Τα IIR φίλτρα είναι επαναληπτικά ή αναδρομικά, με την έννοια ότι δείγματα της εξόδου χρησιμοποιούνται από το σύστημα για τον υπολογισμό των νέων τιμών της εξόδου σε επόμενες χρονικές στιγμές. Για να επιτύχουμε μια επιθυμητή απόκριση χρειαζόμαστε σημαντικά λιγότερους συντελεστές για ένα IIR φίλτρο σε σχέση με το αντίστοιχο FIR. Τα IIR φίλτρα είναι ασταθή, αν οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς βρίσκονται εκτός του μοναδιαίου κύκλου. Τα IIR δεν έχουν γραμμική απόκριση φάσης στη ζώνη διέλευσης, όπως τα μη επαναληπτικά FIR φίλτρα με συμμετρική ή αντισυμμετρική κρουστική απόκριση. Τα IIR φίλτρα μπορούν εύκολα να σχεδιασθούν αρχίζοντας από ένα αναλογικό φίλτρο και κατόπιν χρησιμοποιώντας κατάλληλη απεικόνιση του επιπέδου- στο επίπεδο-z. Αρχικά προσδιορίζεται η H() και στη συνέχεια στο H(z), έτσι ώστε τα επιθυμητά χαρακτηριστικά του αναλογικού φίλτρου να διατηρούνται κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο
H() W H() Ζώνη αποκοπής Ζώνη διέλευσης Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με εύρος-ζώνης W = ω Ζώνη αποκοπής Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα. H() log H( ) Ζώνη αποκοπής Μεταβατική ζώνη Ζώνη διέλευσης Μεταβατική ζώνη Πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο Ζώνη αποκοπής db db Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε db σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα. -
Χαρακτηριστικά χαμηλοπερατού αναλογικού φίλτρου ( ) H Zώνη μετάβασης Ζώνη διέλευσης Ζώνη αποκοπής A Κανονικοποιημένη απόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. ε παράμετρος ταλαντώσεων ζώνης διέλευσης (bnd rile rmeter) ω συχνότητα αποκοπής ζώνης διέλευσης (bnd uto requeny) Α παράμετρος εξασθένησης ζώνης αποκοπής (tobnd ttenution rmeter) ω συχνότητα αποκοπής ζώνης αποκοπής (tobnd uto requeny) -3
Deibel Σεραφείμ Καραμπογιάς H() Ζώνη διέλευσης P Ζώνη μετάβασης S Ζώνη αποκοπής ( ) H A Ζώνη διέλευσης Zώνη μετάβασης Ζώνη αποκοπής Απόλυτη απόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. Κανονικοποιημένη απόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. R P P S Η απόκριση συχνότητας του αναλογικού φίλτρου ικανοποιεί τις A S Σχετική απόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. H( ) A H( ),, -4
Deibel Σεραφείμ Καραμπογιάς R P P S ( ) H Zώνη μετάβασης Ζώνη διέλευσης Ζώνη αποκοπής A S A Σχετική απόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. Κανονικοποιημένη απόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. Σχέσεις μεταξύ των παραμέτρων ψηφιακού - αναλογικού φίλτρου ε H( ) στην A H( ) στην Οι παράμετροι ε και Α σχετίζονται με τις R και A αντίστοιχα στην κλίμακα db με τις R R log ε ε A A log A A -5
H() Ζώνη διέλευσης P Ζώνη μετάβασης S Ζώνη αποκοπής ( ) H A Ζώνη διέλευσης Zώνη μετάβασης Ζώνη αποκοπής Απόλυτη απόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. Κανονικοποιημένη απόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. Σχέσεις μεταξύ των παραμέτρων ψηφιακού - αναλογικού φίλτρου Οι ταλαντώσεις δ και δ σχετίζονται με τις ε και Α αντίστοιχα με τις ε A ε A -6
Ιδιότητες της απόκρισης ισχύος αναλογικού φίλτρου Από τη συνάρτηση μεταφοράς ενός αναλογικού συστήματος προσδιορίζεται η απόκριση συχνότητας του συστήματος αν περιέχεται ο φανταστικός άξονας στο πεδίο σύγκλισης ως H ( ) H( ) έχουμε για το τετράγωνο του μέτρου της απόκρισης συχνότητας ( ) H H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) H ( ) ή ισοδύναμα H ( ) H ( ) H ( ) -7
z Παράδειγμα πόλων και μηδενικών της H ( ) H ( ) Παρατηρούμε ότι οι πόλοι και τα μηδενικά είναι τοποθετημένα συμμετρικά ως προς το φανταστικό άξονα. Για πραγματικά φίλτρα οι πόλοι και τα μηδενικά είναι συζυγή, δηλαδή, παρουσιάζουν συμμετρία ως προς τον πραγματικό άξονα. Αν θέλουμε το αναλογικό φίλτρο να είναι αιτιατό και ευσταθές θα πρέπει οι πόλοι να βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο. Έτσι δίνουμε όλους τους πόλους της H ()H (-) που βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο στην H () Αντίθετα τα μηδενικά της H () μπορούν να βρίσκονται οπουδήποτε στο μιγαδικό επίπεδο. Επιλέγουμε τα μηδενικά της H ()H (-) που βρίσκονται στο φανταστικό άξονα ως μηδενικά της H (), και έτσι το φίλτρο είναι φίλτρο ελάχιστης φάσης. -8
( ) H Χαμηλοπερατό Φίλτρο Butterworth, N Η απόκριση ισχύος του φίλτρου είναι,5 N N N ) H ( N Για τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος ισχύουν H ( ) H ( ) H ( ) N N ( ) N ( ) N -9
( ) H,,5 Χαμηλοπερατό Φίλτρο Butterworth N N N N Η απόκριση ισχύος του φίλτρου είναι ( ) H( ) H( ) N Οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή (ή οι πόλοι της H ()H ( )) είναι H N N () k k () N o (k N in ) N e e e (k) N e e (k),,, e k,n N e (kn ) -
- Οι θέσεις των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο k k Διαγράμματα πόλων φίλτρων Btterworth η και η τάξης,,,, ) ( N k e N k N k N Για Ν = έχουμε e e e e 4 N Για Ν = έχουμε 4 3 in 4 3 o 3 4 e 4 5 in 4 5 o 5 4 e 4 7 in 4 7 o 7 4 e 4 9 in 4 9 o 9 4 3 e k k k k k k3
Οι θέσεις των πόλων στο μιγαδικό επίπεδο N N k k Διαγράμματα πόλων φίλτρων Btterworth η και η τάξης N 3 N 4 Διαγράμματα πόλων φίλτρων Btterworth 3 η και 4 η τάξης -
Ένα ευσταθές και αιτιατό φίλτρο H () μπορεί να οριστεί αν επιλέξουμε τους πόλους που βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο του μιγαδικού ημιεπιπέδου, δηλαδή, H ( ) N ( πόλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο Η συνάρτηση μεταφοράς των πρωτότυπων φίλτρων Butterworth βασικής ζώνης πρώτης και δεύτερης τάξης είναι αντίστοιχα k ) H ( H) ( ( ) ) ( )( ) H() -3
Παράδειγμα Να υπολογιστεί η τάξη ενός χαμηλοπερατού φίλτρου Butterworth το οποίο παρουσιάζει εξασθένιση db στο KHz και 4 db στο 5 KHz Λύση: Για την παράμετρο ταλάντωσης ε στη ζώνη διέλευσης έχουμε log db,589 Για την παράμετρο εξασθένησης Α στη ζώνη αποκοπής έχουμε log A 4 4dB A R log ε ( ) H A log A Για τις συχνότητες ω και ω έχουμε rd KHz e rd 5KHz e R P A S A -4
( ) H A από τις οποίες έχουμε Για την απόκριση ισχύος στη συχνότητα ω έχουμε H( ) N H( ) N Για την απόκριση ισχύος στη συχνότητα ω έχουμε A ε N N A - N A - η τιμή στρογγυλεύεται στον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο. Έτσι η τάξη είναι Ν = 4. Η τιμή για την τάξη του φίλτρου εκφράζεται με τη βοήθεια του λόγου μετάβασης k. και του παράγοντα διακριτότητας k N N log 3, 8 log A log log A ως k k -5
Παράδειγμα Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς, H (), του αναλογικού φίλτρου που έχει Λύση: Παρατηρούμε 3,5,5 Οι πόλοι της H ( ) H ( ),433 4 5 H H ( ) H H ( ) ( ) ( ) 6 64 H ( ) (3) N 3 και, 5 64,5 6 έτσι η συνάρτηση μεταφοράς είναι H ( ( ) 3 3 )( 3 )( 8 (,5,433)(,5)(,5,433) (,5)(,5,5,5,5 4 ),5,5) -6
Στο ΜATLAB υπάρχει η συνάρτηση [z,,k] = butt( N ) η οποία σχεδιάζει ένα πρωτότυπο (δηλαδή ω =) αναλογικό φίλτρο Butterworth τάξης N και επιστρέφει τα μηδενικά στο διάνυσμα z τους πόλους στο και την τιμή κέρδους στο k. Η συνάρτηση u_butt που ακολουθεί σχεδιάζει ένα μη κανονικοποιημένο αναλογικό φίλτρο Butterworth σε άμεση μορφή. H ( ) 6 64,5 ( 3) N 3 και H,5 ( ) 3,5,5,5 untion [b,] = u_butt(n,omeg); % b = Συντελεστές του πολυωνύμου του αριθμητή της H() % = Συντελεστές του πολυωνύμου του παρονομαστή της H() % N = Τάξη του φίλτρου Butterworth % Omeg = Συχνότητα αποκοπής σε rdin/e [z,,k] = butt(n); = *Omeg; k = k*omeg^n; B = rel(oly(z)); b = k; b = k*b; = rel(oly()); [b,] = u_butt(3,.5) b =.5 =...5.5-7
Deibel Σεραφείμ Καραμπογιάς Από τα χαρακτηριστικά του αναλογικού χαμηλοπερατού φίλτρου ω, R, ω και A θα προσδιοριστούν η τάξη N και η συχνότητα αποκοπής ω της ζώνης διέλευσης φίλτρου Butterworth για, log H ( ) R log N R για, log H ( ) A log N A R P P S Λύνοντας τις δύο παραπάνω εξισώσεις έχουμε ( ) H Zώνη μετάβασης A S N R log N [( log Σχετική απόκριση ισχύος ενός ψηφιακού φίλτρου βασικής ζώνης. R A ) /( ( ) A )] Ζώνη διέλευσης N A Ζώνη αποκοπής Κανονικοποιημένη απόκριση ισχύος ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης. -8
Παράδειγμα Να σχεδιαστεί ένα χαμηλοπερατό φίλτρο Butterworth με χαρακτηριστικά Λύση:,, R 7dB,,3 και A 6dB N log [( log,6 ) /( )] (,,3 ),7,79 3,,3,4985, 5 6, 7 6, 6 επιλέγουμε ω =,5, έτσι καταλήγουμε στο φίλτρο του προηγούμενου παραδείγματος H ( ) (,5)(,5,5,5) Η συνάρτηση d_butt που ακολουθεί σχεδιάζει ένα μη κανονικοποιημένο αναλογικό φίλτρο Butterworth σε άμεση μορφή από τα χαρακτηριστικά του. -9
untion [b,] = d_butt(w,w,r,a) % b = Οι συντελεστές του αριθμητή της H() % = Οι συντελεστές του παρονομαστή της H() % w = Συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης σε rd/e; w > % w = Συχνότητα ακρής της ζώνης αποκοπής σε rd/e; w > w > % R = Ταλαντώσεις της ζώνης διέλευσης σε +db; (R > ) % A = Εξασθένιση της ζώνης αποκοπής σε +db; (A > ) i w <= error('η συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης πρέπει να είναι > ') end i w <= w error('η άκρη της ζώνης αποκοπής πρέπει να είναι > της συχνότητας άκρης της ζώνης διέλευσης ') end i (R <= ) (A < ) error('pb ταλάντωση και/ή SB εξασθένηση πρέπει να είναι > ') end N = eil((log((^(r/)-)/(^(a/)-)))/(*log(w/w))); rint('\n*** Butterworth Filter Order = %. \n',n) OmegC = w/((^(r/)-)^(/(*n))); [b,]=u_butt(n,omegc); -
Η συνάρτηση req_m που ακολουθεί προσδιορίζει τα χαρακτηριστικά ενός φίλτρου Butterworth. untion [db,mg,h,w] = req_m(b,,wmx); % db = Το μέτρο σε db στο διάστημα [ έως wmx] % mg = Το μέτρο στο διάστημα [ έως wmx] % h = Η απόκριση φάσης σε rdin στο διάστημα [ έως wmx] % w = διάνυσμα από 5 δείγματα συχνότητας στο διάστημα [ έως wmx] % b = Οι συντελεστές του αριθμητή της H() % = Οι συντελεστές του παρομανομαστή της H() % wmx = Μέγιστη συχνότητα σε rd/e του διαστήματος ενδιαφέροντος % w = [::5]*wmx/5; H = req(b,,w); mg = b(h); db = *log((mg+e)/mx(mg)); h = ngle(h); -
Παράδειγμα Να σχεδιαστεί ένα χαμηλοπερατό φίλτρο Butterworth με χαρακτηριστικά,, R 7dB,,3 και A 6dB w =.*i; w =.3*i; R = 7; A = 6; Rile = ^ (-R/); Attn = ^ (-A/); % Σχεδιάση αναλογικού φίλτρου [b,] = d_butt(w,w,r,a); % Υπολογισμός της απόκρισης συχνότητας: [db,mg,h,w] = req_m(b,,.5*i); % Υπολογισμός της κρουστικής απόκρισης: [h,x,t] = imule(b,); % Plot -
Μετατροπή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διέλευσης ζώνης συχνοτήτων Για τη μετατροπή ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης με συχνότητα ω στο όριο της ζώνης διέλευσης, σε φίλτρο ζώνης διέλευσης με συχνότητες ω l και ω u στο κατώτερο και ανώτερο όριο της ζώνης διέλευσης αντίστοιχα, εκτελούμε το μετασχηματισμό H BP ( ) H ( ) ul u l Παρατηρούμε ότι η τάξη του φίλτρου διέλευσης ζώνης συχνοτήτων που προκύπτει είναι διπλάσια της τάξης του αρχικού φίλτρου βασικής ζώνης. Εφαρμογή Να μετατραπεί το πρώτης τάξης φίλτρο Butterworth βασικής ζώνης με συνάρτηση μεταφοράς H() = ω / ( + ω ), όπου ω = π rd/e, σε ένα αναλογικό φίλτρο διέλευσης ζώνης συχνοτήτων με συχνότητες στα όρια της ζώνης διέλευσης ω l = π rd / e και ω u = 3π rd / e. -3
H(w) H(w) Σεραφείμ Καραμπογιάς Mgnitude Reone o low Butterworth ilter.5 -.5.5 Mgnitude Reone o bnd ilter requeny in rd/e.5-8.8496 -.5664.5664 8.8496 requeny in rd/e -4
Μετατροπή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διέλευσης υψηλών συχνοτήτων Για τη μετατροπή ενός αναλογικού φίλτρου βασικής ζώνης με συχνότητα ω στο όριο της ζώνης διέλευσης, σε φίλτρο διέλευσης υψηλών συχνοτήτων με συχνότητα ω l στο όριο της ζώνης διέλευσης αντίστοιχα, εκτελούμε το μετασχηματισμό H HP ( ) H ( ) l Μετατροπή φίλτρου βασικής ζώνης σε φίλτρο διαφορετικής βασικής ζώνης Για να μετατρέψουμε ένα αναλογικό φίλτρο βασικής ζώνης με συχνότητα αποκοπής ω, σε ένα άλλο φίλτρο βασικής ζώνης με συχνότητα αποκοπής ω, εκτελούμε το μετασχηματισμό H HP ( ) H ( ) -5
in (t) out (t) H t t 4 6 S in S out 4 4 log H( ) 5 4 6 5 4 6 4 6-6
in (t) out (t) H t t 4 6 S in S out 4 4 log H( ) 5 4 6 5 4 6 4 6-7
in (t) out (t) H t t 4 6 S in S out 4 4 log H( ) 5 4 6 5 4 6 4 6-8
m in (t) m out (t) H t t 4 8 M in M out log H( ) 5 5 4 8 4 6 8 (KHz) 4 6 8 (KHz) -9
m in (t) m out (t) H t t 4 8 M in M out log H( ) 5 5 4 8 4 6 8 (KHz) 4 6 8 (KHz) -3
m in (t) m out (t) H t t 4 8 M in M out log H( ) 5 5 4 8 4 6 8 (KHz) 4 6 8 (KHz) -3
Χαμηλοπερατό Φίλτρο Chebyhev H ( ) TN όπου Ν είναι η τάξη του φίλτρου, ε είναι ο παράγοντας ταλάντωσης στη ζώνη διέλευσης και Τ Ν (x) το πολυώνυμο Chebyhev Ν-τάξης το οποίο δίνεται από τη T o x) oh N o N ( N oh ( x) ( x, ), x x όπου Το πολυώνυμο T N (x) μεταξύ < x < ταλαντώνεται μεταξύ του και έτσι το φίλτρο παρουσιάζει ταλαντώσεις ίσου πλάτους στη ζώνη διέλευσης. Επίσης για < x < ελαττώνεται μονότονα στο μηδέν. x Σεραφείμ Καραμπογιάς ( ) H N ό H ( ) N ά A r A r -3
Για να προσδιορίσουμε ένα αιτιατό και ευσταθές φίλτρο H () πρέπει να βρούμε τους πόλους του H () H ( ) και να επιλέξουμε τους πόλους που βρίσκονται στο αριστερό ημιεπίπεδο για το H (). Οι πόλοι του H () H ( ) είναι οι ρίζες του Αν k k k, k,,, N πολυωνύμου τότε T N είναι οι πόλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο του παρα-πάνω ( )o (k) k N ( )in (k) k b N k,,, N όπου N N N N / b / και -33
Οι πόλοι του φίλτρου βρίσκονται σε έλλειψη με κύριο άξονα b και δευτερεύοντα άξονα m 3 b Η θέση των πόλων για ένα φίλτρο Chebyhev τρίτης τάξης e Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι H ( ) K ( όπου Κ είναι ο παράγοντας κανονικοποίησης που επιλέγεται έτσι ώστε H ( ),, k N k ) N Στο ΜATLAB υπάρχει η συνάρτηση [ z,, k] heb( N, R) η οποία σχεδιάζει ένα κανονικοποιημένο αναλογικό φίλτρο Chebyhev τάξης N με ταλάντωση ζώνης διέλευσης R και επιστρέφει τα μηδενικά στο διάνυσμα z τους πόλους στο και την τιμή κέρδους στο k. Η συνάρτηση u_hbl που ακολουθεί σχεδιάζει ένα μη κανονικοποιημένο αναλογικό φίλτρο Chebyhev σε άμεση μορφή. -34
untion [b,] = u_hb(n,r,omeg); % b = Συντελεστές του πολυωνύμου του αριθμητή % = Συντελεστές του πολυωνύμου του παρονομαστή % N = Τάξη του φίλτρου % R = Ταλάντωση στη ζώνη διέλευσης σε db; R > % Omeg = Συχνότητα αποκοπής σε rdin/e % [z,,k] = heb(n,r); = rel(oly()); Nn = (N+); = *Omeg; = rel(oly()); Nu = (N+); k = k*nu/nn; b = k; B = rel(oly(z)); b = k*b; -35
Παράδειγμα Σεραφείμ Καραμπογιάς Να σχεδιαστεί ένα χαμηλοπερατό FIR φίλτρο διακριτού χρόνου με χαρακτηριστικά Λύση,, 3 R db A 6dB R A 6 ε,588 A 6, 396, και η τάξη του φίλτρου είναι g ( A ) / r,49,3, N log log g r 4,7 g r N 4 b N N /, 3646 N N /, 644-36
Υπάρχουν 4 πόλοι Σεραφείμ Καραμπογιάς επομένως ( )in 8 b,877, 679 3 ( b )in,7, 559 ( )o 8,3 ( )o 8 8, H K ) (,389 ( k ) k,895,3,3895,754,3895,434,3 Ο αριθμητής είναι τέτοιος ώστε H ( ),895-37
untion [b,] = d_hb(w,w,r,a); % b = Οι συντελεστές του αριθμητή της H() % = Οι συντελεστές του παρομανομαστή της H() % w = Συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης σε rd/e; w > % w = Συχνότητα ακρής της ζώνης αποκοπής σε rd/e; w > w > % R = Ταλαντώσεις της ζώνης διέλευσης σε +db; (R > ) % A = Εξασθένιση της ζώνης αποκοπής σε +db; (A > ) i w <= error('η συχνότητα άκρης της ζώνης διέλευσης πρέπει να είναι > ') end i w <= w error('η άκρη της ζώνης αποκοπής πρέπει να είναι > της συχνότητας άκρης της ζώνης διέλευσης ') end i (R <= ) (A < ) error('pb ταλάντωση και/ή SB εξασθένηση πρέπει να είναι > ') end e = qrt(^(r/)-); A = ^(A/); OmegC = w; OmegR = w/w; g = qrt(a*a-)/e; N = eil(log(g+qrt(g*g-))/log(omegr+qrt(omegr*omegr-))); [b,]=u_hb(n,r,omegc); -38
untion [C,B,A] = dir(b,); % C = συντελεστές κέρδους % B = Ο πίνακας K x 3 των πραγματικών συντελεστών bk % A = Ο πίνακας K x 3 των πραγματικών συντελεστών k % b = Συντελεστές του πολυωνύμου του αριθμητή του άμεσου σχήματος % = Συντελεστές του πολυωνύμου του παρονομαστή του άμεσου σχήματος N = length()-; Nb = length(b)-; % υπολογισμός του κέρδους C b = b(); b = b/b; = (); = /; C = b/; % % Παρονομαστής των τμημάτων δεύτερης τάξης: = lxir(root()); K = loor(n/); i K* == N % Υπολογισμός όταν N είναι περιττός A = zero(k,3); or n=::n Arow = (n::n+,:); Arow = oly(arow); A(ix((n+)/),:) = rel(arow); end elei N == % Υπολογισμός όταν N = A = [ rel(oly())]; ele % Υπολογισμός όταν N είναι άρτιο και > A = zero(k+,3); or n=::*k Arow = (n::n+,:); Arow = oly(arow); A(ix((n+)/),:) = rel(arow); end A(K+,:) = [ rel(oly((n)))]; end % Αριθμητής των τμημάτων δεύτερης τάξης: : z = lxir(root(b)); K = loor(nb/); i Nb == % Υπολογισμός όταν Nb = B = [ oly(z)]; elei K* == Nb % Υπολογισμός όταν Nb είναι περιττό B = zero(k,3); or n=::nb Brow = z(n::n+,:); Brow = oly(brow); B(ix((n+)/),:) = rel(brow); end elei Nb == % Υπολογισμός του Nb = B = [ rel(oly(z))]; ele % Υπολοιγμός όταν Nb είναι άρτιος και > B = zero(k+,3); or n=::*k Brow = z(n::n+,:); Brow = oly(brow); B(ix((n+)/),:) = rel(brow); end B(K+,:) = [ rel(oly(z(nb)))]; end -39
Τέλος Ενότητας -4
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. -4
Σημειώματα -4
Σημείωμα Αναφοράς Coyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Προχωρημένα θέματα επεξεργασίας σήματος.». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: htt://oenoure.uo.gr/oure/di4/ -43
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Cretive Common Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] htt://retiveommon.org/liene/by-n-/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. -44
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. -45