, ( ) ( ) ( ). / { ( ) } () The conseation of angula momentum gies ( ) ( ). () Manipulate () and () algebaically, applying and binomial appoximation. GM d { ( ) } ( / ) ( ) / GM d {4 } ( / ) ( ) / GM ( / ) d 4 ( / ) ( / ) / d 4 d 7 4.4 elatie elocity Let = speed of each spacecaft as it moes in cicle aound the cente O. The elatie elocities ae denoted by the subscipts A, B and C. Fo example, BA is the elocity of B as obseed by A. The peiod of cicula motion is yea T 65 46 6 s. (8) The angula fequency T L The speed 575 m/s (9) cos 6
Theoetical Competition: Solution Question Page 7 of 7 The speed is much less than the speed light Galilean tansfomation. In Catesian coodinates, the elocities of B and C (as obseed by O) ae CB ĵ î C L CA O L L B BC BA AB A AC Fo B, cos6ˆi sin 6ˆj B Fo C, cos6ˆi sin 6ˆj C Hence ˆ ˆ BC sin 6j j The speed of B as obseed by C is 996 m/s () Notice that the elatie elocities fo each pai ae anti-paallel. Altenatie solution fo.4 One can obtain BC by consideing the otation about the axis at one of the spacecafts. BC L 65 46 6 s 6 (5 km) 996 m/s 7